【教师版】第12讲 · 问题解决
一年级奥数 · 教材第152–165页（第12讲全讲）
一、知识要点
读条件、找问题
本质：先把题目给的条件一句句读明白，再看题目到底要我们求什么。
适用：所有应用题。典例A1。
- 一句句读条件。
- 圈出要算的问题。
- 代回去检验。
典型错误：漏读条件，或只算了表面数。
猜一猜、凑一凑、试一试
本质：先按经验猜一个数，再把它代回条件凑一凑，不合适就再试。
适用：典例A2（和=积）、B1（分梨）。
- 从小数猜起。
- 两个条件要同时满足。
典型错误：只满足一个条件就停。
藏起来的条件
本质：有些条件题目没明说，但根据生活经验能想出来（鸟会惊飞、人有双重身份、灯关掉还在）。
适用：典例B2（两个父亲两个儿子）、水平测试A第1、3题。
- 想生活里的道理。
- 别被文字绕进去。
典型错误：只数人数，忘了身份重复。
二、典例精讲
典例 A1
(1)树上有5只小鸟，飞起了1只，树上还剩几只？(2)树上有5只小鸟，“叭”一声，猎人用枪打下来1只，树上还剩几只？
训练点：想隐含条件：枪响会惊飞鸟。
1第(1)问：飞起1只，树上5-1=4只。依据：普通减法。
2第(2)问：打下1只后，枪响会把另外4只也惊飞。依据：隐含条件：鸟怕枪声，听见枪响全飞走。
3所以树上一只也不剩：5-1-4=0只。依据：打下1只+惊飞4只=5只全没。
答：(1)还剩4只；(2)树上一只鸟也不剩（0只）。
典型错法：答成3只或4只。
典例 A2
小明心中想到三个数，这三个数的和正好等于这三个数的积。你知道小明想的三个数是几吗？
训练点：猜一猜、试一试。
提示：
1. 从小数试起：1+2+3=？1×2×3=？
1从最小的三个数猜起：1、2、3。依据：小数相加相乘都小，最容易凑成相等。
2检验：1+2+3=6，1×2×3=6。依据：和与积正好相等。
答：这三个数是1、2、3。
典型错法：试了大数就放弃。
典例 B1
老人在一条小河边歇脚，岸边有一筐梨。若每人分1个梨，还多1个梨；若每人分2个梨，又少2个梨。问：岸边有几位老人？筐里有几个梨？
训练点：凑条件。
提示：
1. 假设有2位老人，梨是几个？再按“每人2个少2个”检验。
2每人2个少2个：梨数=2×人数−2。依据：条件2。
3人数+1=2×人数−2，得人数=3，梨=4。依据：试凑。
答：3位老人，4个梨。
典型错法：只满足一个条件。
典例 B2
有两个父亲和两个儿子，一同到市场上买野兔，每人买1只野兔，问他们一共至少买了几只野兔？
训练点：身份重复。
1爷爷、爸爸、孩子三人：爷爷是爸爸的父亲，爸爸是孩子的父亲，共两个父亲；爸爸是爷爷的儿子，孩子是爸爸的儿子，共两个儿子。依据：爸爸一人顶两个身份。
答：至少买了3只野兔。
典型错法：答成4只。
典例 C1
有三条跑道，在同一方向上，甲跑一圈要2分钟，乙跑一圈要3分钟，丙跑一圈要5分钟。三人同时从同一点出发，问几分钟后三人又在原出发点相会？
训练点：想“再次同时回到起点”。
提示：
1. 甲每2分钟回起点一次，乙每3分钟一次，丙每5分钟一次。
1甲回起点的时间：2、4、6、8…分钟。依据：2的倍数。
2乙：3、6、9…；丙：5、10、15…。依据：3、5的倍数。
3同时是2、3、5倍数的最小数是30。依据：30=2×3×5。
答：30分钟后三人又在原出发点相会。
典型错法：取成2+3+5=10分钟。
典例 C2
有6根火柴，请你搭出4个一模一样的等边三角形，你能搭得成吗？
训练点：跳出平面，想立体。
16根火柴搭成正四面体，正好有4个面，每个面都是等边三角形。依据：立体图形。
答：能，搭一个正四面体（立体）。
典型错法：只在平面上摆。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
(1)一名学生花2角钱买了2本练习簿，花5角钱能买几本练习簿？(2)在上学的路上2名学生捡到了2角钱，问：5名学生共捡到多少钱？
答案：(1)5本；(2)无法回答（捡钱是偶然的，人数多不一定多捡到）。
解析：(1)2角2本即每本1角，5角÷1角=5本。(2)花钱买东西和捡钱不一样，捡多少是偶然的，不能按人数乘，无法算。
水平测试 A 第2题
小强带了5元钱出门，他到书店买了3本书，应付1元5角钱，可是售货员找给他5角钱。售货员一定找错钱了吗？
答案：不一定。如果小强给售货员2元，2元-1元5角=5角，正好找对。
解析：题目没说小强给了售货员几元。若给2元，找5角是对的；若给1元5角整，则不该找钱。所以不能断定找错。
水平测试 A 第3题
一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？
答案：60盏灯（关掉的灯还在大楼里）。
解析：关掉一半只是不亮了，灯并没有搬走，灯的总数还是60盏。
水平测试 A 第4题
有一人计划每天读20页书，第3天因病没读，其他日子都按计划读了。问：第12天他读了多少页书？
答案：第12天读20页。
解析：“第3天没读”是过去的事，不影响第12天。第12天是按计划的正常日子，照读20页。
水平测试 A 第5题
林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1。请猜出这三个数各是几。
答案：3、4、5。
解析：三个连续数和是12，中间数=12÷3=4，所以是3、4、5。检验3+4+5=12。
水平测试 A 第6题
已知 △+□=3，△+○=4，□+○=5。求 △=? □=? ○=?
答案：△=1，□=2，○=3。
解析：三个式子加起来：2(△+□+○)=12，所以△+□+○=6。再分别减：○=6-3=3，□=6-4=2，△=6-5=1。
水平测试 A 第7题
一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？
答案：可能是5个角、4个角或3个角（三种剪法）。
解析：剪的位置不同：沿对角线剪剩3个角；从一个顶点剪到对边剩4个角；从相邻两边中间剪剩5个角。
水平测试 A 第8题
正方体形纸盒六个面的正中都有一个洞口，洞口直径能容棍子通过。请你把三根木棍从三个洞口穿到另外三个洞口，每根穿好就不再拔出来，能做到吗？
答案：能。
解析：正方体有三对相对的面，三根木棍分别沿三个方向（长、宽、高）各穿过一对对面即可。
水平测试 A 第9题
冷饮店规定，喝完汽水后用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水。老师带32个学生进店后，只买了24瓶汽水。问：每个学生能喝到1瓶汽水吗？
答案：能，正好喝到32瓶。
解析：4个空瓶换1瓶，相当于3个空瓶能喝到1瓶（喝完又多1空瓶）。24瓶喝完有24空瓶，24÷3=8瓶。24+8=32瓶。最后可先借1空瓶凑4换1，喝完还瓶。
水平测试 A 第10题
两条直线垂直相交可以组成4个直角，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角？
答案：平面上最多8个直角，空间中最多12个直角。
解析：平面上第三条线过交点与已有两线都垂直（两线互相垂直时），每个方向新增4个直角，共8个；空间中三条线两两垂直（像墙角），共12个直角。
B层
水平测试 A 第1题
(1)一名学生花2角钱买了2本练习簿，花5角钱能买几本练习簿？(2)在上学的路上2名学生捡到了2角钱，问：5名学生共捡到多少钱？
答案：(1)5本；(2)无法回答（捡钱是偶然的，人数多不一定多捡到）。
解析：(1)2角2本即每本1角，5角÷1角=5本。(2)花钱买东西和捡钱不一样，捡多少是偶然的，不能按人数乘，无法算。
水平测试 A 第2题
小强带了5元钱出门，他到书店买了3本书，应付1元5角钱，可是售货员找给他5角钱。售货员一定找错钱了吗？
答案：不一定。如果小强给售货员2元，2元-1元5角=5角，正好找对。
解析：题目没说小强给了售货员几元。若给2元，找5角是对的；若给1元5角整，则不该找钱。所以不能断定找错。
水平测试 A 第3题
一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？
答案：60盏灯（关掉的灯还在大楼里）。
解析：关掉一半只是不亮了，灯并没有搬走，灯的总数还是60盏。
水平测试 A 第4题
有一人计划每天读20页书，第3天因病没读，其他日子都按计划读了。问：第12天他读了多少页书？
答案：第12天读20页。
解析：“第3天没读”是过去的事，不影响第12天。第12天是按计划的正常日子，照读20页。
水平测试 A 第5题
林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1。请猜出这三个数各是几。
答案：3、4、5。
解析：三个连续数和是12，中间数=12÷3=4，所以是3、4、5。检验3+4+5=12。
水平测试 A 第6题
已知 △+□=3，△+○=4，□+○=5。求 △=? □=? ○=?
答案：△=1，□=2，○=3。
解析：三个式子加起来：2(△+□+○)=12，所以△+□+○=6。再分别减：○=6-3=3，□=6-4=2，△=6-5=1。
水平测试 A 第7题
一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？
答案：可能是5个角、4个角或3个角（三种剪法）。
解析：剪的位置不同：沿对角线剪剩3个角；从一个顶点剪到对边剩4个角；从相邻两边中间剪剩5个角。
水平测试 A 第8题
正方体形纸盒六个面的正中都有一个洞口，洞口直径能容棍子通过。请你把三根木棍从三个洞口穿到另外三个洞口，每根穿好就不再拔出来，能做到吗？
答案：能。
解析：正方体有三对相对的面，三根木棍分别沿三个方向（长、宽、高）各穿过一对对面即可。
水平测试 A 第9题
冷饮店规定，喝完汽水后用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水。老师带32个学生进店后，只买了24瓶汽水。问：每个学生能喝到1瓶汽水吗？
答案：能，正好喝到32瓶。
解析：4个空瓶换1瓶，相当于3个空瓶能喝到1瓶（喝完又多1空瓶）。24瓶喝完有24空瓶，24÷3=8瓶。24+8=32瓶。最后可先借1空瓶凑4换1，喝完还瓶。
水平测试 A 第10题
两条直线垂直相交可以组成4个直角，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角？
答案：平面上最多8个直角，空间中最多12个直角。
解析：平面上第三条线过交点与已有两线都垂直（两线互相垂直时），每个方向新增4个直角，共8个；空间中三条线两两垂直（像墙角），共12个直角。
水平测试 B 第1题
桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了，而这堆糖只有3块。这是为什么？
答案：因为只有3个人：外祖母、妈妈和女孩。妈妈既是女儿又是母亲，一人顶两个身份。
解析：外祖母→妈妈→女孩三代人。两个母亲=外祖母和妈妈，两个女儿=妈妈和女孩。妈妈被算了两次，实际3人分3块糖。
水平测试 B 第2题
天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后，两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线。请你猜猜看，天上共有几只雁？
答案：3只。
解析：3只排成一条线：从前面数，后面2只前面1只；从后面数，前面2只后面1只；中间那只正好夹在两只中间。
水平测试 B 第3题
王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子，两位老师共有多少个孩子？
答案：可能是1个，也可能是2个。
解析：若王老师和李老师是夫妻，两人共同一个孩子，共1个；若不是一家人，各有各的孩子，共2个。题目没说两人关系。
水平测试 B 第4题
要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1个苹果，但篮子里还要留下1个苹果，你能分吗？
答案：能。最后一个孩子连篮子一起拿走。
解析：前4个孩子各拿1个苹果；第5个孩子把篮子连同里面最后1个苹果一起拿走，苹果分完了，苹果也还在篮子里。
水平测试 B 第5题
算式里小动物各代表什么数？相同动物代表相同数字：公鸡+鸭=5，鸭+母鸡=8，母鸡+公鸡=7。
答案：公鸡=2，鸭=3，母鸡=5。
解析：三式相加：2(公鸡+鸭+母鸡)=20，所以和=10。母鸡=10-5=5，公鸡=10-8=2，鸭=10-7=3。
水平测试 B 第6题
小本子每页贴1片树叶就多出4片树叶；如果每页贴2片树叶，就会空出6页。问：这个小本子共多少页，树叶有多少片？
答案：小本子共16页，树叶有20片。
解析：设页数p：树叶=p+4，也=2(p-6)。p+4=2p-12，p=16，树叶=20。检验：16页贴2片用10页，空6页，符合。
水平测试 B 第7题
爷爷、爸爸、小虎三个人年龄和是120岁，爷爷比爸爸大30岁，爷爷和爸爸的年龄之和正好比小虎大100岁。小虎、爸爸和爷爷各是多少岁？
答案：爷爷70岁，爸爸40岁，小虎10岁。
解析：爷+爸+虎=120，爷+爸-虎=100。两式相减得2虎=20，虎=10。爷+爸=110，爷-爸=30，得爷=70、爸=40。
水平测试 B 第8题
100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，恰好分完。问：大和尚、小和尚各多少人？
答案：大和尚25人，小和尚75人。
解析：1个大和尚带3个小和尚共4人分4个馒头（3+1），正好一组。100÷4=25组，所以大和尚25人、小和尚75人。
水平测试 B 第9题
有人问孩子年龄，回答说：“比父亲岁数的一半少9岁。”又问父亲年龄，回答说：“比孩子岁数的3倍多3岁。”父亲和孩子各是多少岁？
答案：父亲48岁，孩子15岁。
解析：孩子=父÷2-9，父=3×孩+3。代入：孩=(3孩+3)÷2-9，解得孩=15，父=48。
水平测试 B 第10题
△、○、★分别代表三个不等于0的数，并且 △×★=○，△+△+△=○-△-△。那么★代表的数是几？
答案：★=5。
解析：由3△=○-2△，得○=5△。又○=△×★，所以△×★=5△，★=5。
C层
水平测试 A 第1题
(1)一名学生花2角钱买了2本练习簿，花5角钱能买几本练习簿？(2)在上学的路上2名学生捡到了2角钱，问：5名学生共捡到多少钱？
答案：(1)5本；(2)无法回答（捡钱是偶然的，人数多不一定多捡到）。
解析：(1)2角2本即每本1角，5角÷1角=5本。(2)花钱买东西和捡钱不一样，捡多少是偶然的，不能按人数乘，无法算。
水平测试 A 第2题
小强带了5元钱出门，他到书店买了3本书，应付1元5角钱，可是售货员找给他5角钱。售货员一定找错钱了吗？
答案：不一定。如果小强给售货员2元，2元-1元5角=5角，正好找对。
解析：题目没说小强给了售货员几元。若给2元，找5角是对的；若给1元5角整，则不该找钱。所以不能断定找错。
水平测试 A 第3题
一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？
答案：60盏灯（关掉的灯还在大楼里）。
解析：关掉一半只是不亮了，灯并没有搬走，灯的总数还是60盏。
水平测试 A 第4题
有一人计划每天读20页书，第3天因病没读，其他日子都按计划读了。问：第12天他读了多少页书？
答案：第12天读20页。
解析：“第3天没读”是过去的事，不影响第12天。第12天是按计划的正常日子，照读20页。
水平测试 A 第5题
林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1。请猜出这三个数各是几。
答案：3、4、5。
解析：三个连续数和是12，中间数=12÷3=4，所以是3、4、5。检验3+4+5=12。
水平测试 A 第6题
已知 △+□=3，△+○=4，□+○=5。求 △=? □=? ○=?
答案：△=1，□=2，○=3。
解析：三个式子加起来：2(△+□+○)=12，所以△+□+○=6。再分别减：○=6-3=3，□=6-4=2，△=6-5=1。
水平测试 A 第7题
一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？
答案：可能是5个角、4个角或3个角（三种剪法）。
解析：剪的位置不同：沿对角线剪剩3个角；从一个顶点剪到对边剩4个角；从相邻两边中间剪剩5个角。
水平测试 A 第8题
正方体形纸盒六个面的正中都有一个洞口，洞口直径能容棍子通过。请你把三根木棍从三个洞口穿到另外三个洞口，每根穿好就不再拔出来，能做到吗？
答案：能。
解析：正方体有三对相对的面，三根木棍分别沿三个方向（长、宽、高）各穿过一对对面即可。
水平测试 A 第9题
冷饮店规定，喝完汽水后用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水。老师带32个学生进店后，只买了24瓶汽水。问：每个学生能喝到1瓶汽水吗？
答案：能，正好喝到32瓶。
解析：4个空瓶换1瓶，相当于3个空瓶能喝到1瓶（喝完又多1空瓶）。24瓶喝完有24空瓶，24÷3=8瓶。24+8=32瓶。最后可先借1空瓶凑4换1，喝完还瓶。
水平测试 A 第10题
两条直线垂直相交可以组成4个直角，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角？
答案：平面上最多8个直角，空间中最多12个直角。
解析：平面上第三条线过交点与已有两线都垂直（两线互相垂直时），每个方向新增4个直角，共8个；空间中三条线两两垂直（像墙角），共12个直角。
水平测试 C 第1题
小岛上住着100名妇女，其中一半人只戴一只耳环，余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一半人不戴耳环。这100名妇女共戴多少只耳环？
答案：100只耳环。
解析：50人各戴1只=50只；余下50人中25人各戴2只=50只，25人不戴=0。共50+50=100只。
水平测试 C 第2题
一群老人去赶集，买了一堆梨，1人1个梨就多1个梨，1人2个梨就少3个梨。问：有几个老人、几个梨？
答案：4个老人，5个梨。
解析：设老人n人：梨=n+1，也=2n-3。n+1=2n-3，n=4，梨=5。检验：4人分1个多1；4人分2个需8个，少3个。
水平测试 C 第3题
游泳池中男孩戴蓝帽，女孩戴红帽。一个男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多。”一个女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍。”游泳池中有几个男孩、几个女孩？（说话的人都看不见自己的帽子）
答案：4个男孩，3个女孩。
解析：男孩看不见自己的蓝帽：男孩数-1=女孩数。女孩看不见自己的红帽：男孩数=2(女孩数-1)。解得女孩3人、男孩4人。
水平测试 C 第4题
3×3方格已在第三行第二列填好数字5，请把其余空格填上自然数，使每行每列三个数的和都是7。
答案：答案不唯一。例如：3 1 3 / 3 1 3 / 1 5 1（每行每列和均为7）。
解析：第三行有5，其余两格和为2；再让每列凑7即可，填法很多。
水平测试 C 第5题
有21个装铅笔的盒子，其中7盒满的、7盒半满的、7盒空的。把铅笔连同盒子平均奖给三个学生，使每人分得的铅笔数和盒子数都一样多，怎样分？
答案：每人7个盒子，折合3盒半铅笔。例如第一人3满1半3空，第二人3满1半3空，第三人1满5半1空。
解析：共21盒，每人7盒；满盒=半满盒的2倍，总铅笔=7+7×0.5=10.5盒半满，每人3.5盒半满。
水平测试 C 第6题
图中有12个点（3行4列）。请你用一笔画出由5条线段连成的折线，把12个点都串起来。
答案：答案不唯一。
解析：连线可以走出点阵边界，一笔画串起全部12点，画法很多。
水平测试 C 第7题
图中有16个点（4行4列）。请你用一笔画出由6条线段连成的折线，把16个点都串起来。
答案：答案不唯一。
解析：一笔画走出点阵边界串起16点，画法不唯一。
水平测试 C 第8题
一笔画出由4条线段连成的折线，把9个点（3行3列）串起来，你能做到吗？
答案：能，答案不唯一。
解析：经典“九点四线”问题：折线要走出点阵边界，用4条直线串起9个点。
水平测试 C 第9题
一栋楼里住着4个女孩和2个男孩，他们年龄各不相同：最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。最大的男孩多少岁？
答案：8岁。
解析：若10岁是男孩，则最小女孩=6岁、最小男孩=4岁、最大女孩=8岁，4个女孩里会有同岁，矛盾。所以10岁和4岁都是女孩，最大男孩=最小女孩(4岁)+4=8岁。
水平测试 C 第10题
冬冬把50多个同样的棋子分装在一排盒子里，其中只有一个盒子没装棋子，然后外出了。荣荣从每个有棋子的盒子里各拿1个放到空盒内，再把盒子重新排了一下。冬冬回来后没发现有人动过。一共有多少个盒子？
答案：11个盒子。
解析：荣荣拿完后仍有一个空盒，说明原来棋子数是0、1、2、3……逐个排开。0+1+2+…+10=55（在50多个里），共11个盒子。
四、方法小结
解决问题三步走：读条件找问题，猜一猜试一试，代回去检验。特别要想生活里“藏起来的条件”——鸟会惊飞、灯关掉还在、爸爸既是儿子又是爸爸、空瓶能再换饮料。想不通时跳出平面、跳出习惯，往往就有办法。
五、作业建议
基础必做：- 教材P154–156 水平测试A 第1–5题
- 教材P155–156 水平测试A 第6–10题
巩固选做：- 教材P157–160 水平测试B 第1–5题
- 教材P159–160 水平测试B 第6–10题
提高挑战：- 教材P162–163 水平测试C 第1–5题
- 教材P164–165 水平测试C 第6–10题
六、课堂错因定位
症状：只算表面数，想不到隐含条件
根因：不联系生活经验。
补救：A1鸟惊飞、A3灯还在。
症状：身份重复算成人数
根因：一人多重身份。
补救：B2画人物关系图。
症状：猜一个数就停
根因：不同时检验两个条件。
补救：B1分梨代回两个条件。