【教师版】第9讲 · 数图形
一年级奥数 · 教材第111–124页（第9讲全讲）
一、知识要点
数线段与数角
本质：一条线被分成 n 小段，线段总数 = n+(n-1)+…+2+1；数角同样先数单个小角再合起来数。
适用：典例A1（数线段）、典例A2（数角）。水平测试A第3、5、6、9、10题。
- 先数单段的：4条。
- 再数两段合成的：3条；三段合成的：2条；四段合成的：1条。
- 加起来：4+3+2+1。
典型错误：只数单段的，漏掉两段、三段合成的；要一类类数。
数长方形与正方形
本质：长方形按长宽范围分类，总数 = (长边段数连加)×(宽边段数连加)；正方形按边长大小分类。
适用：典例B1（数正方形）、典例B2（数长方形）。水平测试B第1、4、5、6题。
- 长边3段：3+2+1=6种选法。
- 宽边2段：2+1=3种选法。
- 相乘就是长方形总数。
典型错误：把正方形排除在外；正方形是特殊的长方形。
数三角形
本质：按大小分类：先数最小的单个三角形，再数由几个小三角形拼成的大三角形。
适用：典例B3、典例C1。水平测试B第2、3、9、10题，C第1、6题。
- 先数单个小三角形，标上号。
- 再数由两个、四个小三角形合成的三角形。
- 最后数最大的那个。
典型错误：只数小三角形，漏掉合起来的大三角形。
带标记图形
本质：只数包含★☆标记的图形：先数单个带标记的，再数合成带标记的，不含标记的不算。
适用：典例C3。水平测试C第7、8、9题。
- 先找带标记的最小图形。
- 再数把它包在里面的更大图形。
典型错误：把不带标记的图形也数进去。
二、典例精讲
典例 A1
数一数，图中一共有多少条线段？（一条长线被分成4小格）
训练点：按段数线段。
提示：
1. 教师引导：两段合起来有几条？三段呢？四段呢？
1先数只占一段的小线段：从左到右共4条。依据：为什么先数一段：一段是最基本单位，先数清。
2再数由两段拼成的：第1+2段、第2+3段、第3+4段，共3条。依据：两段拼起来的"长线段"也是线段，不能漏。
3三段拼成的有2条（1-3、2-4），四段拼成的整条有1条。依据：按长度从短到长一类类数，不重不漏。
4加起来：4+3+2+1=10条。依据：4个小段就从4加到1。
答：10条线段
典型错法：只数4小段，漏掉合成的。
典例 A2
数一数，从一点引出4条射线组成的图中一共有多少个角？
训练点：数角同数线段。
14条射线从同一点出发，相邻两条之间形成3个小角。依据：几条射线就有几减一个小角，和线段分几段一样。
2单个小角有3个；两个小角合起来的角有2个；三个小角合起来的大角有1个。依据：合起来的角也算角，跟数线段两段、三段合起来一个道理。
答：6个角
典型错法：只数3个小角，漏掉两个合起来、三个合起来的角。
典例 B1
数一数，5列3行的方格图中一共有多少个正方形？
训练点：按边长分类数正方形。
提示：
1. 教师引导：边长为1的、边长为2的、边长为3的分别有几个？
1正方形按边长大小分类数：先数边长是1格的小正方形。依据：为什么按边长分：正方形大小不同，混着数会漏。
2边长1：5列3行=15个；边长2（占2格宽2格高）：横向能放4个、纵向能放2个，4×2=8个；边长3：横向3个、纵向1个，3×1=3个。依据：边长为k的正方形，长边上能放(列数-k+1)个、宽边上能放(行数-k+1)个，相乘。
3边长4放不进只有3行的格子。加起来：15+8+3=26个。依据：最大边长受行数限制，别多算。
答：26个正方形
典型错法：漏掉大一点的正方形。
典例 B2
数一数，4列3行的方格图中一共有多少个长方形？
训练点：长宽范围分类数长方形。
提示：
1. 教师提示：长边上选两段有4+3+2+1种，宽边上选两段有3+2+1种。
1一个长方形由"选两条竖边、两条横边"唯一确定。先选竖边：长边被分成4段，选两条有4+3+2+1=10种。依据：为什么用选边：长边上任意两条线都能当长方形的左右边。
2再选横边：宽边被分成3段，选两条有3+2+1=6种。依据：宽边上任意两条线当上下边。
3每选一组竖边、一组横边就围出一个长方形，所以总数=10×6=60个。依据：竖边选法和横边选法搭配相乘，包含所有正方形在内。
答：60个长方形
典型错法：忘了正方形也算长方形。
典例 B3
数一数，分成4层小三角形的大三角形中一共有多少个三角形？
训练点：按大小分类数三角形。
提示：
1. 教师引导：最小的向上的有几个？再数中等的、大的。
1按大小分类数：先数最小的尖朝上的小三角形，再数由几个小三角形拼成的大三角形。依据：为什么按大小分：图形多、形状乱，不分类就会漏数或重复数。
2第一类（最小尖朝上）：从上到下四层分别是1、3、5、7个，共1+3+5+7=16个。依据：每往下一层能放的小三角形就多2个。
3第二类（由4个小三角形拼成的，尖朝上）：1+2+3+1=7个；这里面还混着尖朝下的小三角形，都要数到。依据：中等三角形既包括尖朝上的，也包括容易漏的尖朝下的。
4第三类（由9个小三角形拼成的更大三角形）：1+2=3个；第四类（整个最大三角形）：1个。依据：越大的三角形能放的位置越少。
5全部加起来：16+7+3+1=27个。依据：四类互不重叠，加起来就是总数。
答：27个三角形
典型错法：漏数倒着（尖朝下）的三角形。
典例 C1
数一数，把大三角形三边中点连起来分成4个小三角形的图中共有多少个三角形？
训练点：单个加大的分类。
提示：
1. 教师提示：单个小的有4个，合起来的大的有1个。
1先数单个小三角形：三条中点连线把大三角分成4个小三角形。依据：一个一个数，最基础。
2再数由这些小三角形拼成的大三角形：整个外框就是1个最大三角形。依据：别漏了把4个小三角形全包进去的那个最大三角形。
答：5个三角形
典型错法：只数4个小的，忘数最大的。
典例 C2
数一数，一个大长方形被一条竖线和一条横线分成3个小长方形的图中共有多少个长方形？
训练点：单个、两个合成、整个分类。
提示：
1. 教师提示：先数单个3个，再数两个合起来的，再数整个的。
1先数单个小长方形：上面被竖线分成左右2个，下面一整个，共3个。依据：注意竖线只在上半部分，没穿到下面，所以下面是1个长条，不是2个。
2再数两个合起来的：上面左右两个合成上面一整条，共1个。依据：两个小长方形拼起来仍算长方形。
答：5个长方形
典型错法：只数3个小长方形。
典例 C3
数一数，右图中带“★”的三角形一共有多少个？（★在一个小三角形里）
训练点：只数包含标记的。
提示：
1. 教师提示：先数带★的单个，再数把★包在里面的大三角形。
1先找★在哪：它落在左下方那个小三角形里。依据：第一步定位标记，只数包住★的三角形。
2单个带★的：1个。依据：★所在的那个小三角形本身。
3两个小三角形拼成且带★的：★左边那个和上边那个合成一个，共2个。依据：把★所在小三角和相邻小三角拼起来，仍包着★。
4整个大三角形也包着★：1个。依据：最外层也包含★。
51+2+1=4个。依据：不含★的三角形一个都不算。
答：4个带★的三角形
典型错法：数了所有三角形，而不是只数带★的。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
散放的一堆图形中，正方形、长方形、三角形、圆分别有多少个？
答案：正方形4个，长方形5个，三角形5个，圆6个
解析：按形状一类类数，转了方向的正方形、长方形也算。
水平测试 A 第2题(填空题)
四个拼图画：(1)像什么由几个三角组成；(2)(3)(4)分别由哪些图形组成、各几个。
答案：(1)山，3个三角形；(2)鱼，5个三角形和1个圆；(3)小鸡，4个圆和5个三角形；(4)红绿灯，1个三角形、3个长方形和3个圆
解析：先认图形像什么，再按形状分类数个数。
水平测试 A 第3题(填空题)
三幅图分别有几条线段？(1)分成2小段；(2)分成3小段；(3)分成4小段；(4)两条线交叉，横线分2段、斜线分3段。
答案：(1)3条；(2)6条；(3)10条；(4)9条
解析：(1)2+1=3；(2)3+2+1=6；(3)4+3+2+1=10；(4)横线2+1=3加斜线3+2+1=6共9。
水平测试 A 第4题(填空题)
四个拼图画各由哪些图形组成？(1)树；(2)小鸟；(3)火箭；(4)蝴蝶。
答案：(1)3个三角形、1个长方形；(2)4个三角形、3个圆；(3)3个三角形、1个长方形；(4)4个三角形、4个圆
解析：按形状分类数。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数各图有多少条线段？(1)分4小段；(2)3列的长方形框；(3)2×2方格；(4)大三角形内部倒分一个小三角形。
答案：(1)10条；(2)14条；(3)18条；(4)12条
解析：(1)4+3+2+1=10；(3)横3线竖3线各3段共18；(4)外三边各分2段共9加内三角3边共12。
水平测试 A 第6题(填空题)
三幅从一点引射线的图，分别有多少个角？(1)3条射线；(2)4条射线；(3)5条射线。
答案：(1)3个；(2)6个；(3)10个
解析：n条射线分n-1个小角：(2+1)=3，(3+2+1)=6，(4+3+2+1)=10。
水平测试 A 第7题(填空题)
从一点向四周引出4条射线（围成一圈），一共有多少个角？
答案：13个
解析：一圈4个单角：单个4、两个合4、三个合4、四个合1，4+4+4+1=13。
水平测试 A 第8题(填空题)
从一点向四周引出6条射线（围成一圈），一共有多少个角？
答案：31个
解析：一圈6个单角：6×5+1=31。
水平测试 A 第9题(解答题)
大三角形ABC，顶点A向底边引4条线（分底边4段），中间还有两条横线横穿。只列式不计算共有多少条线段？
答案：(3+2+1)×5+(4+3+2+1)×3=60条
解析：从A下来的5条线各被两横线分3段：(3+2+1)×5；三条横线各被5条线分4段：(4+3+2+1)×3。
水平测试 A 第10题(解答题)
从O点向底边直线上50个点引50条射线，只列式不计算共有多少个角？
答案：49+48+…+1
解析：50条射线分49个小角，总数=49+48+…+1。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
散放的一堆图形中，正方形、长方形、三角形、圆分别有多少个？
答案：正方形4个，长方形5个，三角形5个，圆6个
解析：按形状一类类数，转了方向的正方形、长方形也算。
水平测试 A 第2题(填空题)
四个拼图画：(1)像什么由几个三角组成；(2)(3)(4)分别由哪些图形组成、各几个。
答案：(1)山，3个三角形；(2)鱼，5个三角形和1个圆；(3)小鸡，4个圆和5个三角形；(4)红绿灯，1个三角形、3个长方形和3个圆
解析：先认图形像什么，再按形状分类数个数。
水平测试 A 第3题(填空题)
三幅图分别有几条线段？(1)分成2小段；(2)分成3小段；(3)分成4小段；(4)两条线交叉，横线分2段、斜线分3段。
答案：(1)3条；(2)6条；(3)10条；(4)9条
解析：(1)2+1=3；(2)3+2+1=6；(3)4+3+2+1=10；(4)横线2+1=3加斜线3+2+1=6共9。
水平测试 A 第4题(填空题)
四个拼图画各由哪些图形组成？(1)树；(2)小鸟；(3)火箭；(4)蝴蝶。
答案：(1)3个三角形、1个长方形；(2)4个三角形、3个圆；(3)3个三角形、1个长方形；(4)4个三角形、4个圆
解析：按形状分类数。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数各图有多少条线段？(1)分4小段；(2)3列的长方形框；(3)2×2方格；(4)大三角形内部倒分一个小三角形。
答案：(1)10条；(2)14条；(3)18条；(4)12条
解析：(1)4+3+2+1=10；(3)横3线竖3线各3段共18；(4)外三边各分2段共9加内三角3边共12。
水平测试 A 第6题(填空题)
三幅从一点引射线的图，分别有多少个角？(1)3条射线；(2)4条射线；(3)5条射线。
答案：(1)3个；(2)6个；(3)10个
解析：n条射线分n-1个小角：(2+1)=3，(3+2+1)=6，(4+3+2+1)=10。
水平测试 A 第7题(填空题)
从一点向四周引出4条射线（围成一圈），一共有多少个角？
答案：13个
解析：一圈4个单角：单个4、两个合4、三个合4、四个合1，4+4+4+1=13。
水平测试 A 第8题(填空题)
从一点向四周引出6条射线（围成一圈），一共有多少个角？
答案：31个
解析：一圈6个单角：6×5+1=31。
水平测试 A 第9题(解答题)
大三角形ABC，顶点A向底边引4条线（分底边4段），中间还有两条横线横穿。只列式不计算共有多少条线段？
答案：(3+2+1)×5+(4+3+2+1)×3=60条
解析：从A下来的5条线各被两横线分3段：(3+2+1)×5；三条横线各被5条线分4段：(4+3+2+1)×3。
水平测试 A 第10题(解答题)
从O点向底边直线上50个点引50条射线，只列式不计算共有多少个角？
答案：49+48+…+1
解析：50条射线分49个小角，总数=49+48+…+1。
水平测试 B 第1题(填空题)
数正方形：(1)2×2方格；(2)3×3方格；(3)2行3列方格；(4)外方内有一个小方的图。
答案：(1)5个；(2)14个；(3)8个；(4)10个
解析：(1)4小+1大=5；(2)9+4+1=14；(3)6+2=8；(4)按图数10个。
水平测试 B 第2题(填空题)
数三角形：(1)三边中点相连的大三角；(2)顶点连中心分3块；(3)两条对角线的正方形；(4)内部有线的三角形。
答案：(1)5个；(2)4个；(3)8个；(4)7个
解析：(1)4小+1大；(2)3小+1大；(3)4小+4合=8；(4)按图数7个。
水平测试 B 第3题(填空题)
3层小三角形拼成的大三角形中一共有多少个三角形？
答案：13个
解析：向上9个、中等3个、最大1个，9+3+1=13。
水平测试 B 第4题(填空题)
6列4行的大长方形方格中一共有多少个长方形？
答案：210个
解析：(6+5+4+3+2+1)×(4+3+2+1)=21×10=210。
水平测试 B 第5题(填空题)
斜放的4行5列平行四边形方格中一共有多少个平行四边形？
答案：150个
解析：(4+3+2+1)×(5+4+3+2+1)=10×15=150。
水平测试 B 第6题(填空题)
数长方形或正方形：(1)3个横排长方块；(2)4×4方格；(3)两个错开相扣的长方形；(4)2×2方格。
答案：(1)6个；(2)30个；(3)9个；(4)9个
解析：(1)3+2+1=6；(2)16+9+4+1=30；(4)(2+1)×(2+1)=9。
水平测试 B 第7题(填空题)
数正方形：(1)三个菱形相叠；(2)三个错开的正方形；(3)L形方格；(4)梯形格。
答案：(1)7个；(2)8个；(3)26个；(4)22个
解析：按图分类数，重叠部分不重复算。
水平测试 B 第8题(解答题)
一个长方形连两条对角线（交于中心），图中有多少个长方形？多少个三角形？
答案：9个长方形，16个三角形
解析：长方形按格数9；三角形按单个和合起来数16。
水平测试 B 第9题(解答题)
菱形格中一共有多少个三角形？
答案：25个
解析：从上往下数22个，从下往上数3个，共25。
水平测试 B 第10题(解答题)
两个错开放置、各连对角线的正方形重叠，图中有几个正方形？几个三角形？
答案：3个正方形，22个三角形
解析：正方形按外轮廓数3；三角形按单个和合起来数22。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
散放的一堆图形中，正方形、长方形、三角形、圆分别有多少个？
答案：正方形4个，长方形5个，三角形5个，圆6个
解析：按形状一类类数，转了方向的正方形、长方形也算。
水平测试 A 第2题(填空题)
四个拼图画：(1)像什么由几个三角组成；(2)(3)(4)分别由哪些图形组成、各几个。
答案：(1)山，3个三角形；(2)鱼，5个三角形和1个圆；(3)小鸡，4个圆和5个三角形；(4)红绿灯，1个三角形、3个长方形和3个圆
解析：先认图形像什么，再按形状分类数个数。
水平测试 A 第3题(填空题)
三幅图分别有几条线段？(1)分成2小段；(2)分成3小段；(3)分成4小段；(4)两条线交叉，横线分2段、斜线分3段。
答案：(1)3条；(2)6条；(3)10条；(4)9条
解析：(1)2+1=3；(2)3+2+1=6；(3)4+3+2+1=10；(4)横线2+1=3加斜线3+2+1=6共9。
水平测试 A 第4题(填空题)
四个拼图画各由哪些图形组成？(1)树；(2)小鸟；(3)火箭；(4)蝴蝶。
答案：(1)3个三角形、1个长方形；(2)4个三角形、3个圆；(3)3个三角形、1个长方形；(4)4个三角形、4个圆
解析：按形状分类数。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数各图有多少条线段？(1)分4小段；(2)3列的长方形框；(3)2×2方格；(4)大三角形内部倒分一个小三角形。
答案：(1)10条；(2)14条；(3)18条；(4)12条
解析：(1)4+3+2+1=10；(3)横3线竖3线各3段共18；(4)外三边各分2段共9加内三角3边共12。
水平测试 A 第6题(填空题)
三幅从一点引射线的图，分别有多少个角？(1)3条射线；(2)4条射线；(3)5条射线。
答案：(1)3个；(2)6个；(3)10个
解析：n条射线分n-1个小角：(2+1)=3，(3+2+1)=6，(4+3+2+1)=10。
水平测试 A 第7题(填空题)
从一点向四周引出4条射线（围成一圈），一共有多少个角？
答案：13个
解析：一圈4个单角：单个4、两个合4、三个合4、四个合1，4+4+4+1=13。
水平测试 A 第8题(填空题)
从一点向四周引出6条射线（围成一圈），一共有多少个角？
答案：31个
解析：一圈6个单角：6×5+1=31。
水平测试 A 第9题(解答题)
大三角形ABC，顶点A向底边引4条线（分底边4段），中间还有两条横线横穿。只列式不计算共有多少条线段？
答案：(3+2+1)×5+(4+3+2+1)×3=60条
解析：从A下来的5条线各被两横线分3段：(3+2+1)×5；三条横线各被5条线分4段：(4+3+2+1)×3。
水平测试 A 第10题(解答题)
从O点向底边直线上50个点引50条射线，只列式不计算共有多少个角？
答案：49+48+…+1
解析：50条射线分49个小角，总数=49+48+…+1。
水平测试 C 第1题(填空题)
数三角形：(1)房子形(方顶三角)；(2)内部交叉线三角；(3)竖线分两栏的三角；(4)内部有小三角的四边形。
答案：(1)9个；(2)6个；(3)11个；(4)4个
解析：按单个和合起来分类数。
水平测试 C 第2题(填空题)
数长方形：(1)2行3列方格；(2)错分的长方形；(3)一大一小长方形；(4)三个相扣的长方形。
答案：(1)18个；(2)7个；(3)5个；(4)5个
解析：(1)(2+1)×(3+2+1)=18；其余按图分类数。
水平测试 C 第3题(填空题)
按要求数：(1)外方内菱形内小方的图有几个三角形、几个正方形；(2)2行3列方格有几个正方形、几个长方形；(3)两组对顶射线组成的图有几个三角形。
答案：(1)8个三角形、3个正方形；(2)8个正方形、10个长方形；(3)25个三角形
解析：(2)正方形8个，去掉正方形后的长方形10个；(3)左组4+3+2+1=10，右组5+4+3+2+1=15，共25。
水平测试 C 第4题(填空题)
一个长方形被线分成几格，图中一共有多少个长方形？
答案：7个
解析：一层3个，两层合成3×2=6个，再加大的1个，共7。
水平测试 C 第5题(填空题)
一个正方形连一条对角线、内部两条横线，图中有几个长方形？几个三角形？
答案：6个长方形，6个三角形
解析：长方形按横条数6；三角形按对角分成的数6。
水平测试 C 第6题(填空题)
数三角形：(1)六角星；(2)嵌套方套方；(3)顶点引射线分块；(4)梯形内交叉线。
答案：(1)8个；(2)12个；(3)12个；(4)10个
解析：按单个和合起来分类数。
水平测试 C 第7题(填空题)
3×3方格中心格有个☆，带☆的正方形有多少个？
答案：6个
解析：小的1个，4个正方形合起来(2×2)的4个，大的3×3的1个，共6。
水平测试 C 第8题(填空题)
菱形方格中有两个☆。(1)图中含☆的正方形有几个；(2)只含1个☆的正方形有几个。
答案：(1)11个；(2)8个
解析：按包含标记分类数，两个☆都在的和只在一个的要分开。
水平测试 C 第9题(解答题)
分成小三角形的大三角中，一个小三角里有★，不含有★的三角形有多少个？
答案：9个
解析：三角形总数去掉含★的，剩下不含★的9个。
水平测试 C 第10题(解答题)
一个大长方形分3格、中间格内画一个箭头三角形，图中哪些图形你认识？各几个？
答案：3个正方形，5个长方形，5个三角形
解析：按形状分类数。
四、方法小结
数图形要既不重复也不遗漏。数线段、数角：n段就n+(n-1)+…+1。数长方形：长边选两段、宽边选两段，相乘。数正方形、三角形按大小分类。带标记图形只数包含标记的。每数一类做个记号，一类类加起来。
五、作业建议
基础必做：- 教材P113–114 水平测试A 第1–4题（散图分类、拼图形、数线段、拼图形）
- 教材P114–115 水平测试A 第5–8题（数线段、数角、一圈射线角）
巩固选做：- 教材P118 水平测试B 第1–3题（数正方形、数三角形、3层三角）
- 教材P119 水平测试B 第4–7题（长方形、平行四边形、拼图形、数正方形）
- 教材P119–120 水平测试B 第8–10题（对角长方形、菱形、重叠正方形）
提高挑战：- 教材P122 水平测试C 第1–3题（数三角形、数长方形、嵌套图）
- 教材P122–123 水平测试C 第4–6题（分块长方形、对角方、各种三角）
- 教材P123–124 水平测试C 第7–10题（带☆正方形、含标记、不含★、综合）
六、课堂错因定位
症状：数线段只数小段
根因：没想到两段、三段合起来也是线段。
补救：用典例A1：按单段、两段、三段一类类数。
症状：数长方形漏算正方形
根因：把长方形和正方形分开。
补救：强调正方形是特殊的长方形，数长方形时包含它。
症状：数三角形漏倒着的
根因：只数尖朝上的。
补救：用典例B3：向上、向下的都要数到。
症状：带标记图形多数
根因：把不含★☆的也数进去。
补救：用典例C3：只数包含标记的图形。