【教师版】第1讲 · 混合运算
二年级奥数 · 教材第1–11页（第1讲全讲）
一、知识要点
两级运算：加减是第一级，乘除是第二级
本质：加法和减法叫第一级运算，乘法和除法叫第二级运算；一个算式里有两种或以上运算就是混合运算。
适用：拿到一个算式先分类：只有加减（同级）、只有乘除（同级）、既有加减又有乘除（两级）。分类决定后面用哪条顺序规则。
- 先看算式里有哪些运算符号。
- 只有加减或只有乘除，叫同级运算；既有加减又有乘除，叫两级运算。
典型错误：把加减和乘除当成同一级，看到能凑整就先算，不按规则来。
没有括号：同级从左往右，两级先乘除后加减
本质：同级运算（全加减或全乘除）从左往右依次算；两级运算先算乘除、后算加减。
适用：对应教材第1页表格。如 180+200−40+7 全是加减，从左往右；43×5+52×6−63÷7 有乘除有加减，先把三个乘除同时算出，再从左往右加减。
- 同级：从左往右，一步一步算，不跳步。
- 两级：先把所有乘除算出来，再把加减从左往右算。
典型错误：两级运算中先算加减凑整（如 203−25×5 先算 203−25）；同级中先算能凑整的（如 9×8÷9×8 先算两头）。
有括号：先小括号，再中括号，最后括号外
本质：只有小括号先算小括号里的；既有小括号又有中括号，先算小括号，再算中括号，最后算中括号外。
适用：对应教材第1页表格。如 200÷[248×2−(48+26)×4]：先算小括号 48+26=74，再算中括号里的 248×2−74×4，最后算括号外的除法。
- 括号就像“围墙”，围墙里的先算。
- 小括号围墙里算完，再算中括号围墙里的，最后算外面。
典型错误：看到中括号就从最外面算；或小括号里没算完就去算中括号外。
合并综合算式：先算的那步不先算就加括号
本质：把两个分步算式合成一个综合算式时，先看第一步算的是什么；如果按运算顺序它本来不先算，就要添小括号。
适用：如 72+18=90，90×7=630，合成 (72+18)×7（加法本来后算，要加括号）；又如 640÷4=160，180+160=340，合成 180+640÷4（除法本来先算，不用加括号）。
- 先写第一个算式的结果在第二个算式里的位置。
- 按正常顺序判断第一步该不该先算：该先算就不添括号，不该先算就添小括号。
典型错误：不管三七二十一都加括号，或都不加括号；关键看“第一步按规则本来先不先算”。
二、典例精讲
典例 A1
在○里填上适当的“＞”“＜”或“＝”符号：100×100○100+100；999−999○999÷999；450×1○1+450；120+120○120×120；68×0○16×0；1+2+3○1×2×3。
训练点：先把两边分别算出来再比较，复习 0 和 1 在乘除中的特殊性。
提示：
1. 左边先算出来是多少？右边呢？
2. 0乘任何数得几？1乘任何数得几？
1两边分别算出结果再比较大小。依据：为什么想到这一步？○里要填符号，必须先知道左右两边各是几，光看符号和数字大小容易被误导。
2100×100=10000＞200=100+100；999−999=0＜1=999÷999；450×1=450＜451=1+450；120+120=240＜14400=120×120；68×0=0=16×0；1+2+3=6=1×2×3。依据：0乘任何数都得0，任何数×1等于原数，这两组不用全算也能比。
答：依次填：＞、＜、＜、＜、＝、＝
典型错法：以为 450×1 和 1+450 相等；忘记 0×0 也是 0。
典例 A2
计算：(1) 180+200−40+7；(2) 122−53+64−78。
训练点：同级加减，从左往右依次算。
提示：
1. 这道题里只有加法和减法，是同级运算，该从哪边开始？
2. 一步一步写，不要跳步。
1(1) 原式=380−40+7=340+7=347。依据：为什么想到从左往右？这里全是加减，是同级运算，规则就是从左往右依次算，不能先挑能凑整的 200−40。
2(2) 原式=69+64−78=133−78=55。依据：同样全加减同级，从左往右一步一步算，每步写出来不跳步。
答：(1) 347；(2) 55
典型错法：跳步或先算后面能凑整的；同级必须从左往右。
典例 A3
计算：(1) 16×9÷6÷3×7；(2) 24÷3×15÷6×7。
训练点：同级乘除，从左往右依次算。
提示：
1. 这里只有乘法和除法，是同级运算，从哪边开始？
2. 16×9 先算得几？再 ÷6？
1(1) 原式=144÷6÷3×7=24÷3×7=8×7=56。依据：为什么想到从左往右？这里只有乘除，是同级运算，必须从左往右；不能看到 ÷6÷3 就先合起来算 6×3。
2(2) 原式=8×15÷6×7=120÷6×7=20×7=140。依据：同样全乘除同级，从左往右依次算。
答：(1) 56；(2) 140
典型错法：先算 6×3=18 再除，破坏了从左往右的顺序。
典例 A4
计算：(1) 43×5+52×6−63÷7；(2) 203−25×5+26。
训练点：两级运算，先算乘除，后算加减。
提示：
1. 这道题里有乘法、除法，又有加法、减法，先算谁？
2. 把乘法和除法先同时算出来，再算加减。
1(1) 原式=215+312−9=527−9=518。依据：为什么先算这三个？有乘除又有加减是两级运算，规则要求先把乘除全部算出来（43×5=215、52×6=312、63÷7=9），再从左往右加减。
2(2) 原式=203−125+26=78+26=104。依据：先算乘 25×5=125，剩下全是加减，再从左往右；不能先算 203−25。
答：(1) 518；(2) 104
典型错法：先算加减 203−25=178，再乘；两级必须先乘除后加减。
典例 B1
计算：(1) 200÷[248×2−(48+26)×4]；(2) 16×[75÷(75−50)]−240÷6。
训练点：既有小括号又有中括号，先小括号、再中括号、最后括号外。
提示：
1. 先找小括号 ( )，里面算什么？
2. 小括号算完，再算中括号 [ ] 里面，最后算外面。
1(1) 先小括号：48+26=74；原式=200÷(248×2−74×4)=200÷(496−296)=200÷200=1。依据：为什么先找小括号？括号像围墙，围墙最里面的先拆；先小括号 48+26，再算中括号里的乘减，最后才是外面的除法。
2(2) 先小括号：75−50=25；原式=16×(75÷25)−40=16×3−40=48−40=8。依据：同样先小括号，再中括号里 75÷25=3，最后括号外先乘后减。
答：(1) 1；(2) 8
典型错法：小括号没算完就动中括号；或中括号里忘了先乘除后加减。
典例 B2
判断下列算式的运算顺序是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”：(1) 734−14+632（先算14+632，再算734−…）；(2) 862−(62+10)÷2（先算62+10，再算862−…，最后÷2）；(3) 38+62×3−100（先算62×3，再从左往右加减）。
训练点：辨析运算顺序，强化“同级从左往右、有括号先括号”。
提示：
1. (1)里只有加减，该从哪边算？
2. (2)里有小括号，先算谁？算完括号里的，÷2 和 862−… 谁先谁后？
1(1) ×：全是加减同级，应从左往右先算 734−14，不能先算 14+632。依据：为什么是×？判顺序先看有没有括号、是不是同级；这里只有加减，同级必须从左往右，题中却先算后面的加法，错。
2(2) ×：应先算小括号 62+10=72，再算 72÷2=36，最后算 862−36；题中先算 862−… 错了。依据：有小括号就先拆围墙算括号里，再按先除后减；题中先动括号外，错。
3(3) √：先算 62×3=186，再从左往右 38+186−100。依据：两级运算先乘除后加减，顺序正确。
答：(1) ×；(2) ×；(3) √
典型错法：同级运算也按“凑整”先算；有括号却先算括号外。
典例 C1
判断下面的计算有没有错误，如有错改正：(1) 125×8÷125×8=1000÷1000=1；(2) 54−54÷3=0÷3=0；(3) 149−49×(85−85)=100×0=0。
训练点：三道典型错题，对应同级从左往右、两级先除后减、先算括号。
提示：
1. (1)只有乘除，该从哪开始？能先算两头吗？
2. (2)有减法有除法，先算谁？
3. (3)有小括号先算谁？85−85=几？
1(1) 错。只有乘除同级，从左往右：125×8÷125×8=1000÷125×8=8×8=64。依据：为什么会错？看到相同的 125 就想两头先算凑成1，但全乘除是同级，必须从左往右。
2(2) 错。先算除法：54−54÷3=54−18=36。依据：两级运算先除后减，不能先算 54−54。
3(3) 错。先算小括号 85−85=0：149−49×0=149−0=149。依据：先拆围墙 85−85=0，再乘 49×0=0，最后减；不是先算 149−49。
答：(1) 64；(2) 36；(3) 149
典型错法：看到相同数字就凑整；两级运算抢顺序。
典例 C2
按照指定的运算顺序，给“100+10÷5+5”添上括号，并分别算出结果：(1) 从左往右算；(2) 先算两边，后算中间；(3) 从右往左算。
训练点：体会括号改变运算顺序的作用。
提示：
1. “从左往右”就是先算 100+10，括号加在哪？
2. “先算两边”就是 (100+10) 和 (5+5) 都加括号。
1(1) 从左往右：(100+10)÷5+5=110÷5+5=22+5=27。依据：为什么括号包这里？要让 100+10 最先算，就把它用小括号括起来。
2(2) 先算两边：(100+10)÷(5+5)=110÷10=11。依据：要让左右两个加法都先算，两边各加一个小括号，最后算中间的除。
3(3) 从右往左：100+10÷(5+5)=100+10÷10=100+1=101。依据：要让右边 5+5 先算，括号只包右边；除法本来就先算，左边 100+ 不动。
答：(1) 27；(2) 11；(3) 101
典型错法：括号位置和顺序对不上；同一条算式加不同括号结果不同。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(树状图填空)
看树状图，在□里填数。
答案：28+30=58，75−58=17
解析：先算加法 28+30=58，再用 75 减这个结果。
水平测试 A 第2题(树状图填空)
看树状图，在□里填数。
答案：63÷7=9，9×5=45
解析：先除后乘，从左往右。
水平测试 A 第8题
32+45−49
答案：28
解析：同级加减从左往右：77−49=28。
水平测试 A 第9题
76−96÷8+24
答案：88
解析：先除：96÷8=12；再从左往右 76−12+24=64+24=88。
水平测试 A 第10题
8×4+25×4−78
答案：54
解析：先乘：32+100−78=132−78=54。
水平测试 A 第11题
9×8÷9×8
答案：64
解析：同级乘除从左往右：72÷9×8=8×8=64（不能先算两头）。
水平测试 A 第12题
1000−44÷2×3−34
答案：900
解析：先乘除：44÷2×3=66；再 1000−66−34=1000−(66+34)=900。
水平测试 A 第13题
42+320÷8−49+21
答案：54
解析：先除：320÷8=40；再 42+40−49+21=82−49+21=33+21=54。
水平测试 A 第14题
100−72+28+15×5
答案：131
解析：先乘：15×5=75；再 28+28+75=56+75=131。
水平测试 A 第15题(列式计算)
什么数比42多32？
水平测试 A 第16题(列式计算)
3个9相乘的积是多少？
答案：729
解析：9×9×9=729（注意是“3个9相乘”不是“3×9”）。
水平测试 A 第17题(列式计算)
56加上17的和，再减去28得多少？
答案：45
解析：56+17−28=73−28=45。
水平测试 A 第18题(列式计算)
8乘9的积再加上18，和是多少？
水平测试 A 第19题(列式计算)
82减去28除以7的商，差是多少？
B层
水平测试 A 第1题(树状图填空)
看树状图，在□里填数。
答案：28+30=58，75−58=17
解析：先算加法 28+30=58，再用 75 减这个结果。
水平测试 A 第2题(树状图填空)
看树状图，在□里填数。
答案：63÷7=9，9×5=45
解析：先除后乘，从左往右。
水平测试 A 第8题
32+45−49
答案：28
解析：同级加减从左往右：77−49=28。
水平测试 A 第9题
76−96÷8+24
答案：88
解析：先除：96÷8=12；再从左往右 76−12+24=64+24=88。
水平测试 A 第10题
8×4+25×4−78
答案：54
解析：先乘：32+100−78=132−78=54。
水平测试 A 第11题
9×8÷9×8
答案：64
解析：同级乘除从左往右：72÷9×8=8×8=64（不能先算两头）。
水平测试 A 第12题
1000−44÷2×3−34
答案：900
解析：先乘除：44÷2×3=66；再 1000−66−34=1000−(66+34)=900。
水平测试 A 第13题
42+320÷8−49+21
答案：54
解析：先除：320÷8=40；再 42+40−49+21=82−49+21=33+21=54。
水平测试 A 第14题
100−72+28+15×5
答案：131
解析：先乘：15×5=75；再 28+28+75=56+75=131。
水平测试 A 第15题(列式计算)
什么数比42多32？
水平测试 A 第16题(列式计算)
3个9相乘的积是多少？
答案：729
解析：9×9×9=729（注意是“3个9相乘”不是“3×9”）。
水平测试 A 第17题(列式计算)
56加上17的和，再减去28得多少？
答案：45
解析：56+17−28=73−28=45。
水平测试 A 第18题(列式计算)
8乘9的积再加上18，和是多少？
水平测试 A 第19题(列式计算)
82减去28除以7的商，差是多少？
水平测试 B 第1题(树状图+综合算式)
看树状图在□里填数，并列出综合算式。
答案：48÷8=6，80−6=74；综合算式：80−48÷8=74
解析：除法本来先算，不用加括号。
水平测试 B 第2题(树状图+综合算式)
看树状图在□里填数，并列出综合算式。
答案：44+12=56，56÷8=7；综合算式：(44+12)÷8=7
解析：加法本来后算，要先算它必须加小括号。
水平测试 B 第3题
63÷(46−37)
答案：7
解析：先括号：46−37=9；63÷9=7。
水平测试 B 第6题
55−(45−23)
答案：33
解析：先括号：45−23=22；55−22=33。
水平测试 B 第8题
210−(43+157)
答案：10
解析：先括号：200；210−200=10。
水平测试 B 第9题
76−(18−96÷8)×7
答案：34
解析：先小括号里的除法：96÷8=12；再 18−12=6；再 6×7=42；最后 76−42=34。
水平测试 B 第10题
46×(6+21÷7)
答案：414
解析：先括号里除法：21÷7=3；再 6+3=9；46×9=414。
水平测试 B 第11题
102−(25−96÷16)
答案：83
解析：先括号里除法：96÷16=6；再 25−6=19；102−19=83。
水平测试 B 第12题
1000−(88−80÷40)÷43
答案：998
解析：先括号里除法：80÷40=2；再 88−2=86；86÷43=2；1000−2=998。
水平测试 B 第13题
[28+320÷(40−30)]×2
答案：120
解析：先小括号：40−30=10；再中括号里 320÷10=32，28+32=60；60×2=120。
水平测试 B 第14题
62−[37+(24+12)÷6]
答案：19
解析：先小括号：24+12=36；再中括号里 36÷6=6，37+6=43；62−43=19。
水平测试 B 第15题(比较大小)
750÷25÷5 ○ 750÷(25÷5)
答案：＜
解析：左=30÷5=6；右=750÷5=150；6＜150。
水平测试 B 第16题(比较大小)
750÷25÷5 ○ 750÷(25×5)
答案：＝
解析：左=6；右=750÷125=6；相等。一个数连续除以两个数=除以这两个数的积。
水平测试 B 第17题(比较大小)
750÷25×5 ○ 750÷(25×5)
答案：＞
解析：左=30×5=150；右=6；150＞6。
水平测试 B 第18题(比较大小)
750÷25×5 ○ 750÷(25÷5)
答案：＝
解析：左=150；右=750÷5=150；相等。
水平测试 B 第19题(比较大小)
750÷25×5 ○ 750×25÷5
答案：＜
解析：左=150；右=18750÷5=3750；150＜3750。
水平测试 B 第20题(列综合算式)
72+18=90，90×7=630，列综合算式。
答案：(72+18)×7=630
解析：加法本来后算，要先算必须加小括号。
水平测试 B 第21题(列综合算式)
640÷4=160，180+160=340，列综合算式。
答案：180+640÷4=340
解析：除法本来先算，不用加括号。
水平测试 B 第22题(列综合算式)
63−54=9，54÷9=6，列综合算式。
答案：54÷(63−54)=6
解析：减法本来后算，作除数要先算，加小括号。
水平测试 B 第23题(列综合算式)
30÷5=6，35−6=29，列综合算式。
答案：35−30÷5=29
解析：除法本来先算，不用加括号。
水平测试 B 第24题(列综合算式)
54+38=92，92−27=65，列综合算式。
答案：54+38−27=65
解析：同级从左往右，不用加括号。
水平测试 B 第25题(列综合算式)
49÷7=7，7×9=63，列综合算式。
答案：49÷7×9=63
解析：同级从左往右，不用加括号。
C层
水平测试 A 第1题(树状图填空)
看树状图，在□里填数。
答案：28+30=58，75−58=17
解析：先算加法 28+30=58，再用 75 减这个结果。
水平测试 A 第2题(树状图填空)
看树状图，在□里填数。
答案：63÷7=9，9×5=45
解析：先除后乘，从左往右。
水平测试 A 第8题
32+45−49
答案：28
解析：同级加减从左往右：77−49=28。
水平测试 A 第9题
76−96÷8+24
答案：88
解析：先除：96÷8=12；再从左往右 76−12+24=64+24=88。
水平测试 A 第10题
8×4+25×4−78
答案：54
解析：先乘：32+100−78=132−78=54。
水平测试 A 第11题
9×8÷9×8
答案：64
解析：同级乘除从左往右：72÷9×8=8×8=64（不能先算两头）。
水平测试 A 第12题
1000−44÷2×3−34
答案：900
解析：先乘除：44÷2×3=66；再 1000−66−34=1000−(66+34)=900。
水平测试 A 第13题
42+320÷8−49+21
答案：54
解析：先除：320÷8=40；再 42+40−49+21=82−49+21=33+21=54。
水平测试 A 第14题
100−72+28+15×5
答案：131
解析：先乘：15×5=75；再 28+28+75=56+75=131。
水平测试 A 第15题(列式计算)
什么数比42多32？
水平测试 A 第16题(列式计算)
3个9相乘的积是多少？
答案：729
解析：9×9×9=729（注意是“3个9相乘”不是“3×9”）。
水平测试 A 第17题(列式计算)
56加上17的和，再减去28得多少？
答案：45
解析：56+17−28=73−28=45。
水平测试 A 第18题(列式计算)
8乘9的积再加上18，和是多少？
水平测试 A 第19题(列式计算)
82减去28除以7的商，差是多少？
水平测试 C 第1题
72−64÷8
答案：64
解析：先除：64÷8=8；72−8=64。
水平测试 C 第2题
980+50×7
答案：1330
解析：先乘：350；980+350=1330。
水平测试 C 第3题
(65+35)×6
答案：600
解析：先括号：100；100×6=600。
水平测试 C 第7题(连线)
把左右两边相等的式子用线连起来：左边 8×15+25×8、(20+7)×5、36×63+64×63、103×(72+28)、40×5×25；右边 72×103+103×28、40×25+5×25、8×(15+25)、20×5+7、63×(36+64)。
答案：8×15+25×8=8×(15+25)；36×63+64×63=63×(36+64)；103×(72+28)=72×103+103×28。其余两组（(20+7)×5、40×5×25）在右边没有相等的式子。
解析：用乘法分配律找相等。(20+7)×5=135，右边 20×5+7=107 不相等；40×5×25=5000，右边 40×25+5×25=1125 不相等——这两对是故意放的“样子像但不相等”的干扰项，不要连。
水平测试 C 第8题(填数+综合算式)
看树状图在□里填数，并列出综合算式。
答案：438÷3=146，146+498=644，1000−644=356；综合算式：1000−(438÷3+498)=356
解析：先除，再加，最后减；加法那步要先算，加小括号。
水平测试 C 第9题(填数+综合算式)
看树状图在□里填数，并列出综合算式。
答案：46×2=92，674−92=582，582+320=902；综合算式：674−46×2+320=902
解析：乘法本来先算，不用加括号。
水平测试 C 第10题(列综合算式)
15×3=45，45+115=160，列综合算式。
答案：15×3+115=160
解析：乘法本来先算，不用加括号。
水平测试 C 第11题(列综合算式)
75÷5=15，15−8=7，列综合算式。
答案：75÷5−8=7
解析：除法本来先算，不用加括号。
水平测试 C 第12题(列综合算式)
27×3=81，180−81=99，列综合算式。
答案：180−27×3=99
解析：乘法本来先算，不用加括号。
水平测试 C 第13题(列综合算式)
76−18=58，158−58=100，列综合算式。
答案：158−(76−18)=100
解析：减法 76−18 本来后算，要先算它必须加小括号。
四、方法小结
拿到混合运算先看有没有括号：有括号先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外。没有括号时，先分清同级还是两级——同级（全加减或全乘除）从左往右一步一步算；两级先算乘除、后算加减。合并综合算式时，先算的那一步如果按规则本来不先算，就要添小括号。不要被能凑整的数字“骗”，也不要看到相同数就先算两头。
五、作业建议
基础必做：- 教材P3 水平测试A 第1、2题（树状图）
- 教材P4 水平测试A 第3–8题（两步计算）
巩固选做：- 教材P4–5 水平测试A 第9–19题（三步计算与列式）
- 教材P7–8 水平测试B 第1–14题（含括号与中括号）
- 教材P8 水平测试B 第15–19题（比较大小）
提高挑战：- 教材P8–9 水平测试B 第20–25题（列综合算式）
- 教材P10–11 水平测试C 第1–13题（综合，含连线与填数）
六、课堂错因定位
症状：同级运算先算能凑整的（如 9×8÷9×8=1）
根因：规则：忘记同级必须从左往右，被相同数字吸引。
补救：回到知识模块“没有括号”：同级从左往右，一步一步写；用典例C1(1)反复练。
症状：两级运算先算加减（如 54−54÷3=0）
根因：规则：忘记先乘除后加减。
补救：看到乘除先圈出来，先算乘除，再算加减；用典例C1(2)练。
症状：有括号先算括号外
根因：规则：括号的“围墙”作用没建立。
补救：用典例B2(2)对比：先算小括号里，再按先乘除后加减。
症状：合并综合算式乱加括号或不加括号
根因：方法：不会判断“第一步按规则本来先不先算”。
补救：用知识模块“合并综合算式”：先写分步结果位置，再判断要不要加括号。
症状：3个9相乘算成 3×9
根因：审题：没分清“3个9相乘”和“3个9相加”。
补救：3个9相乘=9×9×9=729；3个9相加=9+9+9=27。