【教师版】第10讲 · 等量代换
二年级奥数 · 教材第118–127页（第10讲全讲）
一、知识要点
天平图改写成等式
本质：天平平衡时，左边重量=右边重量，把图写成等式再代换。
适用：A2：2△=6○，3□=3△。由2△=6○得△=3○；由3□=3△得□=△；所以□=3○。
- 先看每个天平：左右两边平衡，说明两边相等。
- 把天平写成算式：几个什么=几个什么。
- 再找中间量，像链条一样代换。
典型错误：不先写等式，光靠眼睛看，多个量时就乱了。
像链条一样代换
本质：找一个中间量做桥梁，把所有量都换成同一种，再算。
适用：B1：1西瓜=2菠萝，6菠萝=18西红柿。6菠萝=18西红柿→1菠萝=3西红柿。1西瓜=2菠萝=6西红柿。
- 先找两个已知关系：谁等于几个谁。
- 选一个量做桥梁（比如菠萝），把其他量都换成它。
- 最后统一成题目问的那种量。
典型错误：不统一成同一种量，两个关系各算各的，对不上。
交换砝码使天平平衡
本质：先算两边总重量，看差多少；差的一半就是要移动的重量；找两边差等于这个数的砝码交换。
适用：B3：左边8+10+20=38克，右边4+10+16=30克。左边多8克，要从左边拿4克到右边。把左边8克和右边4克互换，或左边20克和右边16克互换，两边都34克。
- 先分别算两边总重量。
- 算出差多少，差的一半就是要从多的一边搬到少的一边的重量。
- 找一对砝码：左边减右边的差正好等于要移动的量。
典型错误：直接把多的那边全搬过去，不除以2。
二、典例精讲
典例 A1
已知：△+○=24，○=△+△+△。求：△=？○=？
训练点：最基础的图形代换：把○换成3个△。
提示：
1. ○等于几个△？能不能把第一个式子里的○换成△？
2. 换完之后式子里全是△，一共有几个△？
1把○=△+△+△代入△+○=24，得△+△+△+△=24。依据：两个式子都有△和○，把○换成△，式子就只剩一种图形，才好算。
24个△=24，△=24÷4=6。依据：4个相同的△合起来是24，求1个就平均分。
3○=6+6+6=18。依据：△求出后，代回○=3△。
答：△=6，○=18
典型错法：代换后数错△的个数（应该是4个不是3个）。
典例 A2
已知两个天平：第一个天平左边2个△，右边6个○；第二个天平左边3个□，右边3个△。问：1个□等于几个○？
训练点：从天平图写等式，再做两次代换。
提示：
1. 第一个天平平衡，说明什么等于什么？
2. 2个△=6个○，那1个△等于几个○？
3. 第二个天平：3个□=3个△，那1个□等于几个△？
1由第一个天平：2△=6○，所以△=3○。依据：天平平衡就是左右相等，写成等式；两边一样多，各取一半。
2由第二个天平：3□=3△，所以□=△。依据：两边都是3个，同时去掉3个。
3把△=3○代入□=△，得□=3○。依据：□和△相等，△又等于3○，就连起来了。
答：1个□等于3个○
典型错法：不会把天平翻译成等式，凭感觉猜。
典例 B1
已知：1个西瓜=2个菠萝；6个菠萝=18个西红柿。问：1个西瓜等于几个西红柿？
训练点：两步代换：先求1菠萝=几个西红柿，再求西瓜。
提示：
1. 6个菠萝=18个西红柿，那1个菠萝等于几个西红柿？
2. 1个西瓜=2个菠萝，换成西红柿是几个？
16菠萝=18西红柿，所以1菠萝=18÷6=3西红柿。依据：两个关系里菠萝和西瓜相连，先把菠萝归一，才能当桥梁。
21西瓜=2菠萝=2×3=6西红柿。依据：1西瓜是2个菠萝，每个菠萝换3个西红柿。
答：6个西红柿
典型错法：直接用18÷2=9，中间不过渡到1个菠萝。
典例 B2
已知：1只猫=3只小鸭；6只小鸡=2只猫。问：1只小鸡等于几只小鸭？
训练点：双向代换：既可以把猫换成小鸡，也可以把猫换成小鸭。
提示：
1. 2只猫等于几只小鸭？（用第一个关系）
2. 2只猫也等于6只小鸡，那小鸡和小鸭什么关系？
11猫=3小鸭，所以2猫=6小鸭。依据：第二个天平右边是2猫。
2又6小鸡=2猫，所以6小鸡=6小鸭。依据：都等于2猫。
答：1只小鸭
典型错法：只算一边，不把两个等式连起来。
典例 B3
天平左边有8克、10克、20克三个砝码，右边有4克、10克、16克三个砝码。能通过移动天平上的砝码使天平平衡吗？
训练点：算两边重量差，交换差为一半的砝码。
提示：
1. 左边一共多少克？右边一共多少克？差多少？
2. 左边比右边多8克，要从左边拿几克到右边两边才相等？
1左边=8+10+20=38克，右边=4+10+16=30克。依据：先知道两边各多重，才知道差多少。
2差=8克，要从左边移4克到右边。依据：多的8克里，4克给右边，两边才一样多。
3把左边8克和右边4克互换：左=10+20+4=34，右=10+16+8=34。依据：找一对砝码，左边比右边正好多4克。
4或者把左边20克和右边16克互换：左=8+10+16=34，右=4+10+20=34。依据：20比16也正好多4克。
答：把左边8克和右边4克互换，或把左边20克和右边16克互换，两边都34克
典型错法：直接把多的一边的砝码全搬过去，不知道只搬差的一半。
典例 C1
已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量；4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。问：多少个李子的重量等于1个桃子的重量？
训练点：文字条件写成等式，两次代换。
提示：
1. 第二个条件：4李子+1苹果=1桃子。能不能把第一个等式里的桃子换掉？
2. 换完后式子里只有李子和苹果，能不能求出1苹果=几个李子？
1写等式：13李子=2苹果+1桃子①；4李子+1苹果=1桃子②。依据：文字条件先翻译成等式，才好下手。
2把②代入①：13李子=2苹果+4李子+1苹果=3苹果+4李子。依据：桃子在两个式子里都出现，用②把①里的桃子换掉。
3两边减4李子：9李子=3苹果，所以3李子=1苹果。依据：两边同时去掉相同的4李子。
4代回②：1桃子=4李子+3李子=7李子。依据：苹果换成李子后，就能算出桃子。
答：7个李子
典型错法：代换后忘记化简，或者最后不求桃子反而求苹果。
典例 C2
有8盒饼干，每盒重量相等。从每盒中都倒出300克，剩下饼干的总重量正好等于原来2盒的重量。原来每盒饼干多少克？
训练点：倒出的部分=原来几盒的重量，不用列方程。
提示：
1. 一共8盒，剩下的等于2盒，那倒出的相当于原来几盒？
2. 倒出了多少克？这相当于几盒的重量？
1剩下=2盒，所以倒出=8−2=6盒。依据：一共8盒，剩下2盒，倒出的就是6盒。
2倒出总量=300×8=2400克。依据：8盒每盒倒出300克。
36盒=2400克，1盒=2400÷6=400克。依据：倒出的正好是6盒的重量，求1盒。
答：400克
典型错法：用300×2或300÷(8−2)，不理解倒出量对应几盒。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
天平图：2个黑球=5个白球；1个黑方块=4个黑球。问：1个方块可以和几个白球平衡？
答案：10
解析：2黑=5白，1方块=4黑=2×(2黑)=2×5白=10白。
水平测试 A 第2题
1头猪=2只羊；1只羊=3只兔。1头猪=几只兔？
水平测试 A 第3题
天平图：1根胡萝卜=2个苹果；3个苹果=12个大蒜。1根胡萝卜可以换几个大蒜？
答案：8
解析：3苹果=12蒜→1苹果=4蒜。1胡萝卜=2苹果=8蒜。
水平测试 A 第4题
天平图：1个菠萝=3根黄瓜；5个苹果=2根黄瓜；4个苹果=200+200=400克。1个菠萝重多少克？
答案：750
解析：1苹果=400÷4=100克。5苹果=500克=2黄瓜，1黄瓜=250克。1菠萝=3黄瓜=750克。
水平测试 A 第5题
●●=◆◆◆，●+●+◆+◆+◆=24。求◆=？●=？
答案：◆=4，●=6
解析：2●=3◆，代入2●+3◆=24得6◆=24，◆=4，2●=12，●=6。
水平测试 A 第6题
大白兔说：“两只松鼠和我一样重。”松鼠说：“三只小鸭和我一样重。”小鸭说：“两只小鸡和我一样重。”1只大白兔=几只小鸡？
答案：12
解析：1兔=2松鼠=2×3=6鸭=6×2=12鸡。
水平测试 A 第7题
天平图：1个柿子=6个苹果；2个苹果=3个梨；2个梨=60克。1个柿子重多少克？
答案：270
解析：1梨=30克。2苹果=3梨=90克，1苹果=45克。1柿子=6苹果=270克。
水平测试 A 第8题
三个天平：(1)3个黑球=2个黑球+48克；(2)3个白球=2个黑球；(3)1个大球=4个白球。最大的球重多少克？
答案：128
解析：由(1)1黑=48克。由(2)3白=96克，1白=32克。由(3)大球=4×32=128克。
B层
水平测试 A 第1题
天平图：2个黑球=5个白球；1个黑方块=4个黑球。问：1个方块可以和几个白球平衡？
答案：10
解析：2黑=5白，1方块=4黑=2×(2黑)=2×5白=10白。
水平测试 A 第2题
1头猪=2只羊；1只羊=3只兔。1头猪=几只兔？
水平测试 A 第3题
天平图：1根胡萝卜=2个苹果；3个苹果=12个大蒜。1根胡萝卜可以换几个大蒜？
答案：8
解析：3苹果=12蒜→1苹果=4蒜。1胡萝卜=2苹果=8蒜。
水平测试 A 第4题
天平图：1个菠萝=3根黄瓜；5个苹果=2根黄瓜；4个苹果=200+200=400克。1个菠萝重多少克？
答案：750
解析：1苹果=400÷4=100克。5苹果=500克=2黄瓜，1黄瓜=250克。1菠萝=3黄瓜=750克。
水平测试 A 第5题
●●=◆◆◆，●+●+◆+◆+◆=24。求◆=？●=？
答案：◆=4，●=6
解析：2●=3◆，代入2●+3◆=24得6◆=24，◆=4，2●=12，●=6。
水平测试 A 第6题
大白兔说：“两只松鼠和我一样重。”松鼠说：“三只小鸭和我一样重。”小鸭说：“两只小鸡和我一样重。”1只大白兔=几只小鸡？
答案：12
解析：1兔=2松鼠=2×3=6鸭=6×2=12鸡。
水平测试 A 第7题
天平图：1个柿子=6个苹果；2个苹果=3个梨；2个梨=60克。1个柿子重多少克？
答案：270
解析：1梨=30克。2苹果=3梨=90克，1苹果=45克。1柿子=6苹果=270克。
水平测试 A 第8题
三个天平：(1)3个黑球=2个黑球+48克；(2)3个白球=2个黑球；(3)1个大球=4个白球。最大的球重多少克？
答案：128
解析：由(1)1黑=48克。由(2)3白=96克，1白=32克。由(3)大球=4×32=128克。
水平测试 B 第1题
三个天平：1只鸭=2只鸡；3只鸭=1只羊+1只鸡；1只熊猫=2只羊。如果1只鸡重2千克，1只熊猫重多少千克？
答案：20
解析：1鸭=2鸡=4千克。3鸭=12千克=1羊+1鸡=1羊+2千克，所以1羊=10千克。1熊猫=2羊=20千克。
水平测试 B 第2题
3个梨=1个菠萝；2个橘子=1个梨。12个橘子换几个菠萝？3个菠萝换几个橘子？
答案：2个菠萝；18个橘子
解析：1梨=2橘，3梨=6橘=1菠萝。12橘=2菠萝，3菠萝=18橘。
水平测试 B 第3题
3千克鱼的钱=1只鸭；10个鸡蛋的钱=1千克鱼。买2只鸭的钱可以买几个鸡蛋？
答案：60
解析：1鸭=3千克鱼=3×10=30个蛋。2鸭=60个蛋。
水平测试 B 第4题
三个天平：(1)1个白皮球+1个灰皮球=5个黑皮球；(2)2个灰皮球=4个黑皮球；(3)1个白皮球=？个黑皮球。
答案：3
解析：2灰=4黑→1灰=2黑。1白+1灰=5黑→1白=5−2=3黑。
水平测试 B 第5题
3个鹅蛋换9个鸡蛋；2个鸡蛋换4个鸽子蛋。5个鹅蛋换几个鸽子蛋？
答案：30
解析：1鹅蛋=3鸡蛋。1鸡蛋=2鸽子蛋。5鹅蛋=15鸡蛋=30鸽子蛋。
水平测试 B 第6题
20个桃子换2个香瓜；9个香瓜换3个西瓜。8个西瓜换几个桃子？
答案：240
解析：1香瓜=10桃。1西瓜=3香瓜=30桃。8西瓜=240桃。
水平测试 B 第7题
2头猪换4只羊；3只羊换6只兔。3头猪换几只兔？
答案：12
解析：1猪=2羊。1羊=2兔。3猪=6羊=12兔。
水平测试 B 第8题
○=△△，○○○=□。□=几个△？
水平测试 B 第9题
天平左边3克、4克、5克；右边5克、6克、7克。怎样移动砝码使天平平衡？
答案：把左边3克和右边6克互换，或把左边4克和右边7克互换
解析：左=12克，右=18克，差6克，移3克。换3↔6或4↔7，两边都15克。
水平测试 B 第10题
一条鱼，鱼头重9千克，鱼头重量等于鱼身的一半加鱼尾，鱼身重量等于鱼头加鱼尾。这条鱼重多少千克？
答案：24
解析：头=9，身=头+尾=9+尾。头=身÷2+尾→9=(9+尾)÷2+尾→尾=3，身=12。总=9+12+3=24。
C层
水平测试 A 第1题
天平图：2个黑球=5个白球；1个黑方块=4个黑球。问：1个方块可以和几个白球平衡？
答案：10
解析：2黑=5白，1方块=4黑=2×(2黑)=2×5白=10白。
水平测试 A 第2题
1头猪=2只羊；1只羊=3只兔。1头猪=几只兔？
水平测试 A 第3题
天平图：1根胡萝卜=2个苹果；3个苹果=12个大蒜。1根胡萝卜可以换几个大蒜？
答案：8
解析：3苹果=12蒜→1苹果=4蒜。1胡萝卜=2苹果=8蒜。
水平测试 A 第4题
天平图：1个菠萝=3根黄瓜；5个苹果=2根黄瓜；4个苹果=200+200=400克。1个菠萝重多少克？
答案：750
解析：1苹果=400÷4=100克。5苹果=500克=2黄瓜，1黄瓜=250克。1菠萝=3黄瓜=750克。
水平测试 A 第5题
●●=◆◆◆，●+●+◆+◆+◆=24。求◆=？●=？
答案：◆=4，●=6
解析：2●=3◆，代入2●+3◆=24得6◆=24，◆=4，2●=12，●=6。
水平测试 A 第6题
大白兔说：“两只松鼠和我一样重。”松鼠说：“三只小鸭和我一样重。”小鸭说：“两只小鸡和我一样重。”1只大白兔=几只小鸡？
答案：12
解析：1兔=2松鼠=2×3=6鸭=6×2=12鸡。
水平测试 A 第7题
天平图：1个柿子=6个苹果；2个苹果=3个梨；2个梨=60克。1个柿子重多少克？
答案：270
解析：1梨=30克。2苹果=3梨=90克，1苹果=45克。1柿子=6苹果=270克。
水平测试 A 第8题
三个天平：(1)3个黑球=2个黑球+48克；(2)3个白球=2个黑球；(3)1个大球=4个白球。最大的球重多少克？
答案：128
解析：由(1)1黑=48克。由(2)3白=96克，1白=32克。由(3)大球=4×32=128克。
水平测试 C 第1题
☆+☆+☆+▲=25，▲=☆+☆。求☆=？▲=？
答案：☆=5，▲=10
解析：3☆+2☆=5☆=25，☆=5，▲=10。
水平测试 C 第2题
○=△+△，□+□+△+△+△+△+○=○+○+○+4。求□=？
答案：2
解析：○=2△。代入左边：2□+6△；右边：3○+4=6△+4。所以2□=4，□=2。
水平测试 C 第3题
6支铅笔和5本笔记本共花13元5角。3支铅笔的价钱=2本笔记本的价钱。1支铅笔多少钱？1本笔记本多少钱？
答案：铅笔1元，笔记本1元5角
解析：3铅笔=2笔记本→6铅笔=4笔记本。4+5=9本=135角，1本=15角=1元5角。3铅笔=30角，1铅笔=10角=1元。
水平测试 C 第4题
花生比白薯多105棵，花生棵数是白薯的16倍。花生、白薯各多少棵？
答案：花生112棵，白薯7棵
解析：16白−白=15白=105，白=7，花生=112。
水平测试 C 第5题
○+□+○+□=14，□+○+□+○+□=19。求□=？○=？
答案：□=5，○=2
解析：2○+2□=14→○+□=7。2○+3□=19→□=5，○=2。
水平测试 C 第6题
1兔+1猴=8鸡；3兔=9鸡。1猴=几只鸡？
水平测试 C 第7题
橘子和苹果共360个，橘子是苹果的2倍。橘子、苹果各多少个？
答案：橘子240个，苹果120个
解析：3苹果=360，苹果=120，橘子=240。
水平测试 C 第8题
1支钢笔=5支活动铅笔的价钱。买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔？
水平测试 C 第9题
(1)◆+◆=6，◆+★=8，求◆=？★=？(2)△+△+○=18，△+○=10，求△=？○=？
答案：(1)◆=3，★=5；(2)△=8，○=2
解析：(1)◆=3，★=5。(2)两式相减得△=8，○=2。
水平测试 C 第10题
1个菠萝=2个梨=4个香蕉=2个苹果+1个梨+1个香蕉。1个菠萝等于几个苹果？
答案：8
解析：1梨=1/2菠萝，1香蕉=1/4菠萝。2苹果+1/2+1/4=1菠萝→2苹果=1/4菠萝→1菠萝=8苹果。
水平测试 C 第11题
二(1)班同学平均分5组，每组人数相同。从每组选4人参加团体操，剩下的人正好等于原来3组的人数。原来每组几人？
答案：10
解析：选走4×5=20人=原来5−3=2组的人数。2组=20人，1组=10人。
四、方法小结
等量代换三步：①把天平/文字写成等式；②找中间量做桥梁，统一成同一种量；③代换后算到底。等式的传递性a=b、b=c→a=c是核心。
五、作业建议
基础必做：- 教材P119–120 水平测试A 第1–8题（天平代换基础）
巩固选做：- 教材P123–124 水平测试B 第1–10题（动物/食物换+砝码交换+鱼重）
提高挑战：- 教材P125–127 水平测试C 第1–11题（图形等式+购物+多种量代换）
六、课堂错因定位
症状：天平题不会列式
根因：工具：不会把天平翻译成等式。
补救：教学生先写“左边=右边”，把图上的东西用符号代替。
症状：多个量代换断不开
根因：方法：找不到中间量。
补救：画箭头图：A→B→C，先把B求出来做桥梁。
症状：交换砝码不知道换哪个
根因：方法：不会算差的一半。
补救：先算两边和，差÷2=要移动的量，再找两边差等于这个数的砝码。