【教师版】第11讲 · 除法与余数
二年级奥数 · 教材第128–137页（第11讲全讲）
一、知识要点
有余数除法的基本关系
本质：被除数=除数×商+余数，余数<除数（余数最小1，最大除数−1）。
适用：A1：□÷□=8……12，要使除数最小。余数12，除数必须>12，最小除数=13。被除数=13×8+12=116。
- 先写公式：被除数=除数×商+余数。
- 余数必须比除数小，所以除数最小=余数+1。
- 求除数：(被除数−余数)÷商。
典型错误：余数大于等于除数，说明商小了，要调大。
同余问题：先找公倍数
本质：一个数除以几个不同数余数相同，先求这几个除数的最小公倍数，再加余数。
适用：A2：一个数除以5余3，除以7也余3。先找5和7的公倍数35，35+3=38。
- 列出除以第一个除数余r的数。
- 从中找同时满足除以第二个除数也余r的数。
- 更快的方法：直接求公倍数+r。
典型错误：不加余数，只答公倍数本身。
被除数扩大时余数的变化
本质：除数不变，被除数扩大几倍，余数也扩大几倍；如果新余数≥除数，再除以除数取余。
适用：A3：一个数除以18余12，扩大5倍。余数=12×5=60，60÷18=3……6，新余数=6。
- 余数跟着被除数一起扩大相同倍数。
- 扩大后余数可能≥除数，再除一次。
典型错误：直接答60，忘记60>18还要再除。
二、典例精讲
典例 A1
下面算式是有余数的除法，要使除数最小，被除数是几？□÷□=8……12
训练点：求最小除数：除数=余数+1。
提示：
1. 余数和除数什么关系？余数能等于或大于除数吗？
2. 余数是12，除数最小应该是几？
1余数是12，除数必须比12大，最小除数=12+1=13。依据：余数不能等于或超过除数，所以除数至少比余数大1。
2被除数=13×8+12=104+12=116。依据：除数定了，套被除数=除数×商+余数。
答：116
典型错法：除数取12（等于余数），错。
典例 A2
一个数除以5余3，除以7也余3，这个数最小是几？
训练点：同余问题：公倍数+余数。
提示：
1. 这个数减去3之后，能同时被5和7整除吗？
2. 5和7最小的公倍数是多少？
1这个数减3后同时是5和7的倍数。依据：两次都余3，说明去掉3后正好分完。
25和7的最小公倍数=35。依据：既要被5又要被7整除，取最小公倍数。
3这个数=35+3=38。依据：别忘了把去掉的3加回来。
答：38
典型错法：只答35，忘记加3。
典例 A3
一个数除以18余12，将这个数扩大5倍，余数是几？
训练点：被除数扩大，余数跟着扩大，超过除数再除。
提示：
1. 被除数扩大5倍，除数不变，余数怎么变？
2. 新余数60比除数18大，怎么办？
1余数扩大5倍：12×5=60。依据：除数不变，被除数扩大几倍余数就跟着扩大几倍。
260÷18=3……6，所以新余数=6。依据：60比除数18还大，说明余数没算完，要再除一次。
答：6
典型错法：答60，忘记余数要小于除数。
典例 B1
一个除法算式，商8余2。已知被除数与除数的和是65，被除数和除数分别是多少？
训练点：和倍问题：被除数=8×除数+2，和=65。
提示：
1. 被除数=除数×8+2，那被除数+除数=？
2. 65里去掉余数2，还剩多少？这对应几个除数？
1被除数+除数=65，被除数=8×除数+2。依据：商8余2就是被除数里有8个除数还多2。
28×除数+2+除数=65 → 9×除数=63 → 除数=7。依据：65里去掉多的2，剩下正好是9个除数。
3被除数=65−7=58。依据：和是65，减除数就得被除数。
答：被除数58，除数7
典型错法：不去掉余数就直接除以9。
典例 B2
安安做有余数除法时，把除数8错看成3，求出商15余2。正确的余数应该是几？
训练点：先利用错误算式求被除数，再除以正确除数。
提示：
1. 除数看错了，被除数变了没有？
2. 先用错误的除数3和结果15……2，把被除数求出来。
1被除数=15×3+2=47。依据：除数看错了，但被除数没变，先用错的算式把它还原。
247÷8=5……7。依据：知道被除数后，用正确的除数8重新算。
答：7
典型错法：直接改除数不重算被除数。
典例 B3
不相等的两个两位数，它们的和除以3余2，它们的差除以3余0。这两个数的和最小是几？
训练点：差整除→两数同余；和的余数反推余数。
提示：
1. 两个数的差能被3整除，说明它们除以3的余数什么关系？
2. 两个相同余数相加，除以3余2，这个余数是几？
2和÷3余2→2×余数÷3余2→余数=1。依据：1+1=2。
3最小两个两位数≡1 mod 3：10和13，和=23。依据：10=3×3+1，13=3×4+1。
答：23
典型错法：不会从和与差反推各自的余数。
典例 C1
n为任意一个整数，n×(n+1)×(n+2)×…×(n+10)除以24的余数是几？
训练点：连续整数中必有4和6的倍数。
提示：
1. 11个连续整数里一定有几个4的倍数？几个6的倍数？
2. 24=4×6。
111个连续整数中必有4和6的倍数。依据：连续数中每4个有一个4的倍数。
2乘积必含因数4和6，即被24整除。依据：24=4×6。
答：0
典型错法：取一个具体n试，试对了但说不清为什么。
典例 C2
现有梨若干个，每次拿5个最后剩2个；每次拿7个最后剩1个。这堆梨最少有多少个？
训练点：枚举法：从大除数开始试。
提示：
1. 先列出“除以7余1”的数：8, 15, 22…
2. 逐个检查哪个也满足“除以5余2”。
1除以7余1：8, 15, 22, 29…依据：枚举。
28÷5=1……3，不对。15÷5=3，不对。22÷5=4……2，对。依据：逐个检验。
答：22个
典型错法：无序乱试，容易漏。
典例 C3
二(1)班和二(2)班一起做游戏。5人一组剩4人；4人一组剩3人；3人一组剩2人。这两个班至少有多少人？
训练点：差同：余数比除数少1，总人数+1就是公倍数。
提示：
1. 5人一组剩4人，就是再加1人就能再分一组。那总人数+1能被几整除？
2. 总人数+1同时被5、4、3整除，求最小公倍数。
1剩4=5−1，剩3=4−1，剩2=3−1。依据：每次都差1人就能再分一组，说明总人数差1就被整除。
2总人数+1=5×4×3=60。依据：加1后同时被5、4、3整除，取最小公倍数。
3总人数=60−1=59。依据：把多加的1人去掉。
答：59人
典型错法：找不到“差1”这个规律。
典例 C4
彩灯按1红、2黄、1红、2蓝、1红、2绿、1红、2黄……排列。100盏彩灯中最后一盏是什么颜色？
训练点：用余数找周期位置。
提示：
1. 几盏灯之后开始重复？数一个周期。
2. 100除以周期余几？
1一个周期=1红+2黄+1红+2蓝+1红+2绿=9盏。依据：数重复段。
答：红色
典型错法：周期数错（数成6而不是9）。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
求被除数：(1)___÷6=6……5 (2)___÷8=11……4
答案：(1)41；(2)92
解析：(1)6×6+5=41。(2)8×11+4=92。
水平测试 A 第2题
求除数：(1)45÷___=7……3 (2)67÷___=7……4
答案：(1)6；(2)9
解析：(1)(45−3)÷7=6。(2)(67−4)÷7=9。
水平测试 A 第3题
(1)22÷___=___……2，写出所有可能。(2)17÷___=___……5，写出所有可能。
答案：(1)22÷20=1……2，22÷10=2……2，22÷5=4……2，22÷4=5……2；(2)17÷12=1……5，17÷6=2……5
解析：(1)除数×商=20，除数>2。(2)除数×商=12，除数>5。
水平测试 A 第4题
除数为9，余数与商相同时，被除数有几个？
水平测试 A 第5题
除数为7，余数与商相同时，被除数最大是几？
答案：48
解析：最大余数=6，被除数=7×6+6=48。
水平测试 A 第6题
除数为10，商为8时，所有可能的被除数之和是多少？
答案：845
解析：余数0~9，被除数80~89，和=(80+89)×10÷2=845。
水平测试 A 第7题
被除数是15时，余数有几种可能？
答案：7
解析：除数取2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14，余数分别为1,3,3,1,7,6,5,4,3,2,1，不同余数共7种。
水平测试 A 第8题
商为3，余数为8，要使除数最小，被除数是几？
答案：35
解析：最小除数=9，被除数=9×3+8=35。
水平测试 A 第9题
被除数为24，余数为6，除数最小时商是几？
答案：2
解析：除数>6且整除18，最小=9，商=(24−6)÷9=2。
水平测试 A 第10题
被7除余2的最大和最小两位数之和是多少？
答案：109
解析：最小16，最大93，和=109。
水平测试 A 第11题
三个好朋友分巧克力，每人7块，余下一些不能分了。原来共有巧克力多少块？
答案：22或23
解析：余数可为1或2，总数=21+1=22或21+2=23。
水平测试 A 第12题
400米跑，跑道一圈125米，终点设在起跑点前多少米？
水平测试 A 第13题
被除数<100，同一个被除数除以三个除数分别商3余3、商4余4、商5余5。求被除数和三个除数。
答案：60÷19=3……3，60÷14=4……4，60÷11=5……5
解析：被除数=3(d1+1)=4(d2+1)=5(d3+1)，是3、4、5公倍数，最小60。
B层
水平测试 A 第1题
求被除数：(1)___÷6=6……5 (2)___÷8=11……4
答案：(1)41；(2)92
解析：(1)6×6+5=41。(2)8×11+4=92。
水平测试 A 第2题
求除数：(1)45÷___=7……3 (2)67÷___=7……4
答案：(1)6；(2)9
解析：(1)(45−3)÷7=6。(2)(67−4)÷7=9。
水平测试 A 第3题
(1)22÷___=___……2，写出所有可能。(2)17÷___=___……5，写出所有可能。
答案：(1)22÷20=1……2，22÷10=2……2，22÷5=4……2，22÷4=5……2；(2)17÷12=1……5，17÷6=2……5
解析：(1)除数×商=20，除数>2。(2)除数×商=12，除数>5。
水平测试 A 第4题
除数为9，余数与商相同时，被除数有几个？
水平测试 A 第5题
除数为7，余数与商相同时，被除数最大是几？
答案：48
解析：最大余数=6，被除数=7×6+6=48。
水平测试 A 第6题
除数为10，商为8时，所有可能的被除数之和是多少？
答案：845
解析：余数0~9，被除数80~89，和=(80+89)×10÷2=845。
水平测试 A 第7题
被除数是15时，余数有几种可能？
答案：7
解析：除数取2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14，余数分别为1,3,3,1,7,6,5,4,3,2,1，不同余数共7种。
水平测试 A 第8题
商为3，余数为8，要使除数最小，被除数是几？
答案：35
解析：最小除数=9，被除数=9×3+8=35。
水平测试 A 第9题
被除数为24，余数为6，除数最小时商是几？
答案：2
解析：除数>6且整除18，最小=9，商=(24−6)÷9=2。
水平测试 A 第10题
被7除余2的最大和最小两位数之和是多少？
答案：109
解析：最小16，最大93，和=109。
水平测试 A 第11题
三个好朋友分巧克力，每人7块，余下一些不能分了。原来共有巧克力多少块？
答案：22或23
解析：余数可为1或2，总数=21+1=22或21+2=23。
水平测试 A 第12题
400米跑，跑道一圈125米，终点设在起跑点前多少米？
水平测试 A 第13题
被除数<100，同一个被除数除以三个除数分别商3余3、商4余4、商5余5。求被除数和三个除数。
答案：60÷19=3……3，60÷14=4……4，60÷11=5……5
解析：被除数=3(d1+1)=4(d2+1)=5(d3+1)，是3、4、5公倍数，最小60。
水平测试 B 第1题
两数相除商3余2，被除数、除数、商、余数的和是155。被除数和除数各是多少？
答案：被除数113，除数37
解析：被除数+除数=155−3−2=150。除数=(150−2)÷(3+1)=37，被除数=113。
水平测试 B 第2题
小胖把除数9看成6，算出商16余4。正确的余数是几？
答案：1
解析：被除数=16×6+4=100，100÷9=11……1。
水平测试 B 第3题
被除数为128时，余数有几种可能？
答案：63
解析：除数>64时余数为63~1，共63种；除数<64时余数都小于63，不新增。
水平测试 B 第4题
最小一位数与最大三位数的和，除以___商12余4。
答案：83
解析：(1+999−4)÷12=996÷12=83。
水平测试 B 第5题
一个两位数除312余39，这个两位数是几？
答案：91
解析：312−39=273=3×7×13，两位数因数>39的只有91。
水平测试 B 第6题
83×67除以7的余数是几？
答案：3
解析：83≡6(mod7)，67≡4(mod7)，6×4=24≡3(mod7)。
水平测试 B 第7题
糖分给3人每人9颗剩一些；分给4人每人7颗仍剩一些。原来有几颗糖？
答案：29
解析：3人分：28或29；4人分：29、30、31。共同为29。
水平测试 B 第8题
两个不等两位数，和÷3余2，差÷3余0。两数和最大是几？
答案：191
解析：两数都≡1 mod 3，最大97和94，和=191。
水平测试 B 第9题
每排70座，第8排27号：27÷8商3余3。第8排还有哪些座位号除以8商和余数相同？
答案：9号、18号、27号、36号、45号、54号、63号
解析：座位=8q+q=9q，q=1~7。
水平测试 B 第10题
把被除数114写成141，商比原来多3，余数相同。原题余数是几？
答案：6
解析：除数=(141−114)÷3=9，114÷9=12……6。
C层
水平测试 A 第1题
求被除数：(1)___÷6=6……5 (2)___÷8=11……4
答案：(1)41；(2)92
解析：(1)6×6+5=41。(2)8×11+4=92。
水平测试 A 第2题
求除数：(1)45÷___=7……3 (2)67÷___=7……4
答案：(1)6；(2)9
解析：(1)(45−3)÷7=6。(2)(67−4)÷7=9。
水平测试 A 第3题
(1)22÷___=___……2，写出所有可能。(2)17÷___=___……5，写出所有可能。
答案：(1)22÷20=1……2，22÷10=2……2，22÷5=4……2，22÷4=5……2；(2)17÷12=1……5，17÷6=2……5
解析：(1)除数×商=20，除数>2。(2)除数×商=12，除数>5。
水平测试 A 第4题
除数为9，余数与商相同时，被除数有几个？
水平测试 A 第5题
除数为7，余数与商相同时，被除数最大是几？
答案：48
解析：最大余数=6，被除数=7×6+6=48。
水平测试 A 第6题
除数为10，商为8时，所有可能的被除数之和是多少？
答案：845
解析：余数0~9，被除数80~89，和=(80+89)×10÷2=845。
水平测试 A 第7题
被除数是15时，余数有几种可能？
答案：7
解析：除数取2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14，余数分别为1,3,3,1,7,6,5,4,3,2,1，不同余数共7种。
水平测试 A 第8题
商为3，余数为8，要使除数最小，被除数是几？
答案：35
解析：最小除数=9，被除数=9×3+8=35。
水平测试 A 第9题
被除数为24，余数为6，除数最小时商是几？
答案：2
解析：除数>6且整除18，最小=9，商=(24−6)÷9=2。
水平测试 A 第10题
被7除余2的最大和最小两位数之和是多少？
答案：109
解析：最小16，最大93，和=109。
水平测试 A 第11题
三个好朋友分巧克力，每人7块，余下一些不能分了。原来共有巧克力多少块？
答案：22或23
解析：余数可为1或2，总数=21+1=22或21+2=23。
水平测试 A 第12题
400米跑，跑道一圈125米，终点设在起跑点前多少米？
水平测试 A 第13题
被除数<100，同一个被除数除以三个除数分别商3余3、商4余4、商5余5。求被除数和三个除数。
答案：60÷19=3……3，60÷14=4……4，60÷11=5……5
解析：被除数=3(d1+1)=4(d2+1)=5(d3+1)，是3、4、5公倍数，最小60。
水平测试 C 第1题
弟弟和姐姐平分糖果后剩3颗，弟弟分到10颗。妈妈买回几颗？
答案：23
解析：姐姐10颗+弟弟10颗+剩3颗=23。
水平测试 C 第2题
被7除余3、被9除余4且小于100的自然数有哪些？
答案：31，94
解析：通项63n+31，n=0→31，n=1→94。
水平测试 C 第3题
10个100连乘除以17的余数是几？
答案：4
解析：100≡15≡−2(mod17)，(−2)^10=1024≡4(mod17)。
水平测试 C 第4题
1331×27除以32的余数是几？
答案：1
解析：1331≡19(mod32)，19×27=513≡1(mod32)。
水平测试 C 第5题
一个两位数除63、91、129，三个余数之和是25。这个两位数是几？
答案：43
解析：三数和=283，283−25=258=2×3×43，两位数因数43。验证：63÷43余20，91÷43余5，129÷43余0，和=25。
水平测试 C 第6题
7~2000内被4、5、6除都余3的数有几个？
答案：33
解析：LCM(4,5,6)=60，通项60n+3。最小63，最大1983，n=1~33共33个。
水平测试 C 第7题
被3除余2、被5除余3、被7除余4的最小正整数是几？
答案：53
解析：枚举：7k+4中找满足mod5=3、mod3=2的最小数=53。
水平测试 C 第8题
“中国北京”4字与“奥林匹克运动会”7字各循环排列，第2008组是？
答案：(京，动)
解析：2008÷4余0→京；2008÷7余6→动。
水平测试 C 第9题
1~50中被3除余1的数有几个？
答案：17
解析：1,4,7,…,49，共(49−1)÷3+1=17个。
水平测试 C 第10题
被除数为36，商与余数相同，除数为几？
答案：35，17，11，8
解析：36=a(b+1)，a=1,2,3,4对应b=35,17,11,8。
水平测试 C 第11题
棋子在1号位置，顺时针第一次跳1步，第二次跳2步……永远跳不到几号？（6个位置围成圈）
答案：3号和6号
解析：落点位置=累加步数mod6+1。落点只出现1,2,4,5，3和6永远到不了。
水平测试 C 第12题
数列1,6,7,12,13,18,19,…第133项被7除余几？
答案：5
解析：奇数项=3n−2，第133项=3×133−2=397，397÷7余5。
四、方法小结
有余数除法核心：被除数=除数×商+余数，余数<除数。同余问题找公倍数加余数；看错除数先反求被除数；周期问题用余数定位。
五、作业建议
基础必做：- 教材P130–131 水平测试A 第1–13题（基本关系）
巩固选做：- 教材P132–134 水平测试B 第1–10题（和倍/错看除数/同余）
提高挑战：- 教材P136–137 水平测试C 第1–12题（复杂同余/乘积余数/数列）
六、课堂错因定位
症状：余数大于除数
根因：规则：没记住余数<除数。
补救：每次算完先检查余数是否小于除数，大了就把商调大。
症状：同余问题找不到数
根因：方法：不会先找公倍数。
补救：教学生：余数相同的题，先求除数的公倍数，再加余数。
症状：看错除数后不会做
根因：概念：不知道被除数不变。
补救：先用错误算式反求被除数，再用正确除数重算。