【教师版】第12讲 · 简单的周期问题
二年级奥数 · 教材第138–149页（第12讲全讲）
一、知识要点
找周期：几个一重复
本质：观察排列，找出几个图形/数字后开始重复，这几个就是一个周期。
适用：A1(1)：□△△□△△□△△…每3个重复一次，周期=3。A1(2)：★○○☆★○○☆…每4个重复，周期=4。
- 从第一个开始数，数到下一个重复出现之前。
- 反复检查：每组是不是完全一样。
典型错误：把周期多数一个或少数一个。
用余数定位：第几个是什么
本质：总数÷周期=组数……余数。余1就是周期第1个，余2就是第2个；没余数就是最后一个。
适用：A1(1)：28÷3=9……1，余1→周期第1个=□。A1(2)：28÷4=7，没余数→周期最后一个=☆。
- 先算完整周期数。
- 再看余几个，从周期开头数。
典型错误：没余数时错答成第1个，应该是最后一个。
算某类数量有多少
本质：每组里有几个该类×完整组数+余数部分里该类的个数。
适用：A3：4红3黄2蓝=9面一周期。160÷9=17……7。红旗=4×17+4=72面（余7里有4红3黄）。
- 先算完整周期里该类有几个。
- 再数余数部分里该类有几个。
典型错误：忘记加余数部分里的该类。
复杂周期：列表找循环节
本质：有些问题不会一眼看出周期，先列表算几步，发现重复后再用余数。
适用：B1：5个盒子每次找最少的盒子，从其他盒各取1个放进去。列8步发现第8步=第3步，周期=5（从第3步开始）。
- 按规则一步步算，列成表格。
- 发现状态和前面某步一样，就找到了周期。
- 注意周期从哪一步开始（前面可能有不循环的部分）。
典型错误：不列表凭感觉猜周期。
二、典例精讲
典例 A1
找规律，第28个图形是什么？(1)□△△□△△□△△… (2)★○○☆★○○☆★○○☆…
训练点：最基础：找周期，用余数定位。
提示：
1. (1)几个图形后开始重复？(2)呢？
2. 28除以周期余几？
1(1)周期=3（□△△）。28÷3=9……1，余1→第1个=□。依据：余数定位。
2(2)周期=4（★○○☆）。28÷4=7……0，没余数→最后一个=☆。依据：没余数取末尾。
答：(1)□；(2)☆
典型错法：没余数时答成第1个。
典例 A2
数列1,4,6,7,1,4,6,7,1,… (1)第30个数是几？(2)这30个数的和是多少？
训练点：余数定位+周期求和。
提示：
1. 周期是几？30除以周期余几？
2. 一个周期的和是多少？7个完整周期加几个剩余？
1周期=4（1,4,6,7）。30÷4=7……2。依据：数列每4个重复一次，先求完整几组、余几个。
2(1)余2→第2个=4。依据：余2就从周期开头数到第2个。
3(2)周期和=1+4+6+7=18。总和=18×7+1+4=131。依据：7整组求和，再加上剩余的2个数。
答：(1)4；(2)131
典型错法：求和时漏掉剩余的1+4。
典例 A3
红、黄、蓝三种彩旗共160面，按4面红、3面黄、2面蓝排列。最后一面是什么颜色？红旗共有几面？
训练点：组合周期+算某类总数。
提示：
1. 一个周期有几面？160除以9余几？
2. 余7面是哪几面？红旗有几面？
1周期=4+3+2=9面。160÷9=17……7。依据：三种旗子按固定顺序重复，先数一组共几面。
2余7=4红+3黄，最后一面是黄色。依据：余7就数到周期第7面。
3红旗=4×17+4=72面。依据：每组4面红旗乘整组数，再加余数里的红旗。
答：最后一面黄色，红旗72面
典型错法：红旗只算4×17=68，忘记余数里还有4面。
典例 B1
A、B、C、D、E五个盒子依次有9、5、3、2、1个球。每个小朋友都先找球最少的盒子，从其他盒各取1个放进去。1000个小朋友后，五个盒各有几个球？
训练点：列表找循环节。
提示：
1. 一步步列表：初始、第1次、第2次……看看什么时候重复。
2. 第8次后和第3次后一样，说明周期是几？
1列表：初始(9,5,3,2,1)，第1次(8,4,2,1,5)，第2次(7,3,1,5,4)，第3次(6,2,5,4,3)，第4次(5,6,4,3,2)，第5次(4,5,3,2,6)，第6次(3,4,2,6,5)，第7次(2,3,6,5,4)，第8次(6,2,5,4,3)=第3次。依据：逐步算。
2从第3次开始周期=5。(1000−2)÷5=199……3。依据：前2步不参与循环。
3第1000次=第(2+3)=5次：(4,5,3,2,6)。依据：余数3对应周期中第3个状态。
答：A=4，B=5，C=3，D=2，E=6
典型错法：不减前2步就直接除以5。
典例 B2
正整数按表排列：B=1,C=2,D=3,E=4,A=8,B=7,C=6,D=5,B=9,C=10,D=11,E=12,A=16,…997在哪一行哪一类？
训练点：两行8个数为一周期。
提示：
1. 两行一共几个数？顺序是什么？
2. 997除以8余几？
1两行8个数一周期：B,C,D,E,D,C,B,A。依据：观察表格。
3第5个是D。行数=2×124+2=250行。依据：124个周期+2行。
答：第250行D类
典型错法：行数算错（忘加2行）。
典例 C1
从1开始连续n个自然数的和的个位，可以有多少种不同数字？
训练点：列出前若干个找周期。
提示：
1. 算前20个和的个位，看看什么时候重复。
1前20个和的个位：1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0。依据：列举。
2第21个起重复。不同个位有0,1,3,5,6,8共6种。依据：去重。
答：6种
典型错法：列举不全。
典例 C2
3×3×…×3（30个3连乘）的积的个位是几？
训练点：乘积个位周期。
提示：
1. 3^1个位3，3^2个位9，3^3个位7，3^4个位1，3^5个位几？
1个位周期：3,9,7,1，每4个一循环。依据：只看个位相乘，算几步就发现重复。
230÷4=7……2，余2→第2个=9。依据：余2就取周期里第2个个位。
答：9
典型错法：周期找错。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
38颗糖按小光、小明、小红、小华顺序每人1颗，谁分到最后一颗？
答案：小明
解析：38÷4=9……2，第2个=小明。
水平测试 A 第2题
棋子按●●○○○●●○○○…排列，第36粒是什么颜色？
答案：黑色
解析：周期5（●●○○○），36÷5=7……1，余1=●。
水平测试 A 第3题
1~50号卡片按小红、小林、冬冬、兰兰顺序发，第38张发给谁？
答案：小林
解析：38÷4=9……2，第2个=小林。
水平测试 A 第4题
数列3851616138516161…第71个数是几？这71个数的和是多少？
答案：6；278
解析：周期8（38516161），71÷8=8……7，第7个=6。周期和=31，8×31=248，余7个和=30，总=278。
水平测试 A 第5题
小明摸3张、小丽摸4张，54张牌谁摸到最后一张？
答案：小丽
解析：每轮7张，54÷7=7……5，小明3张后小丽2张，第5张是小丽。
水平测试 A 第6题
甲乙丙丁围成圈报数：甲=1,乙=2,丙=3,丁=4。27是谁报的？54是谁报的？
答案：丙；乙
解析：27÷4=6……3=丙；54÷4=13……2=乙。
水平测试 A 第7题
龙珠按4红、3黄、2绿、1白重复，第2000颗是什么颜色？
答案：白色
解析：周期10，2000÷10=200余0→最后一个=白。
水平测试 A 第8题
纸片按△○◇▱△○◇▱…穿成一串，第23张是什么？第44张是什么？
答案：第23张◇，第44张▱
解析：周期4，23÷4=5……3→◇；44÷4=11余0→▱。
水平测试 A 第9题
图形按○○△☆☆☆○○△☆☆☆…排列，第50个是什么？这50个中○有几个？
答案：第50个○，共18个○
解析：周期6，50÷6=8……2→○。○=2×8+2=18。
B层
水平测试 A 第1题
38颗糖按小光、小明、小红、小华顺序每人1颗，谁分到最后一颗？
答案：小明
解析：38÷4=9……2，第2个=小明。
水平测试 A 第2题
棋子按●●○○○●●○○○…排列，第36粒是什么颜色？
答案：黑色
解析：周期5（●●○○○），36÷5=7……1，余1=●。
水平测试 A 第3题
1~50号卡片按小红、小林、冬冬、兰兰顺序发，第38张发给谁？
答案：小林
解析：38÷4=9……2，第2个=小林。
水平测试 A 第4题
数列3851616138516161…第71个数是几？这71个数的和是多少？
答案：6；278
解析：周期8（38516161），71÷8=8……7，第7个=6。周期和=31，8×31=248，余7个和=30，总=278。
水平测试 A 第5题
小明摸3张、小丽摸4张，54张牌谁摸到最后一张？
答案：小丽
解析：每轮7张，54÷7=7……5，小明3张后小丽2张，第5张是小丽。
水平测试 A 第6题
甲乙丙丁围成圈报数：甲=1,乙=2,丙=3,丁=4。27是谁报的？54是谁报的？
答案：丙；乙
解析：27÷4=6……3=丙；54÷4=13……2=乙。
水平测试 A 第7题
龙珠按4红、3黄、2绿、1白重复，第2000颗是什么颜色？
答案：白色
解析：周期10，2000÷10=200余0→最后一个=白。
水平测试 A 第8题
纸片按△○◇▱△○◇▱…穿成一串，第23张是什么？第44张是什么？
答案：第23张◇，第44张▱
解析：周期4，23÷4=5……3→◇；44÷4=11余0→▱。
水平测试 A 第9题
图形按○○△☆☆☆○○△☆☆☆…排列，第50个是什么？这50个中○有几个？
答案：第50个○，共18个○
解析：周期6，50÷6=8……2→○。○=2×8+2=18。
水平测试 B 第1题
奇数1,3,5,7,…按5列排列：第1列1,11,21…；第2列3,13,23…；第3列5,15…；第4列7,17…；第5列9,19…。93在第几列？
答案：第2组（第2列）
解析：93是第(93+1)/2=47个奇数，47÷5=9……2，第2列。
水平测试 B 第2题
新闻每5小时一次，上午10:30第一次，第三次在晚上几时几分？
答案：8时30分
解析：第三次=第二次间隔后10小时，10:30+10=20:30=晚8:30。
水平测试 B 第3题
糖5颗5颗分余3，7颗7颗分余2。最少几颗？
答案：23
解析：枚举≡3 mod5：3,8,13,18,23；23 mod7=2。
水平测试 B 第4题
陈西带7个小朋友包58本书，7个小朋友平均每人包几本？陈西多包几本？
答案：7本；2本
解析：58÷8=7……2，7个小朋友各7本，陈西多包2本（共9本）。
水平测试 B 第5题
实验每5小时记录一次，第20次记录时时针指9。第一次记录时针指几？
答案：10
解析：间隔19次=95小时，95÷12=7……11，从9倒推11小时=10。
水平测试 B 第6题
自然数按表排列（每4列一个周期，每周期9个数），第3行第51列的数是几？
答案：113
解析：每4列9个数，51÷4=12……3，前48列108个数，第49列第1个=109，第51列第3行=109+4=113。
水平测试 B 第7题
彩笔盒里除去5支都是绿色的；除去5支都是红色的；除去5支都是黄色的；除去5支都是蓝色的；除去5支都是棕色的。盒子里有几支彩笔？
答案：6支
解析：五种颜色各1支，外加1支，共6支。
水平测试 B 第8题
左手从大拇指开始数：1大拇指,2食指,3中指,4无名指,5小指,6无名指,7中指,8食指,9大拇指…数到50是哪个手指？
答案：食指
解析：周期8（从食指开始），(50−1)÷8=6……1，余1=食指。
C层
水平测试 A 第1题
38颗糖按小光、小明、小红、小华顺序每人1颗，谁分到最后一颗？
答案：小明
解析：38÷4=9……2，第2个=小明。
水平测试 A 第2题
棋子按●●○○○●●○○○…排列，第36粒是什么颜色？
答案：黑色
解析：周期5（●●○○○），36÷5=7……1，余1=●。
水平测试 A 第3题
1~50号卡片按小红、小林、冬冬、兰兰顺序发，第38张发给谁？
答案：小林
解析：38÷4=9……2，第2个=小林。
水平测试 A 第4题
数列3851616138516161…第71个数是几？这71个数的和是多少？
答案：6；278
解析：周期8（38516161），71÷8=8……7，第7个=6。周期和=31，8×31=248，余7个和=30，总=278。
水平测试 A 第5题
小明摸3张、小丽摸4张，54张牌谁摸到最后一张？
答案：小丽
解析：每轮7张，54÷7=7……5，小明3张后小丽2张，第5张是小丽。
水平测试 A 第6题
甲乙丙丁围成圈报数：甲=1,乙=2,丙=3,丁=4。27是谁报的？54是谁报的？
答案：丙；乙
解析：27÷4=6……3=丙；54÷4=13……2=乙。
水平测试 A 第7题
龙珠按4红、3黄、2绿、1白重复，第2000颗是什么颜色？
答案：白色
解析：周期10，2000÷10=200余0→最后一个=白。
水平测试 A 第8题
纸片按△○◇▱△○◇▱…穿成一串，第23张是什么？第44张是什么？
答案：第23张◇，第44张▱
解析：周期4，23÷4=5……3→◇；44÷4=11余0→▱。
水平测试 A 第9题
图形按○○△☆☆☆○○△☆☆☆…排列，第50个是什么？这50个中○有几个？
答案：第50个○，共18个○
解析：周期6，50÷6=8……2→○。○=2×8+2=18。
水平测试 C 第1题
猴妈妈摘42个桃平均分给孩子，每个孩子最多分5个，剩的装小盒。有几个孩子？剩几个？
答案：8个孩子；剩2个
解析：42÷5=8……2，每个孩子分5个，8个孩子，剩2个。
水平测试 C 第2题
书每2页文字间有3页插图，第1页是文字，共48页，插图多少页？
答案：36页
解析：周期4（文图图图），48÷4=12，插图=12×3=36。
水平测试 C 第3题
8把椅子围成圈编号1-8，小王在1号。顺时针走27，逆时针走18，再顺时针走12，最后在几号？
答案：6号
解析：净走27−18+12=21，21÷8=2……5，1+5=6。
水平测试 C 第4题
35个7连乘的积个位是几？
答案：3
解析：个位周期7,9,3,1，35÷4=8……3→3。
水平测试 C 第5题
2002个9连乘的积个位是几？
答案：1
解析：个位周期9,1，2002÷2=1001余0→1。
水平测试 C 第6题
数列4,7,8,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,…从第3个起每个是前两个乘积的个位。第100个数是几？
答案：6
解析：从第3个起周期8,6,8,8,4,2（6个）。(100−2)÷6=16……2→6。
水平测试 C 第7题
红花平均分给4个小朋友每人1朵一轮一轮分，最后小军剩6朵。分得对吗？应剩几朵？
答案：不对，应剩2朵
解析：除以4余数必须<4，6=4+2，还能再分1轮，剩2朵。
水平测试 C 第8题
本子每人2本一份分完，程老师剩3本。分得对吗？应剩几本？
答案：不对，应剩1本
解析：除以2余数只能0或1，3=2+1，还能再分1份，剩1本。
水平测试 C 第9题
苹果平均分给6个小朋友，每人3个后不够每人再分1个。最少几个？最多几个？
答案：最少19个，最多23个
解析：6×3=18，余数1~5，最少19最多23。
水平测试 C 第10题
红灯30秒、绿灯28秒、黄灯2秒循环。小明恰好在红灯亮时站在路口，20分钟内看见几次红灯、绿灯、黄灯？
答案：红灯20次，绿灯20次，黄灯20次
解析：周期=60秒=1分钟，20分钟=20个周期，每周期各1次。
四、方法小结
周期问题三步：①找周期（几个一重复）；②总数÷周期=组数……余数；③余几就是第几个，没余数就是最后一个。算总数别忘了加余数部分。复杂问题先列表找循环节。
五、作业建议
基础必做：- 教材P140–142 水平测试A 第1–9题（基础找周期）
巩固选做：- 教材P144–146 水平测试B 第1–8题（排列/时间/手指）
提高挑战：- 教材P147–149 水平测试C 第1–10题（围成圈/乘积个位/数列）
六、课堂错因定位
症状：找不到周期
根因：方法：不会从头数重复。
补救：教学生从第1个开始数，数到和第1个一样的下一个，前面就是周期。
症状：没余数时答错位置
根因：规则：把余0当成第1个。
补救：强调：没余数=周期最后一个。
症状：算某类总数漏加余数
根因：计算：只算整组忘记剩余。
补救：分两步：先整组，再数剩余部分里有几个。
症状：复杂题不会做
根因：工具：不列表。
补救：教学生先列表算几步，发现重复再用余数。