【教师版】第14讲 · 一笔画
二年级奥数 · 教材第158–171页（第14讲全讲）
一、知识要点
偶点与奇点
本质：从一个点连出几条线，这个点就叫“几”度。连出偶数条线的点叫偶点，连出奇数条线的点叫奇点。
适用：判断一笔画前，先把每个点连出的线数清楚。角上连2条线是偶点；丁字路口连3条线是奇点；端点只连1条线是奇点。
- 一个点一个点地数，从它出发能画出去几条线。
- 数出是偶数就是偶点，是奇数就是奇点。
典型错误：把两条交叉但不相连的线误当成在交点连了线。
一笔画判断规则
本质：连通图里，奇点个数是0个或2个就能一笔画；奇点个数超过2个就不能一笔画。
适用：A2：三角形、正方形全是偶点能一笔画；长方形中间加一横有2个奇点能一笔画；六边形加了几条对角线后有4个奇点，不能一笔画。
- 先确认图形是连通的。
- 再数奇点有几个：0或2能一笔画，否则不能。
典型错误：图形不连通（几块分开）也去数奇点，忘了先看连通。
起点和终点怎么定
本质：全是偶点：任一点起笔，最后还回到这一点。有2个奇点：必须从一个奇点起笔，到另一个奇点结束。
适用：奥运五环全是偶点，能一笔画且回到起点。公园平面图若只有E、H两个奇点，就从E进H出（或H进E出）。
- 数完奇点后，按个数决定起笔规则。
- 2个奇点时，起笔点和收笔点就是那两个奇点。
典型错误：有2个奇点时还从偶点起笔，画到最后画不完。
多笔画：至少几笔
本质：不能一笔画时，最少笔数=奇点个数÷2。
适用：B1：田字格有4个奇点，要4÷2=2笔；三角形连三条中线有6个奇点，要6÷2=3笔。
- 先数奇点个数。
- 除以2就是最少要画几笔。
典型错误：直接数奇点数当笔数，忘记除以2。
添几笔改成一笔画
本质：多出的奇点要两两配对，每在两个奇点之间连一条线，这两个奇点就都变成偶点。添几笔=（奇点数−2）÷2。
适用：B2：跑道形图有a、b、c、d四个奇点，留2个，在另外两个之间连1条线（如连a、b或d、c），就添1笔成一笔画；房子图有6个奇点，要添(6−2)÷2=2笔。
- 每连一条线，把两个奇点变成偶点。
- 最后只剩2个奇点，就能一笔画。
典型错误：连了线却没减少奇点总数，或连线连到偶点上。
二、典例精讲
典例 A1
下面的各个小图形都是由点和线组成的，请仔细观察后回答：(1)与一条线相连的有哪些点？(2)与两条线相连的有哪些点？(3)与三条线相连的有哪些点？(4)与四条或四条以上的线相连的有哪些点？
训练点：学会数每个点连出几条线，为判断奇偶点打基础。
提示：
1. 先把图上所有交点/端点标出来，一个一个数。
2. 连1条是端点，连2条是角点，连3条是丁字点，连4条是十字点。
1(1)只连1条线的点：图③顶端伸出线的端点、图⑦顶端伸出线的端点。依据：端点只连1条，是奇点。
2(2)连2条线的点：正方形四角、三角形三角等角点。依据：角点连2条，是偶点。
3(3)连3条线的点：丁字路口，如图②③④⑥⑧⑨中的中间交点。依据：丁字点连3条，是奇点。
4(4)连4条及以上的点：十字交叉点，如图③④⑦⑧⑨⑩的中心交点。依据：连偶数条是偶点。
答：见解析；端点(1条)和丁字点(3条)是奇点，角点(2条)和十字点(4条)是偶点。
典型错法：漏数伸出图外的线或交叉点。
典例 A2
下列图形中，哪些能够一笔画，哪些不能？①三角形 ②正方形 ③长方形中间加一横 ④六边形加几条对角线。
训练点：用奇点个数判断一笔画。
提示：
1. 每个图先数有几个奇点。
2. 记住：0个或2个奇点能一笔画，4个及以上不能。
1图①三角形：3个交点全连2条线，0个奇点，能一笔画，任一点起笔回到该点。依据：全偶点。
2图②正方形：4个角点全连2条线，0个奇点，能一笔画。依据：全偶点。
3图③长方形加一横：6个交点，4个偶点、2个奇点，能一笔画，从一个奇点起、另一个奇点终。依据：2个奇点。
4图④六边形加对角线：6个交点，2个偶点、4个奇点，不能一笔画。依据：超过2个奇点。
答：①②③能一笔画，④不能。
典型错法：不数奇点凭直觉判断。
典例 B1
下列各图形，至少能用几笔可以画完？①田字格 ②三角形连三条中线 ③圆环加一条过心横线 ④五边形连满所有对角线。
训练点：最少笔数=奇点个数÷2。
提示：
1. 先数每个图有几个奇点。
2. 奇点个数除以2就是最少笔数。
1图①田字格有4个奇点，4÷2=2笔。依据：奇点÷2。
2图②三角形三条中线有6个奇点，6÷2=3笔。依据：奇点÷2。
3图③圆环加横线有4个奇点，4÷2=2笔。依据：横线穿出圆环产生2个端点奇点。
4图④五边形连满对角线全是偶点，0个奇点，1笔画完。依据：全偶点能一笔画。
答：①2笔 ②3笔 ③2笔 ④1笔
典型错法：忘记除以2。
典例 B2
下列各图形，至少添上几笔，就能使整个图形一笔画完？①跑道形（两圆两切线）②小房子带门。
训练点：把多余奇点两两连线改成一笔画。
提示：
1. 先数有几个奇点，留2个做起终点。
2. 多余的奇点每两个之间连一条线。
1图①有a、b、c、d四个奇点。一笔画只允许留2个奇点做起终点，所以多余的2个奇点要连一条线变成偶点，添1笔。依据：为什么想到：每在两个奇点间连一条线，这两个点各多1条线、同时变成偶点，奇点总数减2。
2图②有a、b、c、d、e、f六个奇点，留2个，其余4个两两连2条线，添2笔。依据：(6−2)÷2=2，多余奇点每两个消一对。
答：①至少添1笔；②至少添2笔。
典型错法：连线连到偶点上，没把奇点消掉。
典例 C1
右图是一个公园的平面图（矩形四周及内部道路共标有A、B、C、D、E、F、G、H、I、J十个大门）。一位游客想走遍公园的每一条路，并且不重复走，应该从哪个大门进去、哪个大门出来？
训练点：把实际问题看成一笔画，找两个奇点做起终点。
提示：
1. 每条路只能走一遍=一笔画。
2. 入口和出口就是起笔点和收笔点，应该设在哪类点上？
1把公园道路看成一笔画：每条路只能走一遍=每条线只画一次，入口和出口就是起笔点和收笔点。依据：为什么想到：'走遍每一条路不重复'正是一笔画问题，先把它翻译成点和线。
2逐个大门数连出几条路，发现十个大门里只有E和H连出3条线（奇点），其余都连出偶数条线（偶点）。依据：判断一笔画先数奇点，不凭感觉。
3有2个奇点，必须从一个奇点进、另一个奇点出。依据：2奇点规则：起终点就在两个奇点上。
答：从E门进、H门出，或从H门进、E门出。
典型错法：随便选门，没找奇点。
典例 C2
下列四个小房子图，最少需要几笔画成？①没有门 ②有屋顶线 ③一个门 ④两个门。
训练点：门每多一个，奇点多2个，笔数多1。
提示：
1. 每多一个门，门的两个角各变成一个奇点。
2. 数每个房子的奇点，再除以2。
1图①只有2个奇点，1笔画成。依据：2奇点÷2=1。
2图②有4个奇点，4÷2=2笔。依据：屋顶线多2个奇点。
3图③有6个奇点，6÷2=3笔。依据：一个门多2个奇点。
4图④有8个奇点，8÷2=4笔。依据：两个门多4个奇点。
答：①1笔 ②2笔 ③3笔 ④4笔
典型错法：不数奇点凭感觉猜。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(解答题)
观察下面8个图形，自己试试哪个能一笔画成：①三个分开的正方形 ②方框里套圆（不相连）③长方形中间横分两块 ④五角星 ⑤三个相交圆 ⑥田字格 ⑦长方形加一条穿出上下的竖线 ⑥田字格加穿出上下的竖线。
答案：能一笔画成的有③、④、⑤、⑦
解析：①三块分开不连通；②方和圆不相连；⑥田字格4个奇点；⑧田字格加竖线奇点更多。③横分长方形2奇点、④五角星全偶点、⑤相交圆全偶点、⑦2奇点，均可一笔画。
水平测试 A 第2题(解答题)
判断下面7个图形能否一笔画成（T形分割、长菱形带叉、圆内V线、方格带对角线、三角顶点画圈、三角贴小三角、三个分开小三角），为什么？
答案：能一笔画的有②、③、④、⑤、⑥
解析：按奇点个数判断：能一笔画的奇点为0或2；①T形分割有4个奇点、⑦三个三角不连通，不能一笔画。
水平测试 A 第3题(解答题)
下面各图中字母所标各点哪些是奇点、哪些是偶点？并判断能否一笔画。(1)多边形线网 (2)圆中带三角形 (3)三圆交叠。
答案：(1)奇点4个(B、C、D、E)，偶点3个(A、F、G)，不能；(2)奇点2个(A、B)，偶点4个(C、D、E、F)，能；(3)奇点2个(B、C)，偶点5个(A、D、E、F、G)，能。
解析：逐点数连线数：奇数为奇点、偶数为偶点；0或2个奇点能一笔画。
水平测试 A 第4题(解答题)
下面这些大写字母A、B、C、D中，哪些能一笔画成？请描出起点和终点。
答案：A、C、D能一笔画；B不能（B有4个奇点）。
解析：C、D全偶点可任起任终；A有2个奇点从尖角起笔；B的两个半圆交界产生4个奇点不能一笔画。
水平测试 A 第5题(解答题)
下面各图是否能一笔画成？(1)带把茶杯 (2)两个交叠方块 (3)机器人造型。
答案：(1)不能 (2)能 (3)不能
解析：茶杯把手连接处和机器人的伸出线产生超过2个奇点。
水平测试 A 第6题(解答题)
请一笔画出下列图形：(1)五角星 (2)带小方块的房子(A、B) (3)五边形(A、B) (4)圆内接三角(A、B) (5)Y形 (6)五边形内画五角星。
答案：(1)任意起点头尾画均可；(2)从A点到B点；(3)从A点到B点；(4)从A点到B点；(5)任意起点头尾均可；(6)任意起点头尾均可。
解析：(1)(5)(6)全偶点任起任终；(2)(3)(4)有2个奇点A、B，从一个起另一个终。
水平测试 A 第7题(解答题)
下图是国际奥林匹克运动会的会标（五个相互套连的圆环），能一笔把它画成吗？
答案：能，因为图中所有的点都是偶点。
解析：五环交点处每个环交叉点连4条线是偶点，全图无奇点，可任起任终一笔画。
水平测试 A 第8题(解答题)
判断下列各图能否一笔画成：(1)瓶子/罐子 (2)松树 (3)圆内画五角星。
答案：(1)不能 (2)能 (3)能
解析：(1)有4个奇点不能；(2)只有2个奇点能；(3)没有奇点能。
水平测试 A 第9题(解答题)
判断下列各图能否一笔画成：(1)方环套方环 (2)三角形网格 (3)三圆交叠 (4)方格带对角线。
答案：(1)不能 (2)能 (3)能 (4)能
解析：(1)有8个奇点不能；(2)(3)没有奇点，任起任终；(4)有2个奇点，从一个起另一个终。
水平测试 A 第10题(解答题)
下列图形哪些能一笔画？(1)三角形ABC加中线AD (2)长方形画叉 (3)长方形内加线 (4)大三角套小三角 (5)两个相交圆。
答案：能：(1)(3)(5)；不能：(2)(4)
解析：(3)(5)全偶点任起任终回到起点；(1)只有A、D两个奇点，只能从A或D起、回到D或A；(2)(4)有4个奇点不能。
B层
水平测试 A 第1题(解答题)
观察下面8个图形，自己试试哪个能一笔画成：①三个分开的正方形 ②方框里套圆（不相连）③长方形中间横分两块 ④五角星 ⑤三个相交圆 ⑥田字格 ⑦长方形加一条穿出上下的竖线 ⑥田字格加穿出上下的竖线。
答案：能一笔画成的有③、④、⑤、⑦
解析：①三块分开不连通；②方和圆不相连；⑥田字格4个奇点；⑧田字格加竖线奇点更多。③横分长方形2奇点、④五角星全偶点、⑤相交圆全偶点、⑦2奇点，均可一笔画。
水平测试 A 第2题(解答题)
判断下面7个图形能否一笔画成（T形分割、长菱形带叉、圆内V线、方格带对角线、三角顶点画圈、三角贴小三角、三个分开小三角），为什么？
答案：能一笔画的有②、③、④、⑤、⑥
解析：按奇点个数判断：能一笔画的奇点为0或2；①T形分割有4个奇点、⑦三个三角不连通，不能一笔画。
水平测试 A 第3题(解答题)
下面各图中字母所标各点哪些是奇点、哪些是偶点？并判断能否一笔画。(1)多边形线网 (2)圆中带三角形 (3)三圆交叠。
答案：(1)奇点4个(B、C、D、E)，偶点3个(A、F、G)，不能；(2)奇点2个(A、B)，偶点4个(C、D、E、F)，能；(3)奇点2个(B、C)，偶点5个(A、D、E、F、G)，能。
解析：逐点数连线数：奇数为奇点、偶数为偶点；0或2个奇点能一笔画。
水平测试 A 第4题(解答题)
下面这些大写字母A、B、C、D中，哪些能一笔画成？请描出起点和终点。
答案：A、C、D能一笔画；B不能（B有4个奇点）。
解析：C、D全偶点可任起任终；A有2个奇点从尖角起笔；B的两个半圆交界产生4个奇点不能一笔画。
水平测试 A 第5题(解答题)
下面各图是否能一笔画成？(1)带把茶杯 (2)两个交叠方块 (3)机器人造型。
答案：(1)不能 (2)能 (3)不能
解析：茶杯把手连接处和机器人的伸出线产生超过2个奇点。
水平测试 A 第6题(解答题)
请一笔画出下列图形：(1)五角星 (2)带小方块的房子(A、B) (3)五边形(A、B) (4)圆内接三角(A、B) (5)Y形 (6)五边形内画五角星。
答案：(1)任意起点头尾画均可；(2)从A点到B点；(3)从A点到B点；(4)从A点到B点；(5)任意起点头尾均可；(6)任意起点头尾均可。
解析：(1)(5)(6)全偶点任起任终；(2)(3)(4)有2个奇点A、B，从一个起另一个终。
水平测试 A 第7题(解答题)
下图是国际奥林匹克运动会的会标（五个相互套连的圆环），能一笔把它画成吗？
答案：能，因为图中所有的点都是偶点。
解析：五环交点处每个环交叉点连4条线是偶点，全图无奇点，可任起任终一笔画。
水平测试 A 第8题(解答题)
判断下列各图能否一笔画成：(1)瓶子/罐子 (2)松树 (3)圆内画五角星。
答案：(1)不能 (2)能 (3)能
解析：(1)有4个奇点不能；(2)只有2个奇点能；(3)没有奇点能。
水平测试 A 第9题(解答题)
判断下列各图能否一笔画成：(1)方环套方环 (2)三角形网格 (3)三圆交叠 (4)方格带对角线。
答案：(1)不能 (2)能 (3)能 (4)能
解析：(1)有8个奇点不能；(2)(3)没有奇点，任起任终；(4)有2个奇点，从一个起另一个终。
水平测试 A 第10题(解答题)
下列图形哪些能一笔画？(1)三角形ABC加中线AD (2)长方形画叉 (3)长方形内加线 (4)大三角套小三角 (5)两个相交圆。
答案：能：(1)(3)(5)；不能：(2)(4)
解析：(3)(5)全偶点任起任终回到起点；(1)只有A、D两个奇点，只能从A或D起、回到D或A；(2)(4)有4个奇点不能。
水平测试 B 第1题(填空题)
下面每幅图至少各要几笔画成？①摄像机造型 ②带竖线的水桶。
答案：图①至少2笔；图②至少2笔
解析：两图奇点个数都是4，4÷2=2笔。
水平测试 B 第2题(填空题)
下面各图中，能一笔画出的有哪些，不能的有哪些？①吊灯 ②台灯 ③熨斗造型。
答案：能一笔画：②；不能：①、③
解析：②全偶点；①③伸出的线产生超过2个奇点。
水平测试 B 第3题(填空题)
下列各图中，能一笔画成的有哪些，不能的有哪些？那个不能的有几个奇点？①嵌套方框加十字线 ②3×3方格带对角 ③圆内接三角。
答案：能：①、②；不能：③，它有4个奇点
解析：①②奇点为0或2；③圆和三角形之间连接产生4个奇点。
水平测试 B 第4题(填空题)
下面6个图形能否一笔画？写出奇点个数：(1)雪人 (2)三层树 (3)方框内C形 (4)方框内两椭圆 (5)半圆加交叉三角 (6)五边连满对角线。
答案：(1)不能，8个奇点；(2)能，2个奇点；(3)不能，4个奇点；(4)能，0个奇点；(5)能，2个奇点；(6)能，2个奇点
解析：按奇点个数判断：0或2能一笔画，其余不能。
水平测试 B 第5题(解答题)
下面每组图形能否一笔画？如果能，画法上有什么不同？(1)两个交叠方块相连 (2)两个方块只碰角 (3)蘑菇形(椭圆+柄+底) (4)蘑菇形(椭圆+柄+底，略不同)。
答案：(1)能，全偶点，任一点出发返回起点；(2)能，2个奇点，从一个到另一个；(3)能，2个奇点；(4)能，全偶点任起任终。
解析：全偶点必须回到起点，2个奇点必须起于奇点终于奇点，这就是画法上的不同。
水平测试 B 第6题(解答题)
下列图形至少用几笔画成？(1)碗 (2)圆内画叉 (3)六边形分成6个三角 (4)缺一条线的田字格。
答案：(1)一笔 (2)两笔 (3)三笔 (4)四笔
解析：按奇点数÷2：碗全偶点1笔；圆叉4奇点2笔；六边形6奇点3笔；缺线田字格8奇点4笔。
水平测试 B 第7题(解答题)
观察下面三个连通图能否一笔画？①长方形ABCD ②长方形加对角线BD ③长方形加两条对角线。
答案：①、②能一笔画，③不能
解析：①4个角全偶点，如A→B→C→D→A；②只有B、D两个奇点，如B→C→D→B→A→D；③有A、B、C、D共4个奇点，要2笔。
水平测试 B 第8题(解答题)
判断下面三个图形哪个能一笔画？为什么？用字母和箭头表示画法。①梯形带内部线 ②长方形画叉 ③长方形竖分三格。
答案：①能（全偶点）；②能（只有C、F两个奇点）；③不能（4个奇点）
解析：①画法如A→B→C→D→E→F→G→E→B→G→A；②只有C、F两奇点，从C到F；③竖分三格有4个奇点超过2。
C层
水平测试 A 第1题(解答题)
观察下面8个图形，自己试试哪个能一笔画成：①三个分开的正方形 ②方框里套圆（不相连）③长方形中间横分两块 ④五角星 ⑤三个相交圆 ⑥田字格 ⑦长方形加一条穿出上下的竖线 ⑥田字格加穿出上下的竖线。
答案：能一笔画成的有③、④、⑤、⑦
解析：①三块分开不连通；②方和圆不相连；⑥田字格4个奇点；⑧田字格加竖线奇点更多。③横分长方形2奇点、④五角星全偶点、⑤相交圆全偶点、⑦2奇点，均可一笔画。
水平测试 A 第2题(解答题)
判断下面7个图形能否一笔画成（T形分割、长菱形带叉、圆内V线、方格带对角线、三角顶点画圈、三角贴小三角、三个分开小三角），为什么？
答案：能一笔画的有②、③、④、⑤、⑥
解析：按奇点个数判断：能一笔画的奇点为0或2；①T形分割有4个奇点、⑦三个三角不连通，不能一笔画。
水平测试 A 第3题(解答题)
下面各图中字母所标各点哪些是奇点、哪些是偶点？并判断能否一笔画。(1)多边形线网 (2)圆中带三角形 (3)三圆交叠。
答案：(1)奇点4个(B、C、D、E)，偶点3个(A、F、G)，不能；(2)奇点2个(A、B)，偶点4个(C、D、E、F)，能；(3)奇点2个(B、C)，偶点5个(A、D、E、F、G)，能。
解析：逐点数连线数：奇数为奇点、偶数为偶点；0或2个奇点能一笔画。
水平测试 A 第4题(解答题)
下面这些大写字母A、B、C、D中，哪些能一笔画成？请描出起点和终点。
答案：A、C、D能一笔画；B不能（B有4个奇点）。
解析：C、D全偶点可任起任终；A有2个奇点从尖角起笔；B的两个半圆交界产生4个奇点不能一笔画。
水平测试 A 第5题(解答题)
下面各图是否能一笔画成？(1)带把茶杯 (2)两个交叠方块 (3)机器人造型。
答案：(1)不能 (2)能 (3)不能
解析：茶杯把手连接处和机器人的伸出线产生超过2个奇点。
水平测试 A 第6题(解答题)
请一笔画出下列图形：(1)五角星 (2)带小方块的房子(A、B) (3)五边形(A、B) (4)圆内接三角(A、B) (5)Y形 (6)五边形内画五角星。
答案：(1)任意起点头尾画均可；(2)从A点到B点；(3)从A点到B点；(4)从A点到B点；(5)任意起点头尾均可；(6)任意起点头尾均可。
解析：(1)(5)(6)全偶点任起任终；(2)(3)(4)有2个奇点A、B，从一个起另一个终。
水平测试 A 第7题(解答题)
下图是国际奥林匹克运动会的会标（五个相互套连的圆环），能一笔把它画成吗？
答案：能，因为图中所有的点都是偶点。
解析：五环交点处每个环交叉点连4条线是偶点，全图无奇点，可任起任终一笔画。
水平测试 A 第8题(解答题)
判断下列各图能否一笔画成：(1)瓶子/罐子 (2)松树 (3)圆内画五角星。
答案：(1)不能 (2)能 (3)能
解析：(1)有4个奇点不能；(2)只有2个奇点能；(3)没有奇点能。
水平测试 A 第9题(解答题)
判断下列各图能否一笔画成：(1)方环套方环 (2)三角形网格 (3)三圆交叠 (4)方格带对角线。
答案：(1)不能 (2)能 (3)能 (4)能
解析：(1)有8个奇点不能；(2)(3)没有奇点，任起任终；(4)有2个奇点，从一个起另一个终。
水平测试 A 第10题(解答题)
下列图形哪些能一笔画？(1)三角形ABC加中线AD (2)长方形画叉 (3)长方形内加线 (4)大三角套小三角 (5)两个相交圆。
答案：能：(1)(3)(5)；不能：(2)(4)
解析：(3)(5)全偶点任起任终回到起点；(1)只有A、D两个奇点，只能从A或D起、回到D或A；(2)(4)有4个奇点不能。
水平测试 C 第1题(填空题)
说出下图能否一笔画，标出能一笔画图形的路线：①交叠方块加对角 ②五边连满线 ③上下两矩形加竖线 ④圆内分格 ⑤缺顶U形 ⑥圆内三角套方。
答案：能一笔画：①、②、③、⑤、⑥；不能：④
解析：按奇点个数：④超过2个奇点不能，其余0或2个奇点能。
水平测试 C 第2题(填空题)
下面各图至少需要几笔画成？①3×3方格满对角 ②大三角套小三角 ③圆环加十字辐条。
答案：①需6笔；②需3笔；③需2笔
解析：奇点数÷2：①12个奇点÷2=6；②6个奇点÷2=3；③4个奇点÷2=2。
水平测试 C 第3题(解答题)
下面哪个图能一笔画？哪个不能？若不能至少几笔？①带把茶杯 ②大矩形上下各叠小方块 ③斜着连成一串的方块。
答案：①不能，要2笔；②能一笔画；③不能，要3笔
解析：①4个奇点2笔；②0个奇点；③6个奇点3笔。
水平测试 C 第4题(解答题)
在六面体（八面体）顶点B和E处各有一只蚂蚁，比赛谁先爬过所有棱线最终到达D点，爬速相同。在何处的蚂蚁能获胜？
答案：在E处的蚂蚁能获胜，因为E、D是奇点。
解析：爬过所有棱线不重复就是一笔画。八面体中E和D是两个奇点，必须从一个奇点起、另一个奇点终。E处蚂蚁从E出发正好到D结束，能一次爬完；B处蚂蚁做不到。
水平测试 C 第5题(解答题)
每个小正方形边长都是100米。小明沿线段从左下角A点出发，不许走重复路，最少走多少米才能到达右上角B点？（3×3方格）
答案：600米
解析：3×3方格网有若干奇点，要从A到B不重复走完路，必须把多余奇点两两“重复走”一条边连接。最少多走的路加上最短路程，共600米。
水平测试 C 第6题(解答题)
下面图形不能一笔画，至少要几笔画成？①六角星（大卫之星）加中心连线 ②长方形竖分。
答案：①6个奇点，要3笔；②8个奇点，要4笔
解析：奇点数÷2：6÷2=3笔，8÷2=4笔。
水平测试 C 第7题(解答题)
下面各图至少添加几笔才能成为一笔画？①方格加对角 ②六边形分6三角 ③2×3方格。
答案：①至少添1笔；②至少添2笔；③至少添2笔
解析：添线数=(奇点数−2)÷2：①4个奇点添1；②6个奇点添2；③6个奇点添2。
水平测试 C 第8题(解答题)
一个花园的小径如图（两个圆并排由两切线相连），散步者能否不重复地一次走遍全部小径？
答案：不能
解析：图中有4个奇点，超过2个，不能一笔画，所以不能不重复一次走遍。
水平测试 C 第9题(解答题)
一只蚂蚁从长方形中P点出发，要越过图中16条线段，每条线段只通过一次，且不能通过线段端点。存在这样的路线吗？
答案：这样的路线不存在
解析：图中奇点个数超过2个，不能一笔画，所以不存在每条线只走一次的路线。
水平测试 C 第10题(解答题)
右图是一个公园道路平面图（梯形ABCDH，内部有I、D、E等点），要使游客走遍每条路且不重复，出、入口应设在哪里？
答案：出、入口设在E、I处
解析：只有E、I两处是奇点，其余都是偶点。要走遍每条路不重复，必须把这两个奇点分别设为起点和终点。
四、方法小结
一笔画三步：①先看连通不连通；②数每个点连几条线，标出奇点（连奇数条）；③奇点0个任起任终回到起点，奇点2个从一个奇点起到另一个奇点终，奇点超过2个不能一笔画。不能一笔画时最少笔数=奇点个数÷2；想改成一笔画，就把多余奇点两两连线，每连一条消两个奇点，留2个即可。实际走路/游公园问题，出入口就设在两个奇点上。
五、作业建议
基础必做：- 教材P161 水平测试A 第1–3题（数点、判断能否一笔画）
巩固选做：- 教材P162–163 水平测试A 第4–10题（字母、器物、五环、网格判断）
- 教材P165–167 水平测试B 第1–6题（几笔画、起笔规则）
提高挑战：- 教材P167 水平测试B 第7、8题（三个连通图对比、字母路线）
- 教材P169–171 水平测试C 第1–10题（几笔画、蚂蚁、公园出入口、添线）
六、课堂错因定位
症状：不先数奇点就说能不能画
根因：方法：凭感觉画，没养成数点习惯。
补救：要求每题先在图上圈出所有奇点，写个数，再下结论。
症状：不连通的图也判断能一笔画
根因：前提：忘记先看连通。
补救：第一步先问：这图是一整块吗？分开的几块不能一笔画。
症状：算多笔画时数奇点却不除以2
根因：公式：把奇点数当笔数。
补救：强调最少笔数=奇点÷2，并板书几个例子。
症状：公园入口随便选
根因：应用：没把走路问题对应到起终点=奇点。
补救：回到典例C1：不重复走遍=一笔画，入口出口必须在两个奇点上。