【教师版】第18讲 · 数数与计数
二年级奥数 · 教材第206–215页（第18讲全讲）
一、知识要点
线段计数：从(n−1)加到1
本质：一条直线上有n个点，就有(n−1)条基本线段；由2条拼成的有(n−2)条……总数=(n−1)+(n−2)+…+2+1。
适用：A2：直线上A、B、C、D共4个点，3+2+1=6条。水平测试A第2题6个点，5+4+3+2+1=15条。
- 先数由1条基本线段组成的：AB、BC、CD，共3条。
- 再数由2条拼成的：AC、BD，共2条。
- 最后由3条拼成的：AD，1条。加起来。
典型错误：只数基本线段3条，漏数组合出来的。
角与同顶点三角形：同样加
本质：从一点引出n条射线，角的总数=(n−1)+…+1；三角形共一个顶点被分成n−1个小三角时，总数也是(n−1)+…+1。
适用：B2：4条射线共4+3+2+1=10个角。B3图③：大三角形从顶点分3个小三角，3+2+1=6个三角形。
- 基本角有几个，就从几开始倒着加到1。
- 共顶点的三角形同理。
典型错误：只数小角，漏数由几个小角合成的大角。
长方形：按拼块分类
本质：一排m个基本长方形，长方形总数=m+(m−1)+…+1；若有行列网格，横向选法×纵向选法。
适用：B1：4块并排长方体，4+3+2+1=10个。B3图①4个竖条长方形=4+3+2+1=10。
- 先数1块的，再数2块合起来的、3块合起来的、4块合起来的。
典型错误：只数单个，漏数相邻合并的。
正方形：按大小数
本质：正方形要分大小数：1×1的有几个，2×2的有几个，3×3的有几个，再加起来。
适用：B3图②2行3列小格：1×1有6个，2×2有2个，共8个。水平测试B第6题3×3：9+4+1=14个。
- 先数最小的正方形。
- 再数由2×2个小格拼成的正方形，最后数最大的。
典型错误：把长方形也当正方形数；或漏数大正方形。
数方块与涂色：分层、分面
本质：数立体方块从上到下分层数，注意被挡住的；涂色题按露在外面几个面（3面、4面、5面）分类数。
适用：水平测试C第3题三堆方块分层数；第11题T形8块涂色，按3面/4面/5面涂色分类。
- 从上到下一层层数，上层压着的下层一定有方块。
- 涂色：在角上露3面，在边上露4面，孤立露5面。
典型错误：漏数被上面压住的方块；涂色面数数错。
二、典例精讲
典例 A1
数一数，图中一共有多少个点？（五个三角形点阵，点数依次为1、3、6、9、12）
训练点：按堆分类点数，再连加。
提示：
1. 把五个小图分开，先数第一堆几个，再数第二堆……
1五堆分别是1、3、6、9、12个依据：按图逐堆数。
答：31个
典型错法：跳着数漏点。
典例 A2
数一数，左图中一共有多少条线段？（直线上有A、B、C、D四个点）
训练点：线段计数基本模型。
提示：
1. 由1段组成的有几条？由2段拼成的呢？由3段拼成的呢？
11段：AB、BC、CD共3条依据：先数最短的基本线段。
22段：AC、BD共2条依据：再数由两段拼成的长线段，最容易漏。
33段：AD共1条依据：最后三段全合成一条最长的。
43+2+1=6依据：按拼块大小分类加起来，做到不重不漏。
答：6条
典型错法：漏数组合线段。
典例 A3
数一数，右图中一共有多少个三角形？（大三角形从顶点向内部一点连线，分成3个小三角形）
训练点：基本三角+大三角。
答：4个
典型错法：漏数大三角形。
典例 B1
数一数，左图中一共有多少个长方体？（4个小长方体并排编号1、2、3、4）
训练点：一排图形按拼块数。
提示：
1. 2个合起来有几种（12、23、34）？3个合起来呢？4个合起来呢？
11块：4个；2块：3个；3块：2个；4块：1个依据：按拼块分类。
答：10个
典型错法：只数单个。
典例 B2
数一数，左图中一共有多少个角？（从一点引出4条射线）
训练点：角计数模型。
提示：
1. 由2个基本角合成的有几个？3个合成的呢？4个合成的呢？
1基本角4个，2合1的3个，3合1的2个，4合1的1个依据：按拼块分类。
答：10个
典型错法：漏数合成角。
典例 B3
数一数，下图中的长方形、正方形、三角形分别有多少个？（图①4个竖条长方形；图②2行3列小格；图③从顶点分3个小三角形）
训练点：区分长方形与正方形。
提示：
1. 图①按拼块数长方形。图②里6个小格是正方形，还有几个大正方形？图③同A2模型。
1图①长方形：4+3+2+1=10依据：一排4个。
2图②正方形：小的6个，2×2大的2个，共8个依据：正方形分大小数。
3图③三角形：3+2+1=6依据：共顶点三角形模型。
答：长方形10个，正方形8个，三角形6个
典型错法：长方形和正方形混着数。
典例 C1
数一数，右图中一共有多少个三角形？（雪花状对称图形）
训练点：按大小分类数。
提示：
1. 把三角形按从小到大分成几种，每种各有几个？
1最小的24个，大一点的12个，再大的6个，最大的2个依据：按大小分类。
答：44个
典型错法：只数一种大小。
典例 C2
数一数，右图中一共有多少个三角形？（大三角形里从两个顶点各引一条线段相交）
训练点：复杂图形枚举。
答：8个
典型错法：漏数由几条线围成的三角形。
典例 C3
数一数，右图中一共有多少个长方形？（不对称的分割图）
训练点：分类枚举不规则分割。
答：5个
典型错法：漏数。
典例 C4
数一数，右图中含“☆”的长方形有多少个？（2行3列小方格，☆在第一行中间）
训练点：数包含指定图形的长方形。
提示：
1. 只要长方形把☆框进去就算。☆所在的1个，两个小格拼成的、三个拼成的、六个拼成的，都数一遍。
1含☆的：1个基本；2格拼的3个；3格拼的1个；4格拼的2个；6格大的1个依据：按拼块分类。
答：8个
典型错法：只数☆所在小格。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数，图中共有多少条线段？（直线上分成4小段，共5个分点）
水平测试 A 第2题(填空题)
图中共有多少条线段？（直线上A、B、C、D、E、F六个点）
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数，图中一共有多少条线段？（一条折线，分成两段和三段两部分）
答案：9
解析：(2+1)+(3+2+1)=3+6=9条。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数，图①和图②中分别有多少个黑方块和白方块？（两个黑白相间棋盘格）
答案：图①黑32个、白32个；图②黑40个、白41个
解析：按棋盘格逐色数；图①黑白相等，图②白比黑多1。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数，下图中的图①和图②分别有多少个三角形？（图①大三角形分成4个小三角；图②三个三角形叠放）
答案：图①5个；图②5个
解析：图①4小+1大=5；图②三个叠放共5个。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数，图中共有多少条线段？（直线上分成4小段，共5个分点）
水平测试 A 第2题(填空题)
图中共有多少条线段？（直线上A、B、C、D、E、F六个点）
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数，图中一共有多少条线段？（一条折线，分成两段和三段两部分）
答案：9
解析：(2+1)+(3+2+1)=3+6=9条。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数，图①和图②中分别有多少个黑方块和白方块？（两个黑白相间棋盘格）
答案：图①黑32个、白32个；图②黑40个、白41个
解析：按棋盘格逐色数；图①黑白相等，图②白比黑多1。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数，下图中的图①和图②分别有多少个三角形？（图①大三角形分成4个小三角；图②三个三角形叠放）
答案：图①5个；图②5个
解析：图①4小+1大=5；图②三个叠放共5个。
水平测试 B 第1题(填空题)
数一数，图中一共有多少个角？（从一点引出4条射线）
水平测试 B 第2题(填空题)
数一数，图中一共有多少个角？（从一点引出5条射线）
水平测试 B 第3题(填空题)
数一数，图中一共有多少个正方形？（7个小正方形组成的L形）
答案：11
解析：小正方形8个，由2×2拼成的大正方形3个，共11个。
水平测试 B 第4题(填空题)
数一数，图中三角形一共有多少个？（大三角形从顶点引5条射线到底边）
水平测试 B 第5题(填空题)
数一数，图中有多少个三角形？（三角形中间有一条横线，顶点仍引4条射线）
答案：20
解析：上下两层各4+3+2+1=10，共20个。
水平测试 B 第6题(填空题)
数一数，图中有多少个正方形？（3行3列方格）
答案：14
解析：小9个+2×2的4个+最大1个=14。
水平测试 B 第7题(填空题)
数一数，图中有多少个三角形？（大三角形被分成9个小三角）
答案：13
解析：小的9个+由4个小三角拼成的3个+整个1个=13。
水平测试 B 第8题(填空题)
数一数，图中长方形一共有多少个？（2行，中间一列为宽长条）
答案：18
解析：横向(3+2+1)×纵向(2+1)=6×3=18个。
水平测试 B 第9题(填空题)
由六边形特型砖砌成的墙，中间有个雪花状的洞，需要多少块如右边所示的六边形砖才能补好？
水平测试 B 第10题(填空题)
数一数，图中三角形一共有多少个？（三角形内两条横线，顶点引3条射线）
答案：18
解析：(3+2+1)×3层=6×3=18个。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数，图中共有多少条线段？（直线上分成4小段，共5个分点）
水平测试 A 第2题(填空题)
图中共有多少条线段？（直线上A、B、C、D、E、F六个点）
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数，图中一共有多少条线段？（一条折线，分成两段和三段两部分）
答案：9
解析：(2+1)+(3+2+1)=3+6=9条。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数，图①和图②中分别有多少个黑方块和白方块？（两个黑白相间棋盘格）
答案：图①黑32个、白32个；图②黑40个、白41个
解析：按棋盘格逐色数；图①黑白相等，图②白比黑多1。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数，下图中的图①和图②分别有多少个三角形？（图①大三角形分成4个小三角；图②三个三角形叠放）
答案：图①5个；图②5个
解析：图①4小+1大=5；图②三个叠放共5个。
水平测试 C 第1题(填空题)
下图中的图形分别有多少个三角形？（图①两条交叉线的三角形；图②五角星）
水平测试 C 第2题(填空题)
数一数，左图中有多少个长方形？
水平测试 C 第3题(填空题)
下图中的图形分别有多少块木方块？（三个立体方块图）
答案：14块、15块、19块
解析：分层数：6+5+3=14；3×5=15；4+6+9=19。
水平测试 C 第4题(填空题)
数一数，下图各有多少个三角形？（图①带一条横线的三角形；图②两个并排加对角线的矩形）
水平测试 C 第5题(填空题)
数一数，下图各有多少个长方形？（两个嵌套长方形图）
答案：图①15个；图②11个
解析：分类枚举嵌套长方形。
水平测试 C 第6题(解答题)
有一片5×5的空地，除树木所占的小正方形之外，要用T形状的水泥板铺地，需要多少块这样的水泥板？怎样铺？
答案：需要6块水泥板
解析：去掉6棵树后剩余格用T板铺满，需6块。
水平测试 C 第7题(填空题)
右图中含“○”的长方形一共有多少个？
水平测试 C 第8题(填空题)
右图中有多少个三角形？有多少个正方形？有多少个六边形？
答案：13个三角形，15个正方形，18个六边形
解析：六边形不仅指正六边形，按形状分类数。
水平测试 C 第9题(解答题)
一块地板由A、B、C三种不同图案的瓷砖拼成，问这三种瓷砖各用了多少块？
答案：A用12块，B用16块，C用8块
解析：按图案分类数方格。
水平测试 C 第10题(填空题)
左面这堆木方块共有多少块？（阴影部分从上到下为空心）
答案：39块
解析：15×3−2×3=39块（三层，减去空心部分）。
水平测试 C 第11题(解答题)
将8块小立方体组成T字形，表面都涂成红色，然后分开。问：3面、4面、5面被涂成红色的小立方体各有多少块？
答案：3面涂色1块，4面涂色4块，5面涂色3块
解析：按每个方块露在外面的面数分类。
水平测试 C 第12题(解答题)
一块大长方体表面涂红，切成18块小立方体。其中1面、2面、3面被涂成红色的各有几块？
答案：1面2块，2面8块，3面8块
解析：1面在面中间，2面在棱中间，3面在角上。
水平测试 C 第13题(解答题)
由小正方体堆成的塔，外表面（包括底面）全涂绿色，拆开时3面被涂成绿色的小正方体共有多少块？
四、方法小结
数图形要按分类法做到不重不漏。线段、角、共顶点三角形：有n个点（射线）就从n−1倒着加到1。长方形按拼块分类或横向选边×纵向选边；正方形要按大小分别数1×1、2×2、3×3再相加。含指定图形的按拼块大小逐类数。立体方块分层数，涂色题按露在外面几个面分类。
五、作业建议
基础必做：- 教材P207 水平测试A 第1–3题（线段）
- 教材P207–208 水平测试A 第4、5题（棋盘格、三角形）
巩固选做：- 教材P209–210 水平测试B 第1–5题（角、正方形、三角形）
- 教材P210 水平测试B 第6–10题（3×3方格、多层三角、六边形洞）
提高挑战：- 教材P212–213 水平测试C 第1–5题（复杂图形、立体方块、嵌套长方形）
- 教材P213–215 水平测试C 第6–13题（铺砖、含图形长方形、瓷砖分类、涂色问题）
六、课堂错因定位
症状：数线段只数基本线段
根因：方法：没分类数组合图形。
补救：用A2图：先数1段、再数2段合、3段合，三类相加。
症状：长方形和正方形混着数
根因：概念：正方形按大小数，长方形按行列选边。
补救：强调正方形要分1×1、2×2、3×3分别数。
症状：复杂图形漏数或重数
根因：习惯：没按顺序分类。
补救：要求按大小/按位置一类一类数，数过的做记号。
症状：立体图漏数被挡住的方块
根因：空间想象：只数看得见的。
补救：分层数，上层压着的下层一定有方块。
症状：含指定图形的长方形只数小格
根因：概念：只要框住☆就算。
补救：用C4按拼块大小逐类数一遍。