【教师版】第3讲 · 速算与巧算
二年级奥数 · 教材第25–35页（第3讲全讲）
一、知识要点
凑整：个位凑10，先算好朋友
本质：加法中，个位相加满10的两个数先加，凑成整十整百；这是加法交换律和结合律的应用。
适用：如 58+44+6：44+6=50 凑整，先算；又如 3+5+6+8+25+32+44+77：(3+77)+(5+25)+(6+44)+(8+32) 四对都凑整。
- 加法交换律：交换加数位置，和不变。
- 加法结合律：先算哪两个，和不变。
- 所以把能凑整的先加。
典型错误：为凑整而凑整，忘记交换位置时符号要一起搬。
带符号搬家：交换位置连符号一起搬
本质：在加减混合算式中，可以交换数的位置，但每个数要带着它前面的符号一起搬。
适用：如 72−140+28+540：把 +28 搬到 72 旁凑100，把 +540 搬到 −140 旁凑400：(72+28)+(540−140)=100+400=500。
- 每个数前面的符号是它的“车牌”，搬家要连车牌一起。
- 凑成整百后再算。
典型错误：搬 28 时把前面的“+”丢了，变成 72−28。
减法性质：连减变减和，减加变减差
本质：a−b−c=a−(b+c)；a−b+c=a−(b−c)。括号前是减号，括号里要变号。
适用：如 490+440−140：440−140=300 先算；如 1000−44÷2×3−34 中 66+34=100 可先合并。
- 一个数连续减两个数，等于减这两个数的和。
典型错误：添括号时不变号：a−b+c=a−(b+c) 是错的，应是 a−(b−c)。
拆数与借数：凑整后多退少补
本质：接近整十整百的数，先凑成整十整百，再多退少补：多加要减、少加要补；多减要加、少减要再减。
适用：如 267+198=267+200−2（198看成200多加了2，要减2）；876−99=876−100+1（99看成100多减了1，要加1）。
- 198=200−2，加198等于加200再减2。
- 99=100−1，减99等于减100再加1。
典型错误：加198算成+200+2；减99算成−100−1。方向搞反。
分组：加减交替每两个一组
本质：加减交替出现时，每两个一组，每组算成相同的数。
适用：如 10−9+8−7+6−5+4−3+2−1=(10−9)+(8−7)+…+(2−1)=1×5=5；44−40+36−32+28−24=4×3=12。
- 每两个数一组：(大−小)=1。
- 有几组就有几个1。
典型错误：分组时组与组之间的符号搞错。
二、典例精讲
典例 A1
计算：58+44+6。
训练点：两个数先凑整。
提示：
1. 44和6合起来是多少？
2. 能不能先算 44+6？
1原式=58+(44+6)=58+50=108。依据：为什么想到先算44+6？6和44个位凑10正好得50，整十好算；加法结合律允许先把这两个加起来，不影响结果。
答：108
典型错法：不凑整，从左往右硬算。
典例 A2
计算：3+5+6+8+25+32+44+77。
训练点：多个数中找四对好朋友。
提示：
1. 3和77凑成多少？5和25呢？
2. 6和44、8和32呢？
1原式=(3+77)+(5+25)+(6+44)+(8+32)=80+30+50+40=200。依据：为什么跨位置找朋友？观察个位：3配77、5配25、6配44、8配32，每对都凑整十；交换律允许把它们搬一起，结合律允许先加。
答：200
典型错法：只找相邻的朋友，不跨位置找。
典例 A3
计算：10−9+8−7+6−5+4−3+2−1。
训练点：加减交替分组。
提示：
1. 每两个一组：10−9=几？8−7=几？
2. 一共有几组？
1原式=(10−9)+(8−7)+(6−5)+(4−3)+(2−1)=1+1+1+1+1=5。依据：为什么想到分组？加减交替、相邻两个数一减一，每两个一组都是1；有5组就有5个1，比从左往右连加连减快。
答：5
典型错法：不分组，从左往右算易错。
典例 A4
计算：490+440−140。
训练点：先算后面的减法凑整。
1原式=490+(440−140)=490+300=790。依据：为什么想到先算后面的减？440−140正好凑成300整百；减法性质 a+b−c=a+(b−c)，可以先把后面的减算掉。
答：790
典型错法：从左往右先加，不观察能否凑整。
典例 A5
计算：72−140+28+540。
训练点：带符号搬家凑整。
提示：
1. 把 +28 搬到 72 旁边，72+28=？
2. 把 +540 搬到 −140 旁边，540−140=？
1原式=(72+28)+(540−140)=100+400=500。依据：为什么想到搬家？72差28凑100，−140和+540能凑400；把+28搬到72旁、+540搬到−140旁，注意连符号一起搬。
答：500
典型错法：搬数时丢符号：写成 72−28。
典例 B1
计算：734+102。
训练点：拆数：102=100+2。
提示：
1. 102接近哪个整百数？
2. 加100后还要加几？
1原式=734+100+2=834+2=836。依据：为什么拆102？102接近整百100，先加100整百好算，再加回多拆出的2。
答：836
典型错法：拆102成100+2后忘记加2。
典例 B2
计算：267+198。
训练点：借数：198看成200，多加了2要减。
提示：
1. 198看成200，多加了几？
2. 多加了要怎么办？
1原式=267+200−2=467−2=465。依据：为什么加200再减2？198看成200好算，但多加了2，多加要减去，所以再减2。
答：465
典型错法：多加2却再加2：267+200+2。
典例 B3
计算：876−99。
训练点：借数：99看成100，多减了1要加回。
提示：
1. 99看成100，多减了几？
2. 多减了要怎么办？
1原式=876−100+1=776+1=777。依据：为什么减100再加1？99看成100好算，但多减了1，多减要补上，所以再加1。
答：777
典型错法：多减1却再减1：876−100−1。
典例 B4
计算：624−108。
训练点：拆数：108=100+8，连减。
提示：
1. 108=100+8，先减100再减8。
1原式=624−100−8=524−8=516。依据：为什么拆108？108=100+8，减108等于先减100再减8，分两步好算。
答：516
典型错法：减100后不加不减，漏掉8。
典例 C1
计算：53+49+18。
训练点：拆53=50+1+2，分别和49、18凑整。
提示：
1. 49差几凑50？18差几凑20？
2. 把53拆成 50+1+2，1给49、2给18。
1原式=(50+1+2)+49+18=50+(1+49)+(2+18)=50+50+20=120。依据：为什么拆53？49差1凑50、18差2凑20；从53里拆出1和2分别送给它们凑整，剩下50正好。
答：120
典型错法：不知道从哪个数里拆补数。
典例 C2
计算：8+18+28+38。
训练点：从外面补一个2给每个数凑整。
提示：
1. 8差几凑10？18差几凑20？28、38呢？
2. 每个都差2，共要补几个2？从哪来？
1原式=8+18+28+38=(2+2+2+2)+18+28+38=2+(2+18)+(2+28)+(2+38)=2+20+30+40=92。依据：为什么拆8？18、28、38每个都差2凑整十，共要补3个2；从8里拆出6（3个2）补过去，8拆成2+6，剩下2。
答：92
典型错法：补数来源搞错。
典例 C3
计算：2998+995+99+48。
训练点：把接近整千整百的数都凑整，再减去多算的。
提示：
1. 2998看成3000，多算了几？995看成1000呢？99看成100呢？
2. 总共多算了几？从48里减掉。
1原式=(3000−2)+(1000−5)+(100−1)+48=3000+1000+100+48−8=4140。依据：为什么三个数都凑整？2998、995、99都接近整千整百整十，先看成3000、1000、100好加；共多算了2+5+1=8，最后从48里减掉。
答：4140
典型错法：凑整后忘记减去多算的2+5+1。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
73+41+9
答案：123
解析：73+(41+9)=73+50=123。
水平测试 A 第2题
5+79+35
答案：119
解析：(5+35)+79=40+79=119。
水平测试 A 第3题
40+370+30
答案：440
解析：40+(370+30)=40+400=440。
水平测试 A 第4题
510+270+290
答案：1070
解析：(510+290)+270=800+270=1070。
水平测试 A 第5题
490+440−140
答案：790
解析：490+(440−140)=490+300=790。
水平测试 A 第6题
430−50+170
答案：550
解析：(430+170)−50=600−50=550。
水平测试 A 第7题
45+370+55−70
答案：400
解析：(45+55)+(370−70)=100+300=400。
水平测试 A 第8题
15+46+4
答案：65
解析：15+(46+4)=15+50=65。
水平测试 A 第9题
65+43+25
答案：133
解析：(65+25)+43=90+43=133。
水平测试 A 第10题
9+41+8+32
答案：90
解析：(9+41)+(8+32)=50+40=90。
水平测试 A 第11题
21+33+17+9
答案：80
解析：(21+9)+(33+17)=30+50=80。
水平测试 A 第12题
97+260+140
答案：497
解析：97+(260+140)=97+400=497。
水平测试 A 第13题
430+78+170
答案：678
解析：(430+170)+78=600+78=678。
水平测试 A 第14题
15+16+17+4+5
答案：57
解析：(15+5)+(16+4)+17=20+20+17=57。
水平测试 A 第15题
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
答案：100
解析：(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20×5=100。
水平测试 A 第16题
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
答案：110
解析：(2+18)+(4+16)+(6+14)+(8+12)+(10+20)=20×4+30=110。
水平测试 A 第17题
1+3+21+27+39+59
答案：150
解析：(1+59)+(3+27)+(21+39)=60+30+60=150。
水平测试 A 第18题
21+22+23+24+25+26+27+28+29
答案：225
解析：(21+29)+(22+28)+(23+27)+(24+26)+25=50×4+25=225。
水平测试 A 第19题
25+27+29+31+33+35
答案：180
解析：(25+35)+(27+33)+(29+31)=60×3=180。
水平测试 A 第20题
44−40+36−32+28−24
答案：12
解析：(44−40)+(36−32)+(28−24)=4+4+4=12。
B层
水平测试 A 第1题
73+41+9
答案：123
解析：73+(41+9)=73+50=123。
水平测试 A 第2题
5+79+35
答案：119
解析：(5+35)+79=40+79=119。
水平测试 A 第3题
40+370+30
答案：440
解析：40+(370+30)=40+400=440。
水平测试 A 第4题
510+270+290
答案：1070
解析：(510+290)+270=800+270=1070。
水平测试 A 第5题
490+440−140
答案：790
解析：490+(440−140)=490+300=790。
水平测试 A 第6题
430−50+170
答案：550
解析：(430+170)−50=600−50=550。
水平测试 A 第7题
45+370+55−70
答案：400
解析：(45+55)+(370−70)=100+300=400。
水平测试 A 第8题
15+46+4
答案：65
解析：15+(46+4)=15+50=65。
水平测试 A 第9题
65+43+25
答案：133
解析：(65+25)+43=90+43=133。
水平测试 A 第10题
9+41+8+32
答案：90
解析：(9+41)+(8+32)=50+40=90。
水平测试 A 第11题
21+33+17+9
答案：80
解析：(21+9)+(33+17)=30+50=80。
水平测试 A 第12题
97+260+140
答案：497
解析：97+(260+140)=97+400=497。
水平测试 A 第13题
430+78+170
答案：678
解析：(430+170)+78=600+78=678。
水平测试 A 第14题
15+16+17+4+5
答案：57
解析：(15+5)+(16+4)+17=20+20+17=57。
水平测试 A 第15题
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
答案：100
解析：(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20×5=100。
水平测试 A 第16题
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
答案：110
解析：(2+18)+(4+16)+(6+14)+(8+12)+(10+20)=20×4+30=110。
水平测试 A 第17题
1+3+21+27+39+59
答案：150
解析：(1+59)+(3+27)+(21+39)=60+30+60=150。
水平测试 A 第18题
21+22+23+24+25+26+27+28+29
答案：225
解析：(21+29)+(22+28)+(23+27)+(24+26)+25=50×4+25=225。
水平测试 A 第19题
25+27+29+31+33+35
答案：180
解析：(25+35)+(27+33)+(29+31)=60×3=180。
水平测试 A 第20题
44−40+36−32+28−24
答案：12
解析：(44−40)+(36−32)+(28−24)=4+4+4=12。
水平测试 B 第1题
16+58
答案：74
解析：拆16=14+2：14+(2+58)=14+60=74。
水平测试 B 第2题
565+99
答案：664
解析：565+100−1=665−1=664。
水平测试 B 第3题
462−103
答案：359
解析：462−100−3=362−3=359。
水平测试 B 第4题
28+45
答案：73
解析：拆45=43+2：(28+2)+43=30+43=73。
水平测试 B 第5题
44+69
答案：113
解析：拆44=43+1：43+(1+69)=43+70=113。
水平测试 B 第6题
47+35
答案：82
解析：拆35=3+32：(47+3)+32=50+32=82。
水平测试 B 第7题
345+97
答案：442
解析：345+100−3=445−3=442。
水平测试 B 第8题
104+898
答案：1002
解析：104+900−2=1004−2=1002。
水平测试 B 第9题
571−203
答案：368
解析：571−200−3=371−3=368。
水平测试 B 第10题
393−198
答案：195
解析：393−200+2=193+2=195。
水平测试 B 第11题
(22+24+26+28+30)−(21+23+25+27+29)
答案：5
解析：两两配对：(22−21)+(24−23)+(26−25)+(28−27)+(30−29)=1×5=5。
水平测试 B 第12题
454+220−154+80
答案：600
解析：(454−154)+(220+80)=300+300=600。
水平测试 B 第13题
86+57−17+114+234
答案：474
解析：(86+114)+(57−17)+234=200+40+234=474。
水平测试 B 第14题
9+98+997+1+2+3
答案：1110
解析：(9+1)+(98+2)+(997+3)=10+100+1000=1110。
水平测试 B 第15题
99−1+98−2+97−3+96−4
答案：380
解析：(99−4)+(98−3)+(97−2)+(96−1)=95×4=380。
水平测试 B 第16题
67+360−60
答案：367
解析：67+(360−60)=67+300=367。
水平测试 B 第17题
750−90+50
答案：710
解析：(750+50)−90=800−90=710。
水平测试 B 第18题
43+260+37+140
答案：480
解析：(43+37)+(260+140)=80+400=480。
水平测试 B 第19题
162+88+112−62
答案：300
解析：(162−62)+(88+112)=100+200=300。
水平测试 B 第20题
95−130+105+530
答案：600
解析：(95+105)+(530−130)=200+400=600。
水平测试 B 第21题
238+59−38+41
答案：300
解析：(238−38)+(59+41)=200+100=300。
水平测试 B 第22题
75+538−338+25
答案：300
解析：(75+25)+(538−338)=100+200=300。
C层
水平测试 A 第1题
73+41+9
答案：123
解析：73+(41+9)=73+50=123。
水平测试 A 第2题
5+79+35
答案：119
解析：(5+35)+79=40+79=119。
水平测试 A 第3题
40+370+30
答案：440
解析：40+(370+30)=40+400=440。
水平测试 A 第4题
510+270+290
答案：1070
解析：(510+290)+270=800+270=1070。
水平测试 A 第5题
490+440−140
答案：790
解析：490+(440−140)=490+300=790。
水平测试 A 第6题
430−50+170
答案：550
解析：(430+170)−50=600−50=550。
水平测试 A 第7题
45+370+55−70
答案：400
解析：(45+55)+(370−70)=100+300=400。
水平测试 A 第8题
15+46+4
答案：65
解析：15+(46+4)=15+50=65。
水平测试 A 第9题
65+43+25
答案：133
解析：(65+25)+43=90+43=133。
水平测试 A 第10题
9+41+8+32
答案：90
解析：(9+41)+(8+32)=50+40=90。
水平测试 A 第11题
21+33+17+9
答案：80
解析：(21+9)+(33+17)=30+50=80。
水平测试 A 第12题
97+260+140
答案：497
解析：97+(260+140)=97+400=497。
水平测试 A 第13题
430+78+170
答案：678
解析：(430+170)+78=600+78=678。
水平测试 A 第14题
15+16+17+4+5
答案：57
解析：(15+5)+(16+4)+17=20+20+17=57。
水平测试 A 第15题
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
答案：100
解析：(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20×5=100。
水平测试 A 第16题
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
答案：110
解析：(2+18)+(4+16)+(6+14)+(8+12)+(10+20)=20×4+30=110。
水平测试 A 第17题
1+3+21+27+39+59
答案：150
解析：(1+59)+(3+27)+(21+39)=60+30+60=150。
水平测试 A 第18题
21+22+23+24+25+26+27+28+29
答案：225
解析：(21+29)+(22+28)+(23+27)+(24+26)+25=50×4+25=225。
水平测试 A 第19题
25+27+29+31+33+35
答案：180
解析：(25+35)+(27+33)+(29+31)=60×3=180。
水平测试 A 第20题
44−40+36−32+28−24
答案：12
解析：(44−40)+(36−32)+(28−24)=4+4+4=12。
水平测试 C 第1题
6998+995+97
答案：8090
解析：7000+1000+100−2−5−3=8100−10=8090。
水平测试 C 第2题
999+97+68+6
答案：1170
解析：拆6=1+3+2：(999+1)+(97+3)+(68+2)=1000+100+70=1170。
水平测试 C 第3题
84+29+37
答案：150
解析：拆84=80+1+3：80+(1+29)+(3+37)=80+30+40=150。
水平测试 C 第4题
28+39+33
答案：100
解析：拆33=2+1+30：(28+2)+(39+1)+30=30+40+30=100。
水平测试 C 第5题
18+38+24
答案：80
解析：拆24=2+2+20：(18+2)+(38+2)+20=20+40+20=80。
水平测试 C 第6题
995+98+9
答案：1102
解析：拆9=5+2+2：(995+5)+(98+2)+2=1000+100+2=1102。
水平测试 C 第7题
3999+397+89
答案：4485
解析：拆89=1+3+85：(3999+1)+(397+3)+85=4000+400+85=4485。
水平测试 C 第8题
4+9+99+999+2999
答案：4110
解析：拆4=1+1+1+1：(1+9)+(1+99)+(1+999)+(1+2999)=10+100+1000+3000=4110。
水平测试 C 第9题
456+97−104
答案：449
解析：97=100−3，104=100+4：=456+100−3−100−4=456−7=449。
水平测试 C 第10题
746−97+109
答案：758
解析：97=100−3，109=100+9：=746−100+3+100+9=746+3+9=758。
水平测试 C 第11题
6+8+97+997
答案：1108
解析：拆6=3+3：8+(3+97)+(3+997)=8+100+1000=1108。
水平测试 C 第12题
20+95+995+3995
答案：5105
解析：拆20=5+5+5+5：5+(5+95)+(5+995)+(5+3995)=5+100+1000+4000=5105。
水平测试 C 第13题
6996+999+97+97
答案：8189
解析：7000+1000+100+100−4−1−3−3=8200−11=8189。
水平测试 C 第14题
9+19+199+1999
答案：2226
解析：10+20+200+2000−1−1−1−1=2230−4=2226。
水平测试 C 第15题
99+98+97+96+95
答案：485
解析：100+100+100+100+100−1−2−3−4−5=500−15=485。
水平测试 C 第16题
123+97+105−98−104
答案：123
解析：97=100−3，105=100+5，98=100−2，104=100+4：=123+(100+100−100−100)+(−3+5+2−4)=123+0+0=123。
水平测试 C 第17题
求下列各题之和：(1)1+2+3+…+10；(2)1+2+3+…+100；(3)1+2+3+…+1000；(4)1+2+3+…+10000。
答案：(1)55；(2)5050；(3)500500；(4)50005000
解析：规律：1+2+…+n=(1+n)×n÷2。(1)(1+10)×10÷2=55；(2)(1+100)×100÷2=5050；(3)(1+1000)×1000÷2=500500；(4)(1+10000)×10000÷2=50005000。
水平测试 C 第18题
求10×10方格表中所有数的和（第1行1~10，第2行2~11，……第10行10~19）。
答案：1000
解析：方法一：每行和为 55+10×(行号−1)，十行和成等差数列 55,65,…,145，和=(55+145)×10÷2=1000。方法二：每个数=行号+列号−1，平均数=10，100个数×10=1000。
四、方法小结
速算巧算先观察数字：个位凑10的先加（交换律结合律），搬数连符号一起搬，接近整十整百的先凑整再多退少补（多加要减、少加要补；多减要加、少减要再减），加减交替的每两个一组。关键不是背口诀，而是想清楚：为什么可以先算这两个数——因为加法交换律和结合律保证和不变。
五、作业建议
基础必做：- 教材P27–28 水平测试A 第1–14题（凑整基础）
巩固选做：- 教材P28–29 水平测试A 第15–20题（分组与求和）
- 教材P30–32 水平测试B 第1–22题（拆数借数与带符号搬家）
提高挑战：- 教材P33–35 水平测试C 第1–16题（综合凑整）
- 教材P34–35 水平测试C 第17–18题（求和规律与方阵）
六、课堂错因定位
症状：为凑整而凑整，忘记符号
根因：规则：带符号搬家，数要连同前面的符号一起搬。
补救：用知识模块“带符号搬家”：把每个数的符号圈出来再搬。
症状：加198算成+200+2，减99算成−100−1
根因：规则：多加要减、多减要加，方向搞反。
补救：用知识模块“拆数借数”口诀：多加减、少加补；多减加、少减再减。
症状：不知道从哪个数里拆补数
根因：方法：找离凑整数差几，就从另一个数拆几过来。
补救：用典例C1、C2：先看每个数差几凑整，再从能拆的数里补。