【教师版】第5讲 · 认识图形
二年级奥数 · 教材第53–65页（第5讲全讲）
一、知识要点
直线、射线、线段
本质：直线没有端点；射线一头有端点；线段两头都有端点。
适用：图①斜直线无端点、图②水平直线无端点是直线；图③一头有端点是射线；图④两头都有端点是线段。
- 看端点：两头都没端点是直线。
- 只有一头有端点是射线。
- 两头都有端点是线段。
典型错误：把射线和线段搞混，或把斜着的线段当成直线。
多边形：顶点数=边数=角数
本质：一个封闭多边形有几个顶点，就有几条边、几个角。
适用：三角形3顶点3边3角；四边形4顶点4边4角；五边形5顶点5边5角；六边形6顶点6边6角。
- 沿着多边形边走一圈，数拐了几次就是几个顶点。
- 每条边连接两个顶点，边数=顶点数。
- 每个顶点处有一个角，角数=顶点数。
典型错误：把四边形的曲线部分也算成边；必须是直线段围成的封闭图形。
数角：先数基本小角
本质：从一点引出n条射线，先数相邻两条射线夹的基本小角，再数两个小角合成的、三个合成的……
适用：B2：4条射线从一点引出→3个小角+2个中角+1个大角=6个角。一般n条射线→(n−1)+(n−2)+…+1个角。
- 先给射线编号，相邻两条夹的是基本小角，共3个。
- 两个小角拼成的中角有2个（第1+2、第2+3）。
- 三个小角拼成的大角有1个。
- 总数3+2+1=6。
典型错误：只数3个基本小角，漏掉中角和大角。
数正方形/长方形：按大小分类
本质：先数单个小的，再数两个拼成的、四个拼成的……按大小分层数。
适用：B3图①：2×2方格→4小正方形+1大正方形=5个；图②：4小长方形+4中长方形+1大长方形=9个。
- 单个小正方形：4个。
- 四个小正方形拼成的大正方形：1个。
- 共4+1=5个。
典型错误：只数4个小的，漏了外面1个大的。
立体图形：长方体/正方体/圆柱/圆锥/球
本质：平面图形是扁的，立体图形是立起来有厚度的。
适用：长方体：盒子；正方体：魔方；圆柱：易拉罐；圆锥：冰淇淋蛋筒；球：篮球。
- 长方体6个面都是长方形（对面相等）。
- 正方体6个面都是正方形。
- 圆柱上下两个圆面一样大。
- 圆锥一个圆面一个尖顶。
典型错误：把长方体画成长方形；立体图形要有立体感。
二、典例精讲
典例 A1
下图中，图①是（ ）线；图②是（ ）线；图③是（ ）线；图④是（ ）线；图⑤是（ ）；图⑥是（ ）。
训练点：区分直线、曲线、线段、射线、角、点。
提示：
1. 看线是直的还是弯的？弯的连续是曲线，弯的有角是折线。
1图①直的无端点=直线；图②弯的平滑=曲线；图③两头有端点=线段；图④一头有端点=射线；图⑤两条射线夹一个角=角；图⑥三个分开的小圆圈=三个点。依据：按端点和形状分类。
答：直；曲；线段；射；角；三个点
典型错法：把射线当成线段。
典例 A2
说出下图中每个图的名称（12个图：长方形、正方形、三角形、圆、折线、线段等）。
训练点：辨认平面图形。
提示：
1. 长方形长长方方，正方形方方正正，三角形三条边，圆是圆的。
1①②长方形；③⑥正方形；④⑦⑧⑪三角形（④⑧直角三角形，⑦⑧等腰三角形，⑧等腰直角三角形）；⑤⑩折线；⑨圆；⑫线段。依据：按边数和角分类。
答：见solution
典型错法：把菱形当成正方形。
典例 A3
大正方形内接小正方形 vs 大等边三角形内接小等边三角形，找相同点和不同点。
训练点：观察嵌套图形。
提示：
1. 两个图都是大图形里套了个小图形吗？大图形和小图形形状一样吗？
1相同点：都可以看成一个大图形里面内接一个同样形状的小图形。依据：嵌套结构相同。
2不同点：①的大、小两个图形都是正方形；②的大、小两个图形都是等边三角形。依据：内接形状不同。
答：见solution
典型错法：只说大小不同，没说形状相同。
典例 B1
数一数，下面每个图形（三角形、斜三角、四边形、平行四边形、五边形、六边形）中，点、线段和角的个数。
训练点：多边形点边角计数。
提示：
1. 沿着图形边顺时针数，拐一个弯就是一个顶点。
1①②三角形：3点3边3角；③④四边形：4点4边4角；⑤五边形：5点5边5角；⑥六边形：6点6边6角。依据：多边形顶点=边=角。
答：见solution
典型错法：把五边形数成4边。
典例 B2
从一点引出4条射线，数一数有几条射线、几个角？
训练点：数角公式。
提示：
1. 先数相邻两条射线夹的小角，再数两个小角拼成的、三个拼成的。
1射线共4条。小角3个，中角2个（1+2、2+3），大角1个（1+2+3）。依据：分类数。
答：4条射线，6个角
典型错法：只数3个基本角。
典例 B3
数一数，图①（2×2方格）有几个正方形？图②（2行但小长方形不等大）有几个长方形？
训练点：组合图形计数。
1图①：4个小正方形+1个大正方形=5个。依据：按大小分。
2图②：4个小长方形+4个中长方形+1个大长方形=9个。依据：按大小分。
答：图①5个正方形；图②9个长方形
典型错法：只数单个小的。
典例 C1
正方形被两条对角线和一条折线分成①~⑦，仔细数有几个正方形、几个等腰直角三角形。
训练点：复杂图形分类计数。
提示：
1. 先数小的，再数两个拼成的、四个拼成的。
1正方形：外面1个大正方形+里面1个小正方形=2个。依据：按大小分。
2等腰直角三角形：5个容易看到，另外2个是两个小三角拼成的，共7个。依据：单个5个+两个拼成2个。
答：2个正方形，7个等腰直角三角形
典型错法：漏数组合三角形。
典例 C2
4个一样大小的立方体排成一排（编号①②③④），数一数包含几个小长方体、几个中长方体、几个大长方体？
训练点：立体组合计数。
提示：
1. 两个拼成的是小长方体，三个拼成的是中长方体，四个拼成的是大长方体。
1小长方体（两个拼）：①+②、②+③、③+④=3个。依据：相邻两个拼。
2中长方体（三个拼）：①②③、②③④=2个。依据：相邻三个拼。
3大长方体（四个拼）：①②③④=1个。依据：全部拼。
答：3个小长方体，2个中长方体，1个大长方体
典型错法：只数4个单个立方体。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
下图6个图中，哪些是直线？哪些是曲线？哪些是折线？
答案：直线：①②；折线：③④；曲线：⑤⑥
解析：直的无端点是直线；平滑弯的是曲线；有角弯折的是折线。
水平测试 A 第2题
用直尺画出直线、线段和射线，并用大写字母标出。
答案：作图略
解析：直线无端点；线段两端点；射线一端点。
水平测试 A 第3题
下图6个图中，哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？
答案：直线：③⑥；射线：②⑤；线段：①④
解析：数端点。
水平测试 A 第4题
把下面9个编号（伞、鸟、娃娃、积木等）分类填入三角形、长方形、正方形、圆括号。
答案：三角形：①⑤⑥；长方形：⑦⑧；正方形：④⑨；圆：②③
解析：按外轮廓分类。
水平测试 A 第5题
从8个立体图形中挑出长方体、立方体、圆柱体、圆锥体、球。
答案：长方体：①⑤；立方体：②；圆柱体：④⑦；圆锥体：③⑥；球：⑧
解析：辨认立体图形。
水平测试 A 第6题
看立体图形（积木+娃娃），把球、长方体、立方体、圆锥体、圆柱体个数填出来。
答案：球：5；长方体：2；立方体：1；圆锥体：5；圆柱体：1
解析：分类数。
水平测试 A 第7题
把下面实物（球、圆盒、长盒、小棍、蛋筒）和立体图形用线连起来。
答案：连线题：球—篮球，圆柱—圆盒/小棍，长方体—长盒，圆锥—蛋筒
解析：实物抽象成立体图形。
水平测试 A 第8题
从5个角形图中选出与其他四个不相同的一个。
水平测试 A 第9题
从5个带虚线图形中选出与其他四个不相同的一个。
B层
水平测试 A 第1题
下图6个图中，哪些是直线？哪些是曲线？哪些是折线？
答案：直线：①②；折线：③④；曲线：⑤⑥
解析：直的无端点是直线；平滑弯的是曲线；有角弯折的是折线。
水平测试 A 第2题
用直尺画出直线、线段和射线，并用大写字母标出。
答案：作图略
解析：直线无端点；线段两端点；射线一端点。
水平测试 A 第3题
下图6个图中，哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？
答案：直线：③⑥；射线：②⑤；线段：①④
解析：数端点。
水平测试 A 第4题
把下面9个编号（伞、鸟、娃娃、积木等）分类填入三角形、长方形、正方形、圆括号。
答案：三角形：①⑤⑥；长方形：⑦⑧；正方形：④⑨；圆：②③
解析：按外轮廓分类。
水平测试 A 第5题
从8个立体图形中挑出长方体、立方体、圆柱体、圆锥体、球。
答案：长方体：①⑤；立方体：②；圆柱体：④⑦；圆锥体：③⑥；球：⑧
解析：辨认立体图形。
水平测试 A 第6题
看立体图形（积木+娃娃），把球、长方体、立方体、圆锥体、圆柱体个数填出来。
答案：球：5；长方体：2；立方体：1；圆锥体：5；圆柱体：1
解析：分类数。
水平测试 A 第7题
把下面实物（球、圆盒、长盒、小棍、蛋筒）和立体图形用线连起来。
答案：连线题：球—篮球，圆柱—圆盒/小棍，长方体—长盒，圆锥—蛋筒
解析：实物抽象成立体图形。
水平测试 A 第8题
从5个角形图中选出与其他四个不相同的一个。
水平测试 A 第9题
从5个带虚线图形中选出与其他四个不相同的一个。
水平测试 B 第1题
数5个多边形（三角、四边、长方、箭头五边、八边）中点、线段、角的个数。
答案：①3,3,3；②4,4,4；③4,4,4；④5,5,5；⑤8,8,8
解析：多边形顶点=边=角。
水平测试 B 第2题
数两图中射线和角的个数：(1)5条射线；(2)6条射线。
答案：(1)5射线10角；(2)6射线15角
解析：角数=(n−1)+(n−2)+…+1。
水平测试 B 第3题
从5个两图形重叠图中选出阴影重叠部分与其他四个不同的一个。
答案：④
解析：其他阴影是两图形重叠，④阴影是两个分开的。
水平测试 B 第4题
从5个圆内分四格放大小圆点图中选出与其他四个不同的一个。
答案：④
解析：其他圆由大到小顺时针排列，④逆时针。
水平测试 B 第5题
图①2×4方格中有几个正方形？图②组合长方形中有几个长方形？
答案：①11个正方形；②12个长方形
解析：按大小分类数。
水平测试 B 第6题
数六角星（大卫之星）中有几个三角形。
水平测试 B 第7题
从一点引出5条射线，用三角板量一量有几个直角。
水平测试 B 第8题
房子剖面图中有几个三角形、几个长方形。
水平测试 B 第9题
下图一串重叠圆中有几个相等的圆。
水平测试 B 第10题
画两个点A、B，过这两点画一条线段、两条折线、三条曲线。
答案：答案不唯一
解析：线段直、折线有角、曲线平滑。
C层
水平测试 A 第1题
下图6个图中，哪些是直线？哪些是曲线？哪些是折线？
答案：直线：①②；折线：③④；曲线：⑤⑥
解析：直的无端点是直线；平滑弯的是曲线；有角弯折的是折线。
水平测试 A 第2题
用直尺画出直线、线段和射线，并用大写字母标出。
答案：作图略
解析：直线无端点；线段两端点；射线一端点。
水平测试 A 第3题
下图6个图中，哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？
答案：直线：③⑥；射线：②⑤；线段：①④
解析：数端点。
水平测试 A 第4题
把下面9个编号（伞、鸟、娃娃、积木等）分类填入三角形、长方形、正方形、圆括号。
答案：三角形：①⑤⑥；长方形：⑦⑧；正方形：④⑨；圆：②③
解析：按外轮廓分类。
水平测试 A 第5题
从8个立体图形中挑出长方体、立方体、圆柱体、圆锥体、球。
答案：长方体：①⑤；立方体：②；圆柱体：④⑦；圆锥体：③⑥；球：⑧
解析：辨认立体图形。
水平测试 A 第6题
看立体图形（积木+娃娃），把球、长方体、立方体、圆锥体、圆柱体个数填出来。
答案：球：5；长方体：2；立方体：1；圆锥体：5；圆柱体：1
解析：分类数。
水平测试 A 第7题
把下面实物（球、圆盒、长盒、小棍、蛋筒）和立体图形用线连起来。
答案：连线题：球—篮球，圆柱—圆盒/小棍，长方体—长盒，圆锥—蛋筒
解析：实物抽象成立体图形。
水平测试 A 第8题
从5个角形图中选出与其他四个不相同的一个。
水平测试 A 第9题
从5个带虚线图形中选出与其他四个不相同的一个。
水平测试 C 第1题
从5个四边形/三角形中选出与其他四个不相同的一个。
答案：③
解析：只有③是三角形（3条边），其他都是四边形。
水平测试 C 第2题
画线把下面每个小图分成两个三角形和两个长方形。
水平测试 C 第3题
从5个四边形（正方形/平行四边形/菱形/梯形/长方形）中选出与其他四个不相同的一个。
水平测试 C 第4题
从5个四格等分阴影图中选出与其他四个不相同的一个。
答案：③
解析：其他都被分成四份阴影占一份，③不是。
水平测试 C 第5题
从5个方圆组合图中选出与其他四个不相同的一个。
答案：④
解析：其他由正方形和圆构成，④由三角形和圆构成。
水平测试 C 第6题
从5个带斜线和点的正方形图中选出不能由①逆时针旋转得到的一个。
水平测试 C 第7题
右图5个小立方体（编号①~⑤不规则排列）中有几个小立方体、小长方体、中长方体、大长方体？
答案：5小立方体；5小长方体（①+②,②+③,①+④,②+⑤,④+⑤）；1中长方体（①②③）；1大长方体（①②④⑤）
解析：按相邻组合数。
水平测试 C 第8题
图①有几个平行四边形？图②有几个菱形？图③有几个正方形？图④有几个长方形？
答案：①3个平行四边形；②3个菱形；③3个正方形；④9个长方形
解析：按大小分类数。
水平测试 C 第9题
下面6个正方形面沿虚线折，能折出什么立体图形？
水平测试 C 第10题
一个长方体（或立方体）的面数、顶点数、棱数各多少？两个呢？
答案：一个：6面8顶12棱；两个：12面16顶24棱
解析：长方体特征。
水平测试 C 第11题
照网格图画一画，并自左向右写出每个图形名称。
答案：菱形、平行四边形、梯形、长方形、正方形
解析：辨认四边形。
水平测试 C 第12题
指出四边形名称：(1)两组对边分别相等，四个角都是直角；(2)两组对边分别平行，四条边都相等；(3)两组对边平行，四个角都是直角，四条边都相等；(4)两组对边平行；(5)一组对边平行，另一组不平行。
答案：(1)长方形；(2)菱形；(3)正方形；(4)平行四边形；(5)梯形
解析：四边形特征。
水平测试 C 第13题
圆内接正六边形图中有几个最小扇形？几个正三角形？几个梯形？几个菱形？几条线段？
答案：6个最小扇形；6个正三角形；6个梯形；6个菱形；15条线段
解析：按大小分类数。
四、方法小结
认识图形先分清线：直线无端点、射线一端点、线段两端点；曲线平滑弯、折线有角。平面图形按边数分：三角形3边、四边形4边；多边形顶点=边=角。立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。数角用(n−1)+…+1，数组合图形按大小分层数，做到不重不漏。
五、作业建议
基础必做：- 教材P55 水平测试A 第1–4题（线和图形分类）
巩固选做：- 教材P56–57 水平测试A 第5–9题（立体图形）
- 教材P59–61 水平测试B 第1–10题（数点边角）
提高挑战：- 教材P62–65 水平测试C 第1–13题（综合图形）
六、课堂错因定位
症状：射线和线段分不清
根因：概念：没记住射线只有一头有端点。
补救：用知识模块“直线射线线段”：数端点，0个是直线，1个是射线，2个是线段。
症状：数角只数小角
根因：方法：没分类数。
补救：用典例B2：先数小角，再数两个合成的、三个合成的。
症状：数组合图形漏大的
根因：方法：只数单个。
补救：用知识模块“数正方形”：单个、两个拼、四个拼分层数。
症状：立体和平面混淆
根因：概念：长方体是立体，长方形是平面。
补救：拿实物（盒子）对比：盒子是长方体，画在纸上的盒子面是长方形。