奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第6讲 · 考虑所有的可能性

二年级奥数 · 教材第66–76页（第6讲全讲）

一、知识要点

列表凑钱：按大面值分类

本质：凑指定钱数时，先按大面值硬币用几枚分成几大类，每类里小面值从0开始有序填。
5分2分1分算式 2枚5+5=10 1枚2枚1枚5+2+2+1=10 1枚1枚3枚5+2+1+1+1=10 1枚5枚5+1×5=10 0枚5枚2×5=10 …共10种（教材P67续表列全）
适用：A1：用2枚5分、5枚2分、10枚1分凑1角（10分）。先分用不用5分：用2枚5分、用1枚5分、不用5分三类，每类里列2分和1分。
  1. 按5分硬币用2枚、1枚、0枚分三类。
  2. 每类里固定5分后，剩多少钱用2分和1分凑，2分枚数从多到少排。
  3. 每写出一行就算一次总数，对得上目标钱数就算一种。
典型错误：漏列某一大类，或2分枚数跳跃导致遗漏。

整数分拆：按拆成几个数分类

本质：把一个整数拆成几个正整数相加，按拆成几个数分类，每类里从小到大写。
把6拆成几个正整数之和： 2个数：5+1, 4+2, 3+3 3个数：4+1+1, 3+2+1, 2+2+2 4个数：3+1+1+1, 2+2+1+1 5个数：2+1+1+1+1 6个数：1+1+1+1+1+1 共3+3+2+1+1=10种
适用：如把6拆开：拆成2个数（5+1,4+2,3+3）；拆成3个数（4+1+1,3+2+1,2+2+2）；拆成4个数（3+1+1+1,2+2+1+1）；拆成5个数（2+1+1+1+1）；拆成6个数（1+1+1+1+1+1）。共10种。
  1. 先定拆成几个数（2个、3个……最多6个）。
  2. 每类里第一个数从大到小，后面的数不比前面大，避免重复。
  3. 数每类有几种，加起来。
典型错误：(1,2,3)和(3,2,1)算成两种——分拆不考虑顺序。

分步搭配：固定一步列全部

本质：两个集合搭配时，先固定一个集合的元素，列出与另一个集合所有元素的组合，再去重。
茶杯：9, 8, 6, 4, 3 +7元茶盘：16,15,13,11,10 +5元茶盘：14,13,11,9,8 → 新增14,9,8 +2元茶盘：11,10,8,6,5 → 新增6,5 共10种不同价格
适用：A2：5个茶杯（9,8,6,4,3元）配3个茶盘（7,5,2元）。先全部配7元茶盘得5种价格，再配5元、2元，去掉重复价格。
  1. 先固定7元茶盘，5个茶杯各加7元。
  2. 再固定5元茶盘，各加5元，去掉和前面重复的价格。
  3. 最后固定2元茶盘，各加2元，再去重。
典型错误：直接5×3=15种，但有重复价格，要去重。

枚举树：分步画树

本质：每一步有几种选择，就从当前节点分出几枝，画到叶子节点就是所有情况。
友1拿了2号： 友2可拿：1号 → 友3拿4号 → 友4拿3号（1种） 友2可拿：3号 → 友3拿1号/4号 → 友4拿…（2种） 友2可拿：4号 → 友3拿1号 → 友4拿3号（1种） 友1拿2号共4种；友1拿3号、4号对称，共9种
适用：C2错排4个礼物：友1先拿2号，友2再拿1/3/4号，每枝继续分到友4，数叶子。
  1. 第一步：友1不能拿1号，有2、3、4三种选择。
  2. 每种选择作为树根，继续分友2、友3、友4的选择。
  3. 数叶子节点总数。
典型错误：漏画某一枝，或允许某人拿自己的礼物。

最短路线标数法

本质：网格中从A到C的最短路线，在每个交叉点标到达它的路线条数，等于左边来的和下边来的条数之和。
A=111 123 13C=6
适用：C1：2×2方格从左上到右下，A标1，右边和下边各标1，中间点=1+1=2，终点=2+3=6。
  1. 起点A标1。
  2. 只能向右或向下走，边上的点都标1。
  3. 每个点=左边点标数+上边点标数。
典型错误：以为要画出所有路线，其实标数更快。

二、典例精讲

典例 A1
从2枚5分硬币、5枚2分硬币和10枚1分硬币中，拿出1角钱（10分），有多少种不同拿法？
训练点：列表凑钱。
提示：
1. 先按用不用5分币分类。
1用2枚5分：5+5=10，1种。
依据：5分用尽。
2用1枚5分：剩5分用2分和1分凑。2分2枚+1分1枚；2分1枚+1分3枚；2分0枚+1分5枚。共3种。
依据：2分枚数从多到少。
3用0枚5分：10分全用2分和1分凑。2分5枚；2分4枚+1分2枚；2分3枚+1分4枚；2分2枚+1分6枚；2分1枚+1分8枚；2分0枚+1分10枚。共6种。
依据：有序列。
4共1+3+6=10种。
依据：求和。
答：10种
典型错法：漏列不用5分的大类。
典例 A2
5个茶杯价9、8、6、4、3元，3个茶盘价7、5、2元。1个茶杯配1个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？
训练点：分步搭配去重。
提示：
1. 先全配7元茶盘，再配5元、2元，重复的价格去掉。
1配7元茶盘：9+7=16，8+7=15，6+7=13，4+7=11，3+7=10。5种。
依据：固定茶盘。
2配5元茶盘：14,13,11,9,8。新增14,9,8（13,11重复）。
依据：去重。
3配2元茶盘：11,10,8,6,5。新增6,5（11,10,8重复）。
依据：去重。
4共16,15,14,13,11,10,9,8,6,5=10种。
依据：合并去重。
答：10种
典型错法：15种不对，有重复价格。
典例 B1
十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数相加和为99（如18+81=99）。这样的两位数共有多少对？
训练点：倒序数枚举。
提示：
1. 十位+个位=9，把9拆成两个数。
1十位a，个位b，a+b=9，且a≠b。
依据：18+81：1+8=9。
2a=1,b=8→18,81；a=2,b=7→27,72；a=3,b=6→36,63；a=4,b=5→45,54。
依据：a从1到4。
3a=5就重复了（54和45已列）。共4对。
依据：不重复。
答：4对
典型错法：把(18,81)和(81,18)算成两对。
典例 B2
把7个无法区分的苹果放在三个同样的盘子里（允许空盘），有多少种放法？
训练点：三分量分拆。
提示：
1. 用(7,0,0)这样的数组表示，三个数不考虑顺序。
1按第一盘苹果数从7到0有序列，后面盘数不超过前面。
依据：避免重复。
2(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)。
依据：从小到大有序。
3共8种。
依据：数数组。
答：8种
典型错法：(1,2,4)和(4,2,1)算成不同——盘子相同不考虑顺序。
典例 C1
正方形边长2厘米，沿线段从A（左上）到C（右下）最短路线4厘米。最短路线共有多少条？请一一画出来。
训练点：最短路线标数法。
提示：
1. 在每个交叉点标到达它的路线条数。
1只能向右或向下走4段（2右2下）。
依据：最短不绕路。
2标数：A=1，右边边=1,1，下边边=1,1，中间点=1+1=2，终点C=3+3=6。
依据：每点=左+上。
3共6条。
依据：数C点标数。
答：6条
典型错法：画漏或重复。
典例 C2
小胖给4个小朋友送礼物都装错了（每人拿到的都不是自己的礼物）。装错情况共有多少种？
训练点：错排枚举树。
提示：
1. 友1不能拿1号礼物，先列友1拿2/3/4号。
1友1拿2号：友2可拿1/3/4号，逐枝分到友3友4，共4种。
依据：为什么先固定友1拿2号？因为友1不能拿1号，分三类讨论不重不漏。
2友1拿3号：对称地逐枝列举，共4种。
依据：对称思路简化计算。
3友1拿4号：逐枝列举，共1种。合计4+4+1=9种。
依据：全错排D(4)=9。
答：9种
典型错法：漏列允许某人拿对的情况。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题
小丁丁有1枚5分、3枚2分、6枚1分，取6分钱有几种取法？
答案：5
解析：5+1；2+2+2；2+2+1+1；2+1×4；1×6。
水平测试 A 第2题
1枚5分、4枚2分、8枚1分，取8分钱有几种拿法？
答案：7
解析：5+2+1；5+1×3；2×4；2×3+1×2；2×2+1×4；2+1×6；1×8。
水平测试 A 第3题
把3个同样苹果放到同样的甲乙两个抽屉，有几种放法？
答案：2
解析：(3,0),(2,1)。
水平测试 A 第4题
把4个同样苹果放到同样两个抽屉，有几种放法？
答案：3
解析：(4,0),(3,1),(2,2)。
水平测试 A 第5题
整数6拆成几个正整数相加，有几种分拆方法？
答案：10
解析：按2/3/4/5/6个数分类，共3+3+2+1+1=10。
水平测试 A 第6题
用1,2,3三张卡片可组成几个不同三位数？
答案：6
解析：123,132,213,231,312,321。
水平测试 A 第7题
盒中有2枚1分、2枚5分、2枚1角、1枚5角，每次取2枚放回，记下的和最多有几种不同钱数？
答案：9
解析：枚举两枚组合：1+1=2,1+5=6,1+10=11,1+50=51,5+5=10,5+10=15,5+50=55,10+10=20,10+50=60。
水平测试 A 第8题
4枚3分邮票和3枚5分邮票可组成几种不同邮资？
答案：19
解析：枚举3分0~4枚与5分0~3枚组合，去重。
水平测试 A 第9题
整数4有几种不同分拆方式？
答案：4
解析：3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1。
水平测试 A 第10题
5级台阶，一步上1级或2级，有几种不同走法？
答案：8
解析：全1级1种；一步2级共4种；两步2级共3种；1+4+3=8。

B层

水平测试 A 第1题
小丁丁有1枚5分、3枚2分、6枚1分，取6分钱有几种取法？
答案：5
解析：5+1；2+2+2；2+2+1+1；2+1×4；1×6。
水平测试 A 第2题
1枚5分、4枚2分、8枚1分，取8分钱有几种拿法？
答案：7
解析：5+2+1；5+1×3；2×4；2×3+1×2；2×2+1×4；2+1×6；1×8。
水平测试 A 第3题
把3个同样苹果放到同样的甲乙两个抽屉，有几种放法？
答案：2
解析：(3,0),(2,1)。
水平测试 A 第4题
把4个同样苹果放到同样两个抽屉，有几种放法？
答案：3
解析：(4,0),(3,1),(2,2)。
水平测试 A 第5题
整数6拆成几个正整数相加，有几种分拆方法？
答案：10
解析：按2/3/4/5/6个数分类，共3+3+2+1+1=10。
水平测试 A 第6题
用1,2,3三张卡片可组成几个不同三位数？
答案：6
解析：123,132,213,231,312,321。
水平测试 A 第7题
盒中有2枚1分、2枚5分、2枚1角、1枚5角，每次取2枚放回，记下的和最多有几种不同钱数？
答案：9
解析：枚举两枚组合：1+1=2,1+5=6,1+10=11,1+50=51,5+5=10,5+10=15,5+50=55,10+10=20,10+50=60。
水平测试 A 第8题
4枚3分邮票和3枚5分邮票可组成几种不同邮资？
答案：19
解析：枚举3分0~4枚与5分0~3枚组合，去重。
水平测试 A 第9题
整数4有几种不同分拆方式？
答案：4
解析：3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1。
水平测试 A 第10题
5级台阶，一步上1级或2级，有几种不同走法？
答案：8
解析：全1级1种；一步2级共4种；两步2级共3种；1+4+3=8。
水平测试 B 第1题
竖式填数：①20−1△=□；②52−3△=1□。各有几对不同填法？
答案：①9对；②7对
解析：①△=0~8对应□=0~8；②△=3~9对应□=0~6。
水平测试 B 第2题
两个两位数相加=191，有几对？
答案：4
解析：92+99,93+98,94+97,95+96。
水平测试 B 第3题
把1~6填在Y形图黑点处，使每条线三数和相等，和共有几种情况？
答案：4
解析：和为9、10、11、12四种。
水平测试 B 第4题
把20分拆成不大于9的三个不同正整数之和，有几种？
答案：4
解析：9+8+3,9+7+4,9+6+5,8+7+5。
水平测试 B 第5题
把19分拆成不大于9的三个不同正整数之和，有几种？
答案：5
解析：9+8+2,9+7+3,9+6+4,8+7+4,8+6+5。
水平测试 B 第6题
十位数字大于个位数字的两位数共有几个？
答案：45
解析：十位1有1个(10)，十位2有2个(20,21)…十位9有9个，共1+2+…+9=45。
水平测试 B 第7题
两个整数之积是144，差为10，求这两个数。
答案：8和18
解析：枚举144因数对：1×144,2×72,3×48,4×36,6×24,8×18,9×16,12×12，差10的是8和18。
水平测试 B 第8题
三个不完全相同自然数乘积是24，由这样的三个数组成的数组有几个？
答案：6
解析：1,1,24；1,2,12；1,3,8；1,4,6；2,2,6；2,3,4。
水平测试 B 第9题
不考虑顺序，和为10的三元正整数组有几个？
答案：8
解析：1,1,8;1,2,7;1,3,6;1,4,5;2,2,6;2,3,5;2,4,4;3,3,4。
水平测试 B 第10题
BA×A=CBA（相同字母同数字，不同字母不同），有几组？
答案：2
解析：25×5=125；75×5=375。

C层

水平测试 A 第1题
小丁丁有1枚5分、3枚2分、6枚1分，取6分钱有几种取法？
答案：5
解析：5+1；2+2+2；2+2+1+1；2+1×4；1×6。
水平测试 A 第2题
1枚5分、4枚2分、8枚1分，取8分钱有几种拿法？
答案：7
解析：5+2+1；5+1×3；2×4；2×3+1×2；2×2+1×4；2+1×6；1×8。
水平测试 A 第3题
把3个同样苹果放到同样的甲乙两个抽屉，有几种放法？
答案：2
解析：(3,0),(2,1)。
水平测试 A 第4题
把4个同样苹果放到同样两个抽屉，有几种放法？
答案：3
解析：(4,0),(3,1),(2,2)。
水平测试 A 第5题
整数6拆成几个正整数相加，有几种分拆方法？
答案：10
解析：按2/3/4/5/6个数分类，共3+3+2+1+1=10。
水平测试 A 第6题
用1,2,3三张卡片可组成几个不同三位数？
答案：6
解析：123,132,213,231,312,321。
水平测试 A 第7题
盒中有2枚1分、2枚5分、2枚1角、1枚5角，每次取2枚放回，记下的和最多有几种不同钱数？
答案：9
解析：枚举两枚组合：1+1=2,1+5=6,1+10=11,1+50=51,5+5=10,5+10=15,5+50=55,10+10=20,10+50=60。
水平测试 A 第8题
4枚3分邮票和3枚5分邮票可组成几种不同邮资？
答案：19
解析：枚举3分0~4枚与5分0~3枚组合，去重。
水平测试 A 第9题
整数4有几种不同分拆方式？
答案：4
解析：3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1。
水平测试 A 第10题
5级台阶，一步上1级或2级，有几种不同走法？
答案：8
解析：全1级1种；一步2级共4种；两步2级共3种；1+4+3=8。
水平测试 C 第1题
把10分拆成三个不同正整数之和，有几种？
答案：4
解析：7+2+1,6+3+1,5+4+1,5+3+2。
水平测试 C 第2题
四种不同形状硬币（1,2,4,8）各一枚，共能组几种不同钱数？
答案：15
解析：每枚可拿可不拿，2^4−1=15种。
水平测试 C 第3题
小虎给3个小朋友写信全装错，有几种错装？
答案：2
解析：友1拿2号友2拿3号友3拿1号；友1拿3号友2拿1号友3拿2号。
水平测试 C 第4题
学生第一天在A市，第五天回A市，每天换城市（A/B/C），有几种方案？
答案：6
解析：枚举树形图6种。
水平测试 C 第5题
甲虫从A到F只能向右/下/右下，有几种走法？
答案：5
解析：标数法。
水平测试 C 第6题
100以内有几对倒序数（两个两位数互为倒序，和为两位同数字）？
答案：16
解析：33(12+21),44(13+31),55(14+41,23+32),66(15+51,24+42),77(16+61,25+52,34+43),88(17+71,26+62,35+53),99(18+81,27+72,36+63,45+54)。
水平测试 C 第7题
10和31之间有几个数是3的倍数？
答案：7
解析：12,15,18,21,24,27,30。
水平测试 C 第8题
12枚硬币总值1元，只有5分和1角，各几枚？
答案：5分4枚，1角8枚
解析：4×5+8×10=100分=1元。
水平测试 C 第9题
5个学生书包乱放，友1拿了友2的，其他人都拿别人的，有几种错拿？
答案：11
解析：枚举树形图。
水平测试 C 第10题
把1,2,3,4,5填入十字形五格，使横行竖行三数和相等，有几种填法？
答案：3
解析：中间填1,3,5时可行（和为8,9,10），中间填2,4不行。

四、方法小结

考虑所有可能性=分类+有序+检验。凑钱按大面值分大类；分拆按拆成几个数分类且不考虑顺序；搭配固定一步列全部再去重；路径用标数法；错排用枚举树。关键：每一步都要按顺序列完，最后数总数并检查不重不漏。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P68–69 水平测试A 第1–6题（凑钱/分苹果/分拆基础）
巩固选做：
  • 教材P69 水平测试A 第7–10题
  • 教材P71–72 水平测试B 第1–10题（倒序数/分拆/竖式）
提高挑战：
  • 教材P74–76 水平测试C 第1–10题（路径/错排/数阵）

六、课堂错因定位

症状：只找一两种情况就停
根因：意识：不知道要找全所有答案。
补救：强调“考虑所有可能性”：每类都要列完，数总数。
症状：列举重复或遗漏
根因：方法：无序列举。
补救：用知识模块“列表凑钱”：按大面值分类，每类从小到大有序。
症状：分拆问题把(1,2,3)和(3,2,1)算两种
根因：概念：盘子/苹果相同，不考虑顺序。
补救：强调后一个数不大于前一个数。
症状：最短路线画漏
根因：方法：靠画不靠标数。
补救：用知识模块“最短路线标数法”：每点=左+上。