【教师版】第10讲 · 方阵问题

三年级奥数 · 教材第109–121页（第10讲全讲）

一、知识要点

实心方阵

本质：实心方阵总人数=每边人数×每边人数。

适用：知道每边几人求总数，或知道总数求每边（想平方数）。如6×6=36，169=13×13。

每行n人，共n行，总数n×n。

典型错误：把四周数当总数；实心要整个相乘。

四周数与每边数的关系

本质：四周数=(每边数−1)×4；每边数=四周数÷4+1。

适用：正方形操场、池塘、棋盘四边栽树/站人，四个角都有。角上那棵被两条边共用，所以每边只算“起点不算终点”，每边贡献(每边−1)。

每边n个，四个角各被两条边共用一次。
把每边只算n−1个（去掉终点角），四边正好不重不漏。

典型错误：直接n×4，四角多算4个。

空心方阵

本质：空心总数=(最外每边−层数)×层数×4。每向里一层每边少2、总数少8。

适用：中空方阵、花坛、彩灯。可记公式，也可“大实心−小实心”：最外每边n、k层，空心=(n−k)×k×4；或n²−(n−2k)²。

每往里一层，每边少2。
相邻两层总数差8。
层数=(最外每边−最内每边)÷2+1。

典型错误：层数算错；或忘记空心要减中间空的部分。

二、典例精讲

典例 A1

有一个正方形操场，每边都栽17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？

训练点：四角重复：(每边−1)×4。

提示：

1. 四个角的树是两条边共有的，每边实际只算16段。

1每边去掉角上重复的1棵：17−1=16

依据：为什么想到这一步：四个角的树被两条边共用，直接17×4会把四角各算两次，所以每边只算中间那段16棵。

2四边：16×4=64

依据：每边16棵不重不漏，四边乘4即可。

答：64棵

典型错法：17×4=68，多算4棵角。

典例 A2

某校四年级同学排成一个方阵，最外一层的人数为80人。问：最外一层每边上有多少人？这个方阵共有四年级学生多少人？

训练点：由四周数反求每边，再求实心总数。

提示：

1. 四周数=每边−1的4倍，所以每边=四周÷4+1。

1最外每边：80÷4+1=21人

依据：为什么想到这一步：四周数=(每边−1)×4，反过来每边=四周÷4+1；+1是因为四个角各有1人被两条边共用。

2总人数：21×21=441人

依据：实心方阵总数=每边×每边。

答：每边21人，共441人

典型错法：80÷4=20当每边，漏+1。

典例 A3

妈妈用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，妈妈摆这个方阵共用了多少枚围棋子？

训练点：空心方阵公式。

提示：

1. 空心总数=(最外每边−层数)×层数×4。

1(16−3)×3×4=13×12=156枚

依据：为什么想到这一步：空心方阵总数公式=(最外每边−层数)×层数×4；每往里一层每边少2、总数少8，3层共少了3×8=24枚，用公式一步算完。

答：156枚

典型错法：用16×16直接算，没减空心。

典例 B1

用一堆棋子排成一个实心方阵，后来又添进21枚棋子，使横、竖各增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少枚棋子。

训练点：加一排：21枚里角上1枚横竖共用，其余平分。

提示：

1. 横竖各加一排，交叉点那1枚既在横排又在竖排。先减1再平分。

1去掉角上1枚：21−1=20

依据：为什么想到这一步：横竖各加一排时，角上那个交叉点1枚棋子既算横排又算竖排，被重复算了一次，所以先减去1。

2原来每排：20÷2=10枚

依据：剩下20枚平分给横排和竖排，每排10枚。

3原总数：10×10=100枚

依据：实心方阵每边10人。

答：100枚

典型错法：21÷2除不开；忘记角上1枚。

典例 B2

同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加三层成为五层方阵，还需多少盆花？

训练点：相邻两层差8，先求外层再加。

提示：

1. 两层方阵外层比内层多8盆。和64、差8，外层=(64+8)/2。

1原外层：(64+8)÷2=36盆

依据：为什么想到这一步：相邻两层总数差8，外层比内层多8；两层和为64、差为8，用和差公式求外层。

2新增三层依次：44、52、60盆

依据：每向外一层多8盆，36+8=44，44+8=52，52+8=60。

3共需：44+52+60=156盆

依据：三层新增求和。

答：156盆

典型错法：不知道外层比内层多8。

典例 B3

有一堆棋子排成实心方阵多余3枚，如果纵、横各增加一排，则缺8枚。问：一共有棋子多少枚？

训练点：多3缺8：加一排共需3+8=11枚。

提示：

1. 多3又缺8，说明加一排需要3+8=11枚，角上1枚重复。

1加一排共需：3+8=11枚

依据：为什么想到这一步：原来多3枚，加一排时这3枚用上还缺8枚，说明加一整排需要3+8=11枚。

2新每排：(11+1)÷2=6枚

依据：角上1枚横竖共用，所以加回1后平分：(11+1)÷2=6。

3新方阵：6×6=36，实际：36−8=28枚

依据：新方阵36枚但缺8枚，所以实际有36−8=28枚。

答：28枚

典型错法：新每排算错。

典例 B4

一个中空方阵的队列，最外层每边16人，最内层每边8人，这个队列共有多少人？

训练点：由最外最内每边求层数，再用公式。

提示：

1. 层数=(最外−最内)÷2+1。

1层数：(16−8)÷2+1=5层

依据：为什么想到这一步：每往里一层每边少2，从16到8共差了8，每2算一层，再加上最内层本身，所以÷2后要+1。

2总数：(16−5)×5×4=220人

依据：空心方阵总数公式。

答：220人

典型错法：层数=(16−8)÷2=4，忘+1。

典例 C1

一队士兵排成一个空心长方阵队列，方阵每边3层，最外层长的方向站15人，宽的方向站12人，这个长方阵共有多少士兵？

训练点：空心长方形：大实心−小实心。

提示：

1. 中间空的部分长=15−3×2，宽=12−3×2。

1大长方形：15×12=180

依据：为什么想到这一步：把空心长方阵看成一个实心大长方形，再挖掉中间空的小长方形。

2中间空：(15−6)×(12−6)=9×6=54

依据：每边往里3层，长和宽各减去3×2=6。

3共：180−54=126人

依据：大减小。

答：126人

典型错法：中间空的长宽减错。

典例 C2

用黑白棋子摆成图案（最里圈为第1层，奇数层都是黑棋子，偶数层都是白棋子），照这样摆下去，前9层中共有多少枚黑棋子？

训练点：最内圈12枚，每外一层多8枚，只取奇数层求和。

提示：

1. 第1层12枚，每向外一层多8枚。黑层是1、3、5、7、9层。

1黑层：12、28、44、60、76枚

依据：为什么想到这一步：最内圈第1层是正方形最内圈，正好12枚；每向外一层总数多8，但黑层隔一层，所以相邻黑层差16。

2和：12+28+44+60+76=220枚

依据：5个黑层等差数列求和。

答：220枚

典型错法：把偶数层也算进去。

典例 C3

把围棋子摆成正方形，余下18枚。如果纵、横各增加4排，摆成新的正方形还需要追加62枚，那么最初的围棋子是多少？

训练点：加4排：80枚里角上4×4=16枚重复。

提示：

1. 共需18+62=80枚。横竖各加4排，角上4×4=16枚重复，去掉后8排平分。

1共需：18+62=80枚

依据：为什么想到这一步：余下18枚用上还需62枚，所以加4排共需80枚。

2角上重复：4×4=16枚

依据：横竖各加4排，交叉处是一个4×4的方块，这16枚在横排和竖排里被重复计算了。

3原来每排：(80−16)÷8=8枚

依据：去掉重复16枚后，剩下64枚平分给8排（横4排+竖4排）。

4原方阵64，最初共64+18=82枚

依据：加回余下的18枚。

答：82枚

典型错法：角上重复算成4枚。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)

用棋子排成一个6×6的实心方阵，共需棋子______枚。

答案：36

解析：6×6=36。

水平测试 A 第2题(填空题)

用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9枚，共用______枚。

答案：81

解析：9×9=81。

水平测试 A 第3题(填空题)

正方形棋盘四边各放5枚围棋子（四个角上都要有一枚），共有______枚。

答案：16

解析：(5−1)×4=16。

水平测试 A 第4题(填空题)

正方形池塘四角各栽1棵树，每边栽6棵，四边一共栽______棵。

答案：20

解析：(6−1)×4=20。

水平测试 A 第5题(填空题)

正方形池塘四角各栽1棵，四边共栽24棵，每边栽一样多，每边栽______棵。

答案：7

解析：24÷4+1=7。

水平测试 A 第6题(填空题)

正方形平顶四周装彩灯，四角各装1盏，每边装25盏，四周共装______盏。

答案：96

解析：(25−1)×4=96。

水平测试 A 第7题(填空题)

正方形场地四边竖电线杆，四角都有1根，共竖28根，每边竖______根。

答案：8

解析：28÷4+1=8。

水平测试 A 第8题(填空题)

16个学生站正方形场地四周，四角都站1人，每边人数相等，每边站______个。

答案：5

解析：16÷4+1=5。

水平测试 A 第9题(解答题)

169人排成一个实心方阵，这个方阵每边有多少人？

答案：13人

解析：169=13×13。

水平测试 A 第10题(解答题)

100个少先队员排成实心方阵，这个实心方阵四周站了多少个少先队员？

答案：36个

解析：每边10，四周=(10−1)×4=36。

水平测试 A 第11题(解答题)

排成两层空心方阵，最外层每边12人，共需多少人？

答案：80人

解析：(12−2)×2×4=80。

水平测试 A 第12题(解答题)

街心喷水池周围用216盆花围成每边三层的空心方阵，最外面一层每边有鲜花多少盆？

答案：21盆

解析：最外每边=216÷4÷3+3=21。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)

用棋子排成一个6×6的实心方阵，共需棋子______枚。

答案：36

解析：6×6=36。

水平测试 A 第2题(填空题)

用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9枚，共用______枚。

答案：81

解析：9×9=81。

水平测试 A 第3题(填空题)

正方形棋盘四边各放5枚围棋子（四个角上都要有一枚），共有______枚。

答案：16

解析：(5−1)×4=16。

水平测试 A 第4题(填空题)

正方形池塘四角各栽1棵树，每边栽6棵，四边一共栽______棵。

答案：20

解析：(6−1)×4=20。

水平测试 A 第5题(填空题)

正方形池塘四角各栽1棵，四边共栽24棵，每边栽一样多，每边栽______棵。

答案：7

解析：24÷4+1=7。

水平测试 A 第6题(填空题)

正方形平顶四周装彩灯，四角各装1盏，每边装25盏，四周共装______盏。

答案：96

解析：(25−1)×4=96。

水平测试 A 第7题(填空题)

正方形场地四边竖电线杆，四角都有1根，共竖28根，每边竖______根。

答案：8

解析：28÷4+1=8。

水平测试 A 第8题(填空题)

16个学生站正方形场地四周，四角都站1人，每边人数相等，每边站______个。

答案：5

解析：16÷4+1=5。

水平测试 A 第9题(解答题)

169人排成一个实心方阵，这个方阵每边有多少人？

答案：13人

解析：169=13×13。

水平测试 A 第10题(解答题)

100个少先队员排成实心方阵，这个实心方阵四周站了多少个少先队员？

答案：36个

解析：每边10，四周=(10−1)×4=36。

水平测试 A 第11题(解答题)

排成两层空心方阵，最外层每边12人，共需多少人？

答案：80人

解析：(12−2)×2×4=80。

水平测试 A 第12题(解答题)

街心喷水池周围用216盆花围成每边三层的空心方阵，最外面一层每边有鲜花多少盆？

答案：21盆

解析：最外每边=216÷4÷3+3=21。

水平测试 B 第1题(填空题)

方阵每边的实物数量______，相邻两层每边实物数量相差______，相邻两层实物数量相差______。

答案：相等；2；8

解析：方阵四边每边数相同；每进一层每边少2；总数少8。

水平测试 B 第2题(填空题)

小明排成五层空心方阵，外层每边15枚棋子，共有棋子______枚。

答案：200

解析：(15−5)×5×4=200。

水平测试 B 第3题(填空题)

排成两层空心方阵，外层每边8枚棋子，共有棋子______枚。

答案：48

解析：(8−2)×2×4=48。

水平测试 B 第4题(填空题)

排成三层空心方阵，外面一层每边14人，共______人。

答案：132

解析：(14−3)×3×4=132。

水平测试 B 第5题(填空题)

576名学生排成三层空心方阵，这个方阵的最外层有______人。

答案：200

解析：最外每边=576÷4÷3+3=51，最外层=(51−1)×4=200。

水平测试 B 第6题(填空题)

空心方阵外层每边12人，共三层，共______人。

答案：108

解析：(12−3)×3×4=108。

水平测试 B 第7题(填空题)

排成4层中空方阵，最外层每边10人，有战士______人。

答案：96

解析：(10−4)×4×4=96。

水平测试 B 第8题(填空题)

中空方阵最外层共60人，最内层共28人，这队学生有______人。

答案：220

解析：层数=(60−28)÷8+1=5，总数=(60+28)×5÷2=220。

水平测试 B 第9题(填空题)

正方形队列共两层当中空，外面一层每边16人，四年级共______人。

答案：112

解析：(16−2)×2×4=112。

水平测试 B 第10题(填空题)

四层空心方阵外层每边11枚，共有棋子______枚。

答案：112

解析：(11−4)×4×4=112。

水平测试 B 第11题(填空题)

120人排成三层空心方阵，这个方阵外层每边______人。

答案：13

解析：120÷4÷3+3=13。

水平测试 B 第12题(填空题)

中空方阵最外层52人，最内层28人，这队学生有______人。

答案：160

解析：层数=(52−28)÷8+1=4，总数=(52+28)×4÷2=160。

水平测试 B 第13题(解答题)

方阵花坛共15层，最内层每边20株花草。花坛花草共有几株？

答案：1980株

解析：最外每边=20+(15−1)×2=48，总数=(48−15)×15×4=1980。

水平测试 B 第14题(解答题)

想排成6层中空方阵，参加表演360人，最外层每边应排几人？

答案：21人

解析：360÷4÷6+6=21。

水平测试 B 第15题(解答题)

甲乙两队种树成实心方阵，第一次每队种10棵，第二次每队又种10棵，一直种下去，最后一次甲队仍种10棵，乙队种的不足10棵。两队共种了二百多棵。共种了多少棵？

答案：甲队130棵，乙队126棵，共256棵

解析：试平方数：15²=225余5不符；16²=256，256÷20=12余16，甲13次×10=130，乙12次×10+6=126；17²=289余9不符。共256棵。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)

用棋子排成一个6×6的实心方阵，共需棋子______枚。

答案：36

解析：6×6=36。

水平测试 A 第2题(填空题)

用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9枚，共用______枚。

答案：81

解析：9×9=81。

水平测试 A 第3题(填空题)

正方形棋盘四边各放5枚围棋子（四个角上都要有一枚），共有______枚。

答案：16

解析：(5−1)×4=16。

水平测试 A 第4题(填空题)

正方形池塘四角各栽1棵树，每边栽6棵，四边一共栽______棵。

答案：20

解析：(6−1)×4=20。

水平测试 A 第5题(填空题)

正方形池塘四角各栽1棵，四边共栽24棵，每边栽一样多，每边栽______棵。

答案：7

解析：24÷4+1=7。

水平测试 A 第6题(填空题)

正方形平顶四周装彩灯，四角各装1盏，每边装25盏，四周共装______盏。

答案：96

解析：(25−1)×4=96。

水平测试 A 第7题(填空题)

正方形场地四边竖电线杆，四角都有1根，共竖28根，每边竖______根。

答案：8

解析：28÷4+1=8。

水平测试 A 第8题(填空题)

16个学生站正方形场地四周，四角都站1人，每边人数相等，每边站______个。

答案：5

解析：16÷4+1=5。

水平测试 A 第9题(解答题)

169人排成一个实心方阵，这个方阵每边有多少人？

答案：13人

解析：169=13×13。

水平测试 A 第10题(解答题)

100个少先队员排成实心方阵，这个实心方阵四周站了多少个少先队员？

答案：36个

解析：每边10，四周=(10−1)×4=36。

水平测试 A 第11题(解答题)

排成两层空心方阵，最外层每边12人，共需多少人？

答案：80人

解析：(12−2)×2×4=80。

水平测试 A 第12题(解答题)

街心喷水池周围用216盆花围成每边三层的空心方阵，最外面一层每边有鲜花多少盆？

答案：21盆

解析：最外每边=216÷4÷3+3=21。

水平测试 C 第1题(填空题)

棋子排成实心方阵多余3枚，纵横各增加一层则缺8枚。这堆棋子共______枚。

答案：28

解析：原每边=(3+8−1)÷2=5，共5×5+3=28。

水平测试 C 第2题(填空题)

棋子排成实心方阵多余5枚，纵横各加一层缺10枚。这堆棋子有______枚。

答案：54

解析：原每边=(5+10−1)÷2=7，共49+5=54。

水平测试 C 第3题(填空题)

四年级排实心方阵还多9人，横竖各加一排成为大一点的方阵又差24人，四年级共______人。

答案：265

解析：原每边=(9+24−1)÷2=16，共256+9=265。

水平测试 C 第4题(填空题)

正方形砖排成大正方形余32块，改排成每边多一块的正方形差49块。这批砖原有______块。

答案：1632

解析：原每边=(32+49−1)÷2=40，共1600+32=1632。

水平测试 C 第5题(填空题)

棋子排实心方阵多4枚，纵横各加一层缺9枚，共有棋子______枚。

答案：40

解析：原每边=(4+9−1)÷2=6，共36+4=40。

水平测试 C 第6题(填空题)

大型方阵队外层每边30人，共10层，中间5层位置由20个同学抬会徽。这个方阵队共______个同学。

答案：820

解析：空心=(30−10)×10×4=800，加20抬徽同学=820。

水平测试 C 第7题(填空题)

原计划每边栽24棵成实心方阵，现留中间打井，树增加24棵，改栽5层中空方阵，最外层栽______棵。

答案：35

解析：总=24²+24=600，最外每边=600÷4÷5+5=35。

水平测试 C 第8题(填空题)

三层空心方阵多16人，空心部分再加一层差28人。这队战士共______人；排成实心方阵每边______人。

答案：196人；每边14人

解析：新增一层=16+28=44人，最内层每边=44÷4+1=12，原最外每边=12+6=18，原三层=(18−3)×3×4=180，共180+16=196=14²。

水平测试 C 第9题(填空题)

柳树排三层中空尚余9棵，中空部分增加一层缺7棵。这批柳树有______棵。

答案：105

解析：新增层=9+7=16棵，每边=16÷4+1=5，原最外每边=5+6=11，原三层=(11−3)×3×4=96，共96+9=105。

水平测试 C 第10题(解答题)

武术队员分两队排甲乙两个实心方阵，甲方阵每边8人；两队合并排成三层空心丙方阵，甲方阵人数正好填满丙的空心。武术队员共多少人？

答案：132人

解析：甲8²=64填丙空心，丙空心边长=8，丙最外每边=8+3×2=14，丙总数=(14−3)×3×4=132。

水平测试 C 第11题(解答题)

瓷砖拼成正方形，横竖方向分别增加3排，拼成大正方形共需增加159块。原来正方形由几块瓷砖拼成？

答案：625块

解析：原每边=(159−9)÷6=25，原25²=625。

水平测试 C 第12题(解答题)

边长25米的正方形水池边铺正方形水泥块，每块50厘米。紧靠水池边铺三层水泥块（紧靠在一起），成三层空心方阵，共要水泥块多少块？

答案：636块

解析：水池每边2500÷50=50块。三层空心总数=50×4×3+3×3×4=600+36=636。

水平测试 C 第13题(解答题)

由两个实心方阵组成的方队，合成一个10×10实心方阵。(1)第二次变成一层空心方阵，每边多少人？(2)人数较多的实心方阵变两层空心方阵，最外每边多少人？

答案：(1)26人；(2)10人

解析：总100=8²+6²。(1)一层空心每边=100÷4+1=26。(2)多的64人两层空心，最外每边=64÷4÷2+2=10。

水平测试 C 第14题(解答题)

解放军分两队排甲乙方阵，甲每边12人。合并排空心丙方阵，丙最外每边比乙最外每边多4人，甲方阵正好填满丙的空心。解放军共多少人？

答案：1300人

解析：甲12²=144填丙空心。设乙最外每边x，丙最外每边x+4，空心边长=(x+4)−2×层数... 由(12²×2−4²)÷(4×2)=34，乙每边34，总=34²+12²=1156+144=1300。

四、方法小结

方阵问题三句话：实心总数=每边×每边；四周数=(每边−1)×4，反求每边=四周÷4+1；空心总数=(最外每边−层数)×层数×4。每往里一层每边少2、总数少8。加排问题记住角上那1枚横竖共用，先减（或加）重复再平分。

五、作业建议

基础必做：

教材P111–112 水平测试A 第1–8题（基本关系）
教材P112–113 水平测试A 第9–12题

巩固选做：

教材P115–116 水平测试B 第1–12题
教材P116 水平测试B 第13、14题

提高挑战：

教材P116 水平测试B 第15题（平方数枚举）
教材P118–121 水平测试C 第1–14题（加排、中空、组合）

六、课堂错因定位

症状：四周数直接每边×4
根因：角上重复。
补救：强调四角共用，用(每边−1)×4。

症状：加一排21÷2除不开
根因：没减去角上1枚。
补救：(添数−1)÷2=原每边。

症状：层数少算1
根因：(最外−最内)÷2忘+1。
补救：两层之间差8，层数=(最外−最内)÷8+1。

症状：空心方阵直接外每边平方
根因：忘记减中间空的部分。
补救：用公式或大实心−小实心。