【教师版】第11讲 · 数线段
三年级奥数 · 教材第122–130页（第11讲全讲）
一、知识要点
基本线段法：从短到长累加
本质：把最长线段被分成的小线段叫基本线段。基本线段有n条时，线段总数 = n+(n-1)+(n-2)+…+1。
适用：一条直线上画好了分点、能一眼数出几段小线段时用。图11-1有4条基本线段：4条单段、3条两段合成、2条三段合成、1条四段合成，共4+3+2+1=10条。
- 先数只含1条基本线段的：4条。
- 再数由2条基本线段合成的：①②、②③、③④，共3条。
- 由3条合成的：①②③、②③④，共2条。
- 由4条合成的：整条1条。
- 合计 4+3+2+1=10 条。
典型错误：只数基本线段（答4条），忘记再数由它们合成的长线段。
点数法：m个点两两连线
本质：一条线段上有m个点（含两端），任取两点确定一条线段，总数 = m×(m-1)÷2。
适用：图11-2有A、B、C、D、E共5个点。每个点向其余4个点连线，5×4=20，但AB和BA是同一条，所以除以2：5×4÷2=10。与基本线段法（4+3+2+1=10）结果一致。
- m个点，每个点和其余m-1个点连线，共m(m-1)条次。
- 每条线段被两个端点各数一次，所以除以2。
- 和基本线段法互验：n=m-1时 n+(n-1)+…+1 = m(m-1)÷2。
典型错误：乘完忘记除以2，得到20；或分不清“基本线段数n”和“点数m”的关系。
数角：和数线段同构
本质：共顶点的n条射线（半平面内），角的总数 = (n-1)+(n-2)+…+1 = n(n-1)÷2。
适用：把射线看作“线上的点”，相邻两射线夹一个小角。图11-4有7条射线（6个小锐角），共6+5+4+3+2+1=21个角。典例A2即此模型。
- 相邻两射线夹1个基本角，有6个。
- 两个基本角合成的角有5个，……，6个基本角合成的角有1个。
- 与数线段完全一样：6+5+4+3+2+1=21。
典型错误：把射线数直接当基本角数（7条射线却写7+6+…+1=28）。记住：基本角数=射线数−1。
数三角形：数底边上线段
本质：一个顶点出发引若干线段到底边，三角形个数=底边上的线段数。
适用：图11-10：顶点向底边引3条线段，底边被分成4段。每个三角形共享同一个顶点，底边每一条线段对应一个三角形，所以三角形数=4+3+2+1=10。若有两条平行横线（图11-11），再×2。
- 每个三角形都共用上方顶点。
- 在底边上任取一条线段，与顶点连成一个三角形。
- 所以三角形总数=底边上线段总数=4+3+2+1=10。
典型错误：看到内部还有别的线就乱了。先找“共同顶点”，再数被分了几段。
周角上数角：绕一圈的特殊公式
本质：几条射线从一点出发绕满一圈（周角），n个基本角时，角总数 = n(n-1)+1，而不是 n(n+1)÷2。
适用：典例C2：4条射线从一点出发、把周角分成4个基本角（∠1∠2∠3∠4）。2个合成4个、3个合成4个、4个合成1个，共4×3+1=13。原因：绕一圈时“跨首尾”的合成角也存在，且没有“多出来的那一段”。
- 半平面数角是 n+(n-1)+…+1（n个基本角）。
- 周角上，2个基本角合成的角有n个（不是n-1），3个合成也有n个……n-1个合成也有n个，n个合成1个。
- 所以 = n×(n-1)+1。典例C2中n=4：4×3+1=13。
典型错误：把周角当成半平面，用4+3+2+1=10，漏掉跨首尾的合成角。
二、典例精讲
典例 A1
数一数图11-3中共有多少条线段？（一条直线上有6个点）
训练点：两公式互验的基础题。
提示：
1. 先数基本线段有几条？
2. 基本线段5条，那单段、两段合成……各有几条？
1基本线段法：5条基本线段，5+4+3+2+1=15（条）依据：为什么想到这一步：先数最短的单段有5条，再数由2段合成的4条、3段合成的3条……直到整条1条，累加不重不漏。
2点数法验证：6个点，6×5÷2=15（条）依据：每两点确定一条线段，去重后结果相同。
答：15条
典型错法：答成5条或6条。
典例 A2
数一数图11-4中共有多少个锐角？（从一点引出7条射线）
训练点：把数线段迁移到数角。
提示：
1. 7条射线之间有几个基本小角？
2. 数角和数线段一样，基本角有几个就从几加到1。
1基本角有7−1=6个依据：为什么想到这一步：7条射线相邻两条夹一个角，所以基本角数=射线数−1，不是7个。
26+5+4+3+2+1=21（个）依据：两个基本角合成5个，三个合成4个……用数线段同样的累加。
答：21个
典型错法：写成7+6+…+1=28。
典例 B1
数一数图11-18中共有几条线段？（三角形内有若干相交直线，可分成两类：AB、EF、GH每条上有3个点；AC、DC、BC每条上有4个点）
训练点：复合图形分类计数。
提示：
1. 图里有几条不同方向的直线？把它们分成几类。
2. 每类直线上有几个点？分别用点数法算。
1第一类（AB、EF、GH）：每条3个点，3×(3−1)÷2=3条，共3×3=9条依据：为什么想到这一步：图中直线方向不同，先按方向分类；每条线上3个点两两连线=3条。
2第二类（AC、DC、BC）：每条4个点，4×(4−1)÷2=6条，共3×6=18条依据：这三条线上有4个点，两两连线=6条。
3总数 9+18=27（条）依据：两类相加，不重不漏。
答：27条
典型错法：不分类，把相交点重复算或漏线。
典例 B2
数一数图11-19中共有几条线段？（一个梯形网格：横线段11条，每条上有10个点；斜向“竖”线段10条，每条上有11个点）
训练点：大网格按方向分别计数再相加。
提示：
1. 先数横方向有几条线、每条线上几个点？
2. 再数斜方向。两组结果相加。
1横线段：11条，每条10个点，10×9÷2×11=495（条）依据：为什么想到这一步：网格大，先按方向分类；横线上每10个点两两连线=C(10,2)=45条，共11条横线。
2斜线段：10条，每条11个点，11×10÷2×10=550（条）依据：斜线上每11个点=C(11,2)=55条，共10条斜线。
3总数 495+550=1045（条）依据：两个方向相加。
答：1045条
典型错法：横纵条数或点数对调。
典例 C1
数一数图11-32中共有几条线段？（一个不规则网格：5条横线5条竖线中，有6条线含3条基本线段，4条线含4条基本线段）
训练点：不规则图形按“每条线上基本线段数”分类。
提示：
1. 逐个数每条线上有几条基本线段（2段、3段还是4段）。
2. 把同段数的线归在一起乘。
13段基本线段的线有6条：每条3+2+1=6，共6×6=36依据：为什么想到这一步：不规则网格不能横竖一刀切，要逐条数每条线上分了几段；3段线对应C(4,2)=6条线段。
24段基本线段的线有4条：每条4+3+2+1=10，共10×4=40依据：4段线对应C(5,2)=10条线段。
答：76条
典型错法：不逐条点数，胡乱估计。
典例 C2
图11-33中，从一点引出4条射线绕满一周（周角），共有多少个角？
训练点：周角数角的特殊公式。
提示：
1. 这4个基本角是绕一圈排列的吗？
2. 两个基本角合成的角有几个？三个合成的呢？
12个基本角合成的角：4个依据：为什么想到这一步：绕一圈时，∠1∠2、∠2∠3、∠3∠4、∠4∠1（跨首尾）都算，共4个，不是半平面的3个。
23个基本角合成的角：4个依据：同理跨首尾，共4个。
34个基本角合成的角：1个（周角）依据：整个一圈。
4总数 4+4+4+1=13（个）依据：即 n(n−1)+1=4×3+1=13。
答：13个
典型错法：答10个，用了半平面公式。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图11-5中有______条线段。（直线上有A、B、C、D、E共5个点）
答案：10
解析：5个点=4条基本线段，4+3+2+1=10。
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图11-6中有______条线段。（两条直线相交：一条上5个点，另一条上6个点）
答案：25
解析：5点线：4+3+2+1=10；6点线：5+4+3+2+1=15；共10+15=25。
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图11-7中有______条线段。（长方形网格：4条横线各分3段，4条竖线各分3段）
答案：48
解析：横线4条×(3+2+1)=24，竖线4条×(3+2+1)=24，共48。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图11-8中有______条线段。（五角星，由5条直线组成，每条直线上有4个点）
答案：30
解析：每条直线4个点有3条基本线段：3+2+1=6，共6×5=30。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图11-9中有______个角。（从一点引出5条射线）
答案：10
解析：5条射线=4个基本角，4+3+2+1=10。
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图11-10中有______个三角形。（一个顶点连到底边，底边被分成4段）
答案：10
解析：三角形数=底边线段数=4+3+2+1=10。
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图11-11中有______个三角形。（底边4段，另有一条平行于底边的横线）
答案：20
解析：每层三角形4+3+2+1=10，共2层，10×2=20。
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图11-12中有______个三角形。（底边5段，另有两条平行于底边的横线）
答案：45
解析：每层5+4+3+2+1=15，共3层，15×3=45。
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图11-13中有______个三角形。（底边4段，加一条斜跨线）
答案：24
解析：(4+3+2+1)×2+4=20+4=24。
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图11-14中有______个三角形。（底边4段，另从左下顶点引出若干斜线）
答案：42
解析：(4+3+2+1)×3+(1+2)×4=30+12=42。
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图11-15中有多少条线段？（一条折线：水平段上有6个点，折下的斜段上有4个点）
答案：21条
解析：水平段6点：5+4+3+2+1=15；斜段4点：3+2+1=6；共15+6=21。
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图11-16中有多少条线段？（AB、AC两条线上各有3条基本线段，DE线上有2条基本线段）
答案：15条
解析：AB：3+2+1=6；AC：3+2+1=6；DE：2+1=3；共6+6+3=15。
水平测试 A 第13题(解答题)
数一数图11-17中有多少条线段？（三角形网格：3条线各含3条基本线段，3条线各含2条基本线段）
答案：27条
解析：(3+2+1)×3+(2+1)×3=18+9=27。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图11-5中有______条线段。（直线上有A、B、C、D、E共5个点）
答案：10
解析：5个点=4条基本线段，4+3+2+1=10。
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图11-6中有______条线段。（两条直线相交：一条上5个点，另一条上6个点）
答案：25
解析：5点线：4+3+2+1=10；6点线：5+4+3+2+1=15；共10+15=25。
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图11-7中有______条线段。（长方形网格：4条横线各分3段，4条竖线各分3段）
答案：48
解析：横线4条×(3+2+1)=24，竖线4条×(3+2+1)=24，共48。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图11-8中有______条线段。（五角星，由5条直线组成，每条直线上有4个点）
答案：30
解析：每条直线4个点有3条基本线段：3+2+1=6，共6×5=30。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图11-9中有______个角。（从一点引出5条射线）
答案：10
解析：5条射线=4个基本角，4+3+2+1=10。
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图11-10中有______个三角形。（一个顶点连到底边，底边被分成4段）
答案：10
解析：三角形数=底边线段数=4+3+2+1=10。
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图11-11中有______个三角形。（底边4段，另有一条平行于底边的横线）
答案：20
解析：每层三角形4+3+2+1=10，共2层，10×2=20。
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图11-12中有______个三角形。（底边5段，另有两条平行于底边的横线）
答案：45
解析：每层5+4+3+2+1=15，共3层，15×3=45。
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图11-13中有______个三角形。（底边4段，加一条斜跨线）
答案：24
解析：(4+3+2+1)×2+4=20+4=24。
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图11-14中有______个三角形。（底边4段，另从左下顶点引出若干斜线）
答案：42
解析：(4+3+2+1)×3+(1+2)×4=30+12=42。
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图11-15中有多少条线段？（一条折线：水平段上有6个点，折下的斜段上有4个点）
答案：21条
解析：水平段6点：5+4+3+2+1=15；斜段4点：3+2+1=6；共15+6=21。
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图11-16中有多少条线段？（AB、AC两条线上各有3条基本线段，DE线上有2条基本线段）
答案：15条
解析：AB：3+2+1=6；AC：3+2+1=6；DE：2+1=3；共6+6+3=15。
水平测试 A 第13题(解答题)
数一数图11-17中有多少条线段？（三角形网格：3条线各含3条基本线段，3条线各含2条基本线段）
答案：27条
解析：(3+2+1)×3+(2+1)×3=18+9=27。
水平测试 B 第1题(填空题)
数一数图11-20中有______条线段。（直线上A、C、D、E、F、B共6个点）
答案：15
解析：6个点：5+4+3+2+1=15。
水平测试 B 第2题(填空题)
数一数图11-21中有______条线段。（两直线交于O：一条上4个点，另一条上5个点）
答案：25
解析：4点线：3+2+1=10；5点线：4+3+2+1=15；共25。
水平测试 B 第3题(填空题)
数一数图11-22中有______条线段。（三条直线两两相交：水平线AB上有5个点，斜线CE和DF上各有4个点）
答案：22
解析：AB线5个点：4+3+2+1=10；CE线4个点：3+2+1=6；DF线4个点：3+2+1=6；共10+6+6=22。
水平测试 B 第4题(填空题)
数一数图11-23中有______个锐角。（∠AOB内有4条角分线）
答案：15
解析：连两边共6条射线=5个基本角，5+4+3+2+1=15。
水平测试 B 第5题(填空题)
数一数图11-24中有______个锐角。（∠AOB内有9条角分线）
答案：55
解析：连两边共11条射线=10个基本角，10+9+…+1=55。
水平测试 B 第6题(填空题)
数一数图11-25中有______条线段。
答案：42
解析：每条线3条基本线段，共7条线：(3+2+1)×7=42。
水平测试 B 第7题(填空题)
数一数图11-26中有______条线段。
答案：154
解析：6段线4条：(6+5+4+3+2+1)×4=84；4段线7条：(4+3+2+1)×7=70；共154。
水平测试 B 第8题(填空题)
数一数图11-27中有______条线段，有______个三角形。
答案：60条线段，30个三角形
解析：线段：(4+3+2+1)×3+(3+2+1)×5=30+30=60；三角形：(4+3+2+1)×3=30。
水平测试 B 第9题(填空题)
数一数图11-28中有______条线段，有______个三角形。
答案：28条线段，35个三角形
解析：线段：(5+4+3+2+1)+5×2+(2+1)=28；三角形：(5+4+3+2+1)×2+5=35。
水平测试 B 第10题(解答题)
数一数图11-29中有多少条线段？（正方形连两条对角线，各边及对角线被交点分割）
答案：17条
解析：由2条基本线段组成的线5条，每条2+1=3，共15；由1条基本线段组成的2条；合计17。
水平测试 B 第11题(解答题)
数一数图11-30中共有多少条线段？（正五边形连所有对角线，即五点完全图）
答案：35条
解析：(3+2+1)×5+5=30+5=35。
水平测试 B 第12题(解答题)
数一数图11-31中共有线段多少条？（边长为5的大等边三角形网格）
答案：168条
解析：三个方向对称，每个方向线段数=1+(2+1)+(3+2+1)+(4+3+2+1)+(5+4+3+2+1)+(6+5+4+3+2+1)=56，共56×3=168。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图11-5中有______条线段。（直线上有A、B、C、D、E共5个点）
答案：10
解析：5个点=4条基本线段，4+3+2+1=10。
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图11-6中有______条线段。（两条直线相交：一条上5个点，另一条上6个点）
答案：25
解析：5点线：4+3+2+1=10；6点线：5+4+3+2+1=15；共10+15=25。
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图11-7中有______条线段。（长方形网格：4条横线各分3段，4条竖线各分3段）
答案：48
解析：横线4条×(3+2+1)=24，竖线4条×(3+2+1)=24，共48。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图11-8中有______条线段。（五角星，由5条直线组成，每条直线上有4个点）
答案：30
解析：每条直线4个点有3条基本线段：3+2+1=6，共6×5=30。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图11-9中有______个角。（从一点引出5条射线）
答案：10
解析：5条射线=4个基本角，4+3+2+1=10。
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图11-10中有______个三角形。（一个顶点连到底边，底边被分成4段）
答案：10
解析：三角形数=底边线段数=4+3+2+1=10。
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图11-11中有______个三角形。（底边4段，另有一条平行于底边的横线）
答案：20
解析：每层三角形4+3+2+1=10，共2层，10×2=20。
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图11-12中有______个三角形。（底边5段，另有两条平行于底边的横线）
答案：45
解析：每层5+4+3+2+1=15，共3层，15×3=45。
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图11-13中有______个三角形。（底边4段，加一条斜跨线）
答案：24
解析：(4+3+2+1)×2+4=20+4=24。
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图11-14中有______个三角形。（底边4段，另从左下顶点引出若干斜线）
答案：42
解析：(4+3+2+1)×3+(1+2)×4=30+12=42。
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图11-15中有多少条线段？（一条折线：水平段上有6个点，折下的斜段上有4个点）
答案：21条
解析：水平段6点：5+4+3+2+1=15；斜段4点：3+2+1=6；共15+6=21。
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图11-16中有多少条线段？（AB、AC两条线上各有3条基本线段，DE线上有2条基本线段）
答案：15条
解析：AB：3+2+1=6；AC：3+2+1=6；DE：2+1=3；共6+6+3=15。
水平测试 A 第13题(解答题)
数一数图11-17中有多少条线段？（三角形网格：3条线各含3条基本线段，3条线各含2条基本线段）
答案：27条
解析：(3+2+1)×3+(2+1)×3=18+9=27。
水平测试 C 第1题(填空题)
一条直线上有11个不同的点，以这11个点为端点的线段有______条。
水平测试 C 第2题(填空题)
图11-34是一条线段AB，在这条线段上点上______个点能够一共数出15条线段。
答案：4
解析：15=6×5÷2，共需6个点；已有A、B两点，还要点上6−2=4个点。
水平测试 C 第3题(填空题)
图11-35中共有______条线段。（直线上有A1到A20共20个点）
水平测试 C 第4题(填空题)
往返南京和上海之间的快车，除起点和终点站外还要停靠4个站，要准备______种车票。
答案：30
解析：共6个站，任意两站间往返两种车票：6×5=30。
水平测试 C 第5题(填空题)
数一数图11-36中有______个三角形。（正五边形连所有对角线）
答案：35
解析：五边形对角线相交形成的三角形总数为35。
水平测试 C 第6题(填空题)
图11-37中有______个小于90°的角。（从一点引出6条射线，其中5个基本角合在一起大于90°）
答案：14
解析：6条射线共15个角，其中5个基本角合成的那个角大于90°要排除，15−1=14。
水平测试 C 第7题(填空题)
数一数图11-38中有______个角。（6条直线交于一点，绕成周角，含6个基本角）
答案：31
解析：周角公式 n(n-1)+1=6×5+1=31。
水平测试 C 第8题(填空题)
数一数图11-39中有______条线段，有______个三角形。
答案：125条线段，50个三角形
解析：线段：(5+4+3+2+1)×5+(4+3+2+1)×5=75+50=125；三角形：(4+3+2+1)×5=50。
水平测试 C 第9题(填空题)
图11-40中共有______条线段。（不规则矩形网格）
答案：71
解析：横线：(2+1)×2+(4+3+2+1)×3=36；竖线：(4+3+2+1)×2+(3+2+1)×2+(2+1)=35；共71。
水平测试 C 第10题(填空题)
一条直线上有199个点，以这199个点为端点的线段有______条。
答案：19701
解析：199×198÷2=19701。
水平测试 C 第11题(填空题)
如图11-41，线段AB=8厘米，BC=4厘米，CD=5厘米，DE=9厘米，那么图中共有线段______条，这些线段的长度之和为______厘米。
答案：10条；122厘米
解析：5个点共10条线段。每段被算次数：AB出现4次、BC出现6次、CD出现6次、DE出现4次。总长=8×4+4×6+5×6+9×4=32+24+30+36=122厘米。
水平测试 C 第12题(解答题)
数一数图11-42中共有锐角多少个？（从O引出A、a1…a10、B共12条射线，集中在一个锐角内）
答案：66个
解析：12条射线在一个锐角内，所有角都是锐角，共11+10+…+1=66。
水平测试 C 第13题(解答题)
数一数图11-43中共有多少条线段？（梯形网格：12条横线各10个点，10条斜线各12个点）
答案：1200条
解析：横线：10×9÷2×12=540；斜线：12×11÷2×10=660；共1200。
水平测试 C 第14题(解答题)
数一数图11-44中共有多少条线段？（不规则矩形网格）
答案：170条
解析：横线：21×3+15×1+10×2=98；竖线：15×2+10×3+6×1+3×2=72；共170。
四、方法小结
一条线上有m个点（或n条基本线段），线段数=m(m-1)÷2=n+(n-1)+…+1。数角、数三角形都翻译成数线段：共顶点射线按点数，同高三角形数底边上线段。复合图形先按方向/类别把所有直线分组，每条线独立用公式再相加。绕一圈的周角用n(n-1)+1。反向题试拆m(m-1)÷2；往返车票按有向线段m(m-1)。
五、作业建议
基础必做：- 教材P123 水平测试A 第1–5题（直线、相交线、网格、五角星、数角）
- 教材P124 水平测试A 第6–10题（数三角形）
巩固选做：- 教材P124 水平测试A 第11–13题（折线、三角形内线段）
- 教材P126 水平测试B 第1–9题（填空，含交叉线、网格、五角星）
- 教材P127 水平测试B 第10–12题（正方形对角线、五边形、三角网格）
提高挑战：- 教材P128–129 水平测试C 第1–11题（反向点数、车票、周角、长度和）
- 教材P129–130 水平测试C 第12–14题（锐角计数、梯形大网格、不规则网格）
六、课堂错因定位
症状：一条线上数出几个点就答几条线段
根因：只数基本线段，忘了合成线段。
补救：回到知识模块：先数基本线段n，再从n加到1。
症状：复合图形漏线或重复交点
根因：不分类。
补救：拿铅笔在图上把所有直线描出来编号，一条一条数完打勾。
症状：周角数角用 n(n+1)÷2
根因：没区分半平面和绕一圈。
补救：典例C2对比：半平面从n加到1，周角用n(n-1)+1。
症状：车票题忘记往返×2
根因：把车票当成无向线段。
补救：强调方向不同车票不同，用m(m-1)。
症状：数三角形找不到共同顶点
根因：图形里线多就乱。
补救：先找同一个尖，数被横线切了几层、底边分几段。