【学生版】第12讲 · 数图形
三年级奥数 · 教材第131–141页（第12讲全讲）
一、知识要点
数长方形：长线段×宽线段
本质：长边上线段数 × 宽边上线段数 = 长方形总数。
数正方形：按边长分类
本质：m列n行网格（m≥n）中正方形总数 = mn+(m-1)(n-1)+…+(m-n+1)·1。
数三角形：按边长、分朝向
本质：三角网格中按边长分类，尖朝上和尖朝下分别计数再相加。
含标记图形的计数
本质：数“包含☆的长方形”：在☆所在行，向上/向下各有几种延伸；在☆所在列，向左/向右各有几种延伸，相乘。
二、典例精讲
典例 A1
数一数图12-1中各有多少个长方形？(三个图：1行4列、2行4列、3行4列)
典例 A2
数一数图12-2中共有多少个正方形？（6列5行方格）
典例 A3
数一数图12-3中共有多少个三角形？（边长3的等边三角网格）
典例 B1
数一数图12-17中共有多少个含有☆的长方形？（3行4列网格，☆在第1行第2格）
典例 B2
数一数图12-18中有多少个正方形？（阶梯形：先有3行4列规则网格，再在上面和左面各加小正方形）
典例 B3
数一数图12-20中有多少个长方形？（上3行3列、下多出一格的L形网格）
典例 C1
数一数图12-35中包含*的三角形有多少个？（三角形ABC，A为顶点引若干线到底边，另有一条从B出发的斜线，*在左上区域）
典例 C2
数一数图12-36中共有多少个长方形？（外矩形ABCD套内矩形A1B1C1D1，两组线错位）
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图12-4中长方形有______个。（1行5列）
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图12-5中长方形有______个。（2行5列）
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图12-6中长方形有______个。（3行3列）
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图12-7中正方形有______个。（2×2）
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图12-8中正方形有______个。（3×3）
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图12-9中正方形有______个。（4×4）
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图12-10中正方形有______个。（5×5）
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图12-11中三角形有______个。（边长4三角网格）
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图12-12中三角形有______个。（2×2方格各画对角线）
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图12-13中三角形有______个。（三角形扇加下方小矩形）
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图12-14中有多少个正方形？（菱形旋转网格）
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图12-15中有多少个长方形？（3×3网格上方凸出一格）
水平测试 A 第13题(解答题)
图12-16中有多少个长方形？（两矩形交错重叠）
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图12-4中长方形有______个。（1行5列）
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图12-5中长方形有______个。（2行5列）
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图12-6中长方形有______个。（3行3列）
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图12-7中正方形有______个。（2×2）
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图12-8中正方形有______个。（3×3）
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图12-9中正方形有______个。（4×4）
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图12-10中正方形有______个。（5×5）
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图12-11中三角形有______个。（边长4三角网格）
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图12-12中三角形有______个。（2×2方格各画对角线）
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图12-13中三角形有______个。（三角形扇加下方小矩形）
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图12-14中有多少个正方形？（菱形旋转网格）
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图12-15中有多少个长方形？（3×3网格上方凸出一格）
水平测试 A 第13题(解答题)
图12-16中有多少个长方形？（两矩形交错重叠）
水平测试 B 第1题(填空题)
数一数图12-22中长方形有______个。（2×2）
水平测试 B 第2题(填空题)
数一数图12-23中有______个长方形。（3×4网格上方凸出一格）
水平测试 B 第3题(填空题)
数一数图12-24中长方形有______个。
水平测试 B 第4题(填空题)
数一数图12-25中正方形有______个。（4×4）
水平测试 B 第5题(填空题)
数一数图12-26中正方形有______个。（6列4行）
水平测试 B 第6题(填空题)
数一数图12-27中正方形有______个。（十字形网格）
水平测试 B 第7题(填空题)
数一数图12-28中正方形有______个。（大十字形）
水平测试 B 第8题(填空题)
数一数图12-29中有______个三角形。（三角形梯形网格）
水平测试 B 第9题(填空题)
数一数图12-30中长方形有______个。
水平测试 B 第10题(填空题)
数一数图12-31中长方形有______个。
水平测试 B 第11题(解答题)
图12-32中有多少个三角形？（4层三角梯形网格）
水平测试 B 第12题(解答题)
数一数图12-33中包含☆的长方形有多少个？（4行3列，☆在第2行第3格）
水平测试 B 第13题(解答题)
图12-34中平面上有10个点（3-4-3错开排列），取4个点围成正方形，能围成多少个？
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图12-4中长方形有______个。（1行5列）
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图12-5中长方形有______个。（2行5列）
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图12-6中长方形有______个。（3行3列）
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图12-7中正方形有______个。（2×2）
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图12-8中正方形有______个。（3×3）
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图12-9中正方形有______个。（4×4）
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图12-10中正方形有______个。（5×5）
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图12-11中三角形有______个。（边长4三角网格）
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图12-12中三角形有______个。（2×2方格各画对角线）
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图12-13中三角形有______个。（三角形扇加下方小矩形）
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图12-14中有多少个正方形？（菱形旋转网格）
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图12-15中有多少个长方形？（3×3网格上方凸出一格）
水平测试 A 第13题(解答题)
图12-16中有多少个长方形？（两矩形交错重叠）
水平测试 C 第1题(填空题)
数一数图12-37中有______个长方形。（三层嵌套十字）
水平测试 C 第2题(填空题)
数一数图12-38中有______个三角形。（六角星）
水平测试 C 第3题(填空题)
图12-39中长方形(包括正方形)的总数是______。（十字方块）
水平测试 C 第4题(填空题)
数一数图12-40中含有☆的正方形有______个。（4行6列网格）
水平测试 C 第5题(填空题)
数一数图12-41中不含☆的正方形有______个。
水平测试 C 第6题(填空题)
数一数图12-42中含有☆的长方形有______个。
水平测试 C 第7题(填空题)
数一数图12-43中含*的三角形有______个。
水平测试 C 第8题(填空题)
数一数图12-44中正方形有______个。（十字带对角线）
水平测试 C 第9题(填空题)
数一数图12-45中包含△的三角形有______个。
水平测试 C 第10题(填空题)
图12-46中有______个三角形。（六角星三角网格）
水平测试 C 第11题(解答题)
图12-47一个五边形中对角线两两联结，五边形中有三角形多少个？
水平测试 C 第12题(解答题)
图12-48中含有多少个长方形？
水平测试 C 第13题(解答题)
图12-49中共有多少个不同的三角形？