奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第12讲 · 数图形

三年级奥数 · 教材第131–141页（第12讲全讲）

一、知识要点

数长方形：长线段×宽线段

本质：长边上线段数 × 宽边上线段数 = 长方形总数。
长边10种 × 宽边3种 = 30个长方形
适用：m列n行规则网格：长边被分成m段，线段数=m+(m-1)+…+1；宽边被分成n段，线段数=n+(n-1)+…+1。典例A1：1行4列→4+3+2+1=10；2行4列→10×3=30；3行4列→10×6=60。
  1. 长边上任取一条线段作为长，宽边上任取一条线段作为宽。
  2. 每一组（长，宽）唯一确定一个长方形。
  3. 所以总数=长边线段数×宽边线段数。
典型错误：只数单个小格子，忘记合并成长方形。

数正方形：按边长分类

本质：m列n行网格（m≥n）中正方形总数 = mn+(m-1)(n-1)+…+(m-n+1)·1。
边长1:6×5 边长2:5×4 …
适用：典例A2为6列5行网格：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70。正方形要求长宽相等，所以不能用长方形公式。
  1. 边长为1的正方形：m×n个。
  2. 边长为2的：横向可放m-1个，纵向n-1个，共(m-1)(n-1)。
  3. 依次到边长n：(m-n+1)×1个。
典型错误：用长方形公式长线段×宽线段，会把不是正方形的也数进去。

数三角形：按边长、分朝向

本质：三角网格中按边长分类，尖朝上和尖朝下分别计数再相加。
尖朝上10 + 尖朝下3 = 13
适用：典例A3边长3的大三角：尖朝上 边长1=1+2+3=6、边长2=1+2=3、边长3=1，共10；尖朝下 边长1=1+2=3；总13。
  1. 尖朝上：边长k的个数为1+2+…+(n-k+1)。
  2. 尖朝下：只能在足够宽的层里数，常比尖朝上少。
典型错误：漏数尖朝下的三角形。

含标记图形的计数

本质：数“包含☆的长方形”：在☆所在行，向上/向下各有几种延伸；在☆所在列，向左/向右各有几种延伸，相乘。
☆ 行6种 × 列3种 = 18
适用：典例B1：☆在某格。行方向上含☆的长方形有1+2+2+1=6种；列方向有3种。共6×3=18。
  1. 上下方向：☆格上边到网格上边有几种切法、下边到网格下边有几种切法，相乘得“行数”。
  2. 左右方向同理得“列数”。
  3. 行数×列数=含☆的长方形数。
典型错误：去数全部长方形再减去不含☆的，容易错；直接按行列延伸数更稳。

二、典例精讲

典例 A1
数一数图12-1中各有多少个长方形？(三个图：1行4列、2行4列、3行4列)
10 30
训练点：长方形公式的递进。
提示：
1. 长边被分成几段？长边上有几条线段？
2. 宽边呢？一长配一宽。
1(1) 1行4列：长边4+3+2+1=10，宽边只有1条，10个
依据：为什么想到这一步：长边上每取一条线段就对应一个长方形；1行没有宽边可选，所以长边线段数就是答案。
2(2) 2行4列：长边10条，宽边2+1=3条，10×3=30
依据：一长配一宽，长线段数×宽线段数。
3(3) 3行4列：长边10条，宽边3+2+1=6条，10×6=60
依据：同上，宽边分3段。
答：(1)10个；(2)30个；(3)60个
典型错法：三个图用同一个数。
典例 A2
数一数图12-2中共有多少个正方形？（6列5行方格）
30+20+12+6+2=70
训练点：正方形按边长分类。
提示：
1. 边长1的有几个？边长2的呢？
2. 正方形要求长宽相等，逐类数。
1边长1：6×5=30
依据：为什么想到这一步：正方形要求边长相等，不能用长方形公式（那会把长方形也算进去）；按边长分类，边长1的就是每个小格。
2边长2：5×4=20
依据：边长2的正方形横向可放5个位置、纵向4个位置。
3边长3：4×3=12；边长4：3×2=6；边长5：2×1=2
依据：每增一边长，横向位置减1、纵向减1。
4合计 30+20+12+6+2=70
依据：按边长求和。
答：70个
典型错法：用长方形公式。
典例 A3
数一数图12-3中共有多少个三角形？（边长3的等边三角网格）
尖朝上10 + 尖朝下3 = 13
训练点：三角网格按边长和朝向数。
提示：
1. 尖朝上的按边长1、2、3分别数。
2. 尖朝下的呢？
1尖朝上：边长1=1+2+3=6，边长2=1+2=3，边长3=1，共10
依据：为什么想到这一步：三角网格中尖朝上的三角形，从上往下逐层累加，边长k的个数为1+2+…+(n−k+1)。
2尖朝下：边长1=1+2=3
依据：尖朝下的三角形只在中间有空隙处出现，边长1的有3个，边长2的需要更大空间放不进边长3的大三角。
3合计 10+3=13
依据：两朝向相加。
答：13个
典型错法：答10，漏尖朝下3个。
典例 B1
数一数图12-17中共有多少个含有☆的长方形？（3行4列网格，☆在第1行第2格）
☆ 行6种 × 列3种 = 18
训练点：含标记长方形计数。
提示：
1. 在☆这一行，左右两端各能怎么切？有几种？
2. 上下方向呢？
1含☆的一行中，左右切法共1+2+2+1=6种
依据：为什么想到这一步：不是数所有长方形，而是数包含☆的；在☆所在行，左边界有几种切法、右边界有几种切法，相乘得行方向种数。
2含☆的一列中，上下切法共3种
依据：向上延伸0或1格，向下延伸0或1格，共2×2−1=3种。
3总数 6×3=18
依据：行切法×列切法。
答：18个
典型错法：数全部长方形。
典例 B2
数一数图12-18中有多少个正方形？（阶梯形：先有3行4列规则网格，再在上面和左面各加小正方形）
20+5=25
训练点：不规则图形补成规则再补加。
提示：
1. 先把它看成规则的3×4网格，有多少正方形？
2. 再看多出来的小正方形又组成哪些新正方形。
1规则3×4网格：4×3+3×2+2×1=20
依据：为什么想到这一步：先把阶梯形补成规则网格数正方形，再补凸出部分。
2凸出部分新增：4+1=5个
依据：多出的小格与原有格拼成新正方形，逐个数出新增5个。
3合计 20+5=25
依据：规则部分+新增。
答：25个
典型错法：漏掉凸出部分拼成的大正方形。
典例 B3
数一数图12-20中有多少个长方形？（上3行3列、下多出一格的L形网格）
36+30−18=48
训练点：容斥：两个规则图形相加减重叠。
提示：
1. 拆成两个规则长方形分别数。
2. 它们重叠部分被算了两次，要减去。
13×3部分：(3+2+1)×(3+2+1)=36
依据：为什么想到这一步：L形不能直接套公式，拆成两个规则长方形分别数再容斥。
22×4部分：(4+3+2+1)×(2+1)=30
依据：下方延伸部分。
3重叠的2×3部分：(3+2+1)×(2+1)=18
依据：两块重叠区域被算了两次，要减去。
4合计 36+30−18=48
依据：容斥原理。
答：48个
典型错法：忘记减重叠。
典例 C1
数一数图12-35中包含*的三角形有多少个？（三角形ABC，A为顶点引若干线到底边，另有一条从B出发的斜线，*在左上区域）
* 以A为顶点3层×4=12
训练点：含标记三角形，按顶点分类。
提示：
1. 以A为顶点、且包含*的三角形有几层？
2. 以其他点为顶点能包含*吗？
1以A为顶点的三角形：3层，每层4个，共3×4=12
依据：为什么想到这一步：含*的三角形必须以A为顶点（*在A引出的线之间）；A到底边有几条线就分几层，每层数包含*的组合。
2以B为顶点（不含A）的没有
依据：*不在B能单独围出的区域。
3合计12
依据：只A类。
答：12个
典型错法：重复数。
典例 C2
数一数图12-36中共有多少个长方形？（外矩形ABCD套内矩形A1B1C1D1，两组线错位）
18+18+4=40
训练点：嵌套图形分块容斥。
提示：
1. 先数内框里的长方形，再数外框里（忽略内线）的长方形。
2. 两部分都没数过的零星小长方形再补上。
1内框A1B1C1D1：(3+2+1)×(2+1)=18
依据：为什么想到这一步：嵌套图形要分块数；先数内框自己的长方形。
2外框ABCD（忽略内线）：(3+2+1)×(2+1)=18
依据：再数外框整体（忽略内部线），两部分不重叠。
3两部分都没数到的零星长方形：2×2=4
依据：内框外、外框内的夹缝里还有2个小长方形，每个与其他组合再得1个，共4个。
4合计 18+18+4=40
依据：三块相加。
答：40个
典型错法：漏夹缝部分。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图12-4中长方形有______个。（1行5列）
答案：15
解析：5+4+3+2+1=15。
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图12-5中长方形有______个。（2行5列）
答案：45
解析：(5+4+3+2+1)×(2+1)=15×3=45。
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图12-6中长方形有______个。（3行3列）
答案：36
解析：(3+2+1)×(3+2+1)=36。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图12-7中正方形有______个。（2×2）
答案：5
解析：2×2+1×1=5。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图12-8中正方形有______个。（3×3）
答案：14
解析：3×3+2×2+1×1=14。
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图12-9中正方形有______个。（4×4）
答案：30
解析：16+9+4+1=30。
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图12-10中正方形有______个。（5×5）
答案：55
解析：25+16+9+4+1=55。
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图12-11中三角形有______个。（边长4三角网格）
答案：27
解析：尖朝上10+6+3+1=20，尖朝下6+1=7，共27。
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图12-12中三角形有______个。（2×2方格各画对角线）
答案：82
解析：24+22+18+8+6+4=82。
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图12-13中三角形有______个。（三角形扇加下方小矩形）
答案：16
解析：大三角形底边线段5+4+3+2+1=15，外加外侧1个，共16。
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图12-14中有多少个正方形？（菱形旋转网格）
答案：27个
解析：边长1:3×3+4=13，边长2:2×2+4=8，边长3:5，边长5:1，共27。
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图12-15中有多少个长方形？（3×3网格上方凸出一格）
答案：40个
解析：去掉凸出格余(3+2+1)²=36，补凸出格新增4，共40。
水平测试 A 第13题(解答题)
图12-16中有多少个长方形？（两矩形交错重叠）
答案：14个
解析：中间小长方形3×3+3=12，再加2个大长方形，共14。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图12-4中长方形有______个。（1行5列）
答案：15
解析：5+4+3+2+1=15。
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图12-5中长方形有______个。（2行5列）
答案：45
解析：(5+4+3+2+1)×(2+1)=15×3=45。
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图12-6中长方形有______个。（3行3列）
答案：36
解析：(3+2+1)×(3+2+1)=36。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图12-7中正方形有______个。（2×2）
答案：5
解析：2×2+1×1=5。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图12-8中正方形有______个。（3×3）
答案：14
解析：3×3+2×2+1×1=14。
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图12-9中正方形有______个。（4×4）
答案：30
解析：16+9+4+1=30。
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图12-10中正方形有______个。（5×5）
答案：55
解析：25+16+9+4+1=55。
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图12-11中三角形有______个。（边长4三角网格）
答案：27
解析：尖朝上10+6+3+1=20，尖朝下6+1=7，共27。
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图12-12中三角形有______个。（2×2方格各画对角线）
答案：82
解析：24+22+18+8+6+4=82。
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图12-13中三角形有______个。（三角形扇加下方小矩形）
答案：16
解析：大三角形底边线段5+4+3+2+1=15，外加外侧1个，共16。
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图12-14中有多少个正方形？（菱形旋转网格）
答案：27个
解析：边长1:3×3+4=13，边长2:2×2+4=8，边长3:5，边长5:1，共27。
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图12-15中有多少个长方形？（3×3网格上方凸出一格）
答案：40个
解析：去掉凸出格余(3+2+1)²=36，补凸出格新增4，共40。
水平测试 A 第13题(解答题)
图12-16中有多少个长方形？（两矩形交错重叠）
答案：14个
解析：中间小长方形3×3+3=12，再加2个大长方形，共14。
水平测试 B 第1题(填空题)
数一数图12-22中长方形有______个。（2×2）
答案：9
解析：(2+1)×(2+1)=9。
水平测试 B 第2题(填空题)
数一数图12-23中有______个长方形。（3×4网格上方凸出一格）
答案：64
解析：规则部分(3+2+1)×(4+3+2+1)=60，凸出新增4，共64。
水平测试 B 第3题(填空题)
数一数图12-24中长方形有______个。
答案：69
解析：10×6+4+5=69。
水平测试 B 第4题(填空题)
数一数图12-25中正方形有______个。（4×4）
答案：30
解析：16+9+4+1=30。
水平测试 B 第5题(填空题)
数一数图12-26中正方形有______个。（6列4行）
答案：50
解析：6×4+5×3+4×2+3×1=50。
水平测试 B 第6题(填空题)
数一数图12-27中正方形有______个。（十字形网格）
答案：36
解析：边长1:20，边长2:11，边长3:4，边长4:1，共36。
水平测试 B 第7题(填空题)
数一数图12-28中正方形有______个。（大十字形）
答案：46
解析：5×4+4×3+3×2+2×1+3×2=46。
水平测试 B 第8题(填空题)
数一数图12-29中有______个三角形。（三角形梯形网格）
答案：22
解析：边长1:15，边长2:6，边长3:1，共22。
水平测试 B 第9题(填空题)
数一数图12-30中长方形有______个。
答案：169
解析：(1+2+3+4+5)×(1+2+3)+4×(4+3+2+1)+3×13=169。
水平测试 B 第10题(填空题)
数一数图12-31中长方形有______个。
答案：97
解析：(1+2+3+4)×(1+2+3)+(4+3×11)=97。
水平测试 B 第11题(解答题)
图12-32中有多少个三角形？（4层三角梯形网格）
答案：61个
解析：32+12+7+3+6+1=61。
水平测试 B 第12题(解答题)
数一数图12-33中包含☆的长方形有多少个？（4行3列，☆在第2行第3格）
答案：18个
解析：含☆的行切法1+2+2+1=6，列切法3，共6×3=18。
水平测试 B 第13题(解答题)
图12-34中平面上有10个点（3-4-3错开排列），取4个点围成正方形，能围成多少个？
答案：7个
解析：按斜向和正向分类枚举，共7个。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
数一数图12-4中长方形有______个。（1行5列）
答案：15
解析：5+4+3+2+1=15。
水平测试 A 第2题(填空题)
数一数图12-5中长方形有______个。（2行5列）
答案：45
解析：(5+4+3+2+1)×(2+1)=15×3=45。
水平测试 A 第3题(填空题)
数一数图12-6中长方形有______个。（3行3列）
答案：36
解析：(3+2+1)×(3+2+1)=36。
水平测试 A 第4题(填空题)
数一数图12-7中正方形有______个。（2×2）
答案：5
解析：2×2+1×1=5。
水平测试 A 第5题(填空题)
数一数图12-8中正方形有______个。（3×3）
答案：14
解析：3×3+2×2+1×1=14。
水平测试 A 第6题(填空题)
数一数图12-9中正方形有______个。（4×4）
答案：30
解析：16+9+4+1=30。
水平测试 A 第7题(填空题)
数一数图12-10中正方形有______个。（5×5）
答案：55
解析：25+16+9+4+1=55。
水平测试 A 第8题(填空题)
数一数图12-11中三角形有______个。（边长4三角网格）
答案：27
解析：尖朝上10+6+3+1=20，尖朝下6+1=7，共27。
水平测试 A 第9题(填空题)
数一数图12-12中三角形有______个。（2×2方格各画对角线）
答案：82
解析：24+22+18+8+6+4=82。
水平测试 A 第10题(填空题)
数一数图12-13中三角形有______个。（三角形扇加下方小矩形）
答案：16
解析：大三角形底边线段5+4+3+2+1=15，外加外侧1个，共16。
水平测试 A 第11题(解答题)
数一数图12-14中有多少个正方形？（菱形旋转网格）
答案：27个
解析：边长1:3×3+4=13，边长2:2×2+4=8，边长3:5，边长5:1，共27。
水平测试 A 第12题(解答题)
数一数图12-15中有多少个长方形？（3×3网格上方凸出一格）
答案：40个
解析：去掉凸出格余(3+2+1)²=36，补凸出格新增4，共40。
水平测试 A 第13题(解答题)
图12-16中有多少个长方形？（两矩形交错重叠）
答案：14个
解析：中间小长方形3×3+3=12，再加2个大长方形，共14。
水平测试 C 第1题(填空题)
数一数图12-37中有______个长方形。（三层嵌套十字）
答案：27
解析：三个田字形各(2+1)×(2+1)=9，共27。
水平测试 C 第2题(填空题)
数一数图12-38中有______个三角形。（六角星）
答案：20
解析：边长1:12，边长2:6，边长3:2，共20。
水平测试 C 第3题(填空题)
图12-39中长方形(包括正方形)的总数是______。（十字方块）
答案：54
解析：(13+4+1)+(16+10+4+4+2)=54。
水平测试 C 第4题(填空题)
数一数图12-40中含有☆的正方形有______个。（4行6列网格）
答案：14
解析：1+4+4+2+3=14。
水平测试 C 第5题(填空题)
数一数图12-41中不含☆的正方形有______个。
答案：32
解析：共42个正方形，含☆的10个，不含的32。
水平测试 C 第6题(填空题)
数一数图12-42中含有☆的长方形有______个。
答案：24
解析：1+4+3+5+6+2+2+1=24。
水平测试 C 第7题(填空题)
数一数图12-43中含*的三角形有______个。
答案：10
解析：含*边长1:1，边长2:4，边长3:4，边长4:1，共10。
水平测试 C 第8题(填空题)
数一数图12-44中正方形有______个。（十字带对角线）
答案：24
解析：按朝向分类计数。
水平测试 C 第9题(填空题)
数一数图12-45中包含△的三角形有______个。
答案：8
解析：每层1+2+1=4个，共2层，8个。
水平测试 C 第10题(填空题)
图12-46中有______个三角形。（六角星三角网格）
答案：118
解析：尖向上59个，尖向下59个，共118。
水平测试 C 第11题(解答题)
图12-47一个五边形中对角线两两联结，五边形中有三角形多少个？
答案：35个
解析：按形状分类6类各5个，共35。
水平测试 C 第12题(解答题)
图12-48中含有多少个长方形？
答案：107个
解析：两部分60+36，重叠减3，新增14，共107。
水平测试 C 第13题(解答题)
图12-49中共有多少个不同的三角形？
答案：67个
解析：以A为顶点54个，不以A为顶点13个，共67。

四、方法小结

规则网格长方形=长边线段数×宽边线段数；正方形按边长k分类，(m-k+1)(n-k+1)求和；三角形按边长并分尖朝上/朝下。不规则图形先补成规则图形，再用容斥加减。含标记图形按标记所在行、列分别算延伸种数再相乘。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P133–134 水平测试A 第1–8题（长方形、正方形、三角形基础）
巩固选做：
  • 教材P134–135 水平测试A 第9–13题
  • 教材P137–138 水平测试B 第1–11题
提高挑战：
  • 教材P138 水平测试B 第12–13题
  • 教材P140–141 水平测试C 第1–13题

六、课堂错因定位

症状：长方形和正方形公式混用
根因：正方形要求长宽相等。
补救：长方形用线段数相乘；正方形按边长逐类乘。
症状：不规则图形硬套规则公式
根因：没补形/没容斥。
补救：先补成规则图形，再减重叠或加凸出。
症状：三角网格漏尖朝下
根因：只数尖朝上。
补救：强制分尖朝上、尖朝下两栏。
症状：含☆图形数全部
根因：没按标记所在行列延伸。
补救：行切法×列切法。