【教师版】第13讲 · 长方形和正方形面积
三年级奥数 · 教材第142–154页（第13讲全讲）
一、知识要点
面积公式：长×宽 / 边长×边长
本质：长方形面积=长×宽；正方形面积=边长×边长。
适用：已知长宽直接乘。典例A1：两个相同正方形拼成长方形，周长减少6厘米就是遮住了两条正方形边，所以正方形边长=6÷2=3，长方形长6宽3，面积18。
- 拼成长方形后，原来两个正方形各有一条边被内部遮住，周长共减少2条边长。
- 减少6厘米=2条边长，边长=3。
- 长方形长=6、宽=3，面积=18。
典型错误：把减少的6厘米当成一条边长，得边长6。
割补平移：不规则转规则
本质：用辅助线把不规则图形割成几块规则图形，或补成大矩形再减空缺。
适用：典例A2：11个小正方形组成U形，周长48分米。先数一周由24条小正方形边组成，边长=48÷24=2，面积=2×2×11=44。
- 数周长时把每条边都投影到横竖方向。
- 反求小边长，再用小正方形面积×个数。
典型错误：数错一周有几条小边。
面积差：同加公共部分差不变
本质：两个重叠图形，两块阴影的面积差=两块整体面积差（同加空白部分差不变）。
适用：典例B1：正方形ABCD边长10，长方形EFGH长8宽5，求阴影甲、乙面积差。甲乙同时加中间空白，差不变=正方形面积−长方形面积=100−40=60。
- 甲+空白=正方形，乙+空白=长方形。
- 甲−乙=(甲+空白)−(乙+空白)=正方形−长方形。
典型错误：想分别算甲、乙，被中间重叠绕晕。
边长增加后的面积增量
本质：边长增加Δ，面积增量=2aΔ+Δ²（两个长条形加一个小正方形）。
适用：典例B2：正方形边长增加6厘米，面积增加84。Δ=6，Δ²=36，两个长条形共84−36=48，每个24，原边长=24÷6=4，原面积=16。
- 新增部分=两条长条形(a×Δ)+角落小正方形(Δ×Δ)。
- 84−36=48=2a×6，a=4。
典型错误：直接84÷6=14当原边长。
对角长方形乘积相等
本质：2×2四个小长方形中，对角两个面积乘积相等：S①×S④=S②×S③。
适用：水平测试A第13题：3×3网格中已知1,2,3,4,10，求6号。7号=1×4÷2=2，8号=3×4÷2=6，6号=6×10÷4=15。
- S①=ab，S②=bc，S③=ad，S④=cd。
- S①×S④=abcd=S②×S③。
典型错误：用相邻面积相减。
二、典例精讲
典例 A1
两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了6厘米。那么长方形的面积是多少平方厘米？
训练点：拼合周长减少反求边长。
提示：
1. 拼在一起遮住了几条边？
2. 减少6厘米对应几条正方形边长？
1拼合遮住2条正方形边，边长=6÷2=3厘米依据：两个正方形各有一条边贴在一起，不再算周长。
2长方形长=3×2=6，宽=3依据：两个正方形并排。
3面积=6×3=18平方厘米依据：长方形面积公式。
答：18平方厘米
典型错法：边长=6，面积=72。
典例 A2
如图13-2，由11个同样的正方形组成的图形，周长48分米，面积是多少？
训练点：数一周边数反求小边长。
提示：
1. 把上边、下边、左边、右边分别投影数。
2. 一周共几条小正方形的边？
1一周由(5+3)×3=24条小正方形边组成依据：投影到四边计数。
3面积=2×2×11=44平方分米依据：11个小正方形。
答：44平方分米
典型错法：数错一周边数。
典例 B1
图13-11，正方形ABCD边长10厘米，长方形EFGH长8厘米宽5厘米，阴影甲和乙的面积差是多少？
训练点：面积差不变原理。
提示：
1. 甲和中间空白合起来是什么？
2. 乙和中间空白合起来是什么？
1甲+空白=正方形=100依据：甲在正方形内不重叠部分。
2乙+空白=长方形=40依据：乙在长方形内不重叠部分。
3甲−乙=100−40=60依据：同加空白差不变。
答：60平方厘米
典型错法：试图减去重叠。
典例 B2
一个正方形边长增加6厘米后变成更大正方形，面积增加84平方厘米，原正方形面积是多少？
训练点：边长增量拆2aΔ+Δ²。
提示：
1. 画个图，新增部分是什么形状？
2. 角落小正方形面积多少？剩下的两条长条面积多少？
2两条长条共84−36=48，每条24依据：两条长条等大。
3原边长=24÷6=4依据：长条一边是Δ=6，另一边是原边长。
答：16平方厘米
典型错法：84÷6=14。
典例 B3
用同样大小的长方形纸片如图13-13摆放，已知每张小纸片的宽是12厘米。求阴影部分的面积。
训练点：由摆放关系求小长方形长。
提示：
1. 看大长，横放3个长+3个宽等于竖放5个长，能列出什么？
2. 长求出来后，阴影小正方形边长是多少？
1看最上面一条大长：横放3个长+3个宽；看下面一条大长：竖放5个长，两种算法是同一条边依据：为什么想到这一步——题目只给了宽12，必须先找到长；而长没直接给，只有靠“同一条大长、两种数法”列等式。
23长+3宽=5长，所以2长=3宽=36，长=18厘米依据：两边都减去3长，得到2长=3宽；宽已知12，3宽=36。
3阴影小正方形边长=长−宽=18−12=6厘米依据：为什么是长减宽——横竖交错处，横条比竖条多出的那段正好就是小阴影正方形的边。
4阴影=6×6×3=108平方厘米依据：图中共有3个这样的小阴影正方形。
答：108平方厘米
典型错法：不知道长怎么求。
典例 C1
图13-23由边长10、12、8厘米的三个正方形构成，一条与AB平行的直线EF把图形分成面积相等两部分，BF长多少？
训练点：补形后列方程求平分位置。
提示：
1. 先补成一个大矩形，求总面积一半。
2. 左边部分面积怎么用BF表示？
1把原图补成30×12的大矩形（三个正方形边长10、12、8排一排）依据：为什么想到这一步——原图高低不平，直接列左半面积方程很繁；补成规则大矩形后，上下两半之差就只来自补上的①②两块。
2补上的①=10×(12−10)=20，②=8×(12−8)=32依据：①是左上角缺的长条，②是右下角缺的长条。
3因为原图上下两半面积相等，补全后下半（EFHG）比上半（BCEF）正好多出②−①=32−20=12依据：上下同加一块、差不变；下半多补了②，上半多补了①。
4FH比BF长12÷30=0.4厘米，又BF+FH=12厘米依据：多出的12摊在整条30厘米的大长上，就是FH与BF的长度差。
5BF=(12−0.4)÷2=5.8厘米依据：和差问题：和12、差0.4，求较小数BF。
答：5.8厘米
典型错法：补形后忘记扣补块。
典例 C2
大中小三个正方形，边长整厘米。小正方形周长比中正方形边长大。把小、中放在大正方形上（图13-25），大正方形露出部分28平方厘米，求大正方形面积。
训练点：阴影重排后分解为两矩形。
提示：
1. 把右下角小正方形移到左下角，阴影变成什么？
2. 28拆成两个相同长方形，14=长×宽，长=中边长，宽=小边长。
1阴影重排成两个相同长方形，每个14平方厘米依据：等积变形。
214=14×1=7×2。小正方形周长(4×小边)>中边长，排除14×1依据：若小边1，周长4<14矛盾。
3小边=2，中边=7，大边=7+2=9依据：大正方形边长=中边+小边。
答：81平方厘米
典型错法：取14×1，没检验周长条件。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
图13-3是一幢楼房的平面图形（单位：米），它的面积是______平方米。
答案：11
解析：1×5+(4−1)×2=5+6=11平方米。
水平测试 A 第2题(填空题)
边长10米正方形院子中央修宽2米十字形甬道，甬道面积______平方米。
答案：36
解析：2×10+(10-2)÷2×2×2=36。
水平测试 A 第3题(填空题)
大小两长方形对应边距离均1厘米，阴影面积16，小长方形长是宽2倍，大长方形面积是小长方形______倍。
答案：3
解析：小长方形宽2、长4、面积8；大面积24，24÷8=3。
水平测试 A 第4题(填空题)
边长24厘米正方形剪成4块同样大小长方形纸（长宽不等），每块长______厘米，宽______厘米，周长______厘米，面积______平方厘米。
答案：24；6；60；144
解析：长24，宽24÷4=6，周长(24+6)×2=60，面积24×6=144。
水平测试 A 第5题(填空题)
长方形长50厘米，截去最大正方形后余下长方形，余下周长______厘米。
答案：100
解析：截去最大正方形后，余下长方形长+宽=原长50，周长=50×2=100。
水平测试 A 第6题(填空题)
长方形原长12厘米宽7厘米，长宽都减少2厘米，面积共减少______平方厘米。
答案：34
解析：12×2+(7-2)×2=24+10=34。
水平测试 A 第7题(填空题)
长方形长宽各增加8分米，面积增加208平方分米，原周长______分米。
答案：36
解析：(208-8×8)÷8=18，即原长+宽=18，周长36。
水平测试 A 第8题(填空题)
两个长方形面积相等，一个长28宽15，另一个长35，宽______厘米。
水平测试 A 第9题(填空题)
5个相同正方形拼成图13-6（L形），周长50厘米，面积是______。
答案：125平方厘米
解析：一周10条小边，边长50÷10=5，面积5×5×5=125。
水平测试 A 第10题(填空题)
边长12分米正方形正中挖去正方形洞成宽1分米方框，五个这样方框放桌上（图13-7），桌上被盖住面积______平方分米。
答案：212
解析：每个方框12²-10²=44，5个220，重叠8处1×1=8，220-8=212。
水平测试 A 第11题(解答题)
图13-8，4个同样长方形和1个面积4平方米小正方形拼成面积400平方米大正方形，长方形长宽各多少？
答案：长11米，宽9米
解析：大边长20，长+宽=20；小正方形边长2，长−宽=2；和差得长11宽9。
水平测试 A 第12题(解答题)
小区长方形花坛四周有2米宽路，路面积156平方米，求花坛周长。
答案：70米
解析：四角2×2正方形共16，剩下140是4个宽2米长条，长和=140÷2=70即花坛周长。
水平测试 A 第13题(解答题)
图13-10有9个小长方形，1、2、3、4、5号面积分别1、2、3、4、10平方米，6号面积是多少？
答案：15平方米
解析：对角乘积相等：7号=1×4÷2=2，8号=3×4÷2=6，6号=6×10÷4=15。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
图13-3是一幢楼房的平面图形（单位：米），它的面积是______平方米。
答案：11
解析：1×5+(4−1)×2=5+6=11平方米。
水平测试 A 第2题(填空题)
边长10米正方形院子中央修宽2米十字形甬道，甬道面积______平方米。
答案：36
解析：2×10+(10-2)÷2×2×2=36。
水平测试 A 第3题(填空题)
大小两长方形对应边距离均1厘米，阴影面积16，小长方形长是宽2倍，大长方形面积是小长方形______倍。
答案：3
解析：小长方形宽2、长4、面积8；大面积24，24÷8=3。
水平测试 A 第4题(填空题)
边长24厘米正方形剪成4块同样大小长方形纸（长宽不等），每块长______厘米，宽______厘米，周长______厘米，面积______平方厘米。
答案：24；6；60；144
解析：长24，宽24÷4=6，周长(24+6)×2=60，面积24×6=144。
水平测试 A 第5题(填空题)
长方形长50厘米，截去最大正方形后余下长方形，余下周长______厘米。
答案：100
解析：截去最大正方形后，余下长方形长+宽=原长50，周长=50×2=100。
水平测试 A 第6题(填空题)
长方形原长12厘米宽7厘米，长宽都减少2厘米，面积共减少______平方厘米。
答案：34
解析：12×2+(7-2)×2=24+10=34。
水平测试 A 第7题(填空题)
长方形长宽各增加8分米，面积增加208平方分米，原周长______分米。
答案：36
解析：(208-8×8)÷8=18，即原长+宽=18，周长36。
水平测试 A 第8题(填空题)
两个长方形面积相等，一个长28宽15，另一个长35，宽______厘米。
水平测试 A 第9题(填空题)
5个相同正方形拼成图13-6（L形），周长50厘米，面积是______。
答案：125平方厘米
解析：一周10条小边，边长50÷10=5，面积5×5×5=125。
水平测试 A 第10题(填空题)
边长12分米正方形正中挖去正方形洞成宽1分米方框，五个这样方框放桌上（图13-7），桌上被盖住面积______平方分米。
答案：212
解析：每个方框12²-10²=44，5个220，重叠8处1×1=8，220-8=212。
水平测试 A 第11题(解答题)
图13-8，4个同样长方形和1个面积4平方米小正方形拼成面积400平方米大正方形，长方形长宽各多少？
答案：长11米，宽9米
解析：大边长20，长+宽=20；小正方形边长2，长−宽=2；和差得长11宽9。
水平测试 A 第12题(解答题)
小区长方形花坛四周有2米宽路，路面积156平方米，求花坛周长。
答案：70米
解析：四角2×2正方形共16，剩下140是4个宽2米长条，长和=140÷2=70即花坛周长。
水平测试 A 第13题(解答题)
图13-10有9个小长方形，1、2、3、4、5号面积分别1、2、3、4、10平方米，6号面积是多少？
答案：15平方米
解析：对角乘积相等：7号=1×4÷2=2，8号=3×4÷2=6，6号=6×10÷4=15。
水平测试 B 第1题(填空题)
正方形和长方形周长相等，正方形边长10分米，长方形宽6分米，长方形面积______平方分米。
答案：84
解析：周长40，长方形长40÷2-6=14，面积14×6=84。
水平测试 B 第2题(填空题)
边长36厘米正方形剪成6块同样长方形，每块长______宽______周长______面积______。
答案：36；6；84；216（或18；12；60；216）
解析：两种剪法：分6列或3×2，面积均36×36÷6=216。
水平测试 B 第3题(填空题)
长方形长宽各增加6分米，面积增加120平方分米，原周长______分米。
答案：28
解析：(120-36)÷6=14=原长+宽，周长28。
水平测试 B 第4题(填空题)
正方形边长扩大3倍，面积增加72平方厘米，原面积______平方厘米。
答案：9
解析：面积扩大9倍，增加8倍=72，原面积72÷8=9。
水平测试 B 第5题(填空题)
图13-14，9个小长方形1~5号面积1、2、3、4、5平方米，6号面积______平方米。
答案：7.5
解析：对角乘积：7号=1×4÷2=2，8号=3×4÷2=6，6号=6×5÷4=7.5。
水平测试 B 第6题(填空题)
图13-15，有9个同样大小的小长方形拼成一个大长方形。已知小长方形的长是10厘米，那么大长方形的面积是______平方厘米。
答案：720
解析：由摆放关系：上面5条竖放小长方形的宽=下面4条横放小长方形的长，即5小宽=4小长=40，小宽=8厘米。大长=4×10=40，大宽=10+8=18，面积=40×18=720平方厘米。
水平测试 B 第7题(填空题)
图13-16长方形竖线平行、横线等距，长方形面积128平方厘米，阴影面积______。
答案：32平方厘米
解析：阴影平移拼起占1/4，128÷4=32。
水平测试 B 第8题(填空题)
图13-17，4个相同长方形拼成100平方厘米大正方形，每个长方形周长______厘米。
答案：20
解析：大边长10=长+宽，每个长方形周长=2×(长+宽)=20。
水平测试 B 第9题(填空题)
图13-18正方形分9个小长方形，小长方形周长总和96厘米，大正方形面积______平方厘米。
答案：64
解析：内部横竖各加2条线，共(4+4×2)=12条边长，边长=96÷12=8，面积64。
水平测试 B 第10题(填空题)
图13-19长方形分5个正方形，长方形面积120平方厘米，长______宽______。
答案：12；10
解析：大正方形边长=小正方形1.5倍，小边4，长12宽10。
水平测试 B 第11题(解答题)
图13-20正方形分9个小长方形，小长方形周长总和144厘米，大正方形面积？
答案：144平方厘米
解析：共12条边长，边长=144÷12=12，面积144。
水平测试 B 第12题(解答题)
如图13-21，A、B、C、D四个长方形的周长和是100，且每个长方形都有一条边的长度已经给定，分别是1、2、3、4。中间的长方形的周长是多少？
答案：30
解析：最外面大长方形的半周长=100÷2=50。A、B、C、D四条长之和=50−(1+2+3+4)=40；中间长方形周长=40−(1+2+3+4)=30。
水平测试 B 第13题(解答题)
图13-22边长20正方形ABCD内有四边形EFGH，FI=4，GJ=2，求四边形EFGH面积。
答案：204
解析：四边形=中间矩形2×4+(400-8)÷2=8+196=204。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
图13-3是一幢楼房的平面图形（单位：米），它的面积是______平方米。
答案：11
解析：1×5+(4−1)×2=5+6=11平方米。
水平测试 A 第2题(填空题)
边长10米正方形院子中央修宽2米十字形甬道，甬道面积______平方米。
答案：36
解析：2×10+(10-2)÷2×2×2=36。
水平测试 A 第3题(填空题)
大小两长方形对应边距离均1厘米，阴影面积16，小长方形长是宽2倍，大长方形面积是小长方形______倍。
答案：3
解析：小长方形宽2、长4、面积8；大面积24，24÷8=3。
水平测试 A 第4题(填空题)
边长24厘米正方形剪成4块同样大小长方形纸（长宽不等），每块长______厘米，宽______厘米，周长______厘米，面积______平方厘米。
答案：24；6；60；144
解析：长24，宽24÷4=6，周长(24+6)×2=60，面积24×6=144。
水平测试 A 第5题(填空题)
长方形长50厘米，截去最大正方形后余下长方形，余下周长______厘米。
答案：100
解析：截去最大正方形后，余下长方形长+宽=原长50，周长=50×2=100。
水平测试 A 第6题(填空题)
长方形原长12厘米宽7厘米，长宽都减少2厘米，面积共减少______平方厘米。
答案：34
解析：12×2+(7-2)×2=24+10=34。
水平测试 A 第7题(填空题)
长方形长宽各增加8分米，面积增加208平方分米，原周长______分米。
答案：36
解析：(208-8×8)÷8=18，即原长+宽=18，周长36。
水平测试 A 第8题(填空题)
两个长方形面积相等，一个长28宽15，另一个长35，宽______厘米。
水平测试 A 第9题(填空题)
5个相同正方形拼成图13-6（L形），周长50厘米，面积是______。
答案：125平方厘米
解析：一周10条小边，边长50÷10=5，面积5×5×5=125。
水平测试 A 第10题(填空题)
边长12分米正方形正中挖去正方形洞成宽1分米方框，五个这样方框放桌上（图13-7），桌上被盖住面积______平方分米。
答案：212
解析：每个方框12²-10²=44，5个220，重叠8处1×1=8，220-8=212。
水平测试 A 第11题(解答题)
图13-8，4个同样长方形和1个面积4平方米小正方形拼成面积400平方米大正方形，长方形长宽各多少？
答案：长11米，宽9米
解析：大边长20，长+宽=20；小正方形边长2，长−宽=2；和差得长11宽9。
水平测试 A 第12题(解答题)
小区长方形花坛四周有2米宽路，路面积156平方米，求花坛周长。
答案：70米
解析：四角2×2正方形共16，剩下140是4个宽2米长条，长和=140÷2=70即花坛周长。
水平测试 A 第13题(解答题)
图13-10有9个小长方形，1、2、3、4、5号面积分别1、2、3、4、10平方米，6号面积是多少？
答案：15平方米
解析：对角乘积相等：7号=1×4÷2=2，8号=3×4÷2=6，6号=6×10÷4=15。
水平测试 C 第1题(填空题)
图13-26大正方形中有小正方形，周长差8厘米，面积差20平方厘米，大正方形边长______厘米。
答案：6
解析：周长差→边长差2，面积差20→大边6小边4。
水平测试 C 第2题(填空题)
20分米线段分两段各作正方形，两正方形面积差40平方分米，大正方形面积______小正方形面积______。
答案：121平方分米；81平方分米
解析：边长差=40÷20=2，和20，大边11小边9。
水平测试 C 第3题(填空题)
长方形玻璃从长边截去20厘米宽一块后剩正方形，周长160厘米，原来周长______面积______。
答案：200厘米；2400平方厘米
解析：正方形边长40，原长60宽40，周长200面积2400。
水平测试 C 第4题(填空题)
图13-28机器零件中间大正方形边长6，每边正中向外凸出小正方形边长2，周长______面积______。
答案：40厘米；52平方厘米
解析：周长6×4+2×2×4=40，面积6×6+2×2×4=52。
水平测试 C 第5题(填空题)
图13-29六个正方形较小由较大四边中点连成，最大边长40厘米，最小正方形面积______。
答案：50平方厘米
解析：每次中点连面积减半：40×40÷2⁵=50。
水平测试 C 第6题(填空题)
如图13-30，在一块长60米、宽40米的长方形庭院正中央设计了“丁字形”甬道。已知甬道宽2米，横甬道到两边距离相等，竖甬道到两边距离也相等。“丁字形”甬道的周长是______米，面积是______平方米。
答案：162米；158平方米
解析：面积：横甬道60×2，竖甬道(40−2)÷2×2，共120+38=158平方米。周长：先算外包60×2+(40−2)×2=196，再补横甬道凸出的2×2×2、竖甬道两段2×2，并扣掉重叠处2×2，得162米。
水平测试 C 第7题(填空题)
有两个完全相同的长方形，如果把它们的长连在一起拼成一个新长方形，周长比原来一个长方形增加10厘米；如果把宽连在一起拼成一个新长方形，周长比原来一个长方形增加16厘米。原来每个长方形的面积是______平方厘米。
答案：40平方厘米
解析：沿长边拼合时，新增的两条边是宽，2宽=10，宽=5；沿宽边拼合时，新增的两条边是长，2长=16，长=8。面积=8×5=40平方厘米。
水平测试 C 第8题(填空题)
图13-31中四边形的面积是______平方厘米。
答案：33平方厘米
解析：四边形四个顶点分别在外接大长方形各边中点，面积正好是外接矩形的一半：11×6÷2=33平方厘米。
水平测试 C 第9题(填空题)
长方形木板沿两条不同边各截去4厘米，截掉两块总面积192平方厘米，现在木板周长______。
答案：88厘米
解析：角上4×4=16，余下176=4×(长+宽-8)，现半周长44，周长88。
水平测试 C 第10题(填空题)
图13-32中的数分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是______。
答案：9
解析：两个对角长方形面积乘积相等：左下角15×右上角12=(右下角三角形×2)×(左上角所求三角形×2)，即180=10×(2×?)，?=9。
水平测试 C 第11题(解答题)
图13-33长方形ABCD周长16，每条边上画以该边为边的正方形，四个正方形面积和68，求长方形面积。
答案：15平方厘米
解析：AB+AD=8，一大一小正方形面积和=34=9+25，即边长3和5，面积15。
水平测试 C 第12题(解答题)
图13-34，35个边长1小正方形组成5×7长方形，图中所有正方形周长和？
答案：700厘米
解析：边长1:35个、2:24、3:15、4:8、5:3，周长和=4(35+48+45+32+15)=700。
水平测试 C 第13题(解答题)
图13-35国际数学家大会会标由4个相同直角三角形拼成，直角边2和3厘米，大正方形面积？
答案：13平方厘米
解析：4个三角形面积=4×(3×2÷2)=12，中间小正方形边长1，面积1，共13。
四、方法小结
长方形面积=长×宽，正方形=边长×边长。不规则图形割补平移成规则图形；拼接遮住边使周长减少但面积不变；重叠盖住面积=两块和−重叠。边长增加Δ的增量=2aΔ+Δ²。2×2网格中对角长方形面积乘积相等。
五、作业建议
巩固选做：- 教材P145–146 水平测试A 第11–13题
- 教材P148–149 水平测试B 第1–10题
提高挑战：- 教材P149–150 水平测试B 第11–13题
- 教材P152–154 水平测试C 第1–13题
六、课堂错因定位
症状：拼合周长减少量除以2时算错
根因：以为遮住一条边。
补救：两个正方形拼一起遮住两条边。
症状：边长增加Δ直接除Δ
根因：忘记角落小正方形。
补救：画2aΔ+Δ²分解图。
症状：单位混淆
根因：长度单位和面积单位混。
补救：写结果时平方厘米/平方分米/平方米。
症状：求未知小方格面积乱猜
根因：不会用对角乘积。
补救：3×3网格中S①×S④=S②×S③。