【学生版】第15讲 · 定义新运算

三年级奥数 · 教材第167–176页（第15讲全讲）

一、知识要点

什么是定义新运算

本质：用一个临时符号规定一套新算法，见到它就严格按定义把前后两个数代入计算。

交换律、结合律一般不成立

本质：新运算里a△b和b△a结果常常不同；(a△b)△c和a△(b△c)也常常不同，不能随意交换、去括号。

归纳规律：从例子反推公式

本质：题目只给几个算式结果，要自己观察猜出a与b按什么法则运算，再用新公式算所求。

二、典例精讲

典例 A1

设a、b都表示数，规定a△b=3×a−2×b。(1)求3△2，2△3的值；(2)这个运算“△”有交换律吗？(3)求(17△6)△2，17△(6△2)的值；(4)这个运算“△”有结合律吗？(5)如果4△b=2，求b的值。

典例 A2

定义运算※为a※b=a×b−(a+b)。(1)求5※7，7※5；(2)求12※(3※4)，(12※3)※4；(3)这个运算“※”有交换律、结合律吗？(4)如果3※(5※x)=3，求x。

典例 B1

已知2△3=2+22+222=246，3△4=3+33+333+3333=3702，按此规则，求5△3的值。

典例 B2

设a、b都是正整数，规定a▲b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b−1)。(1)求1▲100的值；(2)如果x▲10=75，求x。

典例 C1

有一个数学运算符号“⊗”，使2⊗4=8，5⊗3=13，3⊗5=11，9⊗7=25成立，求7⊗3的值。

典例 C2

x、y表示两个数，规定x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为正整数。已知1*2=5，(2*3)△4=64，求(1△2)*3的值。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)

如果定义a△b=a+b，其中a、b是正整数，那么9△2=____。

水平测试 A 第2题(填空题)

如果定义a*b=a×b，其中a、b是正整数，那么3*4=____。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果定义a▽b=2×a+b，其中a、b是正整数，那么(3▽5)▽7=____。

水平测试 A 第4题(填空题)

如果定义a☆b=2+a×b，其中a、b是正整数，那么(4☆1)☆5=____。

水平测试 A 第5题(填空题)

如果定义a*b=3×a+5×b，其中a、b是正整数，那么1*(2*3)=____。

水平测试 A 第6题(填空题)

如果定义a*b=a×b−a−b，其中a、b是正整数，那么5*2*7=____。

水平测试 A 第7题(填空题)

如果定义a*b=2×a÷b，其中a、b是正整数，那么5*2*2=____。

水平测试 A 第8题(填空题)

如果定义A*B=2×A+24÷B，其中A、B是正整数，那么(2*6)*4=____。

水平测试 A 第9题(填空题)

如果定义A*B=3×A+4×B，那么(3*4)*5=____。

水平测试 A 第10题(填空题)

如果定义同第9题(A*B=3A+4B)，那么(2*3)+(4*5)=____。

水平测试 A 第11题(解答题)

如果定义如下：2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，求2△(3△3)的值。

水平测试 A 第12题(解答题)

如果定义如下：3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，求6!和8!的值。

水平测试 A 第13题(解答题)

定义新运算：a*b=(a+1)×b，例如9*2=(9+1)×2=20，求4*3*2和4*(3*2)的值。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)

如果定义a△b=a+b，其中a、b是正整数，那么9△2=____。

水平测试 A 第2题(填空题)

如果定义a*b=a×b，其中a、b是正整数，那么3*4=____。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果定义a▽b=2×a+b，其中a、b是正整数，那么(3▽5)▽7=____。

水平测试 A 第4题(填空题)

如果定义a☆b=2+a×b，其中a、b是正整数，那么(4☆1)☆5=____。

水平测试 A 第5题(填空题)

如果定义a*b=3×a+5×b，其中a、b是正整数，那么1*(2*3)=____。

水平测试 A 第6题(填空题)

如果定义a*b=a×b−a−b，其中a、b是正整数，那么5*2*7=____。

水平测试 A 第7题(填空题)

如果定义a*b=2×a÷b，其中a、b是正整数，那么5*2*2=____。

水平测试 A 第8题(填空题)

如果定义A*B=2×A+24÷B，其中A、B是正整数，那么(2*6)*4=____。

水平测试 A 第9题(填空题)

如果定义A*B=3×A+4×B，那么(3*4)*5=____。

水平测试 A 第10题(填空题)

如果定义同第9题(A*B=3A+4B)，那么(2*3)+(4*5)=____。

水平测试 A 第11题(解答题)

如果定义如下：2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，求2△(3△3)的值。

水平测试 A 第12题(解答题)

如果定义如下：3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，求6!和8!的值。

水平测试 A 第13题(解答题)

定义新运算：a*b=(a+1)×b，例如9*2=(9+1)×2=20，求4*3*2和4*(3*2)的值。

水平测试 B 第1题(填空题)

设a*b=a×b+a−b，其中a、b是正整数，那么1*2*3=____。

水平测试 B 第2题(填空题)

如果定义a△b=a+b−1，那么(9△8)△7=____。

水平测试 B 第3题(填空题)

如果定义如题2(a△b=a+b−1)，且(5△x)△x=83，那么x=____。

水平测试 B 第4题(填空题)

如果定义8△2=8+9=17，5△3=5+6+7=18，3△5=3+4+5+6+7=25，那么9△2=____。

水平测试 B 第5题(填空题)

在第4题规则下，若X△5=20，那么X=____。

水平测试 B 第6题(填空题)

在第4题规则下，若1△X=28，那么X=____。

水平测试 B 第7题(填空题)

如果定义a☆b=3a+2b−2，其中a、b是正整数，那么a☆b的最小值是____。

水平测试 B 第8题(填空题)

如果定义a*b=a÷b×2+3，那么4*2*7=____。

水平测试 B 第9题(填空题)

如果定义a☆b=3a+2b−2，那么10☆11=____，11☆10=____。

水平测试 B 第10题(填空题)

如果4*2=14，5*3=22，3*5=4，7*18=31，那么6*9=____。

水平测试 B 第11题(解答题)

a*b表示a的3倍减去b的1/2，例如1*2=1×3−2×1/2=2。计算：(1)10*6；(2)7*(2*1)。

水平测试 B 第12题(解答题)

规定a△b=a+(a+1)+…+(a+b−1)（a、b为正整数，b>a），如果x△10=65，求x的值。

水平测试 B 第13题(解答题)

如果9△13=(9+13)÷2=11，15△17=(15+17)÷2=16，34△18=(34+18)÷2=26。(1)求45△33；(2)若x△5=20，求x；(3)若1△x=8，求x；(4)求(7△13)△10。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)

如果定义a△b=a+b，其中a、b是正整数，那么9△2=____。

水平测试 A 第2题(填空题)

如果定义a*b=a×b，其中a、b是正整数，那么3*4=____。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果定义a▽b=2×a+b，其中a、b是正整数，那么(3▽5)▽7=____。

水平测试 A 第4题(填空题)

如果定义a☆b=2+a×b，其中a、b是正整数，那么(4☆1)☆5=____。

水平测试 A 第5题(填空题)

如果定义a*b=3×a+5×b，其中a、b是正整数，那么1*(2*3)=____。

水平测试 A 第6题(填空题)

如果定义a*b=a×b−a−b，其中a、b是正整数，那么5*2*7=____。

水平测试 A 第7题(填空题)

如果定义a*b=2×a÷b，其中a、b是正整数，那么5*2*2=____。

水平测试 A 第8题(填空题)

如果定义A*B=2×A+24÷B，其中A、B是正整数，那么(2*6)*4=____。

水平测试 A 第9题(填空题)

如果定义A*B=3×A+4×B，那么(3*4)*5=____。

水平测试 A 第10题(填空题)

如果定义同第9题(A*B=3A+4B)，那么(2*3)+(4*5)=____。

水平测试 A 第11题(解答题)

如果定义如下：2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，求2△(3△3)的值。

水平测试 A 第12题(解答题)

如果定义如下：3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，求6!和8!的值。

水平测试 A 第13题(解答题)

定义新运算：a*b=(a+1)×b，例如9*2=(9+1)×2=20，求4*3*2和4*(3*2)的值。

水平测试 C 第1题(填空题)

如果A*B=4A+3B，例如2*4=4×2+3×4，那么(2*3)*(4*1)=____。

水平测试 C 第2题(填空题)

如果2*4=4+44=48，3*2=2+22+222=246，4*1=1+11+111+1111=1234，那么5*3=____。

水平测试 C 第3题(填空题)

如果6*2=6+7=13，4*3=4+5+6=15，5*4=5+6+7+8，那么5*3+9*3+1*5=____。

水平测试 C 第4题(填空题)

如果7*4=7×8×9×10，6*5=6×7×8×9×10，那么(6*5)÷(7*4)=____。

水平测试 C 第5题(填空题)

如果a*b表示用a除以b所得的余数，由21*8=5，那么31*7=____，(36*8)*5=____。

水平测试 C 第6题(填空题)

如果3⊕2=3+33=36，2⊕3=2+22+222=246，1⊕4=1+11+111+1111=1234，那么4⊕4=____，5⊕6=____。

水平测试 C 第7题(填空题)

如果定义同第6题，且5⊕X=6170，那么X=____。

水平测试 C 第8题(填空题)

如果《2,3》=2，《156,102》=156，那么《4562,2343》=____；《678,《102,156》》=____。

水平测试 C 第9题(填空题)

如果a*b表示a除以b所得的余数，在小于27的整数X中，使27*X=3成立，则X的取值有____个。

水平测试 C 第10题(填空题)

对于非负数a、b规定运算“▽”为a▽b=(a+1)×(1−b)。若等式(a▽a)▽(a+1)=(a+1)▽(a▽a)成立，则a的值是____。

水平测试 C 第11题(解答题)

已知a※b=(a+b)/(a÷b)，x※(5※1)=6，求x的值。

水平测试 C 第12题(解答题)

规定羊△羊=羊，羊△狼=狼，狼△羊=狼，狼△狼=狼；羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。混合运算从左到右、括号先算。求：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)。

水平测试 C 第13题(解答题)

若a△b=(a+b)÷2，a⊙b=a×b，a⊕b=a×3−b。求：(1)10△8；(2)9⊕15；(3)9⊙5；(4)(6⊕4)⊙2；(5)25⊕[(7△13)△10]。