【教师版】第15讲 · 定义新运算

三年级奥数 · 教材第167–176页（第15讲全讲）

一、知识要点

什么是定义新运算

本质：用一个临时符号规定一套新算法，见到它就严格按定义把前后两个数代入计算。

适用：题目会写“规定 a△b=……”。△本身没有任何意义，右边的式子才是算法。对应教材知识要点：抓住定义，严格代入。

第一步：读定义，看符号前后两个位置分别对应式子中的哪个字母。
第二步：把题目给的两个数按位置代入。
第三步：按普通四则运算顺序算出结果。

典型错误：看到△就当加法；或前后数放反（3△2算成3×2−2×3）。

交换律、结合律一般不成立

本质：新运算里a△b和b△a结果常常不同；(a△b)△c和a△(b△c)也常常不同，不能随意交换、去括号。

适用：题目问“有交换律吗/结合律吗”，就分别算两种顺序比一比。计算时永远从括号内、从左到右，不偷懒调换。

交换律成立要求a△b恒等于b△a，举一个反例不等就不成立。
结合律成立要求(a△b)△c恒等于a△(b△c)，同样举反例。

典型错误：想当然认为新运算也能交换、能去括号。

归纳规律：从例子反推公式

本质：题目只给几个算式结果，要自己观察猜出a与b按什么法则运算，再用新公式算所求。

适用：如2⊗4=8、5⊗3=13……观察发现结果=2×前数+后数，即a⊗b=2a+b。归纳后要回到已知算式验证。

把每个算式的结果拆成前数、后数的倍数组合。
找出对所有例子都成立的统一公式。
回代验证，再用公式算所求。

典型错误：只看一个例子就下结论，不回代验证。

二、典例精讲

典例 A1

设a、b都表示数，规定a△b=3×a−2×b。(1)求3△2，2△3的值；(2)这个运算“△”有交换律吗？(3)求(17△6)△2，17△(6△2)的值；(4)这个运算“△”有结合律吗？(5)如果4△b=2，求b的值。

训练点：完整经历代入、判断交换律/结合律、反求未知数。

提示：

1. 3△2里前数是3代a、后数是2代b；2△3就把前数换成2、后数换成3。

2. 带括号先算括号里那个△，得到结果后再和括号外的数做△。

1(1)3△2=3×3−2×2=9−4=5；2△3=3×2−2×3=6−6=0

依据：对号入座代入。

2(2)5≠0，所以“△”没有交换律

依据：交换前后结果不同。

3(3)17△6=3×17−2×6=39，再39△2=3×39−2×2=113

依据：先算括号。

46△2=3×6−2×2=14，再17△14=3×17−2×14=23

依据：另一种括号顺序。

5(4)113≠23，所以没有结合律

6(5)4△b=3×4−2b=12−2b=2，解得b=5

依据：解方程12−2b=2。

答：(1)5和0；(2)无交换律；(3)113和23；(4)无结合律；(5)b=5

典型错法：把3△2和2△3算成一样；反求b时不会列方程。

典例 A2

定义运算※为a※b=a×b−(a+b)。(1)求5※7，7※5；(2)求12※(3※4)，(12※3)※4；(3)这个运算“※”有交换律、结合律吗？(4)如果3※(5※x)=3，求x。

训练点：字母论证交换律 + 带括号反求x。

提示：

1. 先按定义把5※x写成含x的式子。

2. 再把这个式子整体代入3※( )。

1(1)5※7=35−12=23；7※5=35−12=23

2(2)3※4=12−7=5，12※5=60−17=43；12※3=36−15=21，21※4=84−25=59

依据：先括号。

3(3)a※b=ab−(a+b)=b※a，有交换律；43≠59，无结合律

依据：字母论证对称。

4(4)5※x=5x−(5+x)=4x−5；3※(4x−5)=3(4x−5)−(3+4x−5)=8x−13

依据：整体代入。

58x−13=3，解得x=2

依据：解方程。

答：(1)23,23；(2)43,59；(3)有交换律无结合律；(4)x=2

典型错法：不会把含x的中间结果整体代入外层运算。

典例 B1

已知2△3=2+22+222=246，3△4=3+33+333+3333=3702，按此规则，求5△3的值。

训练点：归纳“数位重复连加”规律。

提示：

1. △前面的数字是哪个？后面3、4表示什么？

2. 2△3有几个加数？每个加数数位怎么变？

1规律：a△b就是用数字a写b个数位递增的数相加

依据：2△3=2+22+222（3个加数）。

25△3=5+55+555=615

依据：3个加数：5、55、555。

答：615

典型错法：误以为5△3=5+6+7或其它。

典例 B2

设a、b都是正整数，规定a▲b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b−1)。(1)求1▲100的值；(2)如果x▲10=75，求x。

训练点：从a开始连续b个自然数求和，再反求首项。

提示：

1. 1▲100就是1加到100，用等差数列求和。

2. x▲10是x,(x+1),…,(x+9)共10个数，先把10个x提出来。

1(1)1▲100=1+2+…+100=(1+100)×100÷2=5050

依据：等差数列求和。

2(2)x▲10=x+(x+1)+…+(x+9)=10x+45=75

依据：10个x加上1+2+…+9=45。

310x=30，x=3

答：(1)5050；(2)x=3

典型错法：反求时忘记加45（1到9的和）。

典例 C1

有一个数学运算符号“⊗”，使2⊗4=8，5⊗3=13，3⊗5=11，9⊗7=25成立，求7⊗3的值。

训练点：从多个算式归纳统一公式。

提示：

1. 把结果写成前数的几倍加后数的几倍。

2. 8=2×2+?，13=2×5+?，看看缺的是不是后数。

1观察：8=2×2+4，13=2×5+3，11=2×3+5，25=2×9+7

依据：统一为a⊗b=2a+b。

2验证全部成立，7⊗3=2×7+3=17

答：17

典型错法：归纳后不回代验证。

典例 C2

x、y表示两个数，规定x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为正整数。已知1*2=5，(2*3)△4=64，求(1△2)*3的值。

训练点：多个参数、多个条件联立求解。

提示：

1. 由1*2=5得m+2n=5，正整数解有哪些？

2. 每组解代入(2*3)△4=64，要求k也是正整数，留下符合的那组。

11*2=m+2n=5，正整数解(m,n)=(1,2)或(3,1)

依据：n=3/2舍去。

2m=1,n=2时：2*3=8，8△4=32k=64，k=2（正整数，保留）

3m=3,n=1时：2*3=9，9△4=36k=64，k=1又7/9（非整数，舍去）

依据：矛盾。

4所以m=1,n=2,k=2。1△2=k×1×2=4，4*3=1×4+2×3=10

答：10

典型错法：不检验k是否正整数就取第一组解。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)

如果定义a△b=a+b，其中a、b是正整数，那么9△2=____。

答案：11

解析：9△2=9+2=11。

水平测试 A 第2题(填空题)

如果定义a*b=a×b，其中a、b是正整数，那么3*4=____。

答案：12

解析：3*4=3×4=12。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果定义a▽b=2×a+b，其中a、b是正整数，那么(3▽5)▽7=____。

答案：29

解析：3▽5=2×3+5=11，11▽7=2×11+7=29。

水平测试 A 第4题(填空题)

如果定义a☆b=2+a×b，其中a、b是正整数，那么(4☆1)☆5=____。

答案：32

解析：4☆1=2+4×1=6，6☆5=2+6×5=32。

水平测试 A 第5题(填空题)

如果定义a*b=3×a+5×b，其中a、b是正整数，那么1*(2*3)=____。

答案：108

解析：2*3=6+15=21，1*21=3+105=108。

水平测试 A 第6题(填空题)

如果定义a*b=a×b−a−b，其中a、b是正整数，那么5*2*7=____。

答案：11

解析：5*2=10−5−2=3，3*7=21−3−7=11。

水平测试 A 第7题(填空题)

如果定义a*b=2×a÷b，其中a、b是正整数，那么5*2*2=____。

答案：5

解析：5*2=10÷2=5，5*2=10÷2=5。

水平测试 A 第8题(填空题)

如果定义A*B=2×A+24÷B，其中A、B是正整数，那么(2*6)*4=____。

答案：22

解析：2*6=4+4=8，8*4=16+6=22。

水平测试 A 第9题(填空题)

如果定义A*B=3×A+4×B，那么(3*4)*5=____。

答案：95

解析：3*4=9+16=25，25*5=75+20=95。

水平测试 A 第10题(填空题)

如果定义同第9题(A*B=3A+4B)，那么(2*3)+(4*5)=____。

答案：50

解析：2*3=6+12=18，4*5=12+20=32，和=50。

水平测试 A 第11题(解答题)

如果定义如下：2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，求2△(3△3)的值。

答案：90

解析：3△3=3+4+5=12，2△12=2+3+…+13=90。

水平测试 A 第12题(解答题)

如果定义如下：3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，求6!和8!的值。

答案：6!=720，8!=40320

解析：6!=1×2×…×6=720；8!=1×2×…×8=40320。

水平测试 A 第13题(解答题)

定义新运算：a*b=(a+1)×b，例如9*2=(9+1)×2=20，求4*3*2和4*(3*2)的值。

答案：4*3*2=32；4*(3*2)=40

解析：4*3=15，15*2=32；3*2=8，4*8=40。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)

如果定义a△b=a+b，其中a、b是正整数，那么9△2=____。

答案：11

解析：9△2=9+2=11。

水平测试 A 第2题(填空题)

如果定义a*b=a×b，其中a、b是正整数，那么3*4=____。

答案：12

解析：3*4=3×4=12。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果定义a▽b=2×a+b，其中a、b是正整数，那么(3▽5)▽7=____。

答案：29

解析：3▽5=2×3+5=11，11▽7=2×11+7=29。

水平测试 A 第4题(填空题)

如果定义a☆b=2+a×b，其中a、b是正整数，那么(4☆1)☆5=____。

答案：32

解析：4☆1=2+4×1=6，6☆5=2+6×5=32。

水平测试 A 第5题(填空题)

如果定义a*b=3×a+5×b，其中a、b是正整数，那么1*(2*3)=____。

答案：108

解析：2*3=6+15=21，1*21=3+105=108。

水平测试 A 第6题(填空题)

如果定义a*b=a×b−a−b，其中a、b是正整数，那么5*2*7=____。

答案：11

解析：5*2=10−5−2=3，3*7=21−3−7=11。

水平测试 A 第7题(填空题)

如果定义a*b=2×a÷b，其中a、b是正整数，那么5*2*2=____。

答案：5

解析：5*2=10÷2=5，5*2=10÷2=5。

水平测试 A 第8题(填空题)

如果定义A*B=2×A+24÷B，其中A、B是正整数，那么(2*6)*4=____。

答案：22

解析：2*6=4+4=8，8*4=16+6=22。

水平测试 A 第9题(填空题)

如果定义A*B=3×A+4×B，那么(3*4)*5=____。

答案：95

解析：3*4=9+16=25，25*5=75+20=95。

水平测试 A 第10题(填空题)

如果定义同第9题(A*B=3A+4B)，那么(2*3)+(4*5)=____。

答案：50

解析：2*3=6+12=18，4*5=12+20=32，和=50。

水平测试 A 第11题(解答题)

如果定义如下：2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，求2△(3△3)的值。

答案：90

解析：3△3=3+4+5=12，2△12=2+3+…+13=90。

水平测试 A 第12题(解答题)

如果定义如下：3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，求6!和8!的值。

答案：6!=720，8!=40320

解析：6!=1×2×…×6=720；8!=1×2×…×8=40320。

水平测试 A 第13题(解答题)

定义新运算：a*b=(a+1)×b，例如9*2=(9+1)×2=20，求4*3*2和4*(3*2)的值。

答案：4*3*2=32；4*(3*2)=40

解析：4*3=15，15*2=32；3*2=8，4*8=40。

水平测试 B 第1题(填空题)

设a*b=a×b+a−b，其中a、b是正整数，那么1*2*3=____。

答案：1

解析：1*2=2+1−2=1，1*3=3+1−3=1。

水平测试 B 第2题(填空题)

如果定义a△b=a+b−1，那么(9△8)△7=____。

答案：22

解析：9△8=16，16△7=22。

水平测试 B 第3题(填空题)

如果定义如题2(a△b=a+b−1)，且(5△x)△x=83，那么x=____。

答案：40

解析：(5+x−1)+x−1=83，即2x+3=83，x=40。

水平测试 B 第4题(填空题)

如果定义8△2=8+9=17，5△3=5+6+7=18，3△5=3+4+5+6+7=25，那么9△2=____。

答案：19

解析：a△b是从a开始连续b个自然数相加，9△2=9+10=19。

水平测试 B 第5题(填空题)

在第4题规则下，若X△5=20，那么X=____。

答案：2

解析：X+(X+1)+…+(X+4)=5X+10=20，X=2。

水平测试 B 第6题(填空题)

在第4题规则下，若1△X=28，那么X=____。

答案：7

解析：1+2+…+X=28，1+2+…+7=28，X=7。

水平测试 B 第7题(填空题)

如果定义a☆b=3a+2b−2，其中a、b是正整数，那么a☆b的最小值是____。

答案：3

解析：a、b最小取1，1☆1=3+2−2=3。

水平测试 B 第8题(填空题)

如果定义a*b=a÷b×2+3，那么4*2*7=____。

答案：5

解析：4*2=4÷2×2+3=7，7*7=7÷7×2+3=5。

水平测试 B 第9题(填空题)

如果定义a☆b=3a+2b−2，那么10☆11=____，11☆10=____。

答案：10☆11=50；11☆10=51

解析：30+22−2=50；33+20−2=51。

水平测试 B 第10题(填空题)

如果4*2=14，5*3=22，3*5=4，7*18=31，那么6*9=____。

答案：27

解析：规律a*b=a×a−b：16−2=14，25−3=22，9−5=4，49−18=31。6*9=36−9=27。

水平测试 B 第11题(解答题)

a*b表示a的3倍减去b的1/2，例如1*2=1×3−2×1/2=2。计算：(1)10*6；(2)7*(2*1)。

答案：(1)27；(2)18.25

解析：(1)10*6=30−3=27。(2)2*1=6−0.5=5.5，7*5.5=21−2.75=18.25。

水平测试 B 第12题(解答题)

规定a△b=a+(a+1)+…+(a+b−1)（a、b为正整数，b>a），如果x△10=65，求x的值。

答案：x=2

解析：10x+(1+2+…+9)=10x+45=65，x=2。

水平测试 B 第13题(解答题)

如果9△13=(9+13)÷2=11，15△17=(15+17)÷2=16，34△18=(34+18)÷2=26。(1)求45△33；(2)若x△5=20，求x；(3)若1△x=8，求x；(4)求(7△13)△10。

答案：(1)39；(2)x=35；(3)x=15；(4)10

解析：规律a△b=(a+b)÷2。(1)(45+33)/2=39；(2)(x+5)/2=20，x=35；(3)(1+x)/2=8，x=15；(4)(7+13)/2=10，10△10=10。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)

如果定义a△b=a+b，其中a、b是正整数，那么9△2=____。

答案：11

解析：9△2=9+2=11。

水平测试 A 第2题(填空题)

如果定义a*b=a×b，其中a、b是正整数，那么3*4=____。

答案：12

解析：3*4=3×4=12。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果定义a▽b=2×a+b，其中a、b是正整数，那么(3▽5)▽7=____。

答案：29

解析：3▽5=2×3+5=11，11▽7=2×11+7=29。

水平测试 A 第4题(填空题)

如果定义a☆b=2+a×b，其中a、b是正整数，那么(4☆1)☆5=____。

答案：32

解析：4☆1=2+4×1=6，6☆5=2+6×5=32。

水平测试 A 第5题(填空题)

如果定义a*b=3×a+5×b，其中a、b是正整数，那么1*(2*3)=____。

答案：108

解析：2*3=6+15=21，1*21=3+105=108。

水平测试 A 第6题(填空题)

如果定义a*b=a×b−a−b，其中a、b是正整数，那么5*2*7=____。

答案：11

解析：5*2=10−5−2=3，3*7=21−3−7=11。

水平测试 A 第7题(填空题)

如果定义a*b=2×a÷b，其中a、b是正整数，那么5*2*2=____。

答案：5

解析：5*2=10÷2=5，5*2=10÷2=5。

水平测试 A 第8题(填空题)

如果定义A*B=2×A+24÷B，其中A、B是正整数，那么(2*6)*4=____。

答案：22

解析：2*6=4+4=8，8*4=16+6=22。

水平测试 A 第9题(填空题)

如果定义A*B=3×A+4×B，那么(3*4)*5=____。

答案：95

解析：3*4=9+16=25，25*5=75+20=95。

水平测试 A 第10题(填空题)

如果定义同第9题(A*B=3A+4B)，那么(2*3)+(4*5)=____。

答案：50

解析：2*3=6+12=18，4*5=12+20=32，和=50。

水平测试 A 第11题(解答题)

如果定义如下：2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，求2△(3△3)的值。

答案：90

解析：3△3=3+4+5=12，2△12=2+3+…+13=90。

水平测试 A 第12题(解答题)

如果定义如下：3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，求6!和8!的值。

答案：6!=720，8!=40320

解析：6!=1×2×…×6=720；8!=1×2×…×8=40320。

水平测试 A 第13题(解答题)

定义新运算：a*b=(a+1)×b，例如9*2=(9+1)×2=20，求4*3*2和4*(3*2)的值。

答案：4*3*2=32；4*(3*2)=40

解析：4*3=15，15*2=32；3*2=8，4*8=40。

水平测试 C 第1题(填空题)

如果A*B=4A+3B，例如2*4=4×2+3×4，那么(2*3)*(4*1)=____。

答案：125

解析：2*3=8+9=17，4*1=16+3=19，17*19=68+57=125。

水平测试 C 第2题(填空题)

如果2*4=4+44=48，3*2=2+22+222=246，4*1=1+11+111+1111=1234，那么5*3=____。

答案：37035

解析：a*b=b+bb+bbb+…共a个：5*3=3+33+333+3333+33333=37035。

水平测试 C 第3题(填空题)

如果6*2=6+7=13，4*3=4+5+6=15，5*4=5+6+7+8，那么5*3+9*3+1*5=____。

答案：63

解析：5*3=18，9*3=30，1*5=15，和=63。

水平测试 C 第4题(填空题)

如果7*4=7×8×9×10，6*5=6×7×8×9×10，那么(6*5)÷(7*4)=____。

答案：6

解析：(6×7×8×9×10)÷(7×8×9×10)=6。

水平测试 C 第5题(填空题)

如果a*b表示用a除以b所得的余数，由21*8=5，那么31*7=____，(36*8)*5=____。

答案：3；4

解析：31÷7余3；36÷8余4，4÷5余4。

水平测试 C 第6题(填空题)

如果3⊕2=3+33=36，2⊕3=2+22+222=246，1⊕4=1+11+111+1111=1234，那么4⊕4=____，5⊕6=____。

答案：4⊕4=4936；5⊕6=617280

解析：4⊕4=4+44+444+4444=4936；5⊕6=5+55+555+5555+55555+555555=617280。

水平测试 C 第7题(填空题)

如果定义同第6题，且5⊕X=6170，那么X=____。

答案：4

解析：5+55+555+5555=6170，共4个加数，X=4。

水平测试 C 第8题(填空题)

如果《2,3》=2，《156,102》=156，那么《4562,2343》=____；《678,《102,156》》=____。

答案：4562；678

解析：《a,b》取较大数：max(4562,2343)=4562；《102,156》=156，《678,156》=678。

水平测试 C 第9题(填空题)

如果a*b表示a除以b所得的余数，在小于27的整数X中，使27*X=3成立，则X的取值有____个。

答案：5

解析：27÷X余3，即27−3=24能被X整除，且X>3。24的大于3的因数有4、6、8、12、24，共5个。

水平测试 C 第10题(填空题)

对于非负数a、b规定运算“▽”为a▽b=(a+1)×(1−b)。若等式(a▽a)▽(a+1)=(a+1)▽(a▽a)成立，则a的值是____。

答案：0

解析：化简得a³−2a=a³+2a²，即a²+a=0，非负下只有a=0。

水平测试 C 第11题(解答题)

已知a※b=(a+b)/(a÷b)，x※(5※1)=6，求x的值。

答案：x=0.3

解析：5※1=(5+1)/(5÷1)=1.2，(x+1.2)/(x÷1.2)=6，解得x=0.3。

水平测试 C 第12题(解答题)

规定羊△羊=羊，羊△狼=狼，狼△羊=狼，狼△狼=狼；羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。混合运算从左到右、括号先算。求：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)。

答案：狼

解析：括号：狼☆羊=羊，狼△狼=狼。原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼。

水平测试 C 第13题(解答题)

若a△b=(a+b)÷2，a⊙b=a×b，a⊕b=a×3−b。求：(1)10△8；(2)9⊕15；(3)9⊙5；(4)(6⊕4)⊙2；(5)25⊕[(7△13)△10]。

答案：(1)9；(2)12；(3)45；(4)28；(5)65

解析：(1)(10+8)/2=9；(2)27−15=12；(3)45；(4)(18−4)×2=28；(5)7△13=10，10△10=10，25⊕10=75−10=65。

四、方法小结

定义新运算的关键是“照章办事”：题目规定a△b等于什么，就严格把符号前的数代第一个字母、符号后的数代第二个字母，按四则顺序计算。有括号先算括号，连写从左往右。新运算一般没有交换律、结合律，不能随意调换顺序。遇到只给几个例子的题，就观察结果与前后数的关系归纳出公式，并回代验证。求未知数时，先按定义把式子展开，再解方程。

五、作业建议

基础必做：

教材P169 水平测试A 第1–8题（直接代入）
教材P169 水平测试A 第9–10题

巩固选做：

教材P170 水平测试A 第11–13题
教材P171–172 水平测试B 第1–10题
教材P172–173 水平测试B 第11–13题

提高挑战：

教材P174–175 水平测试C 第1–10题（填空，含余数、嵌套、规律归纳）
教材P175–176 水平测试C 第11–13题（解答，含羊狼逻辑运算、多符号综合）

六、课堂错因定位

症状：看到新符号就按旧运算算
根因：习惯：不读定义。
补救：要求每题先抄一遍定义，再代入。

症状：前后数放反
根因：关系：没分清a、b位置。
补救：用彩笔圈出符号前数代a、后数代b。

症状：连写运算不从左往右、不先算括号
根因：顺序：受旧运算交换律影响。
补救：强调新运算无交换律，严格从左到右、括号优先。

症状：归纳规律只看一个例子
根因：方法：不回代验证。
补救：用全部已知算式逐个验证后再算所求。