奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第2讲 · 平均数

三年级奥数 · 教材第15–25页（第2讲全讲）

一、知识要点

平均数基本公式

本质：平均数=总数÷份数；已知平均数和份数可以反求总数。
4杯饮料高度求平均 11 12 14 15 平均13
适用：求一组数的平均，或已知平均反求某个数。
  1. 先求总数：11+12+14+15=52。
  2. 份数=4杯。
  3. 平均数=52÷4=13cm。
典型错误：把平均数理解成“中间那杯的高度”，不先求总数。

加权平均数

本质：数量不同的若干组数据，要用总数量÷总份数，不能各组平均再平均。
30人班平均85，38人班平均89，全班平均？ 总分=85×30+89×38=2550+3382=5932 总人数=68，平均=5932÷68≈87.2（不是(85+89)÷2=87）
适用：两班人数不同求全班平均、不同价格糖果混合求单价。
  1. 先算两个班各自总分再相加。
  2. 除以两个班总人数。
典型错误：人数不同时直接(85+89)÷2。

平均速度

本质：平均速度=总路程÷总时间。往返平均不能直接把两段速度对半分。
上山18km时速3，下山18km时速6 总路程=36km 总时间=18÷3+18÷6=6+3=9小时 平均=36÷9=4km/h（不是(3+6)÷2=4.5）
适用：上山下山、往返甲乙两地等问题。
  1. 分别算两段时间再相加。
  2. 总路程除以总时间。
典型错误：(上山速度+下山速度)÷2。

连续数的平均数

本质：奇数个连续自然数的平均数=中间那个数；偶数个的平均数=中间两数的平均。
5个连续正整数和=100 中间数=100÷5=20 → 这5个数：18,19,20,21,22
适用：B1/B2已知连续数的和求这组数。
  1. 奇数个连续数，平均数就是中间数。
  2. 知道中间数就能写出全部。
典型错误：不知道用和÷个数先找中间数。

二、典例精讲

典例 A1
用4个同样的杯子装水，水面高度分别是11厘米、12厘米、14厘米、15厘米。这4个杯子水面平均高度是多少厘米？
训练点：基本平均数公式。
提示：
1. 4杯水总高度是多少？
1总数=11+12+14+15=52cm
依据：先加总。
2平均=52÷4=13cm
依据：除以4杯。
答：13厘米
典型错法：直接把中间两个数12和14平均，不考虑11和15。
典例 A2
小丁丁期末考试五科平均成绩是89分。其中社会和数学平均91分，语文和英语平均84分，社会和英语平均86分。已知英语比语文多10分，求小丁丁各科成绩。
训练点：利用两两平均反推各科。
提示：
1. 语文+英语=84×2=168，英语-语文=10，能求出英语和语文吗？
2. 社会=社会+英语-英语；数学=社会+数学-社会；体育=五科总分-其余四科。
1英语=(168+10)÷2=89，语文=79
依据：和差问题。
2社会=86×2-89=83
依据：社英平均86。
3数学=91×2-83=99
依据：社数平均91。
4体育=89×5-(89+79+83+99)=95
依据：五科总分减四科。
答：英语89，语文79，社会83，数学99，体育95
典型错法：顺序乱，先求体育导致缺条件。
典例 A3
商店把2千克酥糖、3千克水果糖、5千克奶糖混合成什锦糖。酥糖每千克8元，水果糖每千克13元，奶糖每千克11元。什锦糖每千克多少元？
训练点：加权平均数。
提示：
1. 三种糖总价钱是多少？总重量多少？
1总价钱=8×2+13×3+11×5=16+39+55=110元
依据：分别算每种糖总价。
2总重量=2+3+5=10kg
3单价=110÷10=11元
依据：加权平均。
答：11元/千克
典型错法：(8+13+11)÷3=10.7，忽略了三种糖重量不同。
典例 B1
五个连续正整数的和是100，求这五个数。
训练点：连续数平均=中间数。
提示：
1. 五个连续数的平均数就是第几个数？
1中间数=100÷5=20
依据：奇数个连续数平均=中间数。
2五个数=18,19,20,21,22
依据：以20为中心前后各推两个。
答：18,19,20,21,22
典型错法：设未知数解方程，太慢。
典例 B2
八个连续单数的和是160，求这八个单数。
训练点：偶数个连续数，中间两数和=平均数×2。
提示：
1. 8个数的平均数是多少？中间两个数的和是多少？它们差几？
1平均=160÷8=20，中间两数和=40
依据：偶数个连续数，平均=中间两数平均。
2中间两数差2，得19和21
依据：和差。
3八个数=13,15,17,19,21,23,25,27
依据：以19,21为中心推前后。
答：13,15,17,19,21,23,25,27
典型错法：把20当成其中一个数。
典例 B3
把1,2,3,…,999分成20组，如果这20组数的平均数恰好相等，那么这个平均数是多少？
训练点：整体平均=首末两数平均。
提示：
1. 这20组合起来就是1到999，它们的总和是固定的吗？
1所有数总和=(1+999)×999÷2
依据：等差数列。
2平均数=(1+999)÷2=500
依据：等差数列平均=首末平均，与怎么分组无关。
答：500
典型错法：试图去凑每组怎么分。
典例 C1
有7个数的平均数为62。如果把其中一个数改为90，平均数变为74。这个被改动的数原来是多少？
训练点：总数差=改动数的变化量。
提示：
1. 总数增加了多少？这是谁带来的？
1总数增加=(74-62)×7=84
依据：平均数差×个数。
2原数=90-84=6
依据：改动后是90，比原来多84。
答：6
典型错法：用90-74=16。
典例 C2
有4个数，每次取其中3个相加，和分别为32,34,35,37。这4个数分别是多少？
训练点：四个和相加=每个数都被加了3次。
提示：
1. 32+34+35+37中每个数被加了几次？
1四数总和=(32+34+35+37)÷3=138÷3=46
依据：每个数出现3次。
2各数=46-32=14,46-34=12,46-35=11,46-37=9
依据：总和减去三数和=剩下那个数。
答：14,12,11,9
典型错法：不会把四个和先除以3。
典例 C3
小云从家到山顶，上山路长18千米，每小时行3千米；下山沿原路返回，每小时行6千米。求小云上下山的平均速度。
训练点：平均速度=总路程÷总时间。
提示：
1. 上山用几小时？下山用几小时？总路程多少？
1总路程=18×2=36km
依据：往返。
2总时间=18÷3+18÷6=6+3=9h
依据：分别算时间。
3平均=36÷9=4km/h
依据：总路程÷总时间。
答：4千米/时
典型错法：(3+6)÷2=4.5。
典例 C4
有8个数，它们的平均数是9。已知前5个数的平均数是8，后4个数的平均数是11。问第5个数是多少？
训练点：前5+后4中第5个数被算了两次，减去8个数总和即可。
提示：
1. 前5个数和+后4个数和中，第5个被算了几次？
1前5和=5×8=40，后4和=4×11=44，合计=84
28数总和=8×9=72
3第5个=84-72=12
依据：重叠部分多算了一次。
答：12
典型错法：找不到重叠关系。

三、水平测试

A层

A填空1
小明期末考试语文85分，数学93分，英语92分。他三门功课的平均成绩是______分。
答案：90
解析：(85+93+92)÷3=270÷3=90。
A填空2
第一小组10个同学种树，种2棵的有2人，种3棵的有3人，种4棵的有2人，种5棵的有1人，种7棵的有2人。平均每人种______棵。
答案：4
解析：(2×2+3×3+4×2+5+7×2)÷10=(4+9+8+5+14)÷10=40÷10=4。
A填空3
小明四门功课平均92.5分，其中语文96分，音乐95分，体育80分，数学是______分。
答案：99
解析：92.5×4-96-95-80=370-271=99。
A填空4
小明练习毛笔字，一周7天平均每天要写8张，周一到周四每天写9张，周五没写，周六写了10张，周日要写______张。
答案：10
解析：7×8=56，已写9×4+10=46，周日=56-46=10。
A填空5
两个班人数相同，平均成绩分别是85分和89分，两班合起来平均______分。
答案：87
解析：人数相同直接(85+89)÷2=87。
A填空6
甲班30人平均85分，乙班38人平均89分，两班合起来平均______分。
答案：87.2
解析：(85×30+89×38)÷68≈87.2。
A填空7
小红吃糖，平均每天吃4颗，正好15天吃完；前10天每天吃5颗，后5天平均每天吃______颗。
答案：2
解析：总数=4×15=60颗，前10天吃50颗，后5天吃(60-50)÷5=2颗。
A填空8
小明、小刚、小亮三人平均38kg，小明小刚平均40kg，小明比小刚重4kg。三人各重______。
答案：小亮34kg，小明42kg，小刚38kg
解析：三人和114，小明小刚和80，小亮34；小明(80+4)/2=42，小刚38。
A解答9
A,B,C平均12；C,D,E平均9；B,C,D平均10。求A,C,E的平均。
答案：11
解析：(A+B+C)+(C+D+E)-(B+C+D)=36+27-30=33，A+C+E=33，平均11。
A解答10
水果糖每千克18元，买了3千克；奶糖每千克15元，买了6千克。混合成什锦糖后每千克多少元？
答案：16元
解析：(18×3+15×6)÷(3+6)=(54+90)÷9=16。
A解答11
15名同学跳绳成绩（个）：93,94,85,92,86,88,94,91,88,89,92,86,93,90,89。平均每人跳多少个？
答案：90个
解析：总和=1350，1350÷15=90。
A解答12
邮递员30km上坡每小时5km，16km平路每小时8km，14km下坡每小时7km。平均速度？
答案：6km/h
解析：总路程60，总时间6+2+2=10，平均6。

B层

A填空1
小明期末考试语文85分，数学93分，英语92分。他三门功课的平均成绩是______分。
答案：90
解析：(85+93+92)÷3=270÷3=90。
A填空2
第一小组10个同学种树，种2棵的有2人，种3棵的有3人，种4棵的有2人，种5棵的有1人，种7棵的有2人。平均每人种______棵。
答案：4
解析：(2×2+3×3+4×2+5+7×2)÷10=(4+9+8+5+14)÷10=40÷10=4。
A填空3
小明四门功课平均92.5分，其中语文96分，音乐95分，体育80分，数学是______分。
答案：99
解析：92.5×4-96-95-80=370-271=99。
A填空4
小明练习毛笔字，一周7天平均每天要写8张，周一到周四每天写9张，周五没写，周六写了10张，周日要写______张。
答案：10
解析：7×8=56，已写9×4+10=46，周日=56-46=10。
A填空5
两个班人数相同，平均成绩分别是85分和89分，两班合起来平均______分。
答案：87
解析：人数相同直接(85+89)÷2=87。
A填空6
甲班30人平均85分，乙班38人平均89分，两班合起来平均______分。
答案：87.2
解析：(85×30+89×38)÷68≈87.2。
A填空7
小红吃糖，平均每天吃4颗，正好15天吃完；前10天每天吃5颗，后5天平均每天吃______颗。
答案：2
解析：总数=4×15=60颗，前10天吃50颗，后5天吃(60-50)÷5=2颗。
A填空8
小明、小刚、小亮三人平均38kg，小明小刚平均40kg，小明比小刚重4kg。三人各重______。
答案：小亮34kg，小明42kg，小刚38kg
解析：三人和114，小明小刚和80，小亮34；小明(80+4)/2=42，小刚38。
A解答9
A,B,C平均12；C,D,E平均9；B,C,D平均10。求A,C,E的平均。
答案：11
解析：(A+B+C)+(C+D+E)-(B+C+D)=36+27-30=33，A+C+E=33，平均11。
A解答10
水果糖每千克18元，买了3千克；奶糖每千克15元，买了6千克。混合成什锦糖后每千克多少元？
答案：16元
解析：(18×3+15×6)÷(3+6)=(54+90)÷9=16。
A解答11
15名同学跳绳成绩（个）：93,94,85,92,86,88,94,91,88,89,92,86,93,90,89。平均每人跳多少个？
答案：90个
解析：总和=1350，1350÷15=90。
A解答12
邮递员30km上坡每小时5km，16km平路每小时8km，14km下坡每小时7km。平均速度？
答案：6km/h
解析：总路程60，总时间6+2+2=10，平均6。
B填空1
一班有书54本，二班有书63本，老师又拿来37本书。应分给一班______本，其余给二班，两个班的书才一样多。
答案：23
解析：总书=54+63+37=154本，两班一样多时每班77本，一班需补77-54=23本。
B填空2
小华跳绳，前三次平均跳165下，要使四次的平均达到170下，第四次应跳______下。
答案：185
解析：170×4-165×3=680-495=185。
B填空3
三门平均92，数学比三门平均高6分，英语和语文相同，三门各多少？
答案：数学98，语文英语各89
解析：数学98，语英和276-98=178，各89。
B填空4
汽车往返300km，去时每小时30km，回时每小时20km，往返平均速度？
答案：24km/h
解析：总600，总时间10+15=25，平均24。
B填空5
18人合影，底片+3张45角，加洗每张3角。每人各得一张，每人应付______角。
答案：5角
解析：总钱45+3×15=90角，每人5角。
B填空6
30人的老年学习班中，老爷爷平均70岁，老奶奶平均75岁。若老爷爷与老奶奶人数相同，平均年龄是______岁；若老爷爷有12位，平均年龄是______岁。
答案：72.5；73
解析：人数相同时(70+75)÷2=72.5；爷爷12位奶奶18位时(70×12+75×18)÷30=(840+1350)÷30=73。
B填空7
小红+小新=237，小红+小江=258，小新+小江=255。平均每人折______个，______最多，折了______个。
答案：125；小江；138
解析：三人总和=(237+258+255)/2=375，平均125；小江=375-237=138。
B填空8
五个学生平均91分，其中小明与小王平均92分，小李和小刚平均87分，小刚与小明平均88分，小刚比小李多6分。小明______分，小王______分，小李______分，小刚______分，小杨______分。
答案：小明86，小王98，小李84，小刚90，小杨97
解析：为什么想到这一步：小刚比小李多6、又和小李平均87，先锁死这两人。小刚=(87×2+6)÷2=90，小李=84；小明=88×2-90=86，小王=92×2-86=98；小杨=91×5-92×2-87×2=97。
B解答9
4kg奶糖14元，3kg软糖10元，5kg巧克力8元，混合什锦糖每千克多少元？
答案：10.5元
解析：(56+30+40)÷12=126÷12=10.5。
B解答10
汽车上坡速度是下坡一半，上坡30km/h，下坡40km/h。往返平均速度？
答案：36km/h
解析：设下坡s，上坡2s，总3s，时间s/30+2s/40=s/12，平均36。
B解答11
40人考试2人缺考，平均89分，补考两人99分。全班平均？
答案：89.5分
解析：(89×38+99×2)÷40=(3382+198)÷40=89.5。
B解答12
5只羊两两合称得10个质量：47,50,51,52,53,54,55,57,58,59。各重多少？
答案：22,25,28,29,30kg
解析：总重=536÷4=134；中间=134-47-59=28；最小=50-28=22，次小=47-22=25，最大=58-28=30，次大=59-30=29。

C层

A填空1
小明期末考试语文85分，数学93分，英语92分。他三门功课的平均成绩是______分。
答案：90
解析：(85+93+92)÷3=270÷3=90。
A填空2
第一小组10个同学种树，种2棵的有2人，种3棵的有3人，种4棵的有2人，种5棵的有1人，种7棵的有2人。平均每人种______棵。
答案：4
解析：(2×2+3×3+4×2+5+7×2)÷10=(4+9+8+5+14)÷10=40÷10=4。
A填空3
小明四门功课平均92.5分，其中语文96分，音乐95分，体育80分，数学是______分。
答案：99
解析：92.5×4-96-95-80=370-271=99。
A填空4
小明练习毛笔字，一周7天平均每天要写8张，周一到周四每天写9张，周五没写，周六写了10张，周日要写______张。
答案：10
解析：7×8=56，已写9×4+10=46，周日=56-46=10。
A填空5
两个班人数相同，平均成绩分别是85分和89分，两班合起来平均______分。
答案：87
解析：人数相同直接(85+89)÷2=87。
A填空6
甲班30人平均85分，乙班38人平均89分，两班合起来平均______分。
答案：87.2
解析：(85×30+89×38)÷68≈87.2。
A填空7
小红吃糖，平均每天吃4颗，正好15天吃完；前10天每天吃5颗，后5天平均每天吃______颗。
答案：2
解析：总数=4×15=60颗，前10天吃50颗，后5天吃(60-50)÷5=2颗。
A填空8
小明、小刚、小亮三人平均38kg，小明小刚平均40kg，小明比小刚重4kg。三人各重______。
答案：小亮34kg，小明42kg，小刚38kg
解析：三人和114，小明小刚和80，小亮34；小明(80+4)/2=42，小刚38。
A解答9
A,B,C平均12；C,D,E平均9；B,C,D平均10。求A,C,E的平均。
答案：11
解析：(A+B+C)+(C+D+E)-(B+C+D)=36+27-30=33，A+C+E=33，平均11。
A解答10
水果糖每千克18元，买了3千克；奶糖每千克15元，买了6千克。混合成什锦糖后每千克多少元？
答案：16元
解析：(18×3+15×6)÷(3+6)=(54+90)÷9=16。
A解答11
15名同学跳绳成绩（个）：93,94,85,92,86,88,94,91,88,89,92,86,93,90,89。平均每人跳多少个？
答案：90个
解析：总和=1350，1350÷15=90。
A解答12
邮递员30km上坡每小时5km，16km平路每小时8km，14km下坡每小时7km。平均速度？
答案：6km/h
解析：总路程60，总时间6+2+2=10，平均6。
C填空1
一批水果有苹果和橘子两种，装成若干袋，平均每袋重185千克。已知苹果有5袋，平均每袋重203千克，橘子平均每袋重170千克，橘子有______袋。
答案：6
解析：用移多补少：苹果每袋比平均多203-185=18千克，5袋共多出18×5=90千克；橘子每袋比平均少185-170=15千克，需要90÷15=6袋来补。
C填空2
考试中6位学生的5位成绩为85,95,76,97,87分，第6位比前5位的平均高6分。第6位______分，6位平均______分。
答案：94；89
解析：前五人平均=(85+95+76+97+87)÷5=88，第六人=88+6=94，六人平均=(88×5+94)÷6=89。
C填空3
原来四人小组平均70分，加入一人后平均成绩提高了2分，新加入的同学成绩是______分。
答案：80
解析：为什么想到这一步：平均从70涨到72，5人共多出(72-70)×5=10分，这多出的10分是新同学补给原来4人的，所以新同学=72+8=80。
C填空4
A(一位数)+B9+C26=103×3=309。A+B+C=______。
答案：13
解析：A+10B+100C=274，C=2,B=7,A=4，和13。
C填空5
小文买3支笔和6本本子共用9.6元，1支笔比1本本子贵1.4元，每本本子______元。
答案：0.6
解析：把3支笔都换成本子，总价少掉3个1.4元：(9.6-1.4×3)÷(6+3)=5.4÷9=0.6元。
C填空6
甲、乙、丙、丁四人称体重，甲乙共重70.5千克，乙丙共重74.5千克，丙丁共重79千克，甲比丁轻3千克。甲重______，乙重______，丙重______，丁重______。
答案：甲36，乙34.5，丙40，丁39
解析：(甲+乙)+(丙+丁)-(乙+丙)=70.5+79-74.5=75=甲+丁，又丁-甲=3，得甲=(75-3)÷2=36，丁=39；乙=70.5-36=34.5，丙=74.5-34.5=40。
C填空7
车队过桥，上桥20m/s，下桥30m/s，求平均速度。
答案：24m/s
解析：桥长2s，时间s/20+s/30，平均2s/(s/12)=24。
C填空8
前4天每天20题，后6天每天比前4天多15题，平均每天______题。
答案：29
解析：(80+210)÷10=29。
C解答9
5名裁判打分，去高低分平均8；去最高分平均7；去最低分平均9。最高最低各几分？
答案：最低4，最高12
解析：中间三人和24；去最高剩四人28，最低=4；去最低剩四人36，最高=12。
C解答10
一辆三轮摩托车上还有一只备用胎，长途行驶中司机适时调换轮胎，使每只轮胎行程相同，摩托车共行360千米。每只轮胎平均要行多少千米？
答案：270km
解析：摩托车3个轮胎同时着地，总行程=360×3=1080千米，由4只轮胎平均分担，每只行1080÷4=270千米。
C解答11
五(1)班男生平均身高149厘米，女生平均身高141厘米，全班平均身高147厘米。男生人数是女生人数的多少倍？
答案：3倍
解析：移多补少：每个女生比平均少147-141=6厘米，每个男生比平均多149-147=2厘米，男生多出的总数要正好补上女生少的总数：2×男=6×女，男=3女。
C解答12
LED灯泡每只80元，传统灯泡每只10元。一个霓虹灯有8000只灯泡，每天开灯4小时：传统灯泡每只每年电费24元、寿命1年，LED每只每年电费6元、寿命5年。全部换成LED，平均每年约节省多少元？
答案：96000元
解析：传统每年：8000×10+8000×24=272000元；LED每年：8000×80÷5+8000×6=176000元；省272000-176000=96000元。

四、方法小结

平均数=总数÷份数。加权平均要用总数量÷总份数；平均速度=总路程÷总时间；连续奇数个数的平均数就是中间数；改动一个数时，平均数变化×个数=这个数的变化量。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P17 水平测试A 填空1–8
  • 教材P18 水平测试A 解答9–12
巩固选做：
  • 教材P20–21 水平测试B 填空1–8
  • 教材P21–22 水平测试B 解答9–12
提高挑战：
  • 教材P24–25 水平测试C 填空1–8
  • 教材P24–25 水平测试C 解答9–12

六、课堂错因定位

症状：平均速度直接两段速度对半
根因：不理解平均速度要按时间加权。
补救：画路程-时间表，强调总路程÷总时间。
症状：两班人数不同直接平均
根因：忽略权重。
补救：用A3/A6对比，人数相同时才能对半，不同时要算总分。
症状：改动题算不出原数
根因：不会用平均数差×个数得到总数差。
补救：用C1示范：平均涨了多少，总数就涨了多少。