【教师版】第5讲 · 和倍问题

三年级奥数 · 教材第49–60页（第5讲全讲）

一、知识要点

发现过程：用线段图找“和”对应几份

本质：把1倍数画1段，几倍画几段；线段图上所有段合起来的总长就是“和”，数清楚和一共对应几份，用和÷份数=1份。

适用：和倍问题的第一步永远是画线段图：先确定谁是1倍数（和谁比谁就是1份），再按倍数画段，最后在图上圈出“和”一共是几段。不要急着套公式。

第一步：找1倍数。“甲是乙的2倍”，乙是和甲比较的标准，乙是1份。
第二步：画段。乙画1段，甲画同样长的2段。
第三步：圈和。两仓共960吨，在线段图上就是乙的1段加甲的2段，一共3段。
第四步：求1份。960吨对应3份，1份=960÷3=320吨，就是乙仓；甲仓=320×2=640吨。

典型错误：把甲当1倍数，或数错总份数（漏掉乙的1份，直接用960÷2）。正确是先数清和一共对应几份。

和倍问题的基本关系式

本质：和÷(倍数+1)=较小数（1倍数）；较小数×倍数=较大数；或和−较小数=较大数。

适用：两个量、整倍数、没有多几少几时直接用。求出较小数后，既可以乘倍数，也可以用和去减，两种方法互相验算。

较小数是1份，较大数是几倍，总和就是(倍数+1)份。
用和除以总份数，先求出1份（较小数）。
再用1份乘倍数，或用和减去1份，得到较大数。

典型错误：除数写成倍数本身（和÷倍数），漏掉+1。记住：较小数自己也占1份。

多个量的和倍：统一到同一个1倍数

本质：三个或更多量有倍数关系时，先选最小的那个量作1份，把其他量都换算成它的几倍，总份数=各份相加，再用总和除。

适用：典例A2（排球1份、足球3份、篮球5份）、A3（连比：丙1份、乙2份、甲2×3=6份）、水平测试B9（桃1份、梨3份、苹果6份）都用这一招。连比时注意中间量要乘两次。

选最小的量（丙）作1份。
乙是丙的2倍，乙=2份；甲是乙的3倍，甲=2×3=6份。
总份数=1+2+6=9份，和=207吨，1份=207÷9=23吨（丙）。

典型错误：连比时中间量漏乘：甲是乙3倍、乙是丙2倍，误把甲算成3份而不是6份。

“几倍多几”与“几倍少几”：先调成整倍数

本质：甲比乙的几倍还多几→从和里减去多的几；甲比乙的几倍少几→给和补上少的几。调成整倍数后再用基本公式。

适用：典例B1（白=红×7−12，少12，给和补12）、B3（香蕉=苹果×2+17多17要减，生梨=苹果×3−11少11要补）、水平测试A3/A4等。判断口诀：多减、少补。

白=红×7−12，说明白比7份还少12盒。
给总和补上12盒：244+12=256盒，这时正好是(1+7)=8份。
1份=256÷8=32盒（红），白=32×7−12=212盒。

典型错误：“少几”时反而从和里减，或“多几”时给和补上。记住：少了就补、多了就减。

转移与进出：先判断总和变不变

本质：从甲拿给乙、两池互相注水——总和不变；甲运出/运进——总和才改变。先求变化后的1倍数，再还原成原来的量。

适用：典例C1（甲取15放乙，总和仍88）、C2（新买15本放入上层，总和变成109+15）、C3（甲乙水池互相注水，总和不变）。关键：互相转移和不变，单边进出和才变。

互相转移：总和仍是88千克，和不变。
变化后乙是甲3倍，总和=1+3=4份，1份=88÷4=22千克（现在的甲）。
还原：原来甲=22+15=37千克，原来乙=88−37=51千克。

典型错误：互相转移时错误地把和也加加减减；或求出变化后的1份后忘记还原成原来的量。

二、典例精讲

典例 A1

甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍。问：甲、乙两个仓库各存货物多少吨？

训练点：最基础的两量和倍，练“和÷(倍数+1)”。

提示：

1. 甲是乙的2倍，把乙看作1份，甲是几份？

2. 两仓共960吨，在线段图上一共是几份？先求1份是多少。

1乙仓（1倍数）：960÷(1+2)=960÷3=320（吨）

依据：总和对应1+2=3份。

2甲仓：320×2=640（吨），或960−320=640（吨）

依据：甲是乙的2倍。

答：甲仓640吨，乙仓320吨

典型错法：960÷2=480，漏掉乙的1份。

典例 A2

学校里的足球个数是排球的3倍，篮球的个数是排球的5倍，足球和篮球共72个。问：三种球各有多少个？

训练点：三量和倍，但“和”只给了其中两个量（足球+篮球），要找准和对应哪几份。

提示：

1. 题目说“足球和篮球共72个”，这72个里包含排球吗？

2. 排球是1份，足球3份、篮球5份，72个对应几份？

1排球（1倍数）：72÷(3+5)=72÷8=9（个）

依据：72只是足球和篮球的和，对应3+5=8份，不含排球的1份。

2足球：9×3=27（个）；篮球：9×5=45（个）

依据：分别乘倍数。

答：排球9个，足球27个，篮球45个

典型错法：用72÷(1+3+5)=8，把排球的1份也算进和里。

典例 A3

三块钢板共重207千克，第一块的质量是第二块的3倍，第二块的质量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？

训练点：连比和倍：统一到最小的第三块作1份。

提示：

1. 以第三块为1份，第二块是几份？第一块是第二块的3倍，又是第三块的几份？

2. 三块一共是几份？用207除以总份数。

1以第三块为1份：第二块=2份，第一块=2×3=6份

依据：连比要连乘。

2第三块：207÷(1+2+6)=207÷9=23（千克）

依据：总份数9份。

答：第三块钢板重23千克

典型错法：总份数算成1+2+3=6，漏掉第一块=2×3=6份。

典例 B1

某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒。问：购进红粉笔、白粉笔各多少盒？

训练点：“几倍少几”：给和补上少的部分再除。

提示：

1. 白粉笔=红粉笔×7−12，说明白粉笔离7份还差几盒？

2. 给总和补上这12盒，这时正好是(1+7)份。

1补成整倍数：244+12=256（盒）

依据：白比7倍少12，给和补12。

2红粉笔：256÷(1+7)=32（盒）

依据：总和对应8份。

3白粉笔：32×7−12=212（盒）

依据：还原减去少的12。

答：红粉笔32盒，白粉笔212盒

典型错法：忘记补12，直接244÷8=30.5（除不尽就说明错了）。

典例 B2

两个数相除，商3余10。如果被除数、除数、商、余数的和是163，那么被除数、除数分别是多少？

训练点：有余数除法里藏着和倍：被除数=除数×3+10。

提示：

1. 被除数÷除数=3……10，说明被除数=除数×3+几？

2. 163是四个数的和，先去掉商3和余数10，剩下的是谁和谁的和？

1被除数+除数=163−3−10=150

依据：从四数和里去掉商和余数。

2被除数=除数×3+10，从150里再减10：150−10=140

依据：被除数比3倍多10，减去10正好整3倍。

3除数：140÷(1+3)=35

依据：总和对应1+3=4份。

4被除数：35×3+10=115

依据：还原。

答：被除数115，除数35

典型错法：只去掉商和余数，忘记被除数本身还多10，要再减一次10。

典例 B3

水果店运进香蕉、苹果、生梨共846千克，运来的香蕉比苹果的2倍还多17千克，运来的生梨比苹果的3倍少11千克。问：运来香蕉多少千克？

训练点：三量和倍，一个多、一个少，分别调整总和。

提示：

1. 以苹果为1份，香蕉=2份多17，生梨=3份少11。

2. 多的17从和里减去，少的11给和补上，总和变成多少？

1调整总和：846−17+11=840（千克）

依据：香蕉多17要减，生梨少11要补。

2苹果：840÷(1+2+3)=840÷6=140（千克）

依据：总份数6份。

3香蕉：140×2+17=297（千克）

依据：还原。

答：运来香蕉297千克

典型错法：把多17也补上、或少11也减去，方向搞反。

典例 C1

两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的质量是甲箱的3倍。问：两箱原有茶叶各多少千克？

训练点：互相转移和不变，先求变化后的量再还原。

提示：

1. 从甲拿15给乙，两箱总和变不变？

2. 变化后乙是甲3倍，总和88对应几份？先求现在的甲。

1现在甲：88÷(1+3)=22（千克）

依据：互相转移和仍88，对应4份。

2原来甲：22+15=37（千克）

依据：甲拿出了15，加回来。

3原来乙：88−37=51（千克）

依据：总和减甲。

答：原来甲箱37千克，乙箱51千克

典型错法：求出22后直接当甲，忘记加回15。

典例 C2

书架上、下两层共有书109本，如果把新买的15本放入上层，那么上层的书正好是下层的3倍。问：两层原来各有书多少本？

训练点：单边增加，总和变大；下层没变，是1倍数。

提示：

1. 新买的15本放入上层，总和变成多少？

2. 下层没有变，以上层放完后的情况看，上层是下层3倍，总和对应几份？

1放入15本后总和：109+15=124（本）

依据：上层多了15本。

2下层：124÷(1+3)=31（本）

依据：下层没变，对应1份。

3上层原来：109−31=78（本）

依据：总和减下层。

答：上层原来78本，下层原来31本

典型错法：忘记加15本，直接109÷4。

典例 C3

甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水。问：多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？

训练点：互相流水和不变，先求变化后甲池水量，再求流了多少、几分钟。

提示：

1. 水从甲流到乙，两池水总和变不变？

2. 乙是甲2倍时，总和2700升对应几份？先求这时甲池有多少。

1总和：1500+1200=2700（升）

依据：互相流水和不变。

2现在甲：2700÷(1+2)=900（升）

依据：对应3份。

3甲流出：1500−900=600（升）

依据：原来1500，剩900。

4时间：600÷25=24（分钟）

依据：每分钟流25升。

答：24分钟后乙池是甲池的2倍

典型错法：忘记最后除以25，或用错总和。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)

小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。妈妈______岁，小红______岁。

答案：妈妈32岁，小红8岁

解析：小红：40÷(1+4)=8岁，妈妈8×4=32岁。

水平测试 A 第2题(填空题)

生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。公鸡有______只，母鸡有______只。

答案：公鸡303只，母鸡101只

解析：母鸡：404÷(1+3)=101只，公鸡101×3=303只。

水平测试 A 第3题(填空题)

小明买语文练习簿和数学练习簿共25本，其中语文练习簿比数学练习簿的2倍多4本。语文练习簿买了______本，数学练习簿买了______本。

答案：语文18本，数学7本

解析：语文比数学2倍多4，从和里减4：25−4=21。数学：21÷(1+2)=7本，语文7×2+4=18本。

水平测试 A 第4题(填空题)

师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。徒弟生产零件______个，师傅生产零件______个。

答案：徒弟50个，师傅140个

解析：师傅比徒弟3倍少10，给和补10：190+10=200。徒弟：200÷(1+3)=50个，师傅50×3−10=140个。

水平测试 A 第5题(填空题)

A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，则A的速度是______，B的速度是______。

答案：A=16千米/时，B=8千米/时

解析：两人速度和：48÷2=24千米/时。B：24÷(1+2)=8千米/时，A=8×2=16千米/时。

水平测试 A 第6题(填空题)

一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。这块长方形木板的长是______厘米，宽是______厘米，面积是______平方厘米。

答案：长18厘米，宽9厘米，面积162平方厘米

解析：长宽和：54÷2=27厘米。宽：27÷(1+2)=9厘米，长9×2=18厘米，面积18×9=162平方厘米。

水平测试 A 第7题(填空题)

甲、乙两个冷藏库原来共存肉92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨。原来甲库存肉______吨，乙库存肉______吨。

答案：甲库42吨，乙库50吨

解析：甲运出28后，总和=92−28=64吨。乙比甲4倍少6，补6：64+6=70。现在甲：70÷(1+4)=14吨，原甲=14+28=42吨，乙=14×4−6=50吨。

水平测试 A 第8题(填空题)

甲、乙两个仓库共存粮2200千克，由乙库运出210千克后，甲库存粮是乙库的2倍少380千克。甲库原来存粮______千克，乙库原来存粮______千克。

答案：甲库1200千克，乙库1000千克

解析：乙运出210后总和=2200−210=1990。甲比乙2倍少380，补380：1990+380=2370。现在乙：2370÷(1+2)=790，原乙=790+210=1000，甲=790×2−380=1200。

水平测试 A 第9题(填空题)

小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔。小兰给小红______支以后，小红的铅笔支数是小兰的2倍。

答案：20支

解析：总数不变75支。小兰后来：75÷(1+2)=25支，小兰给小红45−25=20支。

水平测试 A 第10题(填空题)

姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐______元后，姐姐的钱比弟弟多3倍。

答案：80元

解析：总数500元。姐姐比弟弟多3倍=是弟弟4倍。弟弟后来：500÷(1+4)=100元，弟弟给姐姐180−100=80元。

水平测试 A 第11题(解答题)

甲、乙粮仓共存粮1038吨，如果把甲仓存的粮食放到乙仓9吨，那么两个仓库存粮就一样多。问：甲、乙粮仓原来各存粮多少吨？

答案：甲仓528吨，乙仓510吨

解析：甲放乙9吨后一样多，说明甲比乙多9×2=18吨。两仓相等时各1038÷2=519吨。原甲=519+9=528，原乙=519−9=510。

水平测试 A 第12题(解答题)

甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分钟23立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

答案：80分钟

解析：总和3800立方米。甲后来：3800÷(1+4)=760立方米，甲流出2600−760=1840，1840÷23=80分钟。

水平测试 A 第13题(解答题)

如图5-2所示，在100厘米的量尺上，从左到右，尺标显示19、N和99厘米。已知从N到99的距离是从N到19的距离的3倍。N代表的数是多少？

答案：N=39

解析：19到99相距80厘米，N在中间，N到99是N到19的3倍。N到19的距离：80÷(1+3)=20，N=19+20=39。100这个数与解题无关。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)

小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。妈妈______岁，小红______岁。

答案：妈妈32岁，小红8岁

解析：小红：40÷(1+4)=8岁，妈妈8×4=32岁。

水平测试 A 第2题(填空题)

生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。公鸡有______只，母鸡有______只。

答案：公鸡303只，母鸡101只

解析：母鸡：404÷(1+3)=101只，公鸡101×3=303只。

水平测试 A 第3题(填空题)

小明买语文练习簿和数学练习簿共25本，其中语文练习簿比数学练习簿的2倍多4本。语文练习簿买了______本，数学练习簿买了______本。

答案：语文18本，数学7本

解析：语文比数学2倍多4，从和里减4：25−4=21。数学：21÷(1+2)=7本，语文7×2+4=18本。

水平测试 A 第4题(填空题)

师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。徒弟生产零件______个，师傅生产零件______个。

答案：徒弟50个，师傅140个

解析：师傅比徒弟3倍少10，给和补10：190+10=200。徒弟：200÷(1+3)=50个，师傅50×3−10=140个。

水平测试 A 第5题(填空题)

A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，则A的速度是______，B的速度是______。

答案：A=16千米/时，B=8千米/时

解析：两人速度和：48÷2=24千米/时。B：24÷(1+2)=8千米/时，A=8×2=16千米/时。

水平测试 A 第6题(填空题)

一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。这块长方形木板的长是______厘米，宽是______厘米，面积是______平方厘米。

答案：长18厘米，宽9厘米，面积162平方厘米

解析：长宽和：54÷2=27厘米。宽：27÷(1+2)=9厘米，长9×2=18厘米，面积18×9=162平方厘米。

水平测试 A 第7题(填空题)

甲、乙两个冷藏库原来共存肉92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨。原来甲库存肉______吨，乙库存肉______吨。

答案：甲库42吨，乙库50吨

解析：甲运出28后，总和=92−28=64吨。乙比甲4倍少6，补6：64+6=70。现在甲：70÷(1+4)=14吨，原甲=14+28=42吨，乙=14×4−6=50吨。

水平测试 A 第8题(填空题)

甲、乙两个仓库共存粮2200千克，由乙库运出210千克后，甲库存粮是乙库的2倍少380千克。甲库原来存粮______千克，乙库原来存粮______千克。

答案：甲库1200千克，乙库1000千克

解析：乙运出210后总和=2200−210=1990。甲比乙2倍少380，补380：1990+380=2370。现在乙：2370÷(1+2)=790，原乙=790+210=1000，甲=790×2−380=1200。

水平测试 A 第9题(填空题)

小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔。小兰给小红______支以后，小红的铅笔支数是小兰的2倍。

答案：20支

解析：总数不变75支。小兰后来：75÷(1+2)=25支，小兰给小红45−25=20支。

水平测试 A 第10题(填空题)

姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐______元后，姐姐的钱比弟弟多3倍。

答案：80元

解析：总数500元。姐姐比弟弟多3倍=是弟弟4倍。弟弟后来：500÷(1+4)=100元，弟弟给姐姐180−100=80元。

水平测试 A 第11题(解答题)

甲、乙粮仓共存粮1038吨，如果把甲仓存的粮食放到乙仓9吨，那么两个仓库存粮就一样多。问：甲、乙粮仓原来各存粮多少吨？

答案：甲仓528吨，乙仓510吨

解析：甲放乙9吨后一样多，说明甲比乙多9×2=18吨。两仓相等时各1038÷2=519吨。原甲=519+9=528，原乙=519−9=510。

水平测试 A 第12题(解答题)

甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分钟23立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

答案：80分钟

解析：总和3800立方米。甲后来：3800÷(1+4)=760立方米，甲流出2600−760=1840，1840÷23=80分钟。

水平测试 A 第13题(解答题)

如图5-2所示，在100厘米的量尺上，从左到右，尺标显示19、N和99厘米。已知从N到99的距离是从N到19的距离的3倍。N代表的数是多少？

答案：N=39

解析：19到99相距80厘米，N在中间，N到99是N到19的3倍。N到19的距离：80÷(1+3)=20，N=19+20=39。100这个数与解题无关。

水平测试 B 第1题(填空题)

今年小红和叔叔的年龄加在一起是54岁，叔叔的年龄是小红年龄的5倍。叔叔今年______岁，小红今年______岁。

答案：叔叔45岁，小红9岁

解析：小红：54÷(1+5)=9岁，叔叔9×5=45岁。

水平测试 B 第2题(填空题)

合唱队共有144人，其中女生的人数是男生的11倍。男生有______人，女生有______人。

答案：男生12人，女生132人

解析：男生：144÷(1+11)=12人，女生12×11=132人。

水平测试 B 第3题(填空题)

教室里共有35把椅子，其中红椅子比蓝椅子的3倍多3把。红椅子有______把，蓝椅子有______把。

答案：红椅27把，蓝椅8把

解析：红比蓝3倍多3，减3：35−3=32。蓝：32÷(1+3)=8把，红8×3+3=27把。

水平测试 B 第4题(填空题)

师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍多10个，那么徒弟生产零件______个，师傅生产零件______个。

答案：徒弟45个，师傅145个

解析：师傅比徒弟3倍多10，减10：190−10=180。徒弟：180÷(1+3)=45个，师傅45×3+10=145个。

水平测试 B 第5题(填空题)

A、B两人同时从学校出发相背而行，3小时共行90千米，A的速度是B的4倍，则A的速度是______，B的速度是______。

答案：A=24千米/时，B=6千米/时

解析：速度和：90÷3=30千米/时。B：30÷(1+4)=6，A=6×4=24。

水平测试 B 第6题(填空题)

一块长方形木板，长是宽的3倍，周长是72厘米。这块长方形木板的长是______厘米，宽是______厘米，面积是______平方厘米。

答案：长27厘米，宽9厘米，面积243平方厘米

解析：长宽和72÷2=36。宽36÷(1+3)=9，长9×3=27，面积27×9=243。

水平测试 B 第7题(填空题)

一块长方形的菜地，长是宽的8倍，周长是72米，这块菜地的面积是______平方米。

答案：128平方米

解析：长宽和72÷2=36。宽36÷(1+8)=4米，长4×8=32米，面积32×4=128平方米。

水平测试 B 第8题(填空题)

某商店共运进电视机和录像机600台，电视机比录像机多3倍。运进电视机______台，运进录像机______台。

答案：电视机480台，录像机120台

解析：电视机比录像机多3倍=是录像机4倍。录像机：600÷(1+4)=120台，电视120×4=480台。

水平测试 B 第9题(填空题)

果园里有桃树、梨树、苹果树共360棵，梨树是桃树的3倍，苹果树是梨树的2倍。桃树有______棵，梨树有______棵，苹果树有______棵。

答案：桃树36棵，梨树108棵，苹果树216棵

解析：桃1份、梨3份、苹果3×2=6份，共10份。桃360÷10=36，梨36×3=108，苹果108×2=216。

水平测试 B 第10题(填空题)

姐姐有320元，弟弟有280元，姐姐给弟弟______元后，弟弟的钱比姐姐多4倍。

答案：220元

解析：总数600元。弟弟比姐姐多4倍=是姐姐5倍。姐姐后来：600÷(1+5)=100元，姐姐给弟弟320−100=220元。

水平测试 B 第11题(解答题)

光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人。问：男、女生各有多少人？

答案：男生560人，女生200人

解析：男生比女生3倍少40，补40：760+40=800。女生：800÷(1+3)=200人，男生200×3−40=560人。

水平测试 B 第12题(解答题)

果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵。问：桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

答案：桃树292棵，梨树140棵，苹果树120棵

解析：以梨为1份，桃=2份多12，苹果=1份少20。调整和：552−12+20=560。梨：560÷(1+2+1)=140，桃140×2+12=292，苹果140−20=120。

水平测试 B 第13题(解答题)

甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？

答案：20本

解析：总数150本。乙班后来：150÷(1+2)=50本，甲班给乙班50−30=20本。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)

小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。妈妈______岁，小红______岁。

答案：妈妈32岁，小红8岁

解析：小红：40÷(1+4)=8岁，妈妈8×4=32岁。

水平测试 A 第2题(填空题)

生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。公鸡有______只，母鸡有______只。

答案：公鸡303只，母鸡101只

解析：母鸡：404÷(1+3)=101只，公鸡101×3=303只。

水平测试 A 第3题(填空题)

小明买语文练习簿和数学练习簿共25本，其中语文练习簿比数学练习簿的2倍多4本。语文练习簿买了______本，数学练习簿买了______本。

答案：语文18本，数学7本

解析：语文比数学2倍多4，从和里减4：25−4=21。数学：21÷(1+2)=7本，语文7×2+4=18本。

水平测试 A 第4题(填空题)

师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。徒弟生产零件______个，师傅生产零件______个。

答案：徒弟50个，师傅140个

解析：师傅比徒弟3倍少10，给和补10：190+10=200。徒弟：200÷(1+3)=50个，师傅50×3−10=140个。

水平测试 A 第5题(填空题)

A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，则A的速度是______，B的速度是______。

答案：A=16千米/时，B=8千米/时

解析：两人速度和：48÷2=24千米/时。B：24÷(1+2)=8千米/时，A=8×2=16千米/时。

水平测试 A 第6题(填空题)

一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。这块长方形木板的长是______厘米，宽是______厘米，面积是______平方厘米。

答案：长18厘米，宽9厘米，面积162平方厘米

解析：长宽和：54÷2=27厘米。宽：27÷(1+2)=9厘米，长9×2=18厘米，面积18×9=162平方厘米。

水平测试 A 第7题(填空题)

甲、乙两个冷藏库原来共存肉92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨。原来甲库存肉______吨，乙库存肉______吨。

答案：甲库42吨，乙库50吨

解析：甲运出28后，总和=92−28=64吨。乙比甲4倍少6，补6：64+6=70。现在甲：70÷(1+4)=14吨，原甲=14+28=42吨，乙=14×4−6=50吨。

水平测试 A 第8题(填空题)

甲、乙两个仓库共存粮2200千克，由乙库运出210千克后，甲库存粮是乙库的2倍少380千克。甲库原来存粮______千克，乙库原来存粮______千克。

答案：甲库1200千克，乙库1000千克

解析：乙运出210后总和=2200−210=1990。甲比乙2倍少380，补380：1990+380=2370。现在乙：2370÷(1+2)=790，原乙=790+210=1000，甲=790×2−380=1200。

水平测试 A 第9题(填空题)

小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔。小兰给小红______支以后，小红的铅笔支数是小兰的2倍。

答案：20支

解析：总数不变75支。小兰后来：75÷(1+2)=25支，小兰给小红45−25=20支。

水平测试 A 第10题(填空题)

姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐______元后，姐姐的钱比弟弟多3倍。

答案：80元

解析：总数500元。姐姐比弟弟多3倍=是弟弟4倍。弟弟后来：500÷(1+4)=100元，弟弟给姐姐180−100=80元。

水平测试 A 第11题(解答题)

甲、乙粮仓共存粮1038吨，如果把甲仓存的粮食放到乙仓9吨，那么两个仓库存粮就一样多。问：甲、乙粮仓原来各存粮多少吨？

答案：甲仓528吨，乙仓510吨

解析：甲放乙9吨后一样多，说明甲比乙多9×2=18吨。两仓相等时各1038÷2=519吨。原甲=519+9=528，原乙=519−9=510。

水平测试 A 第12题(解答题)

甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分钟23立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

答案：80分钟

解析：总和3800立方米。甲后来：3800÷(1+4)=760立方米，甲流出2600−760=1840，1840÷23=80分钟。

水平测试 A 第13题(解答题)

如图5-2所示，在100厘米的量尺上，从左到右，尺标显示19、N和99厘米。已知从N到99的距离是从N到19的距离的3倍。N代表的数是多少？

答案：N=39

解析：19到99相距80厘米，N在中间，N到99是N到19的3倍。N到19的距离：80÷(1+3)=20，N=19+20=39。100这个数与解题无关。

水平测试 C 第1题(填空题)

小红铅笔的支数是小明的2倍，她从手中拿出15支捐给了“希望工程”，正好是小红、小明两人铅笔总数的一半，那么小红原有铅笔______支。

答案：20支

解析：15支是两人总数的一半，两人总数=15×2=30支。小明：30÷(1+2)=10支，小红10×2=20支。

水平测试 C 第2题(填空题)

三个饲养场共养牛1600头，第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍，第三饲养场养牛的头数是第二饲养场的2倍多60头。第一饲养场养牛______头，第二饲养场养牛______头，第三饲养场养牛______头。

答案：第一220头，第二440头，第三940头

解析：以第一为1份，第二2份，第三2×2=4份多60。调整和：1600−60=1540，÷(1+2+4)=220。第一220，第二440，第三440×2+60=940。

水平测试 C 第3题(填空题)

有化肥1800千克，分别装在甲、乙、丙三条船上。甲船上的千克数是乙船的2倍，乙船比丙船多200千克。甲船装化肥______千克，乙船装化肥______千克，丙船装化肥______千克。

答案：甲1000千克，乙500千克，丙300千克

解析：以丙为1份，乙=1份多200，甲=2份多400。调整和：1800−200−400=1200，÷(1+1+2)=300（丙）。乙=300+200=500，甲=500×2=1000。

水平测试 C 第4题(填空题)

三个数的和是1250，甲数的3倍等于乙数的2倍，丙数比甲数少10。甲数是______，乙数是______，丙数是______。

答案：甲360，乙540，丙350

解析：甲3倍=乙2倍→乙=甲×3÷2=1.5份。以甲为2份、乙为3份、丙=甲少10。调整和：1250+10=1260，÷(2+3+2)=180（1份）。甲=180×2=360，乙=180×3=540，丙=360−10=350。

水平测试 C 第5题(填空题)

三堆苹果共有130个，第二堆苹果数是第一堆的3倍，第三堆苹果数是第二堆的2倍多10个。第一堆苹果有______个，第二堆有______个，第三堆有______个。

答案：第一堆12个，第二堆36个，第三堆82个

解析：以第一为1份，第二3份，第三3×2=6份多10。调整和：130−10=120，÷(1+3+6)=12。第一12，第二36，第三36×2+10=82。

水平测试 C 第6题(填空题)

少先队一、二、三中队共植树200棵，二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵，三中队植树的棵数比一、二中队之和多4棵。一中队植树______棵，二中队植树______棵，三中队植树______棵。

答案：一中队31棵，二中队67棵，三中队102棵

解析：以一中为1份，二中=2份多5，三中=(1+2)份+5+4=3份多9。调整和：200−5−9=186，÷(1+2+3)=31。一中31，二中31×2+5=67，三中31+67+4=102。

水平测试 C 第7题(填空题)

某汽车场共有大、小货车115辆，大货车比小货车的5倍还多7辆。汽车场里有大货车______辆，小货车______辆。

答案：大货车97辆，小货车18辆

解析：大比小5倍多7，减7：115−7=108。小：108÷(1+5)=18辆，大18×5+7=97辆。

水平测试 C 第8题(填空题)

一根铁丝长275厘米，把它分成两段，使其中一段是另一段的10倍，那么较短的那段铁丝长______厘米。

答案：25厘米

解析：短段：275÷(1+10)=275÷11=25厘米。

水平测试 C 第9题(填空题)

甲、乙、丙三个数之和是177，甲数是乙数的3倍，乙数比丙数的5倍少3。甲数是______，乙数是______，丙数是______。

答案：甲126，乙42，丙9

解析：以丙为1份，乙=5份少3，甲=乙×3=15份少9。调整和：177+3+9=189，÷(1+5+15)=9。丙9，乙9×5−3=42，甲42×3=126。

水平测试 C 第10题(填空题)

有甲、乙、丙三人，甲的年龄是乙的2倍还大3岁，乙的年龄是丙的2倍小2岁。三个人的年龄之和是109岁。甲______岁，乙______岁，丙______岁。

答案：甲63岁，乙30岁，丙16岁

解析：以丙为1份，乙=2份少2，甲=乙×2+3=4份少1。调整和：109+2+1=112，÷(1+2+4)=16。丙16，乙16×2−2=30，甲30×2+3=63。

水平测试 C 第11题(解答题)

某厂三个车间共有工人552人。其中第一车间的人数是第二车间人数的5倍，第三车间的人数等于第一、第二两个车间人数的总和。三个车间分别有多少人？

答案：一车间230人，二车间46人，三车间276人

解析：以二车间为1份，一车间5份，三车间=1+5=6份。总份数1+5+6=12。二车间552÷12=46，一车间46×5=230，三车间46+230=276。

水平测试 C 第12题(解答题)

甲桶里有油460千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的一半多50千克？

答案：210千克

解析：总和不变650千克。甲是乙一半多50：设倒入后乙为x，甲=x÷2+50，和=x+x÷2+50=650，即1.5x=600，x=400（乙后）。甲后=400÷2+50=250千克，甲倒出460−250=210千克。

教师备注：“甲是乙一半多50”即甲=乙÷2+50，乙是甲的2倍少100。线段图：乙2份、甲1份多50，从总和650里减去多的50，正好对应3份。

水平测试 C 第13题(解答题)

甲、乙两个水库共贮水260吨，甲水库排出50吨水，乙水库注入60吨水后，甲水库的贮水量变为乙水库的一半。问：两个水库原来分别贮水多少吨？

答案：甲水库140吨，乙水库120吨

解析：变化后总和=260−50+60=270吨。甲是乙一半=乙是甲2倍。现在甲：270÷(1+2)=90吨，原甲=90+50=140吨；现在乙=180吨，原乙=180−60=120吨。

水平测试 C 第14题(解答题)

549是甲、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2，则4个数相等。求4个数各是多少？

答案：甲120，乙124，丙61，丁244

解析：以丙为1份（×2后），相等数=2份。甲+2=2份→甲=2份−2；乙−2=2份→乙=2份+2；丁÷2=2份→丁=4份。总和=549−2+2=549，对应2+2+1+4=9份。1份=549÷9=61（丙）。甲=61×2−2=120，乙=61×2+2=124，丁=61×4=244。

四、方法小结

和倍问题先画线段图：找1倍数画1段，几倍画几段，在图上圈出“和”对应几份。基本公式：和÷(倍数+1)=较小数，再用较小数×倍数或和−较小数得较大数。多个量时统一到最小的量作1份，连比要连乘。遇到“几倍多几”就从和里减、“几倍少几”就给和补。互相转移总和不变，单边进出总和才变；求出变化后的1份后记得还原成原来的量。

五、作业建议

基础必做：

教材P51 水平测试A 第1、2题（基础两量和倍）
教材P51 水平测试A 第5、6题（行程、长方形）
教材P54 水平测试B 第1、2题

巩固选做：

教材P51 水平测试A 第3、4题（多几少几）
教材P52 水平测试A 第9、10、11、12题（转移类）
教材P55 水平测试B 第6、7、8、9题
教材P55–56 水平测试B 第11、12、13题

提高挑战：

教材P58–59 水平测试C 第1–7题（多量和倍变式）
教材P59–60 水平测试C 第8–14题（综合、连比、四数和倍）

六、课堂错因定位

症状：直接用和÷倍数，不加1
根因：关系：忘记较小数自己也占1份，总份数=倍数+1。
补救：回到线段图，指着图数：这是1份，这是几倍，加起来一共几份？

症状：多几少几不会调，直接除
根因：方法：没有先把和调成整倍数。
补救：口诀“多减、少补”：多出来的从和里去掉，少掉的给和补上。

症状：转移类题目把和也改了
根因：概念：分不清互相转移和单边进出。
补救：问自己：从甲拿给乙，总和变了吗？（不变）甲运出仓库，总和变了吗？（变了）

症状：多量连比时份数算错
根因：关系：中间量没有连乘。
补救：从最小的量开始画段，一层一层标倍数，不要跳步。

症状：“多3倍”当成“是3倍”
根因：读题：多3倍=是4倍。
补救：看到“多几倍”先在旁边改成“是(几+1)倍”再列式。