【教师版】第1讲 · 速算与巧算
四年级奥数 · 教材第1–7页（第1讲全讲）
一、知识要点
四则运算的七条定律与性质
本质：（1）a×b×c=a×(b×c)结合律；（2）a×b+a×c=a×(b+c)分配律；（3）a×b=(a×n)×(b÷n)积不变；（4）a÷b=(a×n)÷(b×n)商不变；（5）a÷b÷c=a÷(b×c)连除；（6）a÷n+b÷n=(a+b)÷n除法分配；（7）a²−b²=(a+b)(a−b)平方差。
适用：拿到任何算式先问自己：这七条里哪条能用？看到连乘想结合律凑整；看到乘加混合想分配律提取公因数；看到连除想合并除数；看到平方差想拆成和×差。
- 先观察算式整体结构：是连乘？乘加混合？连除？平方差？
- 再选对应定律：连乘→凑整结合；乘加→提取公因数；连除→合并除数；平方差→和×差。
- 不明显时先拆数：把46拆成23×2，把85拆成37+48，把99拆成100−1。
典型错误：硬算不观察，或者乱用定律（如a÷(b+c)不能拆成a÷b+a÷c）。
提取公因数（含拆数统一公因数）
本质：乘加混合算式中，如果各项有相同因数，用分配律a×c+b×c=(a+b)×c提取公因数；公因数不明显时，先拆数把各项凑出同一个因数。
适用：看到a×b+a×c直接提取；看到a×b+d×e且b和e有倍数关系（如46=23×2、51=17×3），先拆数统一公因数再提取。典例B1（23×38+46×31）、B2（17×26+34×16+51×14）都是这种。
- 第一步：观察各项有没有相同因数。
- 第二步：没有明显公因数时，找各项数字间的倍数关系，拆数凑出公因数。
- 第三步：提取公因数，括号内往往凑成整百整千。
典型错误：拆数时漏乘或多乘；提取后括号内符号搞错（加号变减号）。
平方差公式逆用
本质：a×a−b×b=(a+b)×(a−b)。当两个数接近时（如199和198），a−b=1，结果就是两数之和。
适用：看到两个接近的数各自平方再相减（如199²−198²、62²−58²），直接用平方差公式。典例B3、水平测试B第7、10题。
- 识别平方差结构：两项都是某个数自乘，中间减号。
- 套公式：和×差，差往往是1或小整数，大大简化计算。
典型错误：硬算199×199和198×198，浪费时间还容易错。
整体代换与特殊数构造
本质：把重复出现的算式块看成一个整体（设为A或B），用字母代换后化简；或把数字拆成特殊组合（如1001=7×11×13、六个轮转数之和=111111×21）。
适用：C1中85=37+48，拆开后重新分组；C2中把六个六位数重组；水平测试C第8题用A=123+234整体代换。
- 观察哪个数可以拆成另外两个数之和（如85=37+48）。
- 拆开后重新分组，让两组分别凑整。
典型错误：拆数后忘了重新分组，还是硬算。
二、典例精讲
典例 A1
32×34+32×35+68×69=______.
训练点：两次提取公因数：先提32，再发现69是新的公因数。
提示：
1. 前两项都有32，先提取32看看括号里等于多少？
2. 34+35等于几？你发现了什么？现在整个算式变成了什么？
1原式=32×(34+35)+68×69=32×69+68×69依据：为什么想到这一步？前两项都有32，先提取公因数32；算出34+35=69后，发现整个算式变成了32×69+68×69，两项又有新的公因数69。
2=(32+68)×69=100×69=6900依据：为什么想到再提一次？因为32+68正好凑成整百100，这是出题人埋好的第二次凑整，所以继续提取公因数69。
答：6900
典型错法：只提一次32就停下，或者直接硬算。
典例 A2
(77×78)÷(33×91)=______.
训练点：分解因数后约分：分子分母分别拆质因数，相同因数约掉。
提示：
1. 77可以拆成谁乘谁？78呢？33和91呢？
2. 把分子分母都拆成因数连乘后，有没有相同的因数可以约掉？
1原式=(7×11×6×13)÷(3×11×7×13)依据：为什么想到拆因数？77、78、33、91都不大，分别拆成质数连乘后，分子分母很可能有公共因子可以直接约掉，比先乘出大数再除简单得多。
2=6÷3=2依据：为什么直接约？分子分母同时含有7、11、13，约掉后只剩6÷3，一步出结果。
答：2
典型错法：先算77×78=6006再除以3003，计算量大易错。
典例 A3
52×56×66=______.
训练点：拆因数后重新组合，凑出1001=7×11×13。
提示：
1. 52拆成4×13，56拆成7×8，66拆成6×11。重新组合一下看看？
2. 13×7×11等于多少？你发现了什么特殊数？
1原式=(4×13)×(7×8)×(6×11)=(4×8×6)×(13×7×11)依据：为什么想到拆成这样？看到52、56、66就想拆出7、11、13——因为1001=7×11×13是本讲的特殊数，拆出来就能用分配律。把零散因子4、8、6归一组，7、11、13归一组。
2=192×1001=192×(1000+1)=192000+192=192192依据：为什么写成1000+1？192×1001直接算不简便，用分配律拆成192×1000+192×1，口算即得。
答：192192
典型错法：直接硬算52×56×66，计算量大。
典例 B1
23×38+46×31=______.
训练点：拆数统一公因数：46=23×2。
提示：
1. 46和23有什么关系？能不能把46写成23×2？
2. 改写后两项都有23了，提取公因数后括号里等于多少？
1原式=23×38+23×2×31=23×38+23×62依据：为什么想到把46拆成23×2？因为两项一个是23开头、一个是46开头，46正好是23的2倍，拆出来两项就有了共同因数23。
2=23×(38+62)=23×100=2300依据：为什么提取后凑整？38+62=100正好整百，提取公因数23后一步出结果。
答：2300
典型错法：不拆数直接硬算，或拆数时漏掉2×31=62。
典例 B2
17×26+34×16+51×14=______.
训练点：三项统一公因数：34=17×2，51=17×3。
提示：
1. 34和17什么关系？51和17呢？都拆成17乘几试试？
2. 三项都有17了，提取后括号里是哪三个数相加？
1原式=17×26+17×2×16+17×3×14=17×26+17×32+17×42依据：为什么想到都拆成17？17、34、51三个系数正好是17的1倍、2倍、3倍，拆完三项就有共同因数17。
2=17×(26+32+42)=17×100=1700依据：为什么括号里凑整？26+32+42=100整百，提取17后直接得1700。
答：1700
典型错法：只统一前两项，第三项漏掉。
典例 B3
199×199−198×198=______.
训练点：平方差公式逆用。
提示：
1. 这是两个接近的数各自平方再相减，能不能用平方差公式？
2. a²−b²=(a+b)(a−b)，这里a=199，b=198，a−b等于几？
1原式=(199+198)×(199−198)=397×1=397依据：为什么想到平方差？199²−198²正好是a²−b²结构，套公式后差=199−198=1，结果就是两数之和397，避免硬算两个四位数。
答：397
典型错法：硬算199²=39601、198²=39204再相减。
典例 C1
37×39+48×64+85×61=______.
训练点：拆数后重新分组：85=37+48。
提示：
1. 前面两项的因数是37和48，第三项有个85，85能不能拆成37+48？
2. 拆开后把含37的合并、含48的合并，括号里分别凑几？
1原式=37×39+48×64+(37+48)×61=37×39+48×64+37×61+48×61依据：为什么想到拆85？前两项的因数正好是37和48，而85=37+48，拆出来后第三项就能和前两项分别合并。
2=37×(39+61)+48×(64+61)=37×100+48×125依据：为什么重新分组？把含37的两项合并（39+61=100整百），含48的两项合并（64+61=125），分别凑整。
3=3700+6000=9700依据：为什么48×125要再拆？125和8是黄金搭档，48=6×8，所以48×125=6×(8×125)=6×1000=6000。
答：9700
典型错法：不拆85直接硬算；或拆了不会重新分组。
典例 C2
(123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷777=______.
训练点：轮转数重组：六个数每位上都是1~6各出现一次。
提示：
1. 看十万位：1+2+3+4+5+6=21。万位、千位、百位、十位、个位呢？每位上都是1~6吧？
2. 能不能把原式写成111111×(1+2+3+4+5+6)？
3. 777拆成7×111，111111÷111=1001，21÷7=3，再算。
1原式=111111×(1+2+3+4+5+6)÷777=111111×21÷(7×111)依据：为什么想到重组？六个数是把1~6轮着排到每一位，十万位、万位……每位上都是1+2+3+4+5+6=21，所以总和=111111×21。
2=(111111÷111)×(21÷7)=1001×3=3003依据：为什么分组约分？777=7×111，利用商不变把111111和111约、21和7约，又凑出1001这个特殊数。
答：3003
典型错法：硬算六个大数之和。
典例 C3
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9=______.
训练点：裂项相消：每一项×3后拆成相邻两项之差。
提示：
1. 把每一项都乘以3再除以3。比如1×2×3=6，能不能写成1×2×3−0×1×2？
2. 2×3×3=18，能不能写成2×3×4−1×2×3？发现了吗？中间项全抵消了！
1原式=(1×2×3+2×3×3+⋯+8×9×3)÷3依据：为什么先×3再÷3？因为发现n×(n+1)×3正好等于n×(n+1)×(n+2)−(n−1)×n×(n+1)，乘3后才能裂成两项之差。
2=(1×2×3−0×1×2+2×3×4−1×2×3+⋯+8×9×10−7×8×9)÷3依据：为什么这样裂？相邻两项刚好一正一负抵消，比如2×3×4和−1×2×3……逐项抵消。
3=8×9×10÷3=720÷3=240依据：为什么只剩首尾？中间正负项全部抵消，只留首项的−0×1×2=0和末项8×9×10。
答：240
典型错法：不裂项直接硬算8项乘积和；或裂项后抵消搞错首尾。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
25×32×75=______.
答案：60000
解析：把32拆成4×8：25×4×8×75=100×600=60000。
水平测试 A 第2题(填空题)
2300÷4÷25=______.
答案：23
解析：连除性质：2300÷(4×25)=2300÷100=23。
水平测试 A 第3题(填空题)
456×457−456×101+544×356=______.
答案：356000
解析：前两项提取456：456×(457−101)=456×356，再+544×356=356×(456+544)=356×1000=356000。
水平测试 A 第4题(填空题)
135+777×999+642=______.
答案：777000
解析：135+642=777，777×999+777=777×1000=777000。
水平测试 A 第5题(填空题)
288×235÷144=______.
答案：470
解析：288÷144=2，2×235=470。
水平测试 A 第6题(填空题)
(44×51)÷(33×34)=______.
答案：2
解析：分解因数：(4×11×3×17)÷(3×11×2×17)=4÷2=2。
水平测试 A 第7题(填空题)
7×11×579×13=______.
答案：579579
解析：7×11×13=1001，579×1001=579579。
水平测试 A 第8题(填空题)
1234÷11×33=______.
答案：3702
解析：33÷11=3，1234×3=3702。
水平测试 A 第9题(填空题)
333×444+333×555−222×999=______.
答案：110889
解析：前两项提取333：333×999−222×999=999×(333−222)=999×111=110889。
水平测试 A 第10题(填空题)
17×39+33×99+17×47−33×13=______.
答案：4300
解析：17×(39+47)+33×(99−13)=17×86+33×86=86×50=4300。
水平测试 A 第11题(解答题)
求44×79×91的值.
答案：316316
解析：44×79×91=(4×79)×(11×91)=316×1001=316316。
水平测试 A 第12题(解答题)
求999×999+1999的值.
答案：1000000
解析：999×999+999+1000=999×1000+1000=1000×1000=1000000。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
25×32×75=______.
答案：60000
解析：把32拆成4×8：25×4×8×75=100×600=60000。
水平测试 A 第2题(填空题)
2300÷4÷25=______.
答案：23
解析：连除性质：2300÷(4×25)=2300÷100=23。
水平测试 A 第3题(填空题)
456×457−456×101+544×356=______.
答案：356000
解析：前两项提取456：456×(457−101)=456×356，再+544×356=356×(456+544)=356×1000=356000。
水平测试 A 第4题(填空题)
135+777×999+642=______.
答案：777000
解析：135+642=777，777×999+777=777×1000=777000。
水平测试 A 第5题(填空题)
288×235÷144=______.
答案：470
解析：288÷144=2，2×235=470。
水平测试 A 第6题(填空题)
(44×51)÷(33×34)=______.
答案：2
解析：分解因数：(4×11×3×17)÷(3×11×2×17)=4÷2=2。
水平测试 A 第7题(填空题)
7×11×579×13=______.
答案：579579
解析：7×11×13=1001，579×1001=579579。
水平测试 A 第8题(填空题)
1234÷11×33=______.
答案：3702
解析：33÷11=3，1234×3=3702。
水平测试 A 第9题(填空题)
333×444+333×555−222×999=______.
答案：110889
解析：前两项提取333：333×999−222×999=999×(333−222)=999×111=110889。
水平测试 A 第10题(填空题)
17×39+33×99+17×47−33×13=______.
答案：4300
解析：17×(39+47)+33×(99−13)=17×86+33×86=86×50=4300。
水平测试 A 第11题(解答题)
求44×79×91的值.
答案：316316
解析：44×79×91=(4×79)×(11×91)=316×1001=316316。
水平测试 A 第12题(解答题)
求999×999+1999的值.
答案：1000000
解析：999×999+999+1000=999×1000+1000=1000×1000=1000000。
水平测试 B 第1题(填空题)
333×66=______.
答案：21978
解析：333×3×22=999×22=(1000−1)×22=22000−22=21978。
水平测试 B 第2题(填空题)
19×46+38×27=______.
答案：1900
解析：38=19×2，原式=19×46+19×54=19×100=1900。
水平测试 B 第3题(填空题)
72×37+89×24=______.
答案：4800
解析：72=24×3，原式=24×111+24×89=24×200=4800。
水平测试 B 第4题(填空题)
144÷45×15=______.
答案：48
解析：144÷(45÷15)=144÷3=48。
水平测试 B 第5题(填空题)
13×29+26×19+39×11=______.
答案：1300
解析：26=13×2，39=13×3，原式=13×(29+38+33)=13×100=1300。
水平测试 B 第6题(填空题)
11×15+55×13+110×12=______.
答案：2200
解析：提取11：11×(15+5×13+10×12)=11×(15+65+120)=11×200=2200。
水平测试 B 第7题(填空题)
62×62−58×58=______.
答案：480
解析：平方差：(62+58)×(62−58)=120×4=480。
水平测试 B 第8题(填空题)
187÷13−25÷13−71÷13=______.
答案：7
解析：除法分配：(187−25−71)÷13=91÷13=7。
水平测试 B 第9题(填空题)
986×765−987×764=______.
答案：222
解析：=(986×764+986)−(986×764+764)=986−764=222。
水平测试 B 第10题(填空题)
102×103−98×99=______.
答案：804
解析：=(102×102+102)−(98×98+98)=(102²−98²)+4=(102+98)×4+4=800+4=804。
水平测试 B 第11题(解答题)
求50×49−49×48+48×47−47×46+⋯+4×3−3×2+2×1的值.
答案：1250
解析：每两项合并：49×2+47×2+⋯+3×2+1×2=2×(49+47+⋯+3+1)=2×(49+1)×25÷2=1250。
水平测试 B 第12题(解答题)
求10×10−9×9+8×8−7×7+6×6−5×5+4×4−3×3+2×2−1×1的值.
答案：55
解析：平方差两两合并：(10+9)×1+(8+7)×1+⋯+(2+1)×1=10+9+8+⋯+1=55。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
25×32×75=______.
答案：60000
解析：把32拆成4×8：25×4×8×75=100×600=60000。
水平测试 A 第2题(填空题)
2300÷4÷25=______.
答案：23
解析：连除性质：2300÷(4×25)=2300÷100=23。
水平测试 A 第3题(填空题)
456×457−456×101+544×356=______.
答案：356000
解析：前两项提取456：456×(457−101)=456×356，再+544×356=356×(456+544)=356×1000=356000。
水平测试 A 第4题(填空题)
135+777×999+642=______.
答案：777000
解析：135+642=777，777×999+777=777×1000=777000。
水平测试 A 第5题(填空题)
288×235÷144=______.
答案：470
解析：288÷144=2，2×235=470。
水平测试 A 第6题(填空题)
(44×51)÷(33×34)=______.
答案：2
解析：分解因数：(4×11×3×17)÷(3×11×2×17)=4÷2=2。
水平测试 A 第7题(填空题)
7×11×579×13=______.
答案：579579
解析：7×11×13=1001，579×1001=579579。
水平测试 A 第8题(填空题)
1234÷11×33=______.
答案：3702
解析：33÷11=3，1234×3=3702。
水平测试 A 第9题(填空题)
333×444+333×555−222×999=______.
答案：110889
解析：前两项提取333：333×999−222×999=999×(333−222)=999×111=110889。
水平测试 A 第10题(填空题)
17×39+33×99+17×47−33×13=______.
答案：4300
解析：17×(39+47)+33×(99−13)=17×86+33×86=86×50=4300。
水平测试 A 第11题(解答题)
求44×79×91的值.
答案：316316
解析：44×79×91=(4×79)×(11×91)=316×1001=316316。
水平测试 A 第12题(解答题)
求999×999+1999的值.
答案：1000000
解析：999×999+999+1000=999×1000+1000=1000×1000=1000000。
水平测试 C 第1题(填空题)
19×37+81×38=______.
答案：3781
解析：=19×37+81×37+81=(19+81)×37+81=3700+81=3781。
水平测试 C 第2题(填空题)
99×97−98×96=______.
答案：195
解析：=(98+1)(98−1)−98×96=98²−1−98×96=98×2−1=195。
水平测试 C 第3题(填空题)
125×89+75×81=______.
答案：17200
解析：=125×89+75×(89−8)=(125+75)×89−600=17800−600=17200。
水平测试 C 第4题(填空题)
28×11+44×36+72×14=______.
答案：2900
解析：72=28+44，原式=28×11+44×36+(28+44)×14=28×25+44×50=700+2200=2900。
水平测试 C 第5题(填空题)
2772÷28+34965÷35=______.
答案：1098
解析：=(2800−28)÷28+(35000−35)÷35=100−1+1000−1=1098。
水平测试 C 第6题(填空题)
(22×14+33×13+44×12)÷11=______.
答案：115
解析：=2×14+3×13+4×12=28+39+48=115。
水平测试 C 第7题(填空题)
(16×18+26×28+36×38)÷(8×9+13×14+18×19)=______.
答案：4
解析：分子每项是分母对应项的2×2=4倍，约分后=4。
水平测试 C 第8题(填空题)
(100+123+234)×(123+234+345)−(100+123+234+345)×(123+234)=______.
答案：34500
解析：设A=123+234，原式=(100+A)(A+345)−(100+A+345)A=100×345=34500。
水平测试 C 第9题(填空题)
13579+35791+57913+79135+91357=______.
答案：277775
解析：每位上1~9各出现一次（奇数位），=11111×(1+3+5+7+9)=11111×25=277775。
水平测试 C 第10题(填空题)
10×11+11×12+12×13+⋯+18×19=______.
答案：1950
解析：裂项×3÷3：=(18×19×20−10×11×9)÷3=(6840−990)÷3=1950。
水平测试 C 第11题(解答题)
求36×84+47×69−83×59的值.
答案：1370
解析：83=36+47，原式=36×84+47×69−(36+47)×59=36×25+47×10=900+470=1370。
水平测试 C 第12题(解答题)
求1×2×3+2×3×4+3×4×5+4×5×6+⋯+7×8×9的值.
答案：1260
解析：裂项×4÷4：=(7×8×9×10)÷4=5040÷4=1260。
四、方法小结
速算核心是'先观察、再选法、后计算'：连乘凑整（25×4、125×8、1001），乘加提取公因数（不明显先拆数统一），连除合并除数，平方差逆用，复杂算式整体代换或裂项相消。牢记七条定律，看到99想100−1，看到1001想7×11×13，看到轮转数想每位数字之和。
五、作业建议
基础必做：- 教材P2 水平测试A 第1–9题（填空，基础凑整与提取公因数）
- 教材P3 水平测试A 第10–12题（解答）
巩固选做：- 教材P4 水平测试B 第1–8题（填空，拆数统一公因数）
- 教材P4–5 水平测试B 第9–12题（平方差与递推）
提高挑战：- 教材P6 水平测试C 第1–7题（填空，整体代换与除法分配）
- 教材P7 水平测试C 第8–12题（复杂代换与裂项）
六、课堂错因定位
症状：拿到算式就硬算，不观察结构
根因：没有养成先观察再动笔的习惯。
补救：要求先说出'这题能用哪条定律'，再动笔。
症状：公因数不明显时不会拆数
根因：对倍数关系不敏感。
补救：用典例B1/B2做对比练习，专门练'找倍数拆公因数'。
症状：平方差公式想不起来
根因：对a²−b²结构不敏感。
补救：看到两个接近数平方相减，条件反射想平方差。
症状：裂项相消不知道从哪下手
根因：不理解裂项原理。
补救：用C3图表演示：×3后每一项拆成两项差，中间抵消。