A层
水平测试 A 第1题，配图12-5
在图12-5（正方形四边：顶边B—14—D，右边D—8—C，底边2—12—C，左边B—A—2）的空圆圈中填上数，使每条线上三个数相加等于24，则A=____，B=____，C=____，D=____。
答案：A=18，B=4，C=10，D=6
解析：从底边入手：C=24−2−12=10；右边D=24−8−10=6；顶边B=24−14−6=4；左边A=24−2−4=18。
水平测试 A 第2题，配图12-6
把1，3，5，7，9这五个数分别填在图12-6（十字形五格）中，使得横行三个数之和与竖列三个数之和都等于15。
答案：中心填5，其余配对(1,9)(3,7)
解析：重叠数=15×2−(1+3+5+7+9)=30−25=5。上下填1,9，左右填3,7。
水平测试 A 第3题，配图12-7
将1～4这四个数分别填入图12-7（T形四格），使竖行和横行□内数的和相等。
答案：上4中2下1,3 或 上3中4下1,2
解析：除重叠数外，上面的数=左边+右边。四数中只有4=1+3和3=1+2两种情况。
水平测试 A 第4题，配图12-8
将7～14这八个数分别填在图12-8（十字五格加横排三格共八格）中，使每一横行、竖行内数的和相等。
答案：重叠数取9或12，行和31或32
解析：7+…+14=84，84+重叠数是3的倍数，重叠数取9或12，行和(84+9)÷3=31或(84+12)÷3=32。
水平测试 A 第5题，配图12-9
将1～6这六个数分别填在图12-9（四个三角形）的○里，使每条边上三个数之和都相等。（写出四种不同和的填法）
答案：和分别为9、10、11、12
解析：顶点和分别取1+2+3、1+3+5、2+4+6、4+5+6，行和=(21+顶点和)÷3，对应9、10、11、12。
水平测试 A 第6题，配图12-10
将1～7这七个数分别填入图12-10（辐射型六条线共七圈）的○里，使每条直线上三个数之和等于10。
答案：中心填1，其余配对(2,7)(3,6)(4,5)
解析：中心重叠数=[10×3−(1+…+7)]÷2=(30−28)÷2=1，每线另两数和=9。
水平测试 A 第7题，配图12-11
把1～8这八个数分别填入图12-11（正方形八圈）的○里，使每条边上三个数的和都等于12。
答案：四角和=12×4−36=12，取1,2,3,6
解析：四角是重叠数，和=12×4−36=12，分拆12=1+2+3+6，尝试可得填法。
水平测试 A 第8题，配图12-12
将2～9这八个数分别填入图12-12（中心1辐射六线）的○里，使每条直线上三个数之和都相等。
答案：中心1，两端配对(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)
解析：每线两端和=(2+…+9)÷4=44÷4=11=2+9=3+8=4+7=5+6。
水平测试 A 第9题，配图12-13
将1～7这七个数分别填入图12-13（三臂辐射）的○里，使每条线段上三个数之和等于12。
答案：中心填4，另两数配对(1,7)(2,6)(3,5)
解析：中心重叠数=[12×3−28]÷2=4，另两数和=8=1+7=2+6=3+5。
水平测试 A 第10题，配图12-14
图12-14有五个圆相交分成9个区域，两个区域已填10与6，在另外七个区域填2，3，4，5，6，7，9，使每圆内的和都等于15。
答案：从左到右区域依次为10,5,3,7,6,2,4,9,6
解析：A=15−10=5，G=15−6=9，B+C=10，E+F=6只能2+4，推得C=7,D=6,B=3,E=2,F=4。
水平测试 A 第11题，配图12-15
把1～10这十个数分别填入图12-15（环形十圈）的○里，使每条边上三个数的和都等于14。
答案：五个重叠数和=15，取1,2,3,4,5
解析：五个重叠数和=14×5−55=15=1+2+3+4+5，尝试填出。
水平测试 A 第12题，配图12-16
将1～9这九个数分别填入图12-16（十字九格）的□里，使横行和竖列上五个数之和等于24（至少两种本质不同填法）。
答案：中心填3，其余四数和21
解析：中心重叠数=24×2−45=3，其余四数和=21。含9时另三数和12=1+4+7=1+5+6=2+4+6，共3种。
水平测试 A 第13题，配图12-17
将1～9九个数字分别填入图12-17（三角形九圈）的○里，使每条线段联结的四个数之和都相等，这个和可能是多少？
答案：17，19，20，21，23
解析：设三顶点和s，(45+s)是3的倍数，s取6,9,12,15,18,21,24对应行和17~23，检验后18、22无填法，故五种。
B层
水平测试 A 第1题，配图12-5
在图12-5（正方形四边：顶边B—14—D，右边D—8—C，底边2—12—C，左边B—A—2）的空圆圈中填上数，使每条线上三个数相加等于24，则A=____，B=____，C=____，D=____。
答案：A=18，B=4，C=10，D=6
解析：从底边入手：C=24−2−12=10；右边D=24−8−10=6；顶边B=24−14−6=4；左边A=24−2−4=18。
水平测试 A 第2题，配图12-6
把1，3，5，7，9这五个数分别填在图12-6（十字形五格）中，使得横行三个数之和与竖列三个数之和都等于15。
答案：中心填5，其余配对(1,9)(3,7)
解析：重叠数=15×2−(1+3+5+7+9)=30−25=5。上下填1,9，左右填3,7。
水平测试 A 第3题，配图12-7
将1～4这四个数分别填入图12-7（T形四格），使竖行和横行□内数的和相等。
答案：上4中2下1,3 或 上3中4下1,2
解析：除重叠数外，上面的数=左边+右边。四数中只有4=1+3和3=1+2两种情况。
水平测试 A 第4题，配图12-8
将7～14这八个数分别填在图12-8（十字五格加横排三格共八格）中，使每一横行、竖行内数的和相等。
答案：重叠数取9或12，行和31或32
解析：7+…+14=84，84+重叠数是3的倍数，重叠数取9或12，行和(84+9)÷3=31或(84+12)÷3=32。
水平测试 A 第5题，配图12-9
将1～6这六个数分别填在图12-9（四个三角形）的○里，使每条边上三个数之和都相等。（写出四种不同和的填法）
答案：和分别为9、10、11、12
解析：顶点和分别取1+2+3、1+3+5、2+4+6、4+5+6，行和=(21+顶点和)÷3，对应9、10、11、12。
水平测试 A 第6题，配图12-10
将1～7这七个数分别填入图12-10（辐射型六条线共七圈）的○里，使每条直线上三个数之和等于10。
答案：中心填1，其余配对(2,7)(3,6)(4,5)
解析：中心重叠数=[10×3−(1+…+7)]÷2=(30−28)÷2=1，每线另两数和=9。
水平测试 A 第7题，配图12-11
把1～8这八个数分别填入图12-11（正方形八圈）的○里，使每条边上三个数的和都等于12。
答案：四角和=12×4−36=12，取1,2,3,6
解析：四角是重叠数，和=12×4−36=12，分拆12=1+2+3+6，尝试可得填法。
水平测试 A 第8题，配图12-12
将2～9这八个数分别填入图12-12（中心1辐射六线）的○里，使每条直线上三个数之和都相等。
答案：中心1，两端配对(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)
解析：每线两端和=(2+…+9)÷4=44÷4=11=2+9=3+8=4+7=5+6。
水平测试 A 第9题，配图12-13
将1～7这七个数分别填入图12-13（三臂辐射）的○里，使每条线段上三个数之和等于12。
答案：中心填4，另两数配对(1,7)(2,6)(3,5)
解析：中心重叠数=[12×3−28]÷2=4，另两数和=8=1+7=2+6=3+5。
水平测试 A 第10题，配图12-14
图12-14有五个圆相交分成9个区域，两个区域已填10与6，在另外七个区域填2，3，4，5，6，7，9，使每圆内的和都等于15。
答案：从左到右区域依次为10,5,3,7,6,2,4,9,6
解析：A=15−10=5，G=15−6=9，B+C=10，E+F=6只能2+4，推得C=7,D=6,B=3,E=2,F=4。
水平测试 A 第11题，配图12-15
把1～10这十个数分别填入图12-15（环形十圈）的○里，使每条边上三个数的和都等于14。
答案：五个重叠数和=15，取1,2,3,4,5
解析：五个重叠数和=14×5−55=15=1+2+3+4+5，尝试填出。
水平测试 A 第12题，配图12-16
将1～9这九个数分别填入图12-16（十字九格）的□里，使横行和竖列上五个数之和等于24（至少两种本质不同填法）。
答案：中心填3，其余四数和21
解析：中心重叠数=24×2−45=3，其余四数和=21。含9时另三数和12=1+4+7=1+5+6=2+4+6，共3种。
水平测试 A 第13题，配图12-17
将1～9九个数字分别填入图12-17（三角形九圈）的○里，使每条线段联结的四个数之和都相等，这个和可能是多少？
答案：17，19，20，21，23
解析：设三顶点和s，(45+s)是3的倍数，s取6,9,12,15,18,21,24对应行和17~23，检验后18、22无填法，故五种。
水平测试 B 第1题，配图12-23
把1～12分别填入图12-23（六角星十二圈），使每条线段上四个数的和相等。现已填好八个数（含6,2,8,7,3,5,1,10），每条线段上各数的和应是____。
答案：26
解析：未填4,9,11,12。含7两行已填和15与22，差7；只有4与11差7填7旁，故行和=15+11=26。
水平测试 B 第2题，配图12-24
把1～10这10个数分别填入图12-24（三臂辐射共10圈）的○里，使每条线段上四个数的和相等且最小。
答案：中心填1，每臂和18
解析：和最小中心取1，其余9个数分三组每组三数和=(2+…+10)÷3=18。
水平测试 B 第3题，配图12-25
将1～11这11个数分别填入图12-25（五臂辐射中心重叠）的○里，使每条线段上三个数的和都相等，那么当中重叠的数可有____种取值方法。
答案：3
解析：五条线15个数和是5倍数，即66+4×中心是5倍数，中心取1、6、11，共3种。
水平测试 B 第4题，配图12-26
将1～8这八个数分别填入图12-26（两圆相交八圈）的○里，使每个圆周上五个数之和分别为23，24，25。
答案：中间两数和分别为10、12、14
解析：和23时中间两数和=46−36=10；和24时=12；和25时=14。分别配对尝试填出。
水平测试 B 第5题，配图12-27
将1～7这七个数分别填入图12-27（三圆交中心辐射）的○里，使每条直线上三个数之和与每个圆圈上三个数之和都相等。
答案：中心填4，和为12
解析：15个数和=两组1~7加中心，即56+中心，须5倍数，中心=4；和=(56+4)÷5=12。
水平测试 B 第6题，配图12-28
将2～9这八个数分别填入图12-28（正方形八圈）的□里，使每条边上三个数之和都等于18。
答案：四角和=28，取4,7,8,9或5,6,8,9
解析：四角重叠数和=18×4−44=28，凑得两组；8和9须在对角线上。
水平测试 B 第7题，配图12-29
把1～6这六个数填入图12-29（长方形六圈）的□里，使每个长方形四个角上的数之和的值相等，则中间两数有____组取值。
答案：3
解析：左中右三组和相等，每组和=(1+…+6)÷3=7=1+6=2+5=3+4，共3组。
水平测试 B 第8题，配图12-30
如图12-30，把1～9这九个数分别填入3×3方格内，使每个2×2田字格中四个数的和都等于24。
答案：中心E=8，示例填法见图
解析：四田字格中B,D,F,H各重1次、E重3次，B+D+F+H+3E=51。E=8时可填出。
水平测试 B 第9题，配图12-31
将1～8填入图12-31（圆加十字辐射八圈）的八个○里，使每条直线上四个数之和与每个圆周上四个数之和都相等。
答案：和为18（答案不唯一）
解析：每条直线/每个圆周四数和=(1+…+8)÷2=18。
水平测试 B 第10题，配图12-32
如图12-32，把2～11这10个自然数填到10个方格里，要求图中3个2×2的正方形中4个数的和都相等，这个和最小是____，最大是____。
答案：最小24，最大28
解析：2~11和65，中间两格重1次。两重叠数和最小7时(65+7)÷3=24；最大19时(65+19)÷3=28。
水平测试 B 第11题，配图12-33
将1～7这七个数分别填入图12-33（三圆交七圈）的七个○内，使三个大圆上四个数之和都等于13。
答案：中心c=1，周围配填
解析：三圆总和=13×3=39，七数和28，得a+b+d+2c=11，仅c=1、a,b,d取2,3,4成立。
水平测试 B 第12题，配图12-34
把1～8这八个数分别填入图12-34（正方形八圈）的八个○内，使每条边上三个○内数的和相等，这个和的取值为哪些？
答案：12，13，14，15
解析：4m=36+(四顶点和)，四顶点和最小10最大26，且m整数，检验得m=12,13,14,15。
水平测试 B 第13题，配图12-35
在图12-35所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个数，使每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
答案：未标7，k=19
解析：六面和=3×(45−a)=6k，2k=45−a，a奇。试a=7时k=19且19不被7整除，符合。
C层
水平测试 A 第1题，配图12-5
在图12-5（正方形四边：顶边B—14—D，右边D—8—C，底边2—12—C，左边B—A—2）的空圆圈中填上数，使每条线上三个数相加等于24，则A=____，B=____，C=____，D=____。
答案：A=18，B=4，C=10，D=6
解析：从底边入手：C=24−2−12=10；右边D=24−8−10=6；顶边B=24−14−6=4；左边A=24−2−4=18。
水平测试 A 第2题，配图12-6
把1，3，5，7，9这五个数分别填在图12-6（十字形五格）中，使得横行三个数之和与竖列三个数之和都等于15。
答案：中心填5，其余配对(1,9)(3,7)
解析：重叠数=15×2−(1+3+5+7+9)=30−25=5。上下填1,9，左右填3,7。
水平测试 A 第3题，配图12-7
将1～4这四个数分别填入图12-7（T形四格），使竖行和横行□内数的和相等。
答案：上4中2下1,3 或 上3中4下1,2
解析：除重叠数外，上面的数=左边+右边。四数中只有4=1+3和3=1+2两种情况。
水平测试 A 第4题，配图12-8
将7～14这八个数分别填在图12-8（十字五格加横排三格共八格）中，使每一横行、竖行内数的和相等。
答案：重叠数取9或12，行和31或32
解析：7+…+14=84，84+重叠数是3的倍数，重叠数取9或12，行和(84+9)÷3=31或(84+12)÷3=32。
水平测试 A 第5题，配图12-9
将1～6这六个数分别填在图12-9（四个三角形）的○里，使每条边上三个数之和都相等。（写出四种不同和的填法）
答案：和分别为9、10、11、12
解析：顶点和分别取1+2+3、1+3+5、2+4+6、4+5+6，行和=(21+顶点和)÷3，对应9、10、11、12。
水平测试 A 第6题，配图12-10
将1～7这七个数分别填入图12-10（辐射型六条线共七圈）的○里，使每条直线上三个数之和等于10。
答案：中心填1，其余配对(2,7)(3,6)(4,5)
解析：中心重叠数=[10×3−(1+…+7)]÷2=(30−28)÷2=1，每线另两数和=9。
水平测试 A 第7题，配图12-11
把1～8这八个数分别填入图12-11（正方形八圈）的○里，使每条边上三个数的和都等于12。
答案：四角和=12×4−36=12，取1,2,3,6
解析：四角是重叠数，和=12×4−36=12，分拆12=1+2+3+6，尝试可得填法。
水平测试 A 第8题，配图12-12
将2～9这八个数分别填入图12-12（中心1辐射六线）的○里，使每条直线上三个数之和都相等。
答案：中心1，两端配对(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)
解析：每线两端和=(2+…+9)÷4=44÷4=11=2+9=3+8=4+7=5+6。
水平测试 A 第9题，配图12-13
将1～7这七个数分别填入图12-13（三臂辐射）的○里，使每条线段上三个数之和等于12。
答案：中心填4，另两数配对(1,7)(2,6)(3,5)
解析：中心重叠数=[12×3−28]÷2=4，另两数和=8=1+7=2+6=3+5。
水平测试 A 第10题，配图12-14
图12-14有五个圆相交分成9个区域，两个区域已填10与6，在另外七个区域填2，3，4，5，6，7，9，使每圆内的和都等于15。
答案：从左到右区域依次为10,5,3,7,6,2,4,9,6
解析：A=15−10=5，G=15−6=9，B+C=10，E+F=6只能2+4，推得C=7,D=6,B=3,E=2,F=4。
水平测试 A 第11题，配图12-15
把1～10这十个数分别填入图12-15（环形十圈）的○里，使每条边上三个数的和都等于14。
答案：五个重叠数和=15，取1,2,3,4,5
解析：五个重叠数和=14×5−55=15=1+2+3+4+5，尝试填出。
水平测试 A 第12题，配图12-16
将1～9这九个数分别填入图12-16（十字九格）的□里，使横行和竖列上五个数之和等于24（至少两种本质不同填法）。
答案：中心填3，其余四数和21
解析：中心重叠数=24×2−45=3，其余四数和=21。含9时另三数和12=1+4+7=1+5+6=2+4+6，共3种。
水平测试 A 第13题，配图12-17
将1～9九个数字分别填入图12-17（三角形九圈）的○里，使每条线段联结的四个数之和都相等，这个和可能是多少？
答案：17，19，20，21，23
解析：设三顶点和s，(45+s)是3的倍数，s取6,9,12,15,18,21,24对应行和17~23，检验后18、22无填法，故五种。
水平测试 C 第1题，配图12-41
请把2，4，6，8，12，24这六个正整数分别填入图12-41（三角形六圈）中，使每条线上三个数的乘积相等。
答案：6,12,24放三个顶点
解析：6,12,24都有因数3，要么都在三顶点、要么都不在；两种填法。
水平测试 C 第2题，配图12-42
在图12-42（中心辐射，已填13、17）的几个圆圈内各填一个数，使每条直线上三个数中，当中的数是两边两个数的平均数。已填好两个数（13、17），那么x=____。
答案：19
解析：D=(13+17)÷2=15，由平均数关系推得B=15,C=16，x=16×2−13=19。
水平测试 C 第3题，配图12-43
在图12-43（六边形六圈，已填2、3）中四个空白圆圈内填入恰当的数后，每个圆圈中数的6倍均等于它相邻两个圆圈中数的乘积，所填四个数之和为____。
答案：67
解析：2与3之间填2×3÷6=1；2旁填12、3旁填18；12与18之间填12×18÷6=36。四数和=1+12+18+36=67。
水平测试 C 第4题，配图12-44
将1～9分别填入图12-44（九圈环形）的九个○中，使任意相邻三个○内的三个数之和都不大于16。
答案：7,8,9每两个之间隔两个数
解析：7,8,9不能在连着的三个数中的两个，每两个之间隔两个数，再填其余（答案不唯一）。
水平测试 C 第5题，配图12-45
把1～9这九个数分别填在图12-45每个小圆圈内，图中可以数出七个三角形，并使每个三角形顶点上三个数的和都相等。
答案：每个三角形和为15
解析：九个数分三个小三角形，每个顶点三数和=45÷3=15，中间小三角形填4,5,6。
水平测试 C 第6题
将1～8分别写在立方体的八个角上，使每个面上四个角处所标的数字之和相等，那么这个相同的和是____。
答案：18
解析：取两个对面，36=这两个面四数和之和，每个面四数和=36÷2=18。
水平测试 C 第7题，配图12-46
将1～8这八个数字填入图12-46（八格），使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格、对角线四格、四角四格内四个数相加的和都相等。
答案：每组四数和为9
解析：a+c=b+d=e+g=f+h=36÷4=9=1+8=2+7=3+6=4+5。
水平测试 C 第8题，配图12-47
如图12-47，将1～5填入五个小圆圈，将6～10填入五个小方框，使大五边形每条边上三个数的和都相同，那么数字6所在的那条边上两个小圆圈内所填数的和是____。
答案：8
解析：每边三数和=[(1+…+5)×2+(6+…+10)]÷5=70÷5=14，6所在边另两圈和=14−6=8。
水平测试 C 第9题，配图12-48
将1～7这七个数字分别填入图12-48（七圈）的七个圆圈内，使图中位于每条直线上的各数之和均等于11。
答案：中心a=7，按和11配填
解析：a+c=(1+…+7)×2−4×11=12，仅a=7,c=5成立，其余配填。
水平测试 C 第10题，配图12-49
将1～7这七个数字分别填入图12-49（三圆相交七区域）内，若要使每个圆环内四个数字的和均相等，这个和最小是____，最大是____。
答案：最小13，最大19
解析：中心重叠d计3次，其余重叠计2次。最小=(1×3+(2+3+4)×2+(5+6+7))÷3=13；最大对称得19。
水平测试 C 第11题，配图12-50
把1～10这十个数分别填入图12-50（阶梯形十格），使右方三个数（7、16、30）分别等于对应行数字和，下方三个数（9、17、23）等于对应列数字和。
答案：顶格2，底排6,8,9,7
解析：a=55−(7+16+30)=2，g=55−(9+17+23)=6，再按行和列和推得整图。
水平测试 C 第12题，配图12-51
将数字1～9分别填入图12-51（大圆八圈加小圆三圈）的九个小圆圈内，使大圆周上八个数的和等于小圆周上三个数的积，那么位于小圆周上的三个数的和可能是多少？
答案：11，12，14
解析：设小圆独有点a，a整除45取1,3,5,9；另两数积=(45−a)/a，可行组合对应三数和11、12、14。
水平测试 C 第13题，配图12-52
将1～8八个数字分别填入图12-52（八格十字变体）内，使每条线段联结的两数之差（大减小）恰好是1，2，3，4，5，6，7七个数，求满足要求的填法中位于中间一行四个数之和的最大值。
答案：23
解析：中间两格之一填8，1填其上下；6,7填两头，中间四数和=7+2+8+6=23。