【教师版】第13讲 · 巧求面积
四年级奥数 · 教材第147–161页（第13讲全讲）
一、知识要点
大减小与割补：把不规则变规则
本质：不规则或缺角图形的面积=大规则图形面积−补上的小图形面积，或切成几块基本图形再相加。
适用：看到“L形、阶梯形、方环、对角铺砖”这类图形，先想它能不能看成一个大长方形/正方形去掉一小块，或切成两个规则图形。
- 第一步：先找最大的那个规则外框。
- 第二步：看清去掉或补上的小块是什么形状、尺寸多少。
- 第三步：大面积减小面积，或分块相加。
典型错误：补的小块尺寸读错，或把减成了加。
等积变形：等底等高就搬得动
本质：两个三角形底相等、高也相等，面积就相等；夹在两条平行线之间、共用一条底边的三角形，顶点在平行线上怎么挪面积都不变。
适用：题目里出现“平行线、中点、联结对角线”，就要想到把某个三角形换成旁边等积的三角形，凑出整块规则图形。
- 第一步：找平行关系，确定哪两条线平行。
- 第二步：找共用底边，顶点在平行线上。
- 第三步：把要求的三角形换成等积的另一块，凑出规则图形。
典型错误：不是等底等高也乱搬；高找错。
差不变：公共部分同时减去
本质：两块阴影差=（甲+空白）−（乙+空白），空白重叠部分同时出现就抵消，差等于两个大图形面积之差。
适用：两个图形部分重叠、问两块没重合阴影相差多少时，不要去算重叠部分，直接用两个完整图形面积相减。
- 第一步：写出两块阴影各自等于什么减公共空白。
- 第二步：两式相减，公共空白抵消。
- 第三步：剩下两个完整图形面积直接相减。
典型错误：非要先算重叠部分，绕远路还容易错。
等高倍分：面积按底的份数分
本质：高相同时，两个三角形面积比等于底之比；底是几倍，面积就是几倍。再用和倍问题按份数求每块。
适用：已知BD=2DC、AE=ED这类中点或倍分条件，把三角形面积按底分成整数份，先求一份是多少。
- 第一步：标出底的份数关系。
- 第二步：高相同，面积份数=底边份数。
- 第三步：总面积÷总份数=一份，再乘各块份数。
典型错误：把BD=2DC当成BD=2份、DC=1份没错，但总份数算成2而不是3。
二、典例精讲
典例 A1
小刚在一个长方形中任取三条边长相加，所得的和是78厘米；小亚在同一个长方形中任取三条边长相加，所得的和是66厘米。这个长方形的周长是多少厘米？
训练点：不直接求长和宽，凑出“3长+3宽”。
提示：
1. 任取三条边，必然是“2长1宽”或“2宽1长”。
2. 两人各取一次，合起来是几条长、几条宽？
1任取三边至少含2条长1条宽或2条宽1条长依据：为什么想到这样分类？长方形只有长和宽两种边，任取三条边必然凑成“两长一宽”或“两宽一长”，没有第三种。
2两人取的6条边合起来正好是3长+3宽依据：为什么把两个和加起来？小刚取一次、小亚取一次，恰好把两种情况各取一遍，合起来长和宽各出现3次。
33长+3宽=78+66=144依据：把两人报的和相加，就是3条长加3条宽的总长。
4长+宽=144÷3=48，周长=48×2=96依据：为什么最后乘2？周长=2×(长+宽)，先除以3凑出一组长宽和，再乘2还原周长。
答：周长是96厘米
典型错法：硬求长和宽；忘记最后乘2。
典例 A2
用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其他地方铺白色的（图13-1）。如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
训练点：平移旋转把对角线黑砖移到边上，白色拼成正方形。
提示：
1. 对角线黑砖数是奇数，说明中心那块被两条对角线共用，大正方形边长是几块砖？
2. 把黑砖旋转移到两条边上，剩下白色正好拼成一个正方形，它的边长比大正方形少几？
1两条对角线黑砖共101块（中心那块共用一次）依据：为什么先看奇数？黑砖数是101奇数，说明两条对角线在正中心重合共用一块，否则应是偶数。
2大正方形每边砖数=(101+1)÷2=51依据：为什么+1再÷2？两条对角线上的砖数=边长砖数，但中心那块被两条对角线都数了一次，所以(101+1)÷2才是每边砖数。
3黑砖平移到两边后，白色拼成正方形边长=51−1=50依据：为什么想到平移？把对角线上的黑砖旋转平移到两条边上，位置变了数量不变，剩下白色正好拼成一个正方形，边长比大正方形少一行一列。
4白色=50×50=2500块依据：正方形面积=边长×边长。
答：白色瓷砖用了2500块
典型错法：黑砖数不+1就除以2；白色边长算成51。
典例 A3
有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合（图13-3）。已知露在外面部分中，红色面积是20，黄色面积是12，绿色面积是8，那么正方形盒的底面积是多少？
训练点：移动黄色纸片使黄+绿和不变，再用对角长方形面积乘积相等。
提示：
1. 把黄色纸片向左移，黄少的面积=绿多的面积，黄+绿=20不变。
2. 调整后黄、绿各露10，中间空出一块小长方形，它的面积和红、黄有什么关系？
1黄纸左移，黄减少=绿增加，黄+绿=12+8=20依据：为什么想到移动黄纸？黄、绿露出面积一增一减、总量不变，移动到对称位置后黄、绿各露一半，图形就规整了。
2调整后黄露10、绿露10依据：两色和20，对称后各半。
3长方形对角面积乘积相等：黄×绿=红×空白依据：为什么用对角乘积？调整后盒底被分成红、黄、绿、空白四块长方形，2×2长方形网格对角两块面积乘积相等。
4空白=10×10÷20=5依据：代入对角乘积式解空白。
5盒底面积=20+10+10+5=45依据：四块相加。
答：正方形盒的底面积是45
典型错法：想不到移动黄纸；对角乘积关系不会用。
典例 B1
如图13-15，过平行四边形ABCD内一点P作边的平行线EF、GH。若△PBD的面积为8平方分米，则平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？
训练点：差不变+等底等高，把小平行四边形差换成两个大平行四边形差。
提示：
1. 要求PHCF与PGAE的差，相当于求哪两个大平行四边形的差？
2. 联结CP、AP，△BCP与△ABP的差和△BDP有什么关系？
1差不变：PHCF−PGAE=BCFE−ABHG依据：为什么想到差不变？两块小平行四边形都减去中间公共部分，差不变；要求PHCF与PGAE的差，换成两个大半平行四边形BCFE与ABHG的差更整。
2联结CP、AP依据：为什么连这两条线？要把平行四边形的差和三角形△PBD挂上钩，就得连出△BCP和△ABP，它们各是所在平行四边形的一半。
3S△BCP−S△ABP=S△BDP=8依据：为什么两个三角形相减等于△BDP？△BCP与△ABP都加△ADP后等于半个大平行四边形，抵消后差就是△BDP。
4S△BCP=½S▱BCFE，S△ABP=½S▱ABHG依据：三角形与所在平行四边形同底等高，面积是一半。
5BCFE−ABHG=2×8=16依据：两边都×2还原平行四边形差。
答：大16平方分米
典型错法：想不到差不变转化；漏乘2。
典例 B2
如图13-17，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于点E，交DA延长线于点F。若S△ADE=1，求△BEF的面积。
训练点：两次等积代换，把△BEF换成△ADE。
提示：
1. 联结AC。AB∥CD，△ADE和△ACE面积有什么关系？
2. AD∥BC，△ACF和△ABF面积呢？再都减去△AEF。
1联结AC依据：为什么连AC？要把已知的△ADE和要求的△BEF挂上钩，连一条对角线AC造出中间三角形做桥梁。
2AB∥CD，S△ADE=S△ACE依据：为什么这两个三角形等积？它们共用底边AE，顶点D和C都在与AE平行的CD上，同底等高面积相等。
3AD∥BC，S△ACF=S△ABF依据：同理，△ACF与△ABF共用底边AF，顶点C、B在平行线BC上，等积。
4两边都减S△AEF，得S△ACE=S△BEF依据：为什么同减△AEF？两个等积三角形同时去掉重叠的△AEF，剩下△ACE和△BEF仍相等——这就是要的代换。
答：△BEF面积是1
典型错法：不连AC硬算；代换链条断。
典例 B3
如图13-18，△ABC的面积是30平方厘米，AE=ED，BD=2DC，求阴影部分的面积和是多少平方厘米。
训练点：联结DF，等积代换后用和倍问题按份数分。
提示：
1. 联结DF。AE=ED，△ABE和△BDE、△AEF和△DEF有什么关系？
2. 两块阴影合成△BDF后，BD=2DC，它占几份？共几份？
1联结DF，AE=ED→S△ABE=S△BDE，S△AEF=S△DEF依据：为什么连DF？E是AD中点，连DF后，以E为公共顶点的两对三角形等底同高，两块阴影就能各换一块。
2阴影和=S△BDE+S△AEF=S△ABF=S△BDF依据：为什么能合并？△BDE换到△ABE位置、△AEF换到△DEF位置，两块阴影正好拼成整块△BDF。
3BD=2DC，S△BDF=2份，S△CDF=1份依据：为什么按底比分？△BDF与△CDF同高，底BD:DC=2:1，面积比就是2:1。
4共3份，△ABC共1+2+2=5份依据：△ABF=△BDF=2份，△CDF=1份，加起来5份。
5一份=30÷5=6，阴影=6×2=12依据：和倍问题：总面积÷总份数=一份。
答：阴影部分面积和是12平方厘米
典型错法：总份数算错；不联结DF就无法代换。
典例 C1
如图13-33，已知正方形的边长为10，EC=3，BF=2，求四边形ABCD的面积。
训练点：作横竖垂线，四边形分成4对三角形，周围与中间长方形分开算。
提示：
1. 过B作AE垂线、过C作BM垂线，四边形ABCD被分成4个直角三角形和中间小长方形。
2. 4个直角三角形分别等于周围4个三角形，中间小长方形长3宽2，怎么用总面积减它再除以2？
1作BM⊥AE、CN⊥BM，四边形分成4对直角三角形+中间小长方形依据：为什么作横竖垂线？四边形ABCD的四个顶点都在正方形边上，过各顶点作横竖垂线，正好把内四边形和外正方形之间切成对称的直角三角形对。
24个内三角形分别=周围4个三角形依据：对称分割后内外三角形全等。
3中间小长方形=3×2=6依据：EC=3，BF=2就是中间小长方形的长和宽。
4内四边形=(10×10−6)÷2+6=47+6=53依据：为什么先减再除2？正方形去掉中间小长方形后，周围部分内外三角对半分；中间小长方形整块算进内四边形，所以先平分再加回6。
答：四边形ABCD面积是53
典型错法：忘记加回中间小长方形；除以2后不加。
典例 C2
如图13-35，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
训练点：过顶点作对角线平行线，把四边形切角成三角形。
提示：
1. 要保留△BCD，只把△ABD搬到旁边。过A作BD的平行线，与CB延长线交于A'。
2. △A'BD与△ABD同底等高，面积相等，△A'CD就是所求。
1联结BD依据：为什么先连BD？要保留△BCD只改造△ABD，BD就是公共底边。
2过A作BD平行线，交CB延长线于A'依据：为什么过A作平行线？把△ABD搬到旁边且面积不变，顶点A沿平行线挪到A'，底边BD不动。
3△A'BD与△ABD同底等高，等积依据：夹在平行线间同底三角形面积不变。
4△A'CD面积=原四边形ABCD依据：△ABD换成等积的△A'BD，三个角变三个角。
答：△A'CD与原四边形ABCD等积
典型错法：平行线作错方向；不保留△BCD。
典例 C3
如图13-37，已知长方形ABCD的面积是180平方厘米，AE=EB，BF=FG=GC，DH=2HE，求△FGH的面积是多少平方厘米。
训练点：联结多条辅助线，按中点倍分关系逐块求面积。
提示：
1. 先连BD、CE。AE=EB，△ADE是长方形的几分之几？
2. DH=2HE，把△CDE按2:1分；再用长方形减去几块已知三角形。
1S△ADE=180÷2÷2=45依据：为什么先求△ADE？AE=EB，△ADE是△ABD的一半，而△ABD又是长方形一半，两步÷2就定位一块。
2DH=2HE，S△BEH=S△AEH=45÷(1+2)=15依据：为什么按2:1分？△ADH与△AEH同高，底DH:HE=2:1，△ADE共3份，一份15。
3S△CDH=180÷2÷(1+2)×2=60依据：△CDE是长方形一半90，DH=2HE按2:1分，CDH占2份=60。
4S△FGH=(180−45−15−60)÷3=20依据：为什么最后除以3？F、G三等分BC，△BCH剩下部分被F、G分成3份相等，FGH占一份。
答：△FGH的面积是20平方厘米
典型错法：每块占几分之几判断错；份数分配错。
三、水平测试
A层
水平测试 A 填空第1题，配图13-5
四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个面积是100平方厘米的大正方形。已知小正方形面积是36平方厘米，那么长方形的长是____厘米，宽是____厘米。
答案：长8厘米，宽2厘米
解析：大正方形边长10，小正方形边长6；(10−6)÷2=2=宽，10−2=8=长。
水平测试 A 填空第2题
一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米，那么原正方形的面积是____平方厘米。
答案：49
解析：120−6×6=84，84÷2=42，42÷6=7=原边长，7×7=49。
水平测试 A 填空第3题
用15米长的木栏沿着围墙围一个长方形或正方形苗圃，其中一面利用围墙。每边长度都是整数，那么有____种围法，当长是____米、宽是____米时围成面积最大。
答案：7种；长7米宽4米
解析：一面利用围墙，15=长+2×宽（长平行于围墙），宽取1,2,3,4,5,6,7共7种；宽=4时长=7，面积7×4=28最大。
水平测试 A 填空第4题
一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，那么面积比原来减少____平方分米。
答案：50
解析：15×12−13×10=180−130=50。
水平测试 A 填空第5题，配图13-6
一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米。把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分面积是____平方厘米。
答案：6
解析：阴影宽=7−5=2，长=5−2=3，面积=2×3=6。
水平测试 A 填空第6题，配图13-7
街心花园有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道（图13-7）。如果甬道面积是12平方米，那么中间花坛面积是____平方米。
答案：4
解析：甬道分4个长方形，每个3平方米；长=3÷1=3，花坛边长=3−1=2，面积4。
水平测试 A 填空第7题，配图13-8
已知长方形周长是66分米，长是20分米，则这个长方形面积是____平方分米。
答案：260
解析：宽=66÷2−20=13，面积=20×13=260。
水平测试 A 填空第8题，配图13-9
一个长方形与一个正方形部分重合，长方形8×6、正方形5×5，没有重合的阴影部分面积相差____平方厘米。
答案：23
解析：差不变：8×6−5×5=48−25=23。
水平测试 A 填空第9题，配图13-10
已知大正方形面积是22平方厘米（外切圆内接小正方形），则小正方形面积是____平方厘米。
答案：11
解析：小正方形旋转后正好是大正方形一半，22÷2=11。
水平测试 A 填空第10题，配图13-11
7个完全相同的长方形拼成图中阴影部分，总长24厘米，图中空白部分面积是____平方厘米。
答案：32
解析：长是宽的4倍，6倍宽=24，宽=4；空白=4×4×2=32。
水平测试 A 解答第11题，配图13-12
22张同样大小长方形小纸片摆成大长方形，小纸片宽6厘米，求阴影部分总面积。
答案：27平方厘米
解析：5长=3长+3宽→2长=3宽，长=6×3÷2=9；阴影边长=9−6=3，3×3×3=27。
水平测试 A 解答第12题，配图13-13
甲、乙、丙三个正方形边长分别为6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲中心，丙的一个顶点在乙中心。这三个正方形覆盖面积是多少？
答案：175平方厘米
解析：覆盖=10²+8²+6²−6²÷4−8²÷4=100+64+36−9−16=175。
水平测试 A 解答第13题，配图13-14
图13-14是楼梯截面图，每级台阶宽和高都是20厘米。这楼梯截面积是多少平方厘米？
答案：14400平方厘米
解析：大直角边=20×8=160，大三角=160×160÷2=12800，8小三角=20×20÷2×8=1600，共14400。
B层
水平测试 A 填空第1题，配图13-5
四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个面积是100平方厘米的大正方形。已知小正方形面积是36平方厘米，那么长方形的长是____厘米，宽是____厘米。
答案：长8厘米，宽2厘米
解析：大正方形边长10，小正方形边长6；(10−6)÷2=2=宽，10−2=8=长。
水平测试 A 填空第2题
一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米，那么原正方形的面积是____平方厘米。
答案：49
解析：120−6×6=84，84÷2=42，42÷6=7=原边长，7×7=49。
水平测试 A 填空第3题
用15米长的木栏沿着围墙围一个长方形或正方形苗圃，其中一面利用围墙。每边长度都是整数，那么有____种围法，当长是____米、宽是____米时围成面积最大。
答案：7种；长7米宽4米
解析：一面利用围墙，15=长+2×宽（长平行于围墙），宽取1,2,3,4,5,6,7共7种；宽=4时长=7，面积7×4=28最大。
水平测试 A 填空第4题
一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，那么面积比原来减少____平方分米。
答案：50
解析：15×12−13×10=180−130=50。
水平测试 A 填空第5题，配图13-6
一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米。把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分面积是____平方厘米。
答案：6
解析：阴影宽=7−5=2，长=5−2=3，面积=2×3=6。
水平测试 A 填空第6题，配图13-7
街心花园有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道（图13-7）。如果甬道面积是12平方米，那么中间花坛面积是____平方米。
答案：4
解析：甬道分4个长方形，每个3平方米；长=3÷1=3，花坛边长=3−1=2，面积4。
水平测试 A 填空第7题，配图13-8
已知长方形周长是66分米，长是20分米，则这个长方形面积是____平方分米。
答案：260
解析：宽=66÷2−20=13，面积=20×13=260。
水平测试 A 填空第8题，配图13-9
一个长方形与一个正方形部分重合，长方形8×6、正方形5×5，没有重合的阴影部分面积相差____平方厘米。
答案：23
解析：差不变：8×6−5×5=48−25=23。
水平测试 A 填空第9题，配图13-10
已知大正方形面积是22平方厘米（外切圆内接小正方形），则小正方形面积是____平方厘米。
答案：11
解析：小正方形旋转后正好是大正方形一半，22÷2=11。
水平测试 A 填空第10题，配图13-11
7个完全相同的长方形拼成图中阴影部分，总长24厘米，图中空白部分面积是____平方厘米。
答案：32
解析：长是宽的4倍，6倍宽=24，宽=4；空白=4×4×2=32。
水平测试 A 解答第11题，配图13-12
22张同样大小长方形小纸片摆成大长方形，小纸片宽6厘米，求阴影部分总面积。
答案：27平方厘米
解析：5长=3长+3宽→2长=3宽，长=6×3÷2=9；阴影边长=9−6=3，3×3×3=27。
水平测试 A 解答第12题，配图13-13
甲、乙、丙三个正方形边长分别为6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲中心，丙的一个顶点在乙中心。这三个正方形覆盖面积是多少？
答案：175平方厘米
解析：覆盖=10²+8²+6²−6²÷4−8²÷4=100+64+36−9−16=175。
水平测试 A 解答第13题，配图13-14
图13-14是楼梯截面图，每级台阶宽和高都是20厘米。这楼梯截面积是多少平方厘米？
答案：14400平方厘米
解析：大直角边=20×8=160，大三角=160×160÷2=12800，8小三角=20×20÷2×8=1600，共14400。
水平测试 B 填空第1题，配图13-20
长方形ABCD中DE=CF，AF与BE交于O，图中面积相等的三角形共有____对。
答案：5
解析：△ADE=△BCF，△ADF=△BCE，△AEF=△BFE，△AEB=△BFA，△AOE=△BOF，共5对。
水平测试 B 填空第2题，配图13-21
D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，S△ABC=27平方厘米，那么S△DEF=____平方厘米。
答案：8
解析：27÷3×2=18，再÷3×2=12，再÷3×2=8。
水平测试 B 填空第3题，配图13-22
甲、乙两正方形边长分别为10厘米和12厘米，求阴影部分面积。
答案：50平方厘米
解析：244−(50+132+12)=50。
水平测试 B 填空第4题，配图13-23
正方形ABCD边长6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF面积彼此相等，△AEF面积是____平方厘米。
答案：10
解析：三块各=36÷3=12；BE=DF=4，CE=CF=2，△ECF=2，△AEF=12−2=10。
水平测试 B 填空第5题，配图13-24
A为△CDE的DE边上中点，CD=3BC，△ABC面积为5平方厘米，△ABD=____，△ACE=____。
答案：△ABD=10，△ACE=15
解析：取BD中点F，△ADF=△ABF=△ABC=5；△ACD=15，△ABD=10，△ACE=15。
水平测试 B 填空第6题，配图13-25
梯形ABCD面积45平方米，高6米，△AED面积5平方米，BC=10米，阴影部分面积是____平方米。
答案：20
解析：AD=45×2÷6−10=5；△ADE高=2，△BEC高=6−2=4，S=10×4÷2=20。
水平测试 B 填空第7题，配图13-26
梯形上底24厘米，高20厘米，求阴影部分面积。
答案：240平方厘米
解析：[a×20+(24−a)×20]÷2=240。
水平测试 B 填空第8题，配图13-27
四边形ABCD与AEFG均为正方形，△ABH面积6平方厘米，阴影部分面积为____平方厘米。
答案：6
解析：连AF，△ABF=△ADF，阴影=△ABH=6。
水平测试 B 填空第9题，配图13-28
长方形内画直线，边上三块面积13、35、49，阴影部分面积是____。
答案：97
解析：两个大三角形各是长方形一半，阴影=13+35+49=97。
水平测试 B 填空第10题，配图13-29
E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，EG与FH交于O，四个小四边形面积S1~S4，则S1+S3____S2+S4。
答案：=
解析：连AO、BO、CO、DO，每条边被分两半，S1+S3=S2+S4。
水平测试 B 解答第11题，配图13-30
△ABC和△CDE是等腰直角三角形，四边形BFGH是正方形，△ABC面积16平方厘米，求△CDE面积。
答案：18平方厘米
解析：以△ADF为标准，△ABC含8个小三角，△CDE含9个，16÷8×9=18。
水平测试 B 解答第12题，配图13-31
直角三角形ABC中AB=6厘米，BC=8厘米，AC=10厘米，把直角边AB沿AD对折到AC上使B与E重合，求△CDE面积。
答案：6平方厘米
解析：EC=4，S△CDE=6×8÷2÷(1+1.5+1.5)=6。
水平测试 B 解答第13题，配图13-32
E、F分别在梯形下底BC和腰CD上，DF=FC，甲、乙、丙三个三角形面积相等，梯形ABCD面积32平方厘米，求阴影部分面积。
答案：12.8平方厘米
解析：AE∥CD，阴影=平行四边形一半=乙×2；梯形5份，阴影=32÷5×2=12.8。
C层
水平测试 A 填空第1题，配图13-5
四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个面积是100平方厘米的大正方形。已知小正方形面积是36平方厘米，那么长方形的长是____厘米，宽是____厘米。
答案：长8厘米，宽2厘米
解析：大正方形边长10，小正方形边长6；(10−6)÷2=2=宽，10−2=8=长。
水平测试 A 填空第2题
一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米，那么原正方形的面积是____平方厘米。
答案：49
解析：120−6×6=84，84÷2=42，42÷6=7=原边长，7×7=49。
水平测试 A 填空第3题
用15米长的木栏沿着围墙围一个长方形或正方形苗圃，其中一面利用围墙。每边长度都是整数，那么有____种围法，当长是____米、宽是____米时围成面积最大。
答案：7种；长7米宽4米
解析：一面利用围墙，15=长+2×宽（长平行于围墙），宽取1,2,3,4,5,6,7共7种；宽=4时长=7，面积7×4=28最大。
水平测试 A 填空第4题
一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，那么面积比原来减少____平方分米。
答案：50
解析：15×12−13×10=180−130=50。
水平测试 A 填空第5题，配图13-6
一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米。把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分面积是____平方厘米。
答案：6
解析：阴影宽=7−5=2，长=5−2=3，面积=2×3=6。
水平测试 A 填空第6题，配图13-7
街心花园有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道（图13-7）。如果甬道面积是12平方米，那么中间花坛面积是____平方米。
答案：4
解析：甬道分4个长方形，每个3平方米；长=3÷1=3，花坛边长=3−1=2，面积4。
水平测试 A 填空第7题，配图13-8
已知长方形周长是66分米，长是20分米，则这个长方形面积是____平方分米。
答案：260
解析：宽=66÷2−20=13，面积=20×13=260。
水平测试 A 填空第8题，配图13-9
一个长方形与一个正方形部分重合，长方形8×6、正方形5×5，没有重合的阴影部分面积相差____平方厘米。
答案：23
解析：差不变：8×6−5×5=48−25=23。
水平测试 A 填空第9题，配图13-10
已知大正方形面积是22平方厘米（外切圆内接小正方形），则小正方形面积是____平方厘米。
答案：11
解析：小正方形旋转后正好是大正方形一半，22÷2=11。
水平测试 A 填空第10题，配图13-11
7个完全相同的长方形拼成图中阴影部分，总长24厘米，图中空白部分面积是____平方厘米。
答案：32
解析：长是宽的4倍，6倍宽=24，宽=4；空白=4×4×2=32。
水平测试 A 解答第11题，配图13-12
22张同样大小长方形小纸片摆成大长方形，小纸片宽6厘米，求阴影部分总面积。
答案：27平方厘米
解析：5长=3长+3宽→2长=3宽，长=6×3÷2=9；阴影边长=9−6=3，3×3×3=27。
水平测试 A 解答第12题，配图13-13
甲、乙、丙三个正方形边长分别为6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲中心，丙的一个顶点在乙中心。这三个正方形覆盖面积是多少？
答案：175平方厘米
解析：覆盖=10²+8²+6²−6²÷4−8²÷4=100+64+36−9−16=175。
水平测试 A 解答第13题，配图13-14
图13-14是楼梯截面图，每级台阶宽和高都是20厘米。这楼梯截面积是多少平方厘米？
答案：14400平方厘米
解析：大直角边=20×8=160，大三角=160×160÷2=12800，8小三角=20×20÷2×8=1600，共14400。
水平测试 C 填空第1题，配图13-39
大正方形边长10厘米，连各边中点得小正方形，小正方形每边三等分再与中心、顶点相连，阴影部分面积总和是____平方厘米。
答案：50
解析：阴影拼回中间正方形，等于大正方形一半，10×10÷2=50。
水平测试 C 填空第2题，配图13-40
四边形ABCD中∠ADC=∠BED=90°，AD=CD，DE=10厘米，BC=14厘米，四边形ABCD面积是____平方厘米。
答案：100
解析：分割平移拼成边长10的正方形，10×10=100。
水平测试 C 填空第3题，配图13-41
△AOB面积15平方厘米，OB=3OD，梯形ABCD面积是____平方厘米。
答案：80
解析：S△AOD=5，S△OCD=15，S△BOC=45，共15+5+15+45=80。
水平测试 C 填空第4题，配图13-42
O是长方形ABCD内一点，△OBC面积5平方厘米，△OAB面积2平方厘米，△OBD面积是____平方厘米。
答案：3
解析：S△OBD=S△OBC−S△OAB=5−2=3。
水平测试 C 填空第5题，配图13-43
三个正方形顶点D、G、K在同一直线上，正方形GFEB边长10厘米，阴影部分面积是____平方厘米。
答案：100
解析：连对角线平行转化，阴影=正方形GFEB=10×10=100。
水平测试 C 填空第6题，配图13-44
长方形ABCD面积36平方单位，E、F、G分别是所在边中点，△EFG面积是____平方单位。
水平测试 C 填空第7题，配图13-45
长方形ABCD中Y是BD中点，Z是DY中点，AB=24厘米，BC=8厘米，△ZCY面积是____平方厘米。
答案：24
解析：△ZCY=¼×½长方形=¼×96=24。
水平测试 C 填空第8题，配图13-46
正方形ABCD面积36，等边△BPC面积15，阴影△BPD面积是____。
答案：6
解析：连AC、PO，△BPD=15−36÷4=6。
水平测试 C 填空第9题，配图13-47
完美长方形由9个小正方形组成，正方形A、B边长分别是7和4厘米，求完美长方形面积。
答案：1056平方厘米
解析：设最小正方形x，列方程解得x=1；长33宽32，33×32=1056。
水平测试 C 填空第10题，配图13-48
大小两个正方形组成，小正方形边长4厘米，△ABC面积是____平方厘米。
答案：8
解析：连AD，△ABC=△BCD=4×4÷2=8。
水平测试 C 解答第11题，配图13-49
长方形ABCD内阴影面积和为70，AB=8，AD=15，求四边形EFGO面积。
答案：10
解析：EFGO=△AFC+△BFD−空白=60−50=10。
水平测试 C 解答第12题，配图13-50
两块等腰直角三角板直角边分别10厘米和6厘米，重合如图，求重合（阴影）部分面积。
答案：17平方厘米
解析：S△ABG=25，S△BEF=8，阴影=25−8=17。
水平测试 C 解答第13题，配图13-51
△ABC面积84平方厘米，BD是DC的3倍，AF=FC，求阴影部分面积和。
答案：33平方厘米
解析：S△AEF=6，S△BDE=27，阴影=6+27=33。
四、方法小结
巧求面积四把刀：①大减小/割补——不规则图形看成大长方形减小块；②等积变形——等底等高三角形可互换，夹在平行线间同底三角形随便挪；③差不变——两块阴影差=两个完整图形面积差，公共重叠部分抵消；④等高倍分——高相同面积比=底之比，用和倍问题按份数求。辅助线套路：联结对角线、过顶点作平行线、取中点连线。
五、作业建议
基础必做：- 教材P149–150 水平测试A 第1、2、4、7题（基本面积与周长）
- 教材P150 水平测试A 第5、6、8题（折叠、方环、差不变）
- 教材P151 水平测试A 第9、10题（圆内接方、拼图）
巩固选做：- 教材P151–152 水平测试A 第11、12、13题（铺砖、覆盖、楼梯）
- 教材P154–155 水平测试B 第1–7题（等积三角形、倍分）
- 教材P155 水平测试B 第8、9、10题（正方形嵌套、中点）
提高挑战：- 教材P156 水平测试B 第11–13题（等腰直角三角板、对折、梯形）
- 教材P159–160 水平测试C 第1–7题（星形、梯形对角线、长方形内点）
- 教材P160–161 水平测试C 第8–13题（完美长方形、三角板重合）
六、课堂错因定位
症状：硬算所有小块，不会用等积变形
根因：方法：没先找平行线和同底三角形。
补救：见到平行线就问：哪两个三角形同底等高？能不能搬一块过去？
症状：重叠部分非要先算出来
根因：原理：不理解差不变。
补救：强调两块阴影差=两个完整图形差，公共部分直接抵消。
症状：倍分条件份数算错
根因：技能：BD=2DC时总份数当成2。
补救：画图标份数：BD两段、DC一段，共3份，先求一份。
症状：辅助线不会作
根因：经验：不熟悉连对角线、作平行线套路。
补救：归纳常用辅助线：联结对角线、过顶点作平行线、取中点连线。