【教师版】第15讲 · 图形的拼切
四年级奥数 · 教材第181–193页（第15讲全讲）
一、知识要点
面积守恒：先算面积定边长
本质：切拼前后总面积不变。要拼正方形，先算原图形面积，再找它等于哪个数自乘，定正方形边长。
适用：任何“把长方形切成正方形”“地毯换房间”题，第一步都是算两个图形面积是否相等，再由面积定目标边长。
- 第一步：算原图形面积。
- 第二步：找面积等于哪个数自乘，定正方形边长。
- 第三步：按边长找分割线。
典型错误：不算面积就切；目标边长找错。
对称分割：利用中点和等分
本质：把正方形边二等分、四等分，或取各边中点连线，可分出全等小块。一块绕中心旋转90°与其他块重合。
适用：“分成4个全等图形”“分成8块或9块”题，先看能否取边中点、四等分，或旋转对称分割。
- 第一步：看要分几块，先把边几等分。
- 第二步：连中点或等分点。
- 第三步：检查每块是否全等。
典型错误：只会十字切，想不到阶梯形旋转分割。
标记驱动：从星/字母反推块形
本质：每块都要带一个标记时，标记位置固定了每块的形状。先让每块含一个标记，再补成全等。
适用：“每块一个☆”“每块含A、B、C、D”这类题，先按标记把图形分成若干份，每份含一标记，再调整成全等。
- 第一步：数有几个标记，就分几块。
- 第二步：每块先包进一个标记。
- 第三步：调整边界使几块全等。
典型错误：先乱切再硬塞标记；不保证全等。
拼补：切两块对角线拼成大正方形
本质：几个小正方形拼成大正方形，若面积是质数（如5），大正方形边长是小长方形对角线，切两刀沿对角线分成三块再旋转拼。
适用：“五个小正方形切拼成大正方形”“十字形切两刀拼正方形”，面积不是完全平方数时，边长=两个小正方形拼成长方形的对角线。
- 第一步：算总面积，判断是不是完全平方数。
- 第二步：不是平方数，找两个小正方形拼长方形的对角线。
- 第三步：沿对角线切两刀，旋转拼成大正方形。
典型错误：面积是质数时硬凑整数边长；不沿对角线切。
二、典例精讲
典例 A1
图15-1是两个大小形状完全相等的正方形拼成的一个长方形，现在将这个长方形切两刀，然后再拼成一个正方形。
训练点：面积守恒定边长，保留一块另一半拼接。
提示：
1. 两个正方形拼成的长方形面积是多少？拼成的正方形边长是多少？
2. 切两刀分三块，有一块保持原位，它多大？
1设小正方形边长1，长方形面积=2依据：为什么先设边长1？两个全等正方形拼长方形，设小边为1好算面积，切拼前后面积不变。
2拼成正方形面积2，边长=√2依据：为什么边长是√2？正方形面积=边长²，面积2只能边长√2，不是整数。
3切两刀沿两个小正方形对角线，分三块依据：为什么沿小正方形对角线？小正方形边长1，它的对角线长=√(1²+1²)=√2，正好等于目标正方形边长。
4一块不动，另两块旋转拼到两侧依据：平移旋转，拼成边长√2的正方形。
答：沿两个小正方形对角线切两刀，旋转拼成正方形
典型错法：不算面积；切线不沿对角线。
典例 A2
把下面两个正方形分割成7个或8个小正方形。
训练点：等分嵌套：先4等分再把其中一个再4等分得7个；16等分再合并9个得8个。
提示：
1. 分7个：先把大正方形4等分，再把其中一个小正方形4等分，共几个？
2. 分8个：先16等分，再把9个小的拼成一个大的，剩几个？
17个：先4等分，再把其中1个4等分依据：为什么这样得7个？先把大正方形4等分得4块；再把其中1块四等分，这块1变4，净增3块，4−1+4=7。
28个：先16等分，再把9个合成1个依据：为什么这样得8个？16格中把2×2共9格合成1个大正方形，这块9变1，净减8块，16−9+1=8。
答：7个用嵌套四等分；8个用16等分合并9格
典型错法：以为小正方形必须一样大；合并数算错。
典例 B1
4×4正方形16个小方格，写有☆、△、○、◇各4个。要分成形状大小一样的四块，每块都含☆△○◇各一个，怎么分？
训练点：标记驱动+旋转分割，直线分割不可能时走阶梯形。
提示：
1. 每块4格含四种标记各一个，直线分（整行整列）行不行？
2. 从左上角☆开始，它能连右边△还是下面○？试出来后其他三块旋转复制。
1直线分割（整行整列）凑不齐四种标记依据：为什么先试直线分？整行整列最整齐，但每行每列里标记重复，凑不齐☆△○◇各一个，证明直线分不行。
2从左上角☆开始，连右边△再往下连○最后连◇依据：为什么从☆开始试？每块4格含四种标记各一个，从一个☆出发试着把相邻格子连起来，凑出含四标记的连通块。
3第一块形状确定后，旋转90°复制出其他三块依据：为什么能旋转复制？4×4图整体旋转对称，第一块定了形状，绕中心转90°正好落到其他三个区域，四块全等。
答：阶梯形旋转分割，每块含四种标记各一个
典型错法：只会直线分；不从标记反推块形。
典例 B2
一块长48分米、宽30分米的地毯，要铺到长40分米、宽36分米的房间，正好铺满，能做到吗？写出方法。
训练点：面积相等后按公约数等分成小矩形再错位拼。
提示：
1. 地毯面积和房间面积各是多少？相等吗？
2. 48与36、30与40的最大公约数是多少？沿它等分后错位拼。
1地毯面积=48×30=1440，房间=40×36=1440依据：为什么先算面积？能不能铺的前提是面积相等，不等就没戏；一算两边都是1440，面积守恒允许拼。
2等分单位=12分米，地毯长分4份房间长分3份依据：为什么取12？48÷12=4，40÷... 找48和36、30和40的公约数，12能同时把长和宽切成整数份。
3地毯宽分3份房间宽分4份依据：错位拼：地毯长4份宽3份，房间长3份宽4份，份数刚好互换。
4切成12个12×10小块错位拼成40×36依据：12个小矩形错位搭接，长4×10=40、宽3×12=36。
答：能，沿12分米等分切成小块错位拼
典型错法：只看长宽不等就说不能；不先算面积。
典例 C1
A、B、C、D、E、F六个图形分别由3、4、5、6、7、8个单位正方形组成，其中五个可拼成一个大正方形，多余的是哪个？
训练点：先算总面积找平方数，多余的就是差。
提示：
1. 六个图形面积总和是多少？拼成大正方形面积必须是平方数且小于总和。
2. 小于33的最大平方数是几？多余图形面积=总和−它。
1六图形面积和=3+4+5+6+7+8=33依据：为什么先算总和？五个拼大正方形，总面积必须是平方数，先把六个全加起来定范围。
2大正方形面积是平方数且<33，最大25依据：为什么是25？平方数有1,4,9,16,25,36…不超过33的最大平方数是25=5²。
3多余图形面积=33−25=8依据：五个用25，剩下的就是多余那块。
4面积8的是图形F依据：对应六个图形里面积8的那个。
答：多余的是图形F（面积8）
典型错法：不先算总面积找平方数；硬拼。
典例 C2
五个同样大小正方形组成的图形，切拼成一个大正方形，要求切块数尽量少。
训练点：面积是5，边长=两小正方形对角线，切两刀分三块。
提示：
1. 五个小正方形面积和=5，大正方形边长是多少？
2. 两个小正方形拼成长方形，它的对角线长是多少？沿它切几刀？
1总面积=5，大正方形边长=√5依据：为什么边长是√5？五个小正方形总面积5，正方形边长²=5，边长√5，不是整数。
2两个小正方形拼成长方形对角线=√5依据：为什么沿对角线？两个1×1正方形拼1×2长方形，对角线=√(1²+2²)=√5，正好是目标边长。
3沿两条这样的对角线切两刀，分三块依据：为什么切两刀三块？切块数尽量少，沿两条对角线切正好分三块，每块边长凑出√5。
4旋转平移拼成大正方形依据：把三块旋转到合适位置拼合。
答：沿两条对角线切两刀分三块，旋转拼成大正方形
典型错法：切太多块；不沿对角线。
三、水平测试
A层
水平测试 A 操作第1题，配图15-6
在一个正方形内画出一个面积是它一半的小正方形。
答案：取四条边中点连线成正方形
解析：连各边中点，小正方形面积=大正方形一半。
水平测试 A 操作第2题，配图15-7
把一个正方形分割成4个形状相同大小相等的图形，画出六种不同分法。
答案：答案不唯一（十字、米字、三竖、阶梯等）
解析：过中心的任意两条垂直线都可分四块全等。
水平测试 A 操作第3题
用24个同样大小正方形拼成一个长方形，有几种拼法？
答案：4种
解析：24=1×24=2×12=3×8=4×6。
水平测试 A 操作第4题，配图15-8
把长9宽4的长方形分成两块，拼成一个正方形。
答案：沿阶梯线切拼成边长6的正方形
解析：面积36=6²，按阶梯形切两块错位拼。
水平测试 A 填空第5题，配图15-9
当中有小方空格的正方形要变成一个长方形，至少应分成几块？
水平测试 A 操作第6题，配图15-10
把A、B、C、D四个图形分别分成四个大小相等形状相同的图形。
答案：每个图形先数总格数，用总格数÷4定每块格数，再沿旋转对称线把它分成4块全等图形
解析：每个图形总面积÷4定每块格子数，再旋转对称分。
水平测试 A 操作第7题，配图15-11
把一个任意三角形切两刀分成三块，拼成一个长方形。
答案：取两边中点切，垂足落地拼成长方形
解析：A、B为两边中点，C、D为垂足，切两刀拼长方形。
水平测试 A 操作第8题，配图15-12
把两个等边三角形分别分割成8块或9块形状大小相同的图形。
答案：8块用图A-15-8①，9块用②
解析：等边三角形中位线分割，8块或9个小等边三角形。
水平测试 A 操作第9题，配图15-13
把边长5厘米正方形切成四块，分别拼成边长3厘米和4厘米两个正方形。
答案：切成I(4×4)、II、III、IV四块
解析：5²=3²+4²，切成四块分别拼成3×3和4×4。
水平测试 A 操作第10题，配图15-14
把2×4长方形剪两刀拼成一个正方形，怎么剪？
答案：沿对角线方向剪两刀拼成正方形
解析：面积8，斜切两刀旋转拼成菱形正方形。
水平测试 A 解答第11题，配图15-15
一块蛋糕上有七颗樱桃，只许切三刀，切成七块且每块一颗樱桃，怎么切？
答案：三刀两两相交不过同一点
解析：三刀最多分7块，让每块含一颗樱桃。
水平测试 A 解答第12题，配图15-16
把两个正方形分别分割成6个或11个小正方形。
答案：6个如图A-15-12①，11个如②
解析：嵌套等分法：6个和11个小正方形。
B层
水平测试 A 操作第1题，配图15-6
在一个正方形内画出一个面积是它一半的小正方形。
答案：取四条边中点连线成正方形
解析：连各边中点，小正方形面积=大正方形一半。
水平测试 A 操作第2题，配图15-7
把一个正方形分割成4个形状相同大小相等的图形，画出六种不同分法。
答案：答案不唯一（十字、米字、三竖、阶梯等）
解析：过中心的任意两条垂直线都可分四块全等。
水平测试 A 操作第3题
用24个同样大小正方形拼成一个长方形，有几种拼法？
答案：4种
解析：24=1×24=2×12=3×8=4×6。
水平测试 A 操作第4题，配图15-8
把长9宽4的长方形分成两块，拼成一个正方形。
答案：沿阶梯线切拼成边长6的正方形
解析：面积36=6²，按阶梯形切两块错位拼。
水平测试 A 填空第5题，配图15-9
当中有小方空格的正方形要变成一个长方形，至少应分成几块？
水平测试 A 操作第6题，配图15-10
把A、B、C、D四个图形分别分成四个大小相等形状相同的图形。
答案：每个图形先数总格数，用总格数÷4定每块格数，再沿旋转对称线把它分成4块全等图形
解析：每个图形总面积÷4定每块格子数，再旋转对称分。
水平测试 A 操作第7题，配图15-11
把一个任意三角形切两刀分成三块，拼成一个长方形。
答案：取两边中点切，垂足落地拼成长方形
解析：A、B为两边中点，C、D为垂足，切两刀拼长方形。
水平测试 A 操作第8题，配图15-12
把两个等边三角形分别分割成8块或9块形状大小相同的图形。
答案：8块用图A-15-8①，9块用②
解析：等边三角形中位线分割，8块或9个小等边三角形。
水平测试 A 操作第9题，配图15-13
把边长5厘米正方形切成四块，分别拼成边长3厘米和4厘米两个正方形。
答案：切成I(4×4)、II、III、IV四块
解析：5²=3²+4²，切成四块分别拼成3×3和4×4。
水平测试 A 操作第10题，配图15-14
把2×4长方形剪两刀拼成一个正方形，怎么剪？
答案：沿对角线方向剪两刀拼成正方形
解析：面积8，斜切两刀旋转拼成菱形正方形。
水平测试 A 解答第11题，配图15-15
一块蛋糕上有七颗樱桃，只许切三刀，切成七块且每块一颗樱桃，怎么切？
答案：三刀两两相交不过同一点
解析：三刀最多分7块，让每块含一颗樱桃。
水平测试 A 解答第12题，配图15-16
把两个正方形分别分割成6个或11个小正方形。
答案：6个如图A-15-12①，11个如②
解析：嵌套等分法：6个和11个小正方形。
水平测试 B 操作第1题，配图15-20
把三个图形平均分成四块，每块都要有一个☆。
答案：按图A-15-13分割
解析：每块含一个☆，形状全等。
水平测试 B 操作第2题，配图15-21
把三个图形各自分成大小形状相同三块，每块带一个小圆圈。
答案：按图A-15-14分割
解析：每块带一个圆圈，三块全等。
水平测试 B 填空第3题，配图15-22
长方形纸片按图剪成四块可拼成正方形，所拼正方形边长是多少厘米？
答案：12厘米
解析：长方形面积=9×(12+4)=144=12²。
水平测试 B 操作第4题，配图15-23
把数字网格分成形状大小相等六小块，每块数字和相等。
答案：按图A-15-16分割
解析：总和÷6=每块和。
水平测试 B 操作第5题，配图15-24
把缺角图形分成两块拼成一个正方形。
答案：按图A-15-17分割
解析：先算面积定边长，阶梯切两块。
水平测试 B 操作第6题，配图15-25
4个班各16人组成方阵，各穿不同颜色，队形相同各有旗手P，怎么站队？
答案：按图A-15-18四块全等
解析：8×8方阵分四块全等各含一个P。
水平测试 B 操作第7题，配图15-26
把图形分成大小形状相同四块，每块带黑子和白子各一个。
答案：按图A-15-19分割
解析：每块各含一黑一白。
水平测试 B 操作第8题，配图15-27
底角60°等腰梯形，下底是上底2倍，分割成大小形状相同9个图形。
答案：按图A-15-20分割
解析：分成9个小等边三角形。
水平测试 B 填空第9题，配图15-21
用四块直角边3和4、斜边5的直角三角形围成正方形，面积最大是多少？
水平测试 B 填空第10题，配图15-28
2×3相连邮票6张，撕下相连4张，有多少种撕法？
答案：10种
解析：1245,2356,1234,1235,1236,1456,2456,3456,1256,2345。
水平测试 B 解答第11题，配图15-29
五个正方形组成的图形分成大小形状都相同的四块。
答案：每块1.25个正方形
解析：总面积5个正方形÷4=每块1.25个正方形。把五个正方形拼成的图形按中心对称线切分，使每块都由一个完整小正方形加上相邻那个小正方形的四分之一组成，四块形状大小全等。
水平测试 B 解答第12题，配图15-30
正方形剪成8块，拼成一个长方形和一个正方形，怎么拼？
答案：按图A-15-23拼
解析：8块分成两组分别拼长方形和正方形。
C层
水平测试 A 操作第1题，配图15-6
在一个正方形内画出一个面积是它一半的小正方形。
答案：取四条边中点连线成正方形
解析：连各边中点，小正方形面积=大正方形一半。
水平测试 A 操作第2题，配图15-7
把一个正方形分割成4个形状相同大小相等的图形，画出六种不同分法。
答案：答案不唯一（十字、米字、三竖、阶梯等）
解析：过中心的任意两条垂直线都可分四块全等。
水平测试 A 操作第3题
用24个同样大小正方形拼成一个长方形，有几种拼法？
答案：4种
解析：24=1×24=2×12=3×8=4×6。
水平测试 A 操作第4题，配图15-8
把长9宽4的长方形分成两块，拼成一个正方形。
答案：沿阶梯线切拼成边长6的正方形
解析：面积36=6²，按阶梯形切两块错位拼。
水平测试 A 填空第5题，配图15-9
当中有小方空格的正方形要变成一个长方形，至少应分成几块？
水平测试 A 操作第6题，配图15-10
把A、B、C、D四个图形分别分成四个大小相等形状相同的图形。
答案：每个图形先数总格数，用总格数÷4定每块格数，再沿旋转对称线把它分成4块全等图形
解析：每个图形总面积÷4定每块格子数，再旋转对称分。
水平测试 A 操作第7题，配图15-11
把一个任意三角形切两刀分成三块，拼成一个长方形。
答案：取两边中点切，垂足落地拼成长方形
解析：A、B为两边中点，C、D为垂足，切两刀拼长方形。
水平测试 A 操作第8题，配图15-12
把两个等边三角形分别分割成8块或9块形状大小相同的图形。
答案：8块用图A-15-8①，9块用②
解析：等边三角形中位线分割，8块或9个小等边三角形。
水平测试 A 操作第9题，配图15-13
把边长5厘米正方形切成四块，分别拼成边长3厘米和4厘米两个正方形。
答案：切成I(4×4)、II、III、IV四块
解析：5²=3²+4²，切成四块分别拼成3×3和4×4。
水平测试 A 操作第10题，配图15-14
把2×4长方形剪两刀拼成一个正方形，怎么剪？
答案：沿对角线方向剪两刀拼成正方形
解析：面积8，斜切两刀旋转拼成菱形正方形。
水平测试 A 解答第11题，配图15-15
一块蛋糕上有七颗樱桃，只许切三刀，切成七块且每块一颗樱桃，怎么切？
答案：三刀两两相交不过同一点
解析：三刀最多分7块，让每块含一颗樱桃。
水平测试 A 解答第12题，配图15-16
把两个正方形分别分割成6个或11个小正方形。
答案：6个如图A-15-12①，11个如②
解析：嵌套等分法：6个和11个小正方形。
水平测试 C 操作第1题，配图15-35
三个正方形组成的图形分成大小形状都相同的四个图形。
答案：每块0.75个正方形
解析：总面积3÷4=0.75，按图A-15-24分。
水平测试 C 操作第2题，配图15-36
正方形分切成两块，两块形状大小相同，每块都含A、B、C、D、E五个字母。
答案：按图A-15-25分割
解析：中心对称切两块各含五字母。
水平测试 C 操作第3题，配图15-37
缺角长方形切成两块拼成一个正方形。
答案：按图A-15-26分割
解析：先算面积定边长，阶梯切两块。
水平测试 C 操作第4题，配图15-38
缺角正方形分成三块拼成一个正方形。
水平测试 C 操作第5题，配图15-39
甲(10×5)、乙(缺角L形)两个图形，把某一个分成三块，一起拼成正方形。
答案：正方形边长10
解析：面积=50+30+20=100=10²，乙切三块与甲拼。
水平测试 C 操作第6题，配图15-40
十字形纸片切两刀拼成一个正方形。
答案：按图A-15-29切
解析：沿十字对角线切两刀旋转拼。
水平测试 C 操作第7题，配图15-41
长方形数字网格分成形状大小相等六小块，每块数字和相等。
答案：每块和20
解析：总和=5×12+3×6+7×6=120，120÷6=20。
水平测试 C 填空第8题，配图15-42
七种面积4的图形(A~G)，用其中四种拼面积16正方形，无法用的是哪个？
水平测试 C 填空第9题，配图15-43
四个图形A~D中，哪个不能用6个3格L形拼成？
水平测试 C 操作第10题，配图15-44/45
用七巧板拼出图15-45三个图形。
答案：按图A-15-33拼
解析：七块七巧板拼三个造型。
水平测试 C 解答第11题，配图15-46
正方形分成大小形状相同四块，每块都含A、B、C、D四个字母。
答案：按图A-15-34分
解析：8×8=64，每块16格绕中心旋转对称分。
水平测试 C 解答第12题
九个边长1,4,7,8,9,10,14,15,18的正方形拼成一个长方形，长和宽各多少？
答案：长33，宽32
解析：面积和=1089=33²，按图A-15-35拼成长33宽32。
四、方法小结
图形拼切三步：①观察——面积守恒，先算面积定目标边长；②分割——利用对称性、边等分，直线不行走阶梯旋转切；③拼补——平移旋转把散块拼成规则图形。带标记题从标记反推每块形状；拼图题先算总面积找平方数定多余块；面积不是完全平方数时沿两小正方形对角线切两刀。
五、作业建议
基础必做：- 教材P183 水平测试A 第1、2、3、5题（画半面积、等分、拼长方形）
- 教材P184 水平测试A 第7、8题（三角形切长方形、等边三角形分块）
- 教材P185 水平测试A 第11、12题（蛋糕切七块、分6或11个正方形）
巩固选做：- 教材P186 水平测试B 第1、2题（带星分四块、带圈分三块）
- 教材P187 水平测试B 第3、4、5题（正方形边长、数字和、缺角拼）
- 教材P188 水平测试B 第6、7、8、9、10题（方阵、棋形、梯形、三角形围方、邮票）
提高挑战：- 教材P189 水平测试B 第11、12题（五正方形分四块、八块拼拼）
- 教材P190–191 水平测试C 第1–6题（三正方形分四块、字母切、缺角拼、十字切）
- 教材P191–193 水平测试C 第7–12题（数字和、七巧板、九正方形拼长方形）
六、课堂错因定位
症状：不先算面积定边长就乱切
根因：方法：忽略面积守恒。
补救：任何切拼题第一步先算面积，找目标图形边长。
症状：只会直线切，不会旋转阶梯切
根因：经验：直线分凑不齐标记时不会换思路。
补救：直线不行就试阶梯形，一块绕中心旋转90°复制。
症状：带标记分割不从标记反推
根因：技能：先切再硬塞标记。
补救：每块先包一个标记，再补成全等。
症状：拼图题硬拼不先找平方数
根因：方法：不算总面积。
补救：先算总面积，找最接近的平方数定边长和多余块。