【教师版】第18讲 · 加法原理和乘法原理（二）

四年级奥数 · 教材第222–234页（第18讲全讲）

一、知识要点

路线按必经点分类

本质：从A到B的路线按“中途经过哪个点”分类，每类内部分两步（A→中间点、中间点→B）用乘，类间用加。

适用：典例A1：甲虫从A到B，先过C还是先过D两类；典例B1：三角形网格按过C/D/E/F分类。

先过C和先过D两类互斥。
每类内A→中间、中间→B两步用乘。
两类相加。

典型错误：漏算某条必经路线；分类时各类重叠。

奇偶分类（骰子/卡片）

本质：两数之和为偶数 ⇔ 两数同奇同偶。分两类：奇+奇、偶+偶，类内用乘，类间用加。

适用：典例A2：两个骰子和为偶数。奇数面3个、偶数面3个。

和为偶要求同奇偶。
奇奇、偶偶两类互斥。
每类内两步用乘。

典型错误：把奇+偶也算进去；奇+偶=奇数，不符合。

不相邻问题插空法

本质：要求某些元素不相邻：先排无限制的元素，再把不相邻元素插入空隙（含两端）。

适用：典例B3：4男3女排一排女生不相邻。先排4男4×3×2×1=24，男生间+两端共5个空，选3个排女生5×4×3=60。

4男排好后形成5个空隙（含两端）。
每个空隙最多插1女生，自然不相邻。
两步用乘。

典型错误：只算男生之间3个空，漏两端2个空。

间接计数（至少问题）

本质：“至少含一个”的问题，先算总数，再减去“完全不含”的反面。

适用：典例C2：至少含一个8的四位数=四位数总数−不含8的四位数。

正面数含1个8、2个8…太繁。
反面“不含8”简单：千位8种(1~9除8)，其他位9种(0~9除8)。
总数减反面。

典型错误：算反面时千位漏了不能为0。

相同球入不同盒

本质：n个相同球放入k个不同盒、每盒至少1个：先把n拆成k个正整数之和（分拆），再按分拆类型计数。

适用：典例B2：7球4盒。7=1+1+1+4=1+2+2+2=1+1+2+3。

相同球不区分顺序，先枚举数的分拆。
每类分拆对应选哪个盒子放较大的数。
类间相加。

典型错误：球不同/盒不同混淆；盒不同所以选盒位置要计数。

二、典例精讲

典例 A1

如图18-1，一只小甲虫从A点出发沿线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过。问有多少种不同走法？

训练点：按先过C还是先过D分类。

提示：

1. 从A到B先经过C还是先经过D？每类内部走几步？

1第一类先过C：A→C只有1种，C→B有3种，共1×3=3

依据：为什么先按过C还是过D分类？从A出发往B走，第一条岔路要么走上面到C、要么走下面到D，两类互斥不重不漏。每类里又分A→中间点、中间点→B两步，所以用乘法。

2第二类先过D：A→D有2种，D→B有3种，共2×3=6

依据：为什么A→D有2种？从A到D要么走对角线直达，要么走左边绕到底再上来，共两条。

33+6=9

依据：为什么最后加？先过C和先过D是两类互斥的走法，把两类的种数加起来就是全部。

答：9种

典型错法：漏数C→B或D→B的路线数。

典例 A2

两个相同正方体，每个面标1~6。把两个正方体放桌面，向上一面数字之和为偶数的情形有多少种？

训练点：奇偶分类。

提示：

1. 和为偶要同奇同偶。奇数面几个？偶数面几个？

1奇+奇：第一个奇数3种、第二个奇数3种，3×3=9

依据：为什么分奇奇和偶偶两类？两数之和为偶数，当且仅当两数同奇同偶；一奇一偶相加是奇数，不符合。奇数面有1、3、5共3个。

2偶+偶：2、4、6共3×3=9

依据：为什么也用乘法？偶数面2、4、6共3个，第一个3种第二个3种互相独立，3×3。

39+9=18

依据：为什么最后加？奇奇、偶偶两类互斥，合起来才是全部和为偶数的情形。

答：18种

典型错法：奇+偶也算进去。

典例 A3

四个学生每人做一张贺年片放桌上，然后每人拿一张，但不能拿自己做的。共有多少种不同拿法？

训练点：4元素错排（德装错信封）。

提示：

1. 设A拿B的片b，列出剩下B,C,D怎么拿；再乘A有几种选择。

1设A拿b，剩下B、C、D拿a、c、d且不能拿自己，枚举得3种

依据：为什么固定A拿谁？错排情况太多，先固定A拿别人的一张片，把范围缩小，剩下三人的拿法就能枚举清楚。

2A拿c或d时同理各3种

依据：为什么乘3？A不能拿自己的a，所以A只能拿b、c、d三种选择；由对称性，A拿其中任一张时剩下三人的合法拿法都是3种。

33+3+3=9

依据：为什么三类相加？A拿b、拿c、拿d是三类互斥的开头，每类3种，加起来就是全部。

答：9种

典型错法：漏枚举情况；4元素错排D4=9。

典例 B1

如图18-4，从A沿线段走到B，每步向右、向上或斜上方，有多少种走法？

训练点：按过C/D/E/F四类分类。

提示：

1. 路线必过C、D、E、F中某一点，且过一点就不再过其他三点。

1过C：A→C 2种，C→B 2种，2×2=4

依据：为什么按必经点分四类？从A到B一直往右、往上走，必然经过斜边上C、D、E、F中某一点，且过一个就不会再过其他点，正好四类不重不漏。每类内A→点、点→B两步用乘。

2过D：A→D 4种，D→B 4种，4×4=16

依据：为什么D类种数最多？D在图形中央，从A到D和从D到B可选择的岔路都最多，所以4×4=16。

3过E：A→E 1种，E→B 1种，共1

依据：为什么E只有1种？E靠近右下角，从A到E、再从E到B都只剩一条直路。

4过F：A→F 1种，F→B 1种，共1

依据：为什么F也只有1种？F是右下角，A沿底边直走到F，再沿右边直走到B，都唯一。

54+16+1+1=22

依据：为什么最后加？四类路线互斥，把四类的种数加起来就是全部走法。

答：22种

典型错法：类别重叠或漏类。

典例 B2

7个相同的球放入4个不同的盒子，每盒至少1个，有多少种放法？

训练点：整数分拆分类计数。

提示：

1. 先把7拆成4个正整数之和，有几种拆法？

1先把7拆成4个正整数之和：7=1+1+1+4=1+2+2+2=1+1+2+3，共三种类型

依据：为什么先做分拆？球相同，放法的区别只在每盒几个球；按每盒球数的分组类型分类，才能不重不漏。

21+1+1+4型：4放哪个盒有4种

依据：为什么是4种？四盒不同，哪个盒子单独放4个球就有4种选择，其余三盒各放1个。

31+2+2+2型：1放哪个盒有4种

依据：为什么也是4种？哪个盒子单独放1个球就有4种，其余三盒各放2个。

41+1+2+3型：选2盒放1个有C(4,2)=6，余下2盒放2和3有2种，6×2=12

依据：为什么乘2？两个放1个的盒子选好后，剩下两个盒子分开放2个和3个，哪个放2哪个放3有2种，盒不同所以要乘2。

54+4+12=20

依据：为什么三类相加？三种分拆类型互斥，合起来就是全部放法。

答：20种

典型错法：球同盒不同混淆；第三类忘记×2。

典例 B3

4名男生、3名女生排成一排，要求任何两名女生不相邻，有多少种排法？

训练点：插空法。

提示：

1. 先排男生，再把女生插进男生之间和两端的空隙。

1先排4男生：4×3×2×1=24

依据：为什么先排男生？男生没有限制，先把他们排好，他们之间和两端自然形成空隙，女生才能见缝插针。

24男生形成5个空（含两端），选3空排女生：5×4×3=60

依据：为什么是5个空？4个男生排成一排，中间有3个空隙，再加上最左、最右两端共2个，一共5个空；每个空至多插1名女生，女生自然不相邻。

324×60=1440

依据：为什么乘起来？先排男生、再插女生是两个独立步骤，用乘法原理相乘。

答：1440种

典型错法：只在男生之间3空插，得3×2×1×24=144。

典例 C1

四位数四个数字各不相同，且是5的倍数，这样的四位数有多少个？

训练点：个位限制分类：个位0和个位5。

提示：

1. 5的倍数个位是0或5。个位=0和个位=5时千位各有几种？

1个位=0：千位9种、百位8种、十位7种，9×8×7=504

依据：为什么先按个位分两类？5的倍数个位只能是0或5，而0能不能放千位会影响千位选法，所以必须分两类算。个位固定为0后，0已用掉，千位从1~9选有9种，百位十位依次少用一个数字。

2个位=5：千位不能为0也不能为5有8种，百位8种、十位7种，8×8×7=448

依据：为什么千位只有8种？个位固定5后，千位既不能是0又不能是5，从剩下8个非零非5数字里选；百位可含0但不能是5和千位数字，所以也有8种。

3504+448=952

依据：为什么最后加？个位是0和个位是5两类互斥，合起来就是全部符合条件的四位数。

答：952个

典型错法：个位5时千位误算9种。

典例 C2

四位数中至少含一个数字8，这样的四位数有多少个？

训练点：间接计数。

提示：

1. 从9000个四位数里减去完全不含8的。

1四位数总数9000（1000~9999）

依据：为什么先算总数？正面数“含1个8、2个8…”要分好几种情况，不如先拿全部四位数当底座，再减反面。

2不含8：千位8种(1~9除8)、其他位9种(0~9除8)，8×9×9×9=5832

依据：为什么千位8种其他位9种？反面是“完全不含8”，千位不能为0也不能为8，有8种选择；百位十位个位可取0~9除8共9种，各位独立相乘。

39000−5832=3168

依据：为什么相减？总数里去掉完全不含8的，剩下的必然至少含一个8，这就是间接法。

答：3168个

典型错法：千位误算9种。

典例 C3

四位数各数位数字之和是32，这样的四位数有多少个？

训练点：数字和分拆+排列数。

提示：

1. 32拆成4个0~9数字之和有几种？每种分拆对应几个排列？

1枚举分拆：9+9+9+5→4个；9+9+8+6→4×3=12个；9+9+7+7→4×3÷2=6个；9+8+8+7→4×3=12个；8+8+8+8→1个

依据：为什么先枚举分拆？四个数字加起来是32且都不超过9，只能从大数字往下凑；每凑出一组分拆，再看四个数字里有几个重复，重复不同排法数不同：全不同4个位置选1个放特殊数=4；两个相同先选位置C(4,2)=6或再分配=12；四个相同只有1种。

24+12+6+12+1=35

依据：为什么加？五种分拆类型互斥，把各自能排出的四位数加起来就是全部。

答：35个

典型错法：重复数字的排列数忘记÷2。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题

把6个颜色不同的小球放入3个不同盒子，每个盒子只放一个球，有______种放法。

答案：120

解析：6×5×4=120。

水平测试 A 第2题

如图18-2，小虫从A到B，任何线段和点不重复经过，有______种走法。

答案：9

解析：必过C：A→C 3种、C→B 3种，3×3=9。

水平测试 A 第3题

5件不同上衣、3条不同裤子、4顶不同帽子，取1帽1上衣1裤子配成一套，最多有______种装束。

答案：60

解析：5×3×4=60。

水平测试 A 第4题

5个同学排成一排，其中A、B两人不排在一起，共有______种排法。

答案：72

解析：总排法120−AB相邻(4!×2=48)=72。

水平测试 A 第5题

20人聚会，每两人握手一次，共握手______次。

答案：190

解析：20×19÷2=190。

水平测试 A 第6题

图18-3棋盘线交叉点放一个白子和一个黑子，不在同一条棋盘线上，共______种放法。

答案：144

解析：16×9=144（第一子16种，第二子去掉同线7种剩9）。

水平测试 A 第7题

50人乒乓球单打冠军赛，循环赛要赛______场；淘汰赛要赛______场。

答案：1225；49

解析：50×49÷2=1225；淘汰赛每赛1场淘汰1人，淘汰49人需49场。

水平测试 A 第8题

6张卡片写2,3,4,5,6,7，取3张排成三位奇数，共______个。

答案：60

解析：个位3/5/7共3种；百位5种、十位4种，5×4×3=60。

水平测试 A 第9题

1角、2角、5角各1张，1元3张，5元2张，可组成______种不需找钱的不同币值。

答案：95

解析：2×2×2×4×3−1=95。

水平测试 A 第10题

4人各一本作业本混放，每人拿一本。(1)甲拿到自己的有____种；(2)只有一人拿到自己的有____种；(3)至少一人没拿到自己的有____种；(4)没人拿到自己的有____种。

答案：(1)6 (2)8 (3)23 (4)9

解析：(1)3×2×1=6；(2)4×2=8；(3)4!−1=23；(4)错排D4=9。

水平测试 A 第11题(解答)

12321,50005,61016,82428…倒过来还是原数。这样的五位偶数有多少个？

答案：400个

解析：回文数万位=个位且为偶数2,4,6,8共4种；千位=十位10种，共4×10×10=400。

水平测试 A 第12题(解答)

1447,1005,1231都以1开头、含有两个相同数字，都是四位数。这样的数共多少个？

答案：432个

解析：两类：相同数是1→3×9×8=216；相同数非1→9×3×8=216；共432。

水平测试 A 第13题(解答)

1到500的所有自然数中，不含数字4的有多少个？

答案：324个

解析：一位数8个、两位数8×9=72、三位数3×9×9+1=244，共324。

B层

水平测试 A 第1题

把6个颜色不同的小球放入3个不同盒子，每个盒子只放一个球，有______种放法。

答案：120

解析：6×5×4=120。

水平测试 A 第2题

如图18-2，小虫从A到B，任何线段和点不重复经过，有______种走法。

答案：9

解析：必过C：A→C 3种、C→B 3种，3×3=9。

水平测试 A 第3题

5件不同上衣、3条不同裤子、4顶不同帽子，取1帽1上衣1裤子配成一套，最多有______种装束。

答案：60

解析：5×3×4=60。

水平测试 A 第4题

5个同学排成一排，其中A、B两人不排在一起，共有______种排法。

答案：72

解析：总排法120−AB相邻(4!×2=48)=72。

水平测试 A 第5题

20人聚会，每两人握手一次，共握手______次。

答案：190

解析：20×19÷2=190。

水平测试 A 第6题

图18-3棋盘线交叉点放一个白子和一个黑子，不在同一条棋盘线上，共______种放法。

答案：144

解析：16×9=144（第一子16种，第二子去掉同线7种剩9）。

水平测试 A 第7题

50人乒乓球单打冠军赛，循环赛要赛______场；淘汰赛要赛______场。

答案：1225；49

解析：50×49÷2=1225；淘汰赛每赛1场淘汰1人，淘汰49人需49场。

水平测试 A 第8题

6张卡片写2,3,4,5,6,7，取3张排成三位奇数，共______个。

答案：60

解析：个位3/5/7共3种；百位5种、十位4种，5×4×3=60。

水平测试 A 第9题

1角、2角、5角各1张，1元3张，5元2张，可组成______种不需找钱的不同币值。

答案：95

解析：2×2×2×4×3−1=95。

水平测试 A 第10题

答案：(1)6 (2)8 (3)23 (4)9

解析：(1)3×2×1=6；(2)4×2=8；(3)4!−1=23；(4)错排D4=9。

水平测试 A 第11题(解答)

12321,50005,61016,82428…倒过来还是原数。这样的五位偶数有多少个？

答案：400个

解析：回文数万位=个位且为偶数2,4,6,8共4种；千位=十位10种，共4×10×10=400。

水平测试 A 第12题(解答)

1447,1005,1231都以1开头、含有两个相同数字，都是四位数。这样的数共多少个？

答案：432个

解析：两类：相同数是1→3×9×8=216；相同数非1→9×3×8=216；共432。

水平测试 A 第13题(解答)

1到500的所有自然数中，不含数字4的有多少个？

答案：324个

解析：一位数8个、两位数8×9=72、三位数3×9×9+1=244，共324。

水平测试 B 第1题

长途车中途停靠6个站，共要准备______种不同车票。

答案：56

解析：共8站，8×7=56。

水平测试 B 第2题

从8名候选人中选3名班干部，共______种选法。

答案：56

解析：8×7×6÷6=56。

水平测试 B 第3题

从1,3,5,…,19中取一个，再从2,4,6,…,18中取一个相加，共有______种不同的和。

答案：18

解析：和最小3最大37，奇和共18种。

水平测试 B 第4题

1~100中含有数字5的数共有______个。

答案：19

解析：个位5共10个、十位5共10个，55重复，10+10−1=19。

水平测试 B 第5题

6粒相同糖果分给4个孩子，每人至少1粒，共______种分法。

答案：10

解析：先各1粒余2粒：2粒给1人4种或给2人6种，共10。

水平测试 B 第6题

5局3胜制乒乓球赛，先胜3局者赢，共______种可能情况。

答案：10

解析：(5×4×3)÷(3×2×1)=10。

水平测试 B 第7题

青蛙在3张荷叶间跳，从某叶出发跳4次后回到原叶，共______种跳法。

答案：6

解析：枚举树状图共6种。

水平测试 B 第8题

用1,2,3,0组五位数可重复，至少连续三位是1的有______个。

答案：33

解析：连续5位1:1；连续4位1:5；连续3位1:12+6+9=27；共33。

水平测试 B 第9题

图18-6从A到B只向右或向下沿线走，共______种路线。

答案：19

解析：标数法累加得19。

水平测试 B 第10题

用1,2,3,4,5可组成______个没有重复数字的三位数。

答案：60

解析：5×4×3=60。

水平测试 B 第11题(解答)

图18-7四国家A,B,C,D用4种颜料染色，相邻不同色，B和D可同可不同，有多少种染法？

答案：84种

解析：B,D同色：4×3×3=36；B,D不同：4×3×2×2=48；共84。

水平测试 B 第12题(解答)

写有0,1,1,2,3五张数字卡片，一共可组成多少个正整数？

答案：135个

解析：一位数3+两位数10+三位数26+四位数48+五位数48=135。

水平测试 B 第13题(解答)

6个歌唱节目、4个舞蹈节目排节目单，任意两舞蹈不相邻，共多少种排法？

答案：604800种

解析：先排歌唱6!，7个空选4插舞蹈7×6×5×4，共(7×6×5×4)×(6×5×4×3×2×1)=604800。

C层

水平测试 A 第1题

把6个颜色不同的小球放入3个不同盒子，每个盒子只放一个球，有______种放法。

答案：120

解析：6×5×4=120。

水平测试 A 第2题

如图18-2，小虫从A到B，任何线段和点不重复经过，有______种走法。

答案：9

解析：必过C：A→C 3种、C→B 3种，3×3=9。

水平测试 A 第3题

5件不同上衣、3条不同裤子、4顶不同帽子，取1帽1上衣1裤子配成一套，最多有______种装束。

答案：60

解析：5×3×4=60。

水平测试 A 第4题

5个同学排成一排，其中A、B两人不排在一起，共有______种排法。

答案：72

解析：总排法120−AB相邻(4!×2=48)=72。

水平测试 A 第5题

20人聚会，每两人握手一次，共握手______次。

答案：190

解析：20×19÷2=190。

水平测试 A 第6题

图18-3棋盘线交叉点放一个白子和一个黑子，不在同一条棋盘线上，共______种放法。

答案：144

解析：16×9=144（第一子16种，第二子去掉同线7种剩9）。

水平测试 A 第7题

50人乒乓球单打冠军赛，循环赛要赛______场；淘汰赛要赛______场。

答案：1225；49

解析：50×49÷2=1225；淘汰赛每赛1场淘汰1人，淘汰49人需49场。

水平测试 A 第8题

6张卡片写2,3,4,5,6,7，取3张排成三位奇数，共______个。

答案：60

解析：个位3/5/7共3种；百位5种、十位4种，5×4×3=60。

水平测试 A 第9题

1角、2角、5角各1张，1元3张，5元2张，可组成______种不需找钱的不同币值。

答案：95

解析：2×2×2×4×3−1=95。

水平测试 A 第10题

答案：(1)6 (2)8 (3)23 (4)9

解析：(1)3×2×1=6；(2)4×2=8；(3)4!−1=23；(4)错排D4=9。

水平测试 A 第11题(解答)

12321,50005,61016,82428…倒过来还是原数。这样的五位偶数有多少个？

答案：400个

解析：回文数万位=个位且为偶数2,4,6,8共4种；千位=十位10种，共4×10×10=400。

水平测试 A 第12题(解答)

1447,1005,1231都以1开头、含有两个相同数字，都是四位数。这样的数共多少个？

答案：432个

解析：两类：相同数是1→3×9×8=216；相同数非1→9×3×8=216；共432。

水平测试 A 第13题(解答)

1到500的所有自然数中，不含数字4的有多少个？

答案：324个

解析：一位数8个、两位数8×9=72、三位数3×9×9+1=244，共324。

水平测试 C 第1题

1到2002的所有数中，数字“3”共出现______个。

答案：600

解析：100×2+10×20+1×200=600。

水平测试 C 第2题

图18-8从1号房走到7号房，每次进房号大于刚走出房号，共______种走法。

答案：13

解析：斐波那契式标数：1,2,3,5,8,13。

水平测试 C 第3题

图18-9是16枚相连邮票，撕3枚相连且余下仍连在一起，共______种撕法。

答案：16

解析：按形状A/B/C/D/E/F分类枚举共16。

水平测试 C 第4题

三位数各位数字和是24，共______个。

答案：10

解析：24=9+9+6=9+8+7=8+8+8，对应3+6+1=10。

水平测试 C 第5题

18盏路灯灭9盏，相邻两盏不能同时灭，共______种节能方案。

答案：10

解析：9亮灯形成10空，选9空灭灯，C(10,9)=10。

水平测试 C 第6题

各位数字和为10的三位数共______个。

答案：54

解析：百位1~9对应十位个位和9,8,…,2，共10+9+…+2=54。

水平测试 C 第7题

比1000小的正整数中恰有两个数字5的共______个。

答案：27

解析：两个5位置3种，另一数字9种(0~4,6~9)，3×9=27。

水平测试 C 第8题

8个同样玻璃球放5个不同纸盒，每盒至少1个，共______种放法。

答案：35

解析：先各1余3个：3=3 / 1+2 / 1+1+1，对应5+20+10=35。

水平测试 C 第9题

3个班各2人获奖共6人站一排，同班不相邻，共______种站法。

答案：240

解析：6×4×(2+8)=240。

水平测试 C 第10题

所有四位数中，四个数码既有大于4又有小于4的共______个。

答案：7205

解析：9000−都≤4的500−都≥4的1296+重复4444=7205。

水平测试 C 第11题(解答)

图18-10有20个点，任取4点作顶点能形成多少个正方形？

答案：21个

解析：按方向/大小分类：正放9+斜放4+4+2+2=21。

水平测试 C 第12题(解答)

1到300的正整数中，完全不含数字1或3的有多少个？

答案：127个

解析：一位数7个、两位数7×8=56、三位数(200~299)8×8=64，共127。

水平测试 C 第13题(解答)

至少出现一个数字6，而且是3的倍数的五位数有多少个？

答案：12504个

解析：按最后一个6的位置分类：a5=6→3000；a4=6→2700；a3=6→2430；a2=6→2187；a1=6→2187；共12504。

四、方法小结

复杂计数综合两原理：路线按必经点分类（类间加、类内乘）；和为偶分奇+奇/偶+偶；不相邻用插空法（先排无限制元素，空隙含两端）；“至少含一个”用间接法（总数−反面）；相同球入不同盒先做整数分拆再选盒位置。四位数问题注意千位≠0；3的倍数用数字和判断。

五、作业建议

基础必做：

教材P224–225 水平测试A 1–5
教材P225 水平测试A 6–10
教材P225–226 水平测试A 11–13

巩固选做：

教材P229 水平测试B 1–7
教材P229–230 水平测试B 8–13

提高挑战：

教材P232–233 水平测试C 1–6
教材P233 水平测试C 7–11
教材P234 水平测试C 12–13

六、课堂错因定位

症状：路线题分类重叠
根因：没找到“不重不漏”的分类标准。
补救：以“必经哪个点”为分类标准。

症状：错排问题不会做
根因：没枚举。
补救：固定A拿谁，列表示出其余3人的所有可能。

症状：插空法漏两端
根因：只看男生之间。
补救：画下划线：_M_M_M_M_ 数空隙。

症状：间接计数反面算错
根因：千位0限制。
补救：反面数最高位单独列限制。

症状：相同球入盒用乘
根因：球同盒不同混淆。
补救：先数的分拆，再选盒位置。