【教师版】第19讲 · 问题解决

四年级奥数 · 教材第235–250页（第19讲全讲）

一、知识要点

构造分组：把不同条件凑成相同的一份

本质：当题目说“几种情况花的钱一样多”“每平均多少人猎得几只”时，找一个公共倍数，把各类数量凑成固定一组，用总量÷每组人数。

适用：典例A3：白帽1.5元、红帽2元、黄帽3元钱一样多，找6元（1.5×4=2×3=3×2），每组4+3+2=9人。水平测试C11：野兔5只/12人、野鸡3只/8人、野猪1头/6人，统一到24人得23只猎物。

找公共钱数：1.5、2、3的最小公倍关系是6元。
6元对应：四年级4人、五年级3人、六年级2人，共9人。
总组数=315÷9=35组，四年级=35×4=140人。

典型错误：直接按帽子价格反比4:3:2分配，但忘记先凑成9人一组。

对折剪绳：层数×折痕

本质：对折n次后长度=原长÷2^n，剪一刀产生2^n层切口；折痕总数=1+2+4+…+2^(n-1)，每条折痕处剪出的是长方形而非正方形。

适用：典例A2：96cm纸带对折4次，长度变6cm，剪2刀。每刀16层切口，共32切口→33段。折痕1+2+4+8=15条→15个长方形，33-15=18个正方形。

对折4次：96÷2÷2÷2÷2=6cm，每隔2cm剪一刀，6÷2=3段→剪2刀。
每刀穿透16层，产生16条切口，2刀共32条切口。
纸条段数=切口数+1=33段。
折痕数=1+2+4+8=15条，每条折痕在剪出的段中形成一个4×2长方形。
正方形=33-15=18个。

典型错误：忘记对折后层数是2^n；忘记折痕对应长方形；段数=切口数而非切口数-1。

对策问题：凑周期

本质：两人轮流取物，每次可取固定范围的步数，先算两人一轮可控的和（最小步+最大步=本轮可控周期），再让先走者把余数拿走。

适用：水平测试A10：2001格棋子，每步移2/3/4格，谁到最后谁胜。两人一轮可控和=2+4=6格。第一步移2格后剩1998格=6的倍数，以后对方移k格我就移(6-k)格。

每步可取2/3/4格，两人一轮可控和=2+4=6格。
从第1格到第2001格共需移动2000格。
2000÷6=333……2，余数2。
A第一步移2格，剩1998=6×333，以后每轮凑6格，A必到最后一格。

典型错误：忘记起点已占第1格，总移动格数=2000而非2001；凑错周期和（用3或7而非6）。

假设调整法（鸡兔同笼升级版）

本质：先全假设成一种，算出差额，再用每换一个的差量求另一种数量。适用于两种阶段/两种动物/两种购买方案。

适用：典例B3：两种阶段共25段，全长281km。假设全是第一阶段13km→325km，多44km，每换一段少4km，第二阶段=44÷4=11段。水平测试B12：四脚蛇=2×双头龙，组合后看成三脚猫，再用鸡兔同笼求独角兽。

两种阶段各含1段上坡，共25段上坡=共25段。
第一阶段长13km，第二阶段长9km。
假设全第一阶段：13×25=325，多325-281=44km。
每把一段第一阶段换成第二阶段，少13-9=4km。
第二阶段=44÷4=11段，第一阶段=25-11=14段。

典型错误：假设方向反了（多算还是少算）；每段差量算错。

统筹优化：先比单位效率

本质：运输问题先算每吨耗油量，选省油的车；配套生产问题先算相对效率，让擅长的全做一件，另一车间调时间配套。

适用：典例C2：大卡每吨2升、小卡每吨2.5升，选大卡。典例C3：甲做上衣相对裤子效率高（120条裤子换96件上衣 vs 乙换90件），甲全做上衣，乙调4天做上衣配套。

运输：每吨油耗大卡10÷5=2升，小卡5÷2=2.5升，优先大卡。
配套：假设都做120条裤子，甲可做上衣120÷20×16=96件，乙可做120÷24×18=90件，甲上衣效率高。
甲21天全做上衣=336件。乙21天全做裤子=504条，多504-336=168份。
乙每把1天从裤子改上衣，上衣+18、裤子-24，差值变化42。168÷42=4天。
上衣=336+18×4=408，裤子=24×17=408。

典型错误：不比较相对效率直接一个车间做上衣一个做裤子；调整天数时差值变化用18或24而非18+24。

周期问题：找余数周期

本质：对称跳跃、数列余数都要先列出前若干项找周期，再用总数÷周期取余定位。

适用：水平测试A4：小鸟关于A/B/C对称跳跃，第6次回到0号，周期6，2004÷6=334余0→回到0号距离0米。A12：数列0,1,2,前三项和，被3除余数每13个一周期，1993÷13余4→余0。

对称变换是仿射变换，列出前6步位置可发现第6步回到起点。
数列被3除的余数：只保留余数相加，0,1,2,0,0,2,2,1,2,2,2,0,1,0,1,2,…周期13。
用总数÷周期取余，余几就对应第几项的余数。

典型错误：周期找错（少列几项就下结论）；取余后对应项数错（余0对应周期最后一项）。

二、典例精讲

典例 A1

小丁丁在桌上将若干个红球排成一排，然后在每相邻的2个球之间放2个黄球，最后在每相邻的2个球之间再放2个蓝球，这时桌上共有2008个球，那么其中黄球有多少个？

训练点：构造分组：红球-黄球-蓝球的 repeating pattern。

提示：

1. 先拿3个红球试试：R _ R _ R，每两个红球间放2黄球后变成什么样？

2. 再在每两个相邻球间放2蓝球，两个红球之间共有几个黄球、几个蓝球？

1两个红球之间：先放2黄球，再在每相邻球间放2蓝球。R到R之间变成 R BB Y BB Y BB R，即2黄6蓝

依据：为什么先研究两红球之间？整排球的规律重复出现在每两个红球之间，先把一个间隔里有几个黄球几个蓝球数清楚，就能推广到全部。两个红球间有2个黄球，加上两端共3个相邻空隙各放2蓝球，共6蓝。

2设红球n个，则红球间有n-1个间隔，每间隔2黄6蓝。总数=n+2(n-1)+6(n-1)=9n-8=2008

依据：为什么用n-1个间隔？n个红球排成一排，相邻红球之间正好有n-1个空，每个空都按上面的规律放球。

39n=2016，n=224个红球。黄球=2(n-1)=2×223=446个

依据：为什么最后只乘2？每个间隔里固定是2个黄球，共n-1个间隔，所以黄球总数=2×(n-1)，蓝球不用算。

答：446个

典型错法：算成(2008-1)÷3=669黄球，忘记蓝球也占间隔。

典例 A2

将长96厘米、宽2厘米的纸带沿着长对折4次。然后从一端开始，每隔2厘米剪一刀。最后可得到多少个正方形？多少个长4厘米、宽2厘米的长方形？

训练点：对折层数+折痕数综合。

提示：

1. 对折1次变2层，对折4次变几层？长度变成多少？

2. 对折4次后长度6cm，每隔2cm剪一刀要剪几刀？每刀穿透几层？

1对折4次后长度=96÷2÷2÷2÷2=6cm，每隔2cm剪一刀，剪2刀

依据：为什么先算对折后长度？对折让长度减半，4次后变成96÷16=6cm；6cm里每2cm一刀，中间只需要2刀。

2每刀穿透2^4=16层，2刀共32条切口，纸条剪成32+1=33段

依据：为什么是16层？对折1次2层、2次4层、3次8层、4次16层；一刀同时穿透所有层，所以一条切口对应16段。段数=切口数+1。

3对折4次的折痕数=1+2+4+8=15条，每条折痕处剪出的是4×2长方形

依据：为什么折痕处是长方形？对折时折痕把两层连在一起，剪到折痕处的那一段没有被剪断，展开后是长4cm（两层叠起）宽2cm的长方形；折痕数每次翻倍累加。

4长方形=15个，正方形=33-15=18个

依据：为什么相减？总共33段，其中15段是折痕处的长方形，剩下都是完整的2×2正方形。

答：18个正方形，15个长4厘米宽2厘米的长方形

典型错法：段数算成32（忘记+1）；忘记折痕对应长方形；折痕数算成4条。

典例 A3

学校组织四、五、六年级共315名小朋友参加春游，四年级白帽子1.5元，五年级红帽子2元，六年级黄帽子3元。如果买三种颜色帽子所用的钱一样多，那么参加春游的四年级小朋友有多少人？

训练点：构造分组：找公共钱数。

提示：

1. 1.5元、2元、3元，多少乘起来钱数一样？找一个公共钱数。

2. 6元能买几顶白帽、几顶红帽、几顶黄帽？这就是一组。

1找公共钱数：6=1.5×4=2×3=3×2

依据：为什么找6？三种帽子单价不同，但花的钱一样多，就得找一个数让它同时是1.5、2、3的整数倍，最小是6元。

2每组：四年级4人、五年级3人、六年级2人，共4+3+2=9人

依据：为什么人数是这个比例？花6元时，白帽6÷1.5=4顶对应4个四年级，红帽6÷2=3顶对应3个五年级，黄帽6÷3=2顶对应2个六年级，这9人正好花同样多的钱。

3315÷9=35组，四年级=35×4=140人

依据：为什么除以9？把9人看成一组，315人正好分成35整组，每组4个四年级，所以四年级=35×4。

答：140人

典型错法：按价格比1.5:2:3分配，方向反了；忘记每组9人。

典例 B1

有6颗巧克力，每天至少吃1颗，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？

训练点：隔板法：n个物体间n-1个空隙，每个空隙切或不切。

提示：

1. 6颗排成一排，中间有几个空隙？

2. 每个空隙要么在那天分开（切），要么不切，有几种选择？

16颗巧克力排成一排，中间有5个空隙

依据：为什么转化成空隙？吃法的区别只在“哪两颗算同一天、哪两颗之间隔天”，正好对应巧克力之间的5个空。

2每个空隙可以选择在那天分开或不分开，各2种

依据：为什么每个空2种？两个相邻巧克力之间，要么归同一天吃（不分），要么第二天再吃（分），独立地二选一。

32^5=32种

依据：为什么是2的5次方？5个空隙每个都有2种选择，互相独立，用乘法原理就是2×2×2×2×2。

答：32种

典型错法：漏算最后一天；用排列组合时除以重复。

典例 B2

小源打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前每分钟多打28个字，前后共打字48分钟，后24分钟比前24分钟多打504个字。这篇文稿一共多少个字？

训练点：分段速度差反推。

提示：

1. 晚饭后速度快，打前一半用的时间长还是短？前24分钟是否全在慢速打？

2. 后24分钟比前24分钟多504字，这504字是因为晚饭后每分钟多28字，晚饭后打了几分钟？

1晚饭后速度快，打前一半超过24分钟，所以前24分钟全是慢速

依据：为什么前24分钟全慢？前一半是在饭前慢速打的，而它用时超过24分钟（因为慢），说明前24分钟还没打完前一半，全在慢速。

2后24分钟比前24分钟多504字，晚饭后每分钟多28字，504÷28=18分钟（晚饭后时间）

依据：为什么504÷28？多打的504字全部来自饭后那一段，每分钟多28字，所以饭后时间=504÷28=18分钟。

3晚饭前打了48-18=30分钟

依据：为什么48减18？总时间48分钟，饭后18分钟，剩下就是饭前慢速时间。

4前30分钟慢速=后18分钟快速（都是一半）。后18分钟比前18分钟多18×28=504字，这504字慢速需30-18=12分钟打完

依据：为什么用12分钟？前一半=后一半。后18分钟快速打的量，等于前30分钟慢速打的量；前18分钟两部分都在慢速，差出的504字正好是前30分钟里多出的12分钟慢速打的。

5慢速=504÷12=42字/分，一半=42×30=1260字，全文=1260×2=2520字

依据：为什么最后乘2？先求出慢速，再用慢速×饭前30分钟得到一半文稿，整篇要乘2。

答：2520个字

典型错法：认为前24分钟全是前一半，直接504÷28=18但不理解为什么；忘记×2。

典例 B3

摩托车赛全程共281千米，某一阶段由上坡3km、平路4km、下坡2km、平路4km组成；另一阶段由上坡3km、下坡2km、平路4km组成。已知共跑了25段上坡路。问：两个阶段各几段？

训练点：假设调整法。

提示：

1. 两种阶段各含几段上坡？共25段上坡说明共多少段？

2. 假设25段全是第一阶段（13km），会多出多少？每换一段少多少？

1两种阶段各含1段上坡，共25段

依据：为什么总段数是25？题目没直接说共几段，但两种阶段都恰好各含1段上坡，共25段上坡就说明两种阶段加起来共25段。

2第一阶段长3+4+2+4=13km，第二阶段长3+2+4=9km

依据：为什么先算每段长度？假设法需要知道两种阶段各自全长，才能比较。

3假设全第一阶段：13×25=325km，多325-281=44km

依据：为什么假设全是第一阶段？先全部按长的算，算出一个虚高的总长度，差额就是因为把第二阶段错当成第一阶段造成的。

4每换一段少13-9=4km，第二阶段=44÷4=11段，第一阶段=25-11=14段

依据：为什么除以4？每把一段第一阶段换成第二阶段，总长就少4km；总共多算了44km，所以要换44÷4=11段。

答：第一阶段14段，第二阶段11段

典型错法：把上坡段数当成总段数；每段差量算成13-9=4但忘记44÷4。

典例 C1

有一架天平，只有5克和30克两个砝码，用这两个砝码最少称几次，一定能将300克糖平均分成三份？

训练点：天平称重：砝码+已称糖一起当砝码。

提示：

1. 每次最多能称多少？5+30=35克，但能不能把已称出的糖也放上去？

2. 称出35克后，第二次能不能用30克砝码+35克糖称出65克？35+65=100。

1第一次：左盘5+30克砝码，右盘称出35克糖

依据：为什么先称35克？两个砝码合起来一次最多称出35克，这是起点。

2第二次：左盘30克砝码+第一次称出的35克糖，右盘称出65克糖

依据：为什么这次能称65克？关键思路是：已经称出的糖本身也能当砝码用，30克砝码+35克糖=65克，就能再称出65克。

335+65=100克=第一份。第三次：左盘放这100克糖，右盘再称出100克=第二份，剩下正好第三份100克

依据：为什么第三次只需100克？凑出100克后，直接用它当砝码称出第二份100克，剩下的不用称就是第三份。

答：最少称3次

典型错法：以为每次只能用35克砝码称，要称9次；忘记第二次可以用糖当砝码。

典例 C2

有127吨货物要从甲地运往乙地，大卡车载重5吨耗油10升，小卡车载重2吨耗油5升。如何选派车辆使运输耗油量最少？

训练点：单位效率比较。

提示：

1. 大卡车每吨耗油多少升？小卡车呢？

2. 127÷5=25辆余2吨，余2吨用小卡车；但如果大卡车少1辆，剩7吨用小卡车要几辆？哪个省油？

1大卡每吨10÷5=2升，小卡每吨5÷2=2.5升，大卡省油

依据：为什么先比单位油耗？哪种车每吨更省油就优先用它，这是统筹优化的第一步。

2127÷5=25辆余2吨，余2吨用1辆小卡：10×25+5=255升

依据：为什么先尽量用大卡？大卡每吨省油，先装满25辆大卡运125吨，剩下2吨正好用1辆小卡。

3验证：24辆大卡运120吨余7吨，7÷2=3.5需4辆小卡，10×24+5×4=260升>255

依据：为什么要验证？如果大卡少1辆，剩下的货要用小卡拉，小卡不省油可能更费油，必须比较才知道。

答：25辆大卡车+1辆小卡车，耗油255升

典型错法：不比较余料方案；小卡每吨油耗算错。

典例 C3

服装厂甲车间每天生产上衣16件或裤子20条，乙车间每天生产上衣18件或裤子24条，一件上衣一条裤子为一套。两车间合作21天，最多生产多少套？

训练点：相对效率+配套调整。

提示：

1. 假设都做120条裤子，甲能换多少上衣？乙能换多少？谁换上衣效率高？

2. 让上衣效率高的全做上衣，另一个车间调几天做上衣使配套。

1假设都做120条裤子：甲换上衣120÷20×16=96件，乙换120÷24×18=90件。甲上衣效率高

依据：为什么都换成120条比？要公平比较谁做上衣更划算，就让两车间都先拿出同样多的裤子时间，看各能换出多少上衣，换得多的做上衣更有优势。

2甲21天全做上衣：16×21=336件

依据：为什么甲全做上衣？甲换上衣效率高，就让擅长的车间把全部时间投入上衣。

3乙21天全做裤子：24×21=504条，多504-336=168份

依据：为什么乙先全做裤子？乙做裤子效率更高，先让它全做裤子，看和甲的上衣配不配套。

4乙每把1天从裤子改上衣，上衣+18裤子-24，差值变化42。168÷42=4天

依据：为什么差值是18+24？乙改1天做上衣，上衣多出18件、裤子少做24条，一增一减两边差距缩小了18+24=42；要补168的差就需要4天。

5上衣=336+18×4=408，裤子=24×17=408

依据：为什么最后相等？调整4天后上衣和裤子都是408件，正好配套，这就是最多套数。

答：408套

典型错法：不比较相对效率；调整天数差值用18或24而非18+24。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空)

有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形。甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了____枚棋子。

答案：28

解析：共7层：14×14,12×12,…,2×2。甲取第1,3,5,7层：52+36+20+4=112枚；乙取第2,4,6层：44+28+12=84枚；差28枚。

水平测试 A 第2题(填空)

如图19-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米。图中一共有____条线段，这些线段的长度之和是____厘米。

答案：10；60

解析：5个点共C(5,2)=10条线段。长度和=3×4+6×3+9×2+12×1=60厘米。

水平测试 A 第3题(填空)

图19-2所示竖式中九个字母分别代表1~9这九个数字（A+AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HM=HHM），则M=____，H=____。

答案：M=5，H=4

解析：个位和=1+2+…+9=45，个位写5进4，M=5。十位上8个字母和=45-5=40，加进位4得44，十位写4进4，H=4。

水平测试 A 第4题(填空)

小鸟最初停在0号位，依次飞到关于A点对称的1号位、关于B点对称的2号位、关于C点对称的3号位、关于A点对称的4号位……如此继续。2004号位和0号位之间的距离是____米。

答案：0

解析：对称跳跃周期为6，第6次回到0号。2004÷6=334余0，回到0号，距离0米。

水平测试 A 第5题(填空)

观察图19-4三角形中数字的摆放规律（每格数字乘积：1格=1，2格=2，3格=4，求A），A=____。

答案：3

解析：三角形每格内数字的积成2倍递增。第3格积=1×3×8=24，第4格积应为24×2=48；第4格已知1、2、8，所以1×2×8×A=48，A=48÷16=3。

水平测试 A 第6题(填空)

中间1支铅笔，外面围第一周用6支，第二周、第三周依次围下去，第三周一共用____支铅笔围成。

答案：24

解析：第一周6支；第二周6×3-6=12支；第三周12×3-12=24支（六边形每层比前层多6支）。

水平测试 A 第7题(填空)

帽子5顶、上衣10件、裤子8条、皮鞋6双，每次各取一个搭配（帽子可戴可不戴），共可组成____种不同搭配。

答案：2880

解析：帽子可戴可不戴共5+1=6种，6×10×8×6=2880。

水平测试 A 第8题(填空)

羽毛球队男女队员共24人。男队员中5人和第一个女队员配合过双打，6人和第二个女队员配合过……所有男队员都和最后一个女队员配合过。男、女队员各____人。

答案：男14人，女10人

解析：男队员数=女队员数+4（第k个女队员对应男队员数=4+k）。和24，差4，男=(24+4)÷2=14，女=10。

水平测试 A 第9题(填空)

数表：第1行5 4 3 2，第2行6 7 8 9，第3行13 12 11 10，第4行14 15 16 17……第100行左边第一个数是____。

答案：398

解析：每行4个数，前99行共396个数，从2开始，第99行最后一个数是397。第100行偶数行从左到右递增，左边第一个=398。

水平测试 A 第10题(填空)

2001个空格一行，第1格放棋子，A、B交替走，每步向右移2/3/4格，谁到最后一格谁胜。A第一步必须向右移____格保证获胜。

答案：2

解析：两人一轮可控和=2+4=6格。总移动2000格，2000÷6=333余2。A第一步移2格，剩1998=6×333，以后B移k格A移(6-k)格。

水平测试 A 第11题(解答)

五个小朋友各写一个整数，老师四个四个相加得104,107,109,122,138。五张卡片中最接近平均数的是哪个数？

答案：23

解析：五数总和=(104+107+109+122+138)÷4=145。五数分别为145-104=41,145-107=38,145-109=36,145-122=23,145-138=7。平均数=29，与23差6最小。

水平测试 A 第12题(解答)

一串数第1个0、第2个1、第3个2，从第4个起每个数是前三个数之和。第1993个数被3除余几？

答案：0

解析：余数序列0,1,2,0,0,2,2,1,2,2,2,0,1周期13。1993÷13=153余4，第4个余数=0。

水平测试 A 第13题(解答)

通讯员从A出发走过图19-6中所有路再回到A，图中数字为路线千米数。怎样走使路程最短？全程多少千米？

答案：30千米

解析：图中有6个奇点，需连3条重复路径。选最短重复边BC、DE、FG。全程=[(1+3+1+3)×2+(2+1)×2+3]+(1+1+3)=30千米。

B层

水平测试 A 第1题(填空)

有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形。甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了____枚棋子。

答案：28

解析：共7层：14×14,12×12,…,2×2。甲取第1,3,5,7层：52+36+20+4=112枚；乙取第2,4,6层：44+28+12=84枚；差28枚。

水平测试 A 第2题(填空)

如图19-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米。图中一共有____条线段，这些线段的长度之和是____厘米。

答案：10；60

解析：5个点共C(5,2)=10条线段。长度和=3×4+6×3+9×2+12×1=60厘米。

水平测试 A 第3题(填空)

图19-2所示竖式中九个字母分别代表1~9这九个数字（A+AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HM=HHM），则M=____，H=____。

答案：M=5，H=4

解析：个位和=1+2+…+9=45，个位写5进4，M=5。十位上8个字母和=45-5=40，加进位4得44，十位写4进4，H=4。

水平测试 A 第4题(填空)

答案：0

解析：对称跳跃周期为6，第6次回到0号。2004÷6=334余0，回到0号，距离0米。

水平测试 A 第5题(填空)

观察图19-4三角形中数字的摆放规律（每格数字乘积：1格=1，2格=2，3格=4，求A），A=____。

答案：3

解析：三角形每格内数字的积成2倍递增。第3格积=1×3×8=24，第4格积应为24×2=48；第4格已知1、2、8，所以1×2×8×A=48，A=48÷16=3。

水平测试 A 第6题(填空)

中间1支铅笔，外面围第一周用6支，第二周、第三周依次围下去，第三周一共用____支铅笔围成。

答案：24

解析：第一周6支；第二周6×3-6=12支；第三周12×3-12=24支（六边形每层比前层多6支）。

水平测试 A 第7题(填空)

帽子5顶、上衣10件、裤子8条、皮鞋6双，每次各取一个搭配（帽子可戴可不戴），共可组成____种不同搭配。

答案：2880

解析：帽子可戴可不戴共5+1=6种，6×10×8×6=2880。

水平测试 A 第8题(填空)

答案：男14人，女10人

解析：男队员数=女队员数+4（第k个女队员对应男队员数=4+k）。和24，差4，男=(24+4)÷2=14，女=10。

水平测试 A 第9题(填空)

数表：第1行5 4 3 2，第2行6 7 8 9，第3行13 12 11 10，第4行14 15 16 17……第100行左边第一个数是____。

答案：398

解析：每行4个数，前99行共396个数，从2开始，第99行最后一个数是397。第100行偶数行从左到右递增，左边第一个=398。

水平测试 A 第10题(填空)

2001个空格一行，第1格放棋子，A、B交替走，每步向右移2/3/4格，谁到最后一格谁胜。A第一步必须向右移____格保证获胜。

答案：2

解析：两人一轮可控和=2+4=6格。总移动2000格，2000÷6=333余2。A第一步移2格，剩1998=6×333，以后B移k格A移(6-k)格。

水平测试 A 第11题(解答)

五个小朋友各写一个整数，老师四个四个相加得104,107,109,122,138。五张卡片中最接近平均数的是哪个数？

答案：23

解析：五数总和=(104+107+109+122+138)÷4=145。五数分别为145-104=41,145-107=38,145-109=36,145-122=23,145-138=7。平均数=29，与23差6最小。

水平测试 A 第12题(解答)

一串数第1个0、第2个1、第3个2，从第4个起每个数是前三个数之和。第1993个数被3除余几？

答案：0

解析：余数序列0,1,2,0,0,2,2,1,2,2,2,0,1周期13。1993÷13=153余4，第4个余数=0。

水平测试 A 第13题(解答)

通讯员从A出发走过图19-6中所有路再回到A，图中数字为路线千米数。怎样走使路程最短？全程多少千米？

答案：30千米

解析：图中有6个奇点，需连3条重复路径。选最短重复边BC、DE、FG。全程=[(1+3+1+3)×2+(2+1)×2+3]+(1+1+3)=30千米。

水平测试 B 第1题(填空)

城镇5000户居民，每户小孩不超过2个。一部分家庭每户1个小孩，余下家庭一半每户2个小孩。城镇共____个小孩。

答案：5000

解析：余下一半没小孩一半2个，平均每户1个。加上已有1个的家庭，平均每户1个小孩，共5000个。

水平测试 B 第2题(填空)

甲乙两车从A、B出发，第一次相遇甲走100km，到对方站后立即返回，第二次相遇时甲离A站70km。A、B距离____km。

答案：185

解析：第一次相遇共走1个全程，第二次相遇共走3个全程。甲共走100×3=300km。甲走了1个全程+70km（到B后返回离A70km），全程=(300+70)÷2=185km。

水平测试 B 第3题(填空)

小头爸爸年龄是大头儿子的4倍，再过16年是儿子的2倍。小头爸爸现在____岁。

答案：32

解析：年龄差不变：现在差3倍，16年后差1倍。儿子现在=16÷(4-2)=8岁，爸爸=32岁。

水平测试 B 第4题(填空)

卡片000~999共1000张，0,1,8倒过不变，6↔9。倒过来看与原数相同的有____张。

答案：15

解析：三位数倒过来看相同：百位和个位互为倒转（0↔0,1↔1,8↔8,6↔9,9↔6），十位自倒。000,010,080,101,111,181,808,818,888,609,619,689,906,916,986共15张。

水平测试 B 第5题(填空)

正方体展开图如图19-7，相对面两数之和为3，则A=____，B=____，C=____。

答案：A=3，B=1，C=2

解析：展开图中A与0相对、B与2相对、C与1相对。A=3-0=3，B=3-2=1，C=3-1=2。

水平测试 B 第6题(填空)

球拍每只60元，买1只赠1张奖券，3张奖券换1只球拍。1张奖券价值____元。

答案：15

解析：买3只球拍花180元得3张奖券换1只，共得4只球拍，每只实际45元，奖券=60-45=15元。

水平测试 B 第7题(填空)

有9颗巧克力，每天至少吃1颗，吃完为止，共____种吃法。

答案：256

解析：9颗间8个空隙，每个空隙切或不切，2^8=256种。

水平测试 B 第8题(填空)

红太狼一半路程溜达一半路程奔跑，灰太狼一半时间溜达一半时间奔跑，溜达速度和奔跑速度相同。____先到。

答案：灰太狼

解析：灰太狼一半时间奔跑，奔跑路程超过一半，溜达路程不到一半，所以平均速度更快。

水平测试 B 第9题(填空)

用0,2,4,6,8组成无重复数字四位数共96个，从小到大排列，第80个是____。

答案：8206

解析：千位2,4,6,8各24个。第80个是千位8的第8个：8024,8026,8042,8046,8062,8064,8204,8206。

水平测试 B 第10题(填空)

1~100中最多选出____个数，保证其中必有两个数差为4。

答案：53

解析：每8个数一组选前4个（1,2,3,4不选5,6,7,8），100÷8=12组余4，最多选12×4+4=52个使任意两数差≠4。再选1个必差4，共53。

水平测试 B 第11题(解答)

A、B、C三人平均买95斤，B、C、D平均94斤，C、D、A平均90斤，D、A、B平均91斤。四人各买多少斤？

答案：A=88斤，B=100斤，C=97斤，D=85斤

解析：四式相加：(A+B+C)+(B+C+D)+(C+D+A)+(D+A+B)=3(A+B+C+D)=285+282+270+273=1110，所以A+B+C+D=370斤。D=370-285=85，A=370-282=88，B=370-270=100，C=370-273=97。

水平测试 B 第12题(解答)

独角兽(1头1脚)、双头龙(2头4脚)、三脚猫(1头3脚)、四脚蛇(1头4脚)共58头160脚，四脚蛇是双头龙的2倍。独角兽有多少只？

答案：7只

解析：2只四脚蛇+1只双头龙=4头12脚=4只三脚猫。把双头龙和四脚蛇看成三脚猫，变成鸡兔同笼：假设58头全三脚猫=174脚，多174-160=14脚，每只独角兽少2脚，独角兽=14÷2=7只。

水平测试 B 第13题(解答)

长方形跑道长100米宽60米，甲从A、乙从C同时逆时针跑，甲速6.25m/s乙速5m/s，每次到拐点停5秒。甲第一次追上乙时各跑多少米？

答案：甲跑960米，乙跑800米

解析：周长320米。甲到A点时间：960÷6.25+11×5=208.6秒（跑3圈+960米），离开A 213.6秒。乙跑2圈半到A时间(640+160)÷5+9×5=205秒，离开A 210秒。甲在A点追上乙。

C层

水平测试 A 第1题(填空)

有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形。甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了____枚棋子。

答案：28

解析：共7层：14×14,12×12,…,2×2。甲取第1,3,5,7层：52+36+20+4=112枚；乙取第2,4,6层：44+28+12=84枚；差28枚。

水平测试 A 第2题(填空)

如图19-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米。图中一共有____条线段，这些线段的长度之和是____厘米。

答案：10；60

解析：5个点共C(5,2)=10条线段。长度和=3×4+6×3+9×2+12×1=60厘米。

水平测试 A 第3题(填空)

图19-2所示竖式中九个字母分别代表1~9这九个数字（A+AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HM=HHM），则M=____，H=____。

答案：M=5，H=4

解析：个位和=1+2+…+9=45，个位写5进4，M=5。十位上8个字母和=45-5=40，加进位4得44，十位写4进4，H=4。

水平测试 A 第4题(填空)

答案：0

解析：对称跳跃周期为6，第6次回到0号。2004÷6=334余0，回到0号，距离0米。

水平测试 A 第5题(填空)

观察图19-4三角形中数字的摆放规律（每格数字乘积：1格=1，2格=2，3格=4，求A），A=____。

答案：3

解析：三角形每格内数字的积成2倍递增。第3格积=1×3×8=24，第4格积应为24×2=48；第4格已知1、2、8，所以1×2×8×A=48，A=48÷16=3。

水平测试 A 第6题(填空)

中间1支铅笔，外面围第一周用6支，第二周、第三周依次围下去，第三周一共用____支铅笔围成。

答案：24

解析：第一周6支；第二周6×3-6=12支；第三周12×3-12=24支（六边形每层比前层多6支）。

水平测试 A 第7题(填空)

帽子5顶、上衣10件、裤子8条、皮鞋6双，每次各取一个搭配（帽子可戴可不戴），共可组成____种不同搭配。

答案：2880

解析：帽子可戴可不戴共5+1=6种，6×10×8×6=2880。

水平测试 A 第8题(填空)

答案：男14人，女10人

解析：男队员数=女队员数+4（第k个女队员对应男队员数=4+k）。和24，差4，男=(24+4)÷2=14，女=10。

水平测试 A 第9题(填空)

数表：第1行5 4 3 2，第2行6 7 8 9，第3行13 12 11 10，第4行14 15 16 17……第100行左边第一个数是____。

答案：398

解析：每行4个数，前99行共396个数，从2开始，第99行最后一个数是397。第100行偶数行从左到右递增，左边第一个=398。

水平测试 A 第10题(填空)

2001个空格一行，第1格放棋子，A、B交替走，每步向右移2/3/4格，谁到最后一格谁胜。A第一步必须向右移____格保证获胜。

答案：2

解析：两人一轮可控和=2+4=6格。总移动2000格，2000÷6=333余2。A第一步移2格，剩1998=6×333，以后B移k格A移(6-k)格。

水平测试 A 第11题(解答)

五个小朋友各写一个整数，老师四个四个相加得104,107,109,122,138。五张卡片中最接近平均数的是哪个数？

答案：23

解析：五数总和=(104+107+109+122+138)÷4=145。五数分别为145-104=41,145-107=38,145-109=36,145-122=23,145-138=7。平均数=29，与23差6最小。

水平测试 A 第12题(解答)

一串数第1个0、第2个1、第3个2，从第4个起每个数是前三个数之和。第1993个数被3除余几？

答案：0

解析：余数序列0,1,2,0,0,2,2,1,2,2,2,0,1周期13。1993÷13=153余4，第4个余数=0。

水平测试 A 第13题(解答)

通讯员从A出发走过图19-6中所有路再回到A，图中数字为路线千米数。怎样走使路程最短？全程多少千米？

答案：30千米

解析：图中有6个奇点，需连3条重复路径。选最短重复边BC、DE、FG。全程=[(1+3+1+3)×2+(2+1)×2+3]+(1+1+3)=30千米。

水平测试 C 第1题(填空)

平底锅每次放2个饼，每饼正反面各1分钟，煎15个饼最少____分钟。

答案：15

解析：3个饼一组：第1分钟A正B正，第2分钟A反C正，第3分钟B反C反，3分钟煎3个。15个=5组×3=15分钟。

水平测试 C 第2题(填空)

27个零件中1个次品（较轻），无砝码天平最少称____次一定找到。

答案：3

解析：每次分三堆称两堆。第一次9,9,9；第二次3,3,3；第三次1,1,1。

水平测试 C 第3题(填空)

天平只有5克和35克砝码，最少称____次一定将300克糖分三份。

答案：3

解析：第一次用5+35=40克砝码称出40克糖；第二次用35克砝码加这40克糖作砝码称出75克糖；第三次把已称出的糖配合砝码再称，凑出三个100克。共3次。

水平测试 C 第4题(填空)

8千克水装满桶，另有5千克和3千克空桶各一，至少倒____次分成两个4千克。

答案：8

解析：标准分水法：3kg倒满→倒入5kg→3kg倒满→倒入5kg满（3kg桶余1kg）→5kg倒回8kg桶→3kg桶1kg倒入5kg→3kg倒满→倒入5kg=1+3=4kg。共8次。

水平测试 C 第5题(填空)

画展9点开门，每分钟来观众一样多。开3个入场口12分钟后无人排队，开4个入场口8分钟后无人排队。第一个观众到达时间是____点____分。

答案：8点36分

解析：设每口每分钟进a份。来人速度=(3×12a-4×8a)÷(12-8)=a。开门前已排队=3×12a-12a=24a，需24÷1=24分钟。9点-24分=8点36分。

水平测试 C 第6题(填空)

89吨货物，大卡7吨14升，小卡4吨9升，耗油最少。大卡____辆、小卡____辆，共____升。

答案：11辆，3辆，181升

解析：大卡每吨2升小卡2.25升优先大卡。89÷7=12余5。方案1：13大卡=182升；方案2：11大卡余12吨=3小卡，14×11+9×3=181升。

水平测试 C 第7题(填空)

10个空瓶换1瓶矿泉水，同学们共喝90瓶，老师最初至少买____瓶。

答案：81

解析：买9瓶喝10瓶（借1空瓶凑10换1瓶，喝完还瓶）。喝90瓶需买90÷10×9=81瓶。

水平测试 C 第8题(填空)

10元30张买进贺年卡，5元12张卖出，共赚120元，买进____张。

答案：1440

解析：60张一组：买20元卖25元赚5元。120÷5×60=1440张。

水平测试 C 第9题(填空)

甲车间每天上衣9件或裤子17条，乙车间上衣7件或裤子16条，合作46天最多____套。

答案：512

解析：甲上衣效率高（120条裤子换甲上衣96件乙52.5件）。甲46天全上衣=414件。乙46天全裤子=736条，多322份。乙调322÷(7+16)=14天做上衣。上衣=414+7×14=512，裤子=16×32=512。

水平测试 C 第10题(解答)

5个工件先在机床A后在机床B加工，时间(分)：工件1(A=3,B=6)，工件2(A=7,B=2)，工件3(A=4,B=7)，工件4(A=5,B=3)，工件5(A=7,B=4)。安排顺序使总时间最少，需____分钟。

答案：28

解析：Johnson法则：A<B的工件排前按A递增(1,3)，A≥B的排后按B递减(5,4,2)。顺序1,3,4,5,2。A线：3→7→12→19→26。B线：3+6=9→9+7=16→16+3=19→19+4=23→max(26,23)+2=28。

水平测试 C 第11题(解答)

每12人猎5只野兔，每8人猎3只野鸡，每6人得1头野猪，共猎46只猎物。参加打猎多少人？

答案：48人

解析：统一到24人：24人猎10野兔+9野鸡+4野猪=23只。46÷23×24=48人。

水平测试 C 第12题(解答)

缝纫社四组：甲8上衣/10裤，乙9上衣/12裤，丙7上衣/11裤，丁6上衣/7裤。14天最多做多少套？

答案：250套

解析：上衣效率丁>甲>乙>丙。丁14天全上衣=84，甲14天全上衣=112，共196。丙14天全裤子=154。乙14天全裤子=168，多168+154-196=126份。乙调126÷(9+12)=6天做上衣。上衣=196+9×6=250，裤子=168+154-12×6=250。

水平测试 C 第13题(解答)

鞋每双60元，买1双原价，买2双每双减5元，买3双每双减10元。85人买155双（每人不超过3双），收入8390元。买1双、2双、3双各几人？

答案：买1双36人，买2双28人，买3双21人

解析：买1双60元，买2双110元，买3双150元。设买1/2/3双分别x,y,z人。x+y+z=85，x+2y+3z=155，60x+110y+150z=8390。消元：y+2z=70，50y+90z=3290。解得z=21,y=28,x=36。

四、方法小结

本讲是综合问题解决：①构造分组——不同类别钱一样多时找公共倍数凑成一组；②对折剪绳——层数2^n、折痕1+2+…+2^(n-1)；③对策问题——每步范围2~k时两人一轮凑(最小+最大)，先走者拿余数；④假设调整——先全假设一种，差额÷每段差量求另一种；⑤统筹优化——先比单位效率，擅长的全做擅长事，另一车间调时间配套；⑥周期问题——先列前若干项找周期，总数÷周期取余。

五、作业建议

基础必做：

教材P237–238 水平测试A 1–6
教材P238–239 水平测试A 7–12
教材P240 水平测试A 13

巩固选做：

教材P243–244 水平测试B 1–7
教材P244 水平测试B 8–13

提高挑战：

教材P247–248 水平测试C 1–7
教材P248–249 水平测试C 8–11
教材P250 水平测试C 12–13

六、课堂错因定位

症状：构造分组题不会找公共钱数
根因：不理解价格反比。
补救：列出1.5×?=2×?=3×?，找最小整数解6。

症状：对折剪绳段数算错
根因：忘记对折后层数2^n。
补救：拿纸折4次数层数；折痕数1+2+4+8逐项加。

症状：对策问题凑错周期
根因：用2+3=5或3+4=7。
补救：两人一轮可控范围是最小步+最大步=2+4=6。

症状：假设调整方向反
根因：假设全是长的还是短的搞混。
补救：先全假设成一种，算出差额是多了还是少了。

症状：配套生产调整天数算错
根因：差值用18或24而非18+24。
补救：乙每改1天上衣：上衣+18裤子-24，配套差变化42。

症状：周期题余0对应错
根因：余0当成第0项不存在。
补救：余0对应周期最后一项。