奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第20讲 · 分数初步

四年级奥数 · 教材第251–265页（第20讲全讲，四年级收尾讲）

一、知识要点

分数的分类：真、假、带

本质：真分数分子<分母（<1），假分数分子≥分母（≥1），带分数=整数+真分数。最简分数：分子分母只有公因数1。
真分数 分子<分母 如 1/5, 6/10 假分数 分子≥分母 如 9/7, 11/11 带分数 整数+真分数 如 2又1/3
适用：典例A1：在10个分数中分类。真分数看分子<分母；带分数有整数部分；最简分数要约到不能再约。
  1. 先看有没有整数部分：有就是带分数。
  2. 没有整数部分：分子<分母是真分数，分子≥分母是假分数。
  3. 最简分数：分子分母最大公因数为1。
典型错误：把带分数当成假分数（带分数不是假分数，是整数+真分数的合成数）；11/11是假分数不是带分数。

假分数与带分数互化

本质：假化带：分子÷分母=商……余数，商作整数部分余数作分子；带化假：整数×分母+分子作新分子。
假分数 ⇌ 带分数 39/17 = 39÷17 ⇌ = 2……5 = 2又5/17
适用：典例A2：39/17=2又5/17，22/5=4又2/5，1又3/7=10/7，3又5/16=53/16。
  1. 假化带：39÷17=2余5，整数2，分子5，分母17。
  2. 带化假：1又3/7=(1×7+3)/7=10/7。
典型错误：带化假时忘记整数×分母；假化带时余数要小于分母。

分数基本性质：约分与通分

本质：分子分母同乘或同除同一个非零数，分数大小不变。约分时同除最大公因数；通分时同乘最小公倍数。
约分：同除最大公因数 12/18 =÷6→ 2/3 通分：同乘最小公倍数 2/3=8/12, 1/4=3/12
适用：典例A3：12/18=6/9=2/3=10/15。约分9/12=3/4，24/36=2/3。通分2/3=8/12和1/4=3/12。
  1. 12/18：12和18最大公因数6，同除6得2/3。
  2. 2/3和1/4：分母最小公倍数12，2/3=8/12，1/4=3/12。
典型错误：约分不约到底；通分不用最小公倍数导致后面还要再约。

分数与小数互化

本质：分数化小数用分子÷分母；小数化分数：几位小数分母写几个0，分子是去小数点的数，再约分。
17/25 = 17÷25 = 0.68 ⇌ 0.8 = 8/10 = 4/5
适用：典例B1：17/25=0.68，2又3/8=2.375，0.8=4/5，4.35=4又7/20。
  1. 17/25：17÷25=0.68。
  2. 0.8：一位小数分母10，8/10约分得4/5。
  3. 4.35：4+35/100=4+7/20=4又7/20。
典型错误：小数化分数不约分；带小数化分数整数部分漏掉。

分数大小比较

本质：通分母比分子；通分子比分母；接近1的分数用1减后比较差（差小的原分数大）。
接近1的分数：10/11=1-1/11, 12/13=1-1/13... 差：1/11 > 1/13 > 1/15 > 1/17 > 1/19 差大则原数小：10/11 < 12/13 < 14/15 < 16/17 < 18/19
适用：典例B2：5/6=15/18>7/9=14/18；2/17=6/51<3/19=6/38。水平测试B11：10/11<12/13<14/15<16/17<18/19（都用1减）。
  1. 通分母：5/6和7/9，分母18，15/18>14/18。
  2. 通分子：2/17和3/19，分子6，6/51<6/38，分母大的小。
  3. 接近1：10/11=1-1/11，1/11最大所以10/11最小。
典型错误：通分子后误以为分母大的分数大；接近1的分数直接通分计算量太大。

循环小数化分数（错位相减）

本质：纯循环：分子=循环节，分母=对应个数的9。混循环：分子=（小数部分到第一循环节-不循环部分），分母=9...90...0（9的个数=循环节位数，0的个数=不循环位数）。
纯循环：0.444... × 9 = 4 → 4/9 混循环：0.2555... × 90 = 25-2=23 → 23/90 错位相减：×10^n 减去 ×10^m 消掉循环部分
适用：典例C2：0.4̇=4/9，0.5̇1̇=17/33，0.25̇=23/90，0.13̇6̇=3/22。
  1. 0.4̇×10=4.4̇，减0.4̇得9×0.4̇=4，所以0.4̇=4/9。
  2. 0.25̇×100=25.5̇，×10=2.5̇，相减得90×0.25̇=23，所以=23/90。
典型错误：混循环分母9和0的个数搞反；不约到最简。

埃及分数分拆

本质：把1/n分拆成几个分子为1的分数：先把分子分母同乘一个数使分子能拆成几个因数之和，再分别约分。
1/2 = 3/6 = 1/6 + 2/6 = 1/6 + 1/3 1/2 = 6/12 = 1/12 + 2/12 + 3/12 = 1/12 + 1/6 + 1/4
适用：典例C1：1/2=3/6=1/6+1/3；1/2=6/12=1/12+1/6+1/4。
  1. 找分子的因数分解：3=1+2，6=1+2+3。
  2. 每个因数分别约分后分子都为1。
典型错误：拆完忘记约分；拆出的分数分母相同（要求不同）。

二、典例精讲

典例 A1
在分数1/5, 6/10, 9/7, 2又1/3, 11/11, 21/49, 3又25/30, 27/64, 6又9/23, 65/26中，哪些是真分数、假分数、带分数、最简分数、最简真分数？
训练点：按定义分类。
提示：
1. 先挑有整数部分的（带分数）。
2. 没有整数部分的比分子分母大小。最简分数要约分。
1真分数（分子<分母）：1/5, 6/10, 21/49, 27/64
依据：为什么先分真假？判断真假只看分子分母谁大，分子小于分母的就是真分数，先把这一批挑出来。
2假分数（分子≥分母）：9/7, 11/11, 65/26
依据：为什么11/11算假分数？假分数定义是分子≥分母，分子等于分母也属于假分数。
3带分数（有整数部分）：2又1/3, 3又25/30, 6又9/23
依据：为什么带分数不混入假分数？带分数前面有整数部分，是整数加真分数的合成数，和假分数是不同类别。
4最简分数（分子分母互质）：1/5, 9/7, 2又1/3, 27/64, 6又9/23
依据：为什么还要逐个约分？最简分数与真假无关，要约到分子分母最大公因数为1：6/10=3/5、21/49=3/7、11/11=1、65/26=5/2都不是最简。
5最简真分数：1/5, 27/64
依据：为什么最后只剩两个？既要真分数又要最简，从上面两批取交集。
答：真分数：1/5,6/10,21/49,27/64；假分数：9/7,11/11,65/26；带分数：2又1/3,3又25/30,6又9/23；最简分数：1/5,9/7,2又1/3,27/64,6又9/23；最简真分数：1/5,27/64
典型错法：把11/11当成最简分数（它=1，不是最简分数）；把带分数归为假分数。
典例 A2
将下列假分数和带分数互化：(1)39/17；(2)22/5；(3)1又3/7；(4)3又5/16。
训练点：带余除法互化。
提示：
1. 假化带就是做除法求商和余数。
2. 带化假：整数×分母+分子。
139÷17=2余5，39/17=2又5/17
依据：为什么用除法？假分数化带分数就是分子除以分母，商是整数部分、余数是新分子、分母不变。
222÷5=4余2，22/5=4又2/5
依据：为什么余数2做分子？商4是整数部分，不够除的余数2写在分子上，分母仍为5。
31又3/7=(1×7+3)/7=10/7
依据：为什么整数要乘分母？带分数化假分数时，整数部分1相当于7/7，加上原分子3就是10/7。
43又5/16=(3×16+5)/16=53/16
依据：为什么3×16？3个整体每个是16/16，共48/16，再加5/16就是53/16。
答：(1)2又5/17；(2)4又2/5；(3)10/7；(4)53/16
典型错法：带化假分子写成1×7+3=10但分母写成7忘了；假化带余数≥分母。
典例 A3
填括号使等式成立：(1)12/18=6/()=()/3=10/()；(2)25/()=5/7=()/21=40/()。
训练点：分数基本性质。
提示：
1. 12→6是除以2，分母18也要除以2。
2. 5/7的分子5→25乘了5，分母7也要乘5。
1(1)12/18=6/9=2/3=10/15
依据：为什么分子分母同除同乘？分数基本性质：分子分母同时除以或乘同一个非零数，大小不变。12→6除以2，分母18也要除以2；再同除6得2/3；最后同乘5得10/15。
2(2)25/35=5/7=15/21=40/56
依据：为什么从5/7入手？5/7是已知标准，5→25乘5分母7也乘5；5→15乘3分母7也乘3；5→40乘8分母7也乘8。
答：(1)9,2,15；(2)35,15,56
典型错法：分子分母乘除的数不一致。
典例 B1
分数小数互化：(1)17/25；(2)2又3/8；(3)0.8；(4)4.35。
训练点：分数⇌小数。
提示：
1. 分数化小数直接分子÷分母。
2. 小数化分数：几位小数分母写几个0。
117÷25=0.68
依据：为什么做除法？分数化小数就是分子除以分母，17÷25直接算得0.68。
22+3÷8=2+0.375=2.375
依据：为什么整数部分保留？带分数化小数时整数2直接写在前面，只把真分数部分3÷8=0.375加在后面。
30.8=8/10=4/5
依据：为什么分母写10？一位小数表示十分之几，0.8就是8/10，再约分成最简4/5。
44.35=4+35/100=4+7/20=4又7/20
依据：为什么整数4保留？两位小数表示百分之几，0.35=35/100=7/20，整数部分4不变。
答：(1)0.68；(2)2.375；(3)4/5；(4)4又7/20
典型错法：0.8不写成4/5；4.35不写带分数。
典例 B2
比较大小：(1)5/6和7/9；(2)2/17和3/19。
训练点：通分母或通分子。
提示：
1. (1)分母6和9最小公倍数18。
2. (2)分子2和3最小公倍数6，化成同分子比分母。
15/6=15/18，7/9=14/18，15/18>14/18
依据：为什么通分母？6和9分母不同，找最小公倍数18把两分数化成分母相同，分子大的分数就大。
22/17=6/51，3/19=6/38，6/51<6/38
依据：为什么这题通分子？2和3的公倍数6比17和19的公倍数小得多；化成同分子后，分母越大分数反而越小。
答：(1)5/6>7/9；(2)2/17<3/19
典型错法：同分子后误以为分母大的大；通分算错。
典例 B3
写出大于1/3而小于1/2的四个分数。
训练点：通分找中间分数。
提示：
1. 把分母通分到30：1/3=10/30，1/2=15/30。
2. 也可以通分子到5：1/3=5/15，1/2=5/10。
1通分母30：1/3=10/30，1/2=15/30
依据：为什么通分到30？3和2的最小公倍数6太小，1/3=2/6、1/2=3/6之间夹不下四个分数；扩大到30，中间就有足够多整数分子。
2大于10/30小于15/30：11/30,12/30,13/30,14/30
依据：为什么直接取分子？分母相同，分子在10和15之间的整数11、12、13、14都满足条件。
答：11/30, 12/30, 13/30, 14/30（或5/14,5/13,5/12,5/11，答案不唯一）
典型错法：以为两个分数之间只有有限个分数；写出的分数不在区间内。
典例 C1
(1)把1/2分拆成两个分母不同分子为1的分数；(2)把1/2分拆成三个分母不同分子为1的分数。
训练点：埃及分数分拆。
提示：
1. 把1/2的分子分母同乘3变成3/6，3=1+2。
2. 同乘6变成6/12，6=1+2+3。
1(1)1/2=3/6=1/6+2/6=1/6+1/3
依据：为什么先乘3？要把分子1拆成两个分子1的分数，先把分子分母同乘3使分子变成3，3=1+2，拆开后2/6再约成1/3。
2(2)1/2=6/12=1/12+2/12+3/12=1/12+1/6+1/4
依据：为什么乘6？要拆成三个就把分子凑成能分成1+2+3的6，每一项分别约分后分子都是1、分母不同。
答：(1)1/6和1/3；(2)1/12,1/6,1/4
典型错法：拆完不约分；拆出的分母相同。
典例 C2
将(1)0.4̇；(2)0.5̇1̇；(3)0.25̇；(4)0.13̇6̇化成分数。
训练点：错位相减法化循环小数。
提示：
1. 纯循环乘10^n（n=循环节位数）再减原数。
2. 混循环先乘10^(不循环+循环位数)，再乘10^不循环位数，相减。
1(1)0.4̇×10=4.4̇，减0.4̇得9×0.4̇=4，0.4̇=4/9
依据：为什么乘10再减？纯循环1位，乘10后小数点右移一位，再减去原数，循环部分正好抵消，剩下整数4。
2(2)0.5̇1̇×100=51.5̇1̇，减0.5̇1̇得99×0.5̇1̇=51，=51/99=17/33
依据：为什么乘100？循环节是2位，乘100让循环节整体右移两位，相减后分母是99。
3(3)0.25̇×100=25.5̇，×10=2.5̇，相减得90×0.25̇=23，=23/90
依据：为什么混循环乘100再减10倍？0.25̇有1位不循环(2)和1位循环(5)，先乘100把循环节整体移到整数位，再乘10对齐，相减消掉循环，分母90=9个9后面1个0。
4(4)0.13̇6̇×1000=136.3̇6̇，×10=1.3̇6̇，相减得990×0.13̇6̇=135，=135/990=3/22
依据：为什么分母990？不循环2位、循环2位，乘1000减乘10，分母=99个9后面1个0=990，再约分成最简。
答：(1)4/9；(2)17/33；(3)23/90；(4)3/22
典型错法：混循环分母9和0个数搞反；不约分。
典例 C3
最简分数分子分母都是两位数，分子加1分母减1后约分到11/15。这样的最简分数共多少个？
训练点：逆推+枚举。
提示：
1. 11/15可以扩倍成22/30,33/45,44/60...
2. 对每个扩倍结果，原分数=(分子-1)/(分母+1)，检查是否最简。
111/15=22/30，原=21/31，gcd(21,31)=1最简✓
依据：为什么从11/15逆推？变化后的分数是11/15扩倍而来，原分数=(扩倍后分子−1)/(扩倍后分母+1)，逐个扩倍枚举。
211/15=33/45，原=32/46=16/23，非最简✗
依据：为什么这组不行？原分数32/46还能约成16/23，不满足“最简”条件，排除。
311/15=44/60，原=43/61，gcd=1最简✓
依据：为什么这组可以？43和61互质，且都是两位数，符合条件。
411/15=55/75，原=54/76=27/38，非最简✗
依据：为什么排除？54和76有公因数2，约分得27/38，不是最简。
511/15=66/90，原=65/91=5/7，非最简✗
依据：为什么停在这里？65和91有公因数13，约成5/7；再往下扩倍分母超两位数，枚举结束。
答：2个：21/31和43/61
典型错法：忘记检查原分数是否最简；漏枚举扩倍。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题
在6/5, 2又2/9, 9/13, 5/8, 64/47, 3又1/6, 9/4, 7又12/15, 37/37, 81/82中，真分数、假分数、带分数各有哪些？
答案：真分数：9/13,5/8,81/82；假分数：6/5,64/47,9/4,37/37；带分数：2又2/9,3又1/6,7又12/15
解析：按分子分母大小和有无整数部分分类。
水平测试 A 第2题
在1/3, 12/19, 24/16, 15/32, 45/46, 71/67, 39/49, 18/15, 91/98, 87/58中，最简分数、不是最简分数、最简真分数各有哪些？
答案：最简：1/3,12/19,15/32,45/46,71/67,39/49；非最简：24/16,18/15,91/98,87/58；最简真分数：1/3,12/19,15/32,45/46,39/49
解析：逐个约分检查gcd。71/67是最简假分数；39/49是最简真分数。
水平测试 A 第3题
假分数化带分数：(1)7/5；(2)41/14；(3)99/32；(4)215/38。
答案：(1)1又2/5；(2)2又13/14；(3)3又3/32；(4)5又25/38
解析：7÷5=1余2；41÷14=2余13；99÷32=3余3；215÷38=5余25。
水平测试 A 第4题
带分数化假分数：(1)1又1/8；(2)3又4/9；(3)8又1/23；(4)10又7/10。
答案：(1)9/8；(2)31/9；(3)185/23；(4)107/10
解析：(1×8+1)/8=9/8；(3×9+4)/9=31/9；(8×23+1)/23=185/23；(10×10+7)/10=107/10。
水平测试 A 第5题
约分：(1)9/12；(2)24/36；(3)75/90；(4)44/110。
答案：(1)3/4；(2)2/3；(3)5/6；(4)2/5
解析：分别同除gcd(9,12)=3, gcd(24,36)=12, gcd(75,90)=15, gcd(44,110)=22。
水平测试 A 第6题
通分：(1)2/3和1/4；(2)9/10和11/15。
答案：(1)8/12和3/12；(2)27/30和22/30
解析：分母LCM(3,4)=12；LCM(10,15)=30。
水平测试 A 第7题
通分三个分数：(1)1/2,3/4,5/8；(2)2/3,1/6,7/9。
答案：(1)4/8,6/8,5/8；(2)12/18,3/18,14/18
解析：LCM(2,4,8)=8；LCM(3,6,9)=18。
水平测试 A 第8题
用1,2,3,4组成分子分母都是一位数的真分数，共多少个？
答案：6个
解析：真分数：1/2,1/3,1/4,2/3,2/4,3/4共6个。
水平测试 A 第9题
38/9介于正整数____和____之间。
答案：4和5
解析：38÷9=4余2，所以4<38/9<5。
水平测试 A 第10题
用6,7,8,9组成分子分母都是一位数的最简分数，共多少个？
答案：8个
解析：6/7,7/6,8/7,9/7,7/8,9/8,7/9,8/9共8个（排除6/8,8/6,6/9,9/6）。
水平测试 A 第11题(解答)
分数单位是1/7，分数值大于2小于3的假分数有哪几个？
答案：15/7,16/7,17/7,18/7,19/7,20/7共6个
解析：2=14/7,3=21/7，大于14/7小于21/7的假分数分子15~20。
水平测试 A 第12题(解答)
一个分数分子分母和60，约分后是2/3，原分数是多少？
答案：24/36
解析：60÷(2+3)=12，分子=2×12=24，分母=3×12=36。
水平测试 A 第13题(解答)
数列1/2, 2/3, 1/3, 3/4, 2/4, 1/4, 4/5, 3/5, 2/5, 1/5,...第100个分数是多少？
答案：6/15
解析：分母2有1个，分母3有2个，...分母14有13个。1+2+...+13=91。剩9个在分母15，从14/15开始第9个分子=14-9+1=6。

B层

水平测试 A 第1题
在6/5, 2又2/9, 9/13, 5/8, 64/47, 3又1/6, 9/4, 7又12/15, 37/37, 81/82中，真分数、假分数、带分数各有哪些？
答案：真分数：9/13,5/8,81/82；假分数：6/5,64/47,9/4,37/37；带分数：2又2/9,3又1/6,7又12/15
解析：按分子分母大小和有无整数部分分类。
水平测试 A 第2题
在1/3, 12/19, 24/16, 15/32, 45/46, 71/67, 39/49, 18/15, 91/98, 87/58中，最简分数、不是最简分数、最简真分数各有哪些？
答案：最简：1/3,12/19,15/32,45/46,71/67,39/49；非最简：24/16,18/15,91/98,87/58；最简真分数：1/3,12/19,15/32,45/46,39/49
解析：逐个约分检查gcd。71/67是最简假分数；39/49是最简真分数。
水平测试 A 第3题
假分数化带分数：(1)7/5；(2)41/14；(3)99/32；(4)215/38。
答案：(1)1又2/5；(2)2又13/14；(3)3又3/32；(4)5又25/38
解析：7÷5=1余2；41÷14=2余13；99÷32=3余3；215÷38=5余25。
水平测试 A 第4题
带分数化假分数：(1)1又1/8；(2)3又4/9；(3)8又1/23；(4)10又7/10。
答案：(1)9/8；(2)31/9；(3)185/23；(4)107/10
解析：(1×8+1)/8=9/8；(3×9+4)/9=31/9；(8×23+1)/23=185/23；(10×10+7)/10=107/10。
水平测试 A 第5题
约分：(1)9/12；(2)24/36；(3)75/90；(4)44/110。
答案：(1)3/4；(2)2/3；(3)5/6；(4)2/5
解析：分别同除gcd(9,12)=3, gcd(24,36)=12, gcd(75,90)=15, gcd(44,110)=22。
水平测试 A 第6题
通分：(1)2/3和1/4；(2)9/10和11/15。
答案：(1)8/12和3/12；(2)27/30和22/30
解析：分母LCM(3,4)=12；LCM(10,15)=30。
水平测试 A 第7题
通分三个分数：(1)1/2,3/4,5/8；(2)2/3,1/6,7/9。
答案：(1)4/8,6/8,5/8；(2)12/18,3/18,14/18
解析：LCM(2,4,8)=8；LCM(3,6,9)=18。
水平测试 A 第8题
用1,2,3,4组成分子分母都是一位数的真分数，共多少个？
答案：6个
解析：真分数：1/2,1/3,1/4,2/3,2/4,3/4共6个。
水平测试 A 第9题
38/9介于正整数____和____之间。
答案：4和5
解析：38÷9=4余2，所以4<38/9<5。
水平测试 A 第10题
用6,7,8,9组成分子分母都是一位数的最简分数，共多少个？
答案：8个
解析：6/7,7/6,8/7,9/7,7/8,9/8,7/9,8/9共8个（排除6/8,8/6,6/9,9/6）。
水平测试 A 第11题(解答)
分数单位是1/7，分数值大于2小于3的假分数有哪几个？
答案：15/7,16/7,17/7,18/7,19/7,20/7共6个
解析：2=14/7,3=21/7，大于14/7小于21/7的假分数分子15~20。
水平测试 A 第12题(解答)
一个分数分子分母和60，约分后是2/3，原分数是多少？
答案：24/36
解析：60÷(2+3)=12，分子=2×12=24，分母=3×12=36。
水平测试 A 第13题(解答)
数列1/2, 2/3, 1/3, 3/4, 2/4, 1/4, 4/5, 3/5, 2/5, 1/5,...第100个分数是多少？
答案：6/15
解析：分母2有1个，分母3有2个，...分母14有13个。1+2+...+13=91。剩9个在分母15，从14/15开始第9个分子=14-9+1=6。
水平测试 B 第1题
分数化小数：(1)28/125；(2)4又1/4；(3)17/20；(4)9又13/16。
答案：(1)0.224；(2)4.25；(3)0.85；(4)9.8125
解析：28÷125=0.224；4+1÷4=4.25；17÷20=0.85；9+13÷16=9.8125。
水平测试 B 第2题
小数化分数：(1)1.5；(2)0.88；(3)0.525；(4)6.375。
答案：(1)1又1/2；(2)22/25；(3)21/40；(4)6又3/8
解析：1.5=15/10=3/2=1又1/2；0.88=88/100=22/25；0.525=525/1000=21/40；6.375=6+375/1000=6又3/8。
水平测试 B 第3题
比较大小：(1)2/3__11/15；(2)5/23__10/47。
答案：(1)<；(2)>
解析：2/3=10/15<11/15；5/23=10/46>10/47（同分子分母小的大）。
水平测试 B 第4题
把3/4, 5/6, 7/8从大到小排列。
答案：7/8 > 5/6 > 3/4
解析：1-3/4=1/4, 1-5/6=1/6, 1-7/8=1/8。差1/4>1/6>1/8，所以原数3/4<5/6<7/8。
水平测试 B 第5题
把1/3, 1/4, 2/7, 3/11从小到大排列。
答案：1/4 < 3/11 < 2/7 < 1/3
解析：通分子到6：1/3=6/18,1/4=6/24,2/7=6/21,3/11=6/22。分母24>22>21>18，所以1/4<3/11<2/7<1/3。
水平测试 B 第6题
在2/3, 6/9, 10/12, 14/21, 18/24, 34/51中，分数值相等的共有几个？
答案：4个
解析：2/3=6/9=14/21=34/51，共4个。10/12=5/6，18/24=3/4不等。
水平测试 B 第7题
写出大于1/8小于1/6的三个分数。
答案：2/15, 2/14, 2/13（答案不唯一）
解析：通分子到2：1/8=2/16,1/6=2/12，中间2/15,2/14,2/13。
水平测试 B 第8题
写出大于2/3小于4/5的四个分数。
答案：20/29, 20/28, 20/27, 20/26（答案不唯一）
解析：通分子到20：2/3=20/30,4/5=20/25，中间分母26,27,28,29。
水平测试 B 第9题
把11/20, 0.6, 7/12从大到小排列。
答案：0.6 > 7/12 > 11/20
解析：11/20=0.55, 7/12≈0.583, 0.6=0.6。
水平测试 B 第10题
分母为12，比5/6小的最简真分数共多少个？
答案：3个
解析：分母12的真分数：1/12,5/12,7/12,11/12最简。5/6=10/12，比10/12小的：1/12,5/12,7/12共3个。
水平测试 B 第11题(解答)
把10/11, 12/13, 14/15, 16/17, 18/19从小到大排列。
答案：10/11 < 12/13 < 14/15 < 16/17 < 18/19
解析：都接近1，1-差=1/11,1/13,1/15,1/17,1/19。差递减所以原数递增。
水平测试 B 第12题(解答)
在3/7,4/9,5/11,7/12,9/25,13/30中，有多少个大于2/5小于1/2？
答案：4个
解析：先筛小于1/2的：3/7,4/9,5/11,9/25,13/30。再筛大于2/5=0.4：3/7≈0.429,4/9≈0.444,5/11≈0.455,13/30≈0.433。共4个。
水平测试 B 第13题(解答)
有2,4,6,8四个数，任意选三个组成真分数，约分化简后分子为1。共多少个？
答案：14个
解析：分子2时分母46,48,64,68,84,86共6个；分子4时分母28,68共2个；分子6时分母24,42,48,84共4个；分子8时分母24,64共2个。共14个。

C层

水平测试 A 第1题
在6/5, 2又2/9, 9/13, 5/8, 64/47, 3又1/6, 9/4, 7又12/15, 37/37, 81/82中，真分数、假分数、带分数各有哪些？
答案：真分数：9/13,5/8,81/82；假分数：6/5,64/47,9/4,37/37；带分数：2又2/9,3又1/6,7又12/15
解析：按分子分母大小和有无整数部分分类。
水平测试 A 第2题
在1/3, 12/19, 24/16, 15/32, 45/46, 71/67, 39/49, 18/15, 91/98, 87/58中，最简分数、不是最简分数、最简真分数各有哪些？
答案：最简：1/3,12/19,15/32,45/46,71/67,39/49；非最简：24/16,18/15,91/98,87/58；最简真分数：1/3,12/19,15/32,45/46,39/49
解析：逐个约分检查gcd。71/67是最简假分数；39/49是最简真分数。
水平测试 A 第3题
假分数化带分数：(1)7/5；(2)41/14；(3)99/32；(4)215/38。
答案：(1)1又2/5；(2)2又13/14；(3)3又3/32；(4)5又25/38
解析：7÷5=1余2；41÷14=2余13；99÷32=3余3；215÷38=5余25。
水平测试 A 第4题
带分数化假分数：(1)1又1/8；(2)3又4/9；(3)8又1/23；(4)10又7/10。
答案：(1)9/8；(2)31/9；(3)185/23；(4)107/10
解析：(1×8+1)/8=9/8；(3×9+4)/9=31/9；(8×23+1)/23=185/23；(10×10+7)/10=107/10。
水平测试 A 第5题
约分：(1)9/12；(2)24/36；(3)75/90；(4)44/110。
答案：(1)3/4；(2)2/3；(3)5/6；(4)2/5
解析：分别同除gcd(9,12)=3, gcd(24,36)=12, gcd(75,90)=15, gcd(44,110)=22。
水平测试 A 第6题
通分：(1)2/3和1/4；(2)9/10和11/15。
答案：(1)8/12和3/12；(2)27/30和22/30
解析：分母LCM(3,4)=12；LCM(10,15)=30。
水平测试 A 第7题
通分三个分数：(1)1/2,3/4,5/8；(2)2/3,1/6,7/9。
答案：(1)4/8,6/8,5/8；(2)12/18,3/18,14/18
解析：LCM(2,4,8)=8；LCM(3,6,9)=18。
水平测试 A 第8题
用1,2,3,4组成分子分母都是一位数的真分数，共多少个？
答案：6个
解析：真分数：1/2,1/3,1/4,2/3,2/4,3/4共6个。
水平测试 A 第9题
38/9介于正整数____和____之间。
答案：4和5
解析：38÷9=4余2，所以4<38/9<5。
水平测试 A 第10题
用6,7,8,9组成分子分母都是一位数的最简分数，共多少个？
答案：8个
解析：6/7,7/6,8/7,9/7,7/8,9/8,7/9,8/9共8个（排除6/8,8/6,6/9,9/6）。
水平测试 A 第11题(解答)
分数单位是1/7，分数值大于2小于3的假分数有哪几个？
答案：15/7,16/7,17/7,18/7,19/7,20/7共6个
解析：2=14/7,3=21/7，大于14/7小于21/7的假分数分子15~20。
水平测试 A 第12题(解答)
一个分数分子分母和60，约分后是2/3，原分数是多少？
答案：24/36
解析：60÷(2+3)=12，分子=2×12=24，分母=3×12=36。
水平测试 A 第13题(解答)
数列1/2, 2/3, 1/3, 3/4, 2/4, 1/4, 4/5, 3/5, 2/5, 1/5,...第100个分数是多少？
答案：6/15
解析：分母2有1个，分母3有2个，...分母14有13个。1+2+...+13=91。剩9个在分母15，从14/15开始第9个分子=14-9+1=6。
水平测试 C 第1题
(1)把1/3分拆成两个分母不同分子为1的分数；(2)把1/8分拆成两个。
答案：(1)1/12,1/4；(2)1/72,1/9（答案不唯一）
解析：1/3=4/12=1/12+3/12=1/12+1/4；1/8=9/72=1/72+8/72=1/72+1/9。
水平测试 C 第2题
(1)把1/4分拆成三个；(2)把1/9分拆成三个。
答案：(1)1/24,1/12,1/8；(2)1/54,1/27,1/18（答案不唯一）
解析：1/4=6/24=1/24+2/24+3/24=1/24+1/12+1/8；1/9=6/54=1/54+2/54+3/54=1/54+1/27+1/18。
水平测试 C 第3题
将0.6̇, 0.1̇5̇, 0.7̇2̇, 0.1̇08̇化成分数。
答案：2/3, 5/33, 8/11, 4/37
解析：0.6̇=6/9=2/3；0.1̇5̇=15/99=5/33；0.7̇2̇=72/99=8/11；0.1̇08̇=108/999=4/37。
水平测试 C 第4题
将0.34̇, 0.138̇, 0.690̇, 0.1745̇化成分数。
答案：31/90, 5/36, 38/55, 48/275
解析：混循环错位相减：分子=(小数部分到第一循环节−不循环部分)，分母=循环位数个9后接不循环位数个0。0.34̇=(34−3)/90=31/90；0.138̇=(138−13)/900=125/900=5/36；0.690̇=(690−6)/990=684/990=38/55；0.1745̇=(1745−17)/9900=1728/9900=48/275。
水平测试 C 第5题
比9/11大比10/11小的最简真分数有多少个？
答案：无数
解析：两个分数之间有无数个分数，不断通分扩倍可得到更多。
水平测试 C 第6题
把1/6分拆成四个分母不同分子为1的分数。
答案：1/60, 1/30, 1/20, 1/15（答案不唯一）
解析：1/6=10/60=1/60+2/60+3/60+4/60=1/60+1/30+1/20+1/15。
水平测试 C 第7题
5/8的分子加20，要使分数大小不变，分母应加多少？
答案：32
解析：5+20=25=5×5，分母8×5=40，加40-8=32。
水平测试 C 第8题
n/21 < 3/7 < (n+1)/20，n为自然数，n=？
答案：8
解析：3/7=9/21，所以n<9。3/7<(n+1)/20→60<7(n+1)→n+1>8.57→n+1≥9→n≥8。所以n=8。
水平测试 C 第9题
54/89分子分母都减同一自然数，约分后是2/9，这个自然数是多少？
答案：44
解析：分子分母差=89-54=35，新分数2/9差=7份，35÷7=5。新分子=2×5=10，54-10=44。
水平测试 C 第10题
分母是60的最简真分数共多少个？
答案：16个
解析：φ(60)=60×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=60×1/2×2/3×4/5=16。分子为1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59。
水平测试 C 第11题(解答)
2/11 < 1/m < 3/8，m为自然数，m可以是哪几个？
答案：m=3,4,5
解析：通分子到6：6/33 < 6/(6m) < 6/16。同分子比分母：33>6m>16，6m=30,24,18，m=5,4,3。
水平测试 C 第12题(解答)
纯循环小数0.aḇ化最简分数时分子分母和为14，这个纯循环小数是多少？
答案：0.2̇7̇
解析：0.aḇ=ab/99，约分后分子分母和14。ab+99是14的倍数：ab=27,55,69。27/99=3/11（3+11=14），所以是0.2̇7̇。
水平测试 C 第13题(解答)
从1,2,3,4中任选2个、3个或4个数组成最简真分数，共多少个？
答案：51个
解析：选2个：5个。选3个：16个。选4个：30个（分子一位分母三位20个+分子两位分母两位10个）。共5+16+30=51个。

四、方法小结

本讲是分数初步：①分类——真分数(分子<分母)、假分数(分子≥分母)、带分数(整数+真分数)；②互化——假化带用带余除法，带化假用整数×分母+分子；③基本性质——分子分母同乘同除，约分用gcd通分用lcm；④小数互化——分数化小数做除法，小数化分数看位数再约分；⑤比较——通分母/通分子/接近1用1减；⑥循环小数——纯循环分子=循环节分母=9...9，混循环错位相减；⑦埃及分数——先扩倍再拆分再约分。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P255–256 水平测试A 1–10
  • 教材P256–257 水平测试A 11–13
巩固选做：
  • 教材P259–260 水平测试B 1–10
  • 教材P260–261 水平测试B 11–13
提高挑战：
  • 教材P264–265 水平测试C 1–10
  • 教材P265 水平测试C 11–13

六、课堂错因定位

症状：把带分数归为假分数
根因：不理解带分数是整数+真分数的合成。
补救：强调带分数有整数部分，假分数没有。
症状：假化带余数≥分母
根因：除法没除尽。
补救：余数必须小于分母。
症状：比较接近1的分数通分计算量大
根因：不会用1减。
补救：10/11=1-1/11，差小的原数大。
症状：循环小数分母9和0个数搞反
根因：不理解错位相减过程。
补救：纯循环全是9，混循环前面9后面0。
症状：分子分母同减一数后不会用差不变
根因：不理解差不变性质。
补救：差=89-54=35不变，新差9-2=7份。