【教师版】第1讲 · 小数的巧算与大小比较
五年级奥数 · 教材第1–7页（第1讲全讲）
一、知识要点
运算定律与性质（巧算的依据）
本质：加法交换律 a+b=b+a；加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)；乘法交换律 ab=ba；乘法结合律 (ab)c=a(bc)；乘法分配律 (a+b)c=ac+bc；减法性质 a−b−c=a−(b+c)；除法性质 a÷b÷c=a÷(b×c)。
适用：所有巧算题的第一步都是观察：哪些数能凑整？有没有相同因数？能否把除法连除变成除以积？定律不是背下来的，是看到算式形状就条件反射。
- 先观察整个算式，不要急着从左到右硬算。
- 找凑整组合：哪两个数加起来是整数？哪两个乘起来是1或整十？
- 找不到直接凑整时，看能否分拆其中一个数，让它露出公因数。
- 提取公因数后，括号里往往又是整数加减法，一步出答案。
典型错误：从左到右硬算，或看到分配律就乱拆，拆完忘记乘回去。
等差数列求和
本质：和=(首项+末项)×项数÷2；项数=(末项−首项)÷公差+1。
适用：一串排成队的小数，相邻两个差都一样（公差固定），就可以分组用等差数列公式。关键是分清几组不同公差的数列，不能混在一起。
- 先判断是不是等差数列：相邻两项的差是否都一样。
- 数清楚项数：(末项−首项)÷公差+1，不要忘+1。
- 代入公式 (首+末)×项数÷2。
- 如果一道题里混了两组不同公差的数列，先分开再分别求和。
典型错误：项数忘+1；或把两组不同公差的数列混在一起算。
位数极多的小数运算
本质：a=0.00…0125（小数点后有1986位），b=0.00…008（小数点后有1988位）：加减法把有效数字对齐；乘法先算125×8=1000，小数位数=1986+1988，再去掉末尾3个0；除法用商不变性质把除数变整数。
适用：看到 0.00…0 这种省略号写法，不要怕，先数小数点后有多少个0，再按位对齐。核心：加减法对齐有效数字，乘法数字相乘后补0，除法化整。
- 加减法：两个小数小数点后位数不同时，把有效数字的末位对齐，短的那个前面补0。
- 乘法：先忽略小数点算 125×8=1000；两个因数小数位数相加=总位数；积占4位数字，所以前面要补的0=总位数−4。
- 除法：a÷b 同时把小数点往后移相同位数，把 b 变成整数 8，a 变成 12500…，再除。
典型错误：乘法忘记末尾1000占了4位要减3个0；加减法对齐小数点前面而不是有效数字末位。
小数大小比较与估算
本质：先比整数部分，整数大的数就大；整数相同再比十分位、百分位……估算整数部分时，用“放缩法”把原式夹在两个相邻整数之间。
适用：比较多个除法算式的商时，先把每个商算成小数或循环小数再排。估算几个乘积和的整数部分时，不求精确值，用两端放缩：把每个因数往大估、往小估各一次，夹住结果。
- 比较小数：从高位到低位逐位比，比出大小就停止。
- 估算整数部分：把每个因数往大取整算一遍得上界，往小取整算一遍得下界。
- 若上下界之间只隔一个整数，原式的整数部分就确定了。
- 和定近积大：两个因数和不变时，两数越接近乘积越大。
典型错误：硬算精确值浪费时间；放缩时只往一个方向估，夹不出整数部分。
二、典例精讲
典例 A1
计算：3.6×31.4+43.9×6.4。
训练点：分拆+提取公因数：把 43.9 拆成 31.4+12.5。
提示：
1. 3.6 和 6.4 加起来是多少？如果两项都有 31.4，能不能提取？
2. 43.9 里面包含一个 31.4，剩下多少？剩下的数和 6.4 能不能再凑整？
1把 43.9 分拆为 31.4+12.5：原式=3.6×31.4+(31.4+12.5)×6.4依据：43.9−31.4=12.5，凑出公因数 31.4。
2展开：=3.6×31.4+31.4×6.4+12.5×6.4依据：乘法分配律展开。
3提取 31.4：=(3.6+6.4)×31.4+12.5×6.4依据：逆用分配律，3.6+6.4=10。
4=10×31.4+12.5×8×0.8依据：6.4=8×0.8，凑 12.5×8=100。
5=314+80=394依据：10×31.4=314，100×0.8=80。
答：394
典型错法：直接硬算；或拆完 43.9 后忘记 12.5×6.4 还要继续凑整。
典例 A2
巧算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+…+0.99。
训练点：把混合数列拆成两组等差数列分别求和。
提示：
1. 前5个数 0.1,0.3,0.5,0.7,0.9 相邻差多少？后面的 0.11,0.13,… 相邻差多少？
2. 第二组从 0.11 到 0.99，公差是 0.02，项数=(0.99−0.11)÷0.02+1=？
1分组：原式=(0.1+0.3+0.5+0.7+0.9)+(0.11+0.13+…+0.99)依据：两组公差不同，分开算。
2第一组：(0.1+0.9)×5÷2=2.5依据：公差0.2，5项。
3第二组项数=(0.99−0.11)÷0.02+1=45依据：项数公式。
4第二组：(0.11+0.99)×45÷2=1.1×45÷2=24.75依据：首项0.11，末项0.99。
5合计：2.5+24.75=27.25依据：两组相加。
答：27.25
典型错法：项数算成44（忘+1）；或把两组混在一起。
典例 B1
如果把 0.00000000025 简记为 0.00…025（10个0），下面有两个数：a=0.00…0125（1984个0），b=0.00…008（1988个0）。试求 a+b，a−b，a×b，a÷b。
训练点：位数极多小数的四则运算。
提示：
1. a 的有效数字是125（3位），b 的有效数字是8（1位）。a 小数点后有1986位，b 有1988位，谁的位数多？
2. 乘法：125×8=1000 占几位？两个因数小数位数加起来是多少？
1a 小数点后有1986位，b 小数点后有1988位依据：教材明确定义：a=0.[1984个0]125，b=0.[1988个0]8。
2a+b：b 的8对齐 a 的5后面两位，得 0.00…012508（1984个0）依据：有效数字末位对齐，短的前面补0。
3a−b：同理得 0.00…012492（1984个0）依据：5−8不够减，向前借位。
4a×b：125×8=1000（占4位），总小数位=1986+1988=3974，去尾3个0后前面补3970个0再加1，共3971个0依据：乘法先算数字再补位；末尾1000的3个0去掉后，0的个数=3974−4=3970，连同有效位1共3971位。
5a÷b=12500÷8=1562.5依据：商不变性质，小数点同移，b变8，a变12500。
答：a+b=0.00…012508（1984个0）；a−b=0.00…012492（1984个0）；a×b=0.00…01（3971个0）；a÷b=1562.5
典型错法：乘法忘记1000占4位要减3；除法不会用商不变化整。
典例 B2
在两位数 10,11,…,98,99 中，将每个被7除余2的数的个位与十位间添加一个小数点，其余数不变。问：经过这样改变后所有数的和是多少？
训练点：等差数列求和+整体替换：被改动的数相当于除以10。
提示：
1. 先求 10 到 99 所有两位数的和 S1。
2. 被7除余2的两位数有哪些？7×2+2=16 起，7×13+2=93 止，共几个？它们的和 S2 是多少？
3. 改动后这些数变成原来的1/10，所以新总和=S1−S2+S2÷10。
1S1=10+11+…+99=(10+99)×90÷2=4905依据：等差数列，90项。
2被7除余2的两位数：7×2+2=16，7×3+2=23，…，7×13+2=93，共12个依据：从7×2到7×13。
3S2=16+23+…+93=(16+93)×12÷2=654依据：等差数列，12项。
4改动后这些数加了小数点，相当于÷10，所以新总和=S1−S2+S2÷10=4905−654+65.4=4316.4依据：其余数不变，被改数变成原来的1/10。
答：4316.4
典型错法：项数数错；或忘记被改数是÷10而不是直接减掉。
典例 C1
一个数去掉小数部分后得到一个整数，用原来的数乘以5的积再加上这个整数和是80。问：原来的数是几？
训练点：设整数部分为x，小数部分为y，列方程。
提示：
1. 设这个数的整数部分为 a，小数部分为 b（0≤b<1）。原数=a+b。
2. 题意：5(a+b)+a=80，即6a+5b=80。
3. 因为 b<1，所以 6a<80，a≈13。试 a=13：5b=80−78=2，b=0.4。
1设整数部分为a，小数部分为b，原数=a+b依据：拆成整数+小数。
2列方程：5(a+b)+a=80，即6a+5b=80依据：原数乘5加整数部分=80。
3因为0≤b<1，所以6a<80，a<13.33，试a=13依据：估算整数部分。
45b=80−6×13=80−78=2，b=0.4依据：代入求b。
答：13.4
典型错法：不会拆成整数+小数；或a试成14（6×14=84>80）。
典例 C2
两个小数相乘，积四舍五入后是39.1，这两个数都是一位小数，且个位上的数都是6，那么这两个数的乘积四舍五入前是几？
训练点：枚举试算：个位都是6的一位小数范围有限。
提示：
1. 两个数都是6.x的形式（6.1,6.2,…,6.9）。
2. 积四舍五入后是39.1，说明积在39.05到39.15之间。
3. 从接近的组合开始试：6.3×6.2=39.06≈39.1。
1两数均为6.x形式，积四舍五入为39.1，说明积在[39.05,39.15)依据：四舍五入范围。
2逐个试：6.4×6.3=40.32，太大；6.4×6.2=39.68，偏大；6.4×6.1=39.04，偏小依据：从大到小逼近。
36.3×6.2=39.06，在[39.05,39.15)内，四舍五入为39.1依据：符合。
4验证6.3×6.1=38.43，不在范围依据：排除。
答：39.06
典型错法：试算范围不对；或忘记验证唯一性。
典例 C3
有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。问：写着1.1和1.11的卡片各有多少张？
训练点：余数分析：43.21÷1.1 的余数对应1.11的张数。
提示：
1. 假设全是1.1，43.21÷1.1=39余0.31。
2. 每张1.11比1.1多0.01，余数0.31里有几个0.01，就有几张1.11。
143.21÷1.1=39余0.31，即如果39张全是1.1，和为42.9，还差0.31依据：假设全是1.1。
2每张1.11比1.1多0.01，0.31÷0.01=31，所以有31张1.11依据：余数由1.11补足。
31.1的张数=39−31=8张依据：总张数39里减去1.11的张数。
答：1.1有8张，1.11有31张
典型错法：余数方向搞反；或不会把1.11拆成1.1+0.01。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
6.5+3.4+7.5+12.6=______。
答案：30
解析：(6.5+7.5)+(3.4+12.6)=14+16=30。
水平测试 A 第2题
12−4.38−5.62=______。
答案：2
解析：12−(4.38+5.62)=12−10=2。
水平测试 A 第3题
0.7+9.7+99.7=______。
答案：110.1
解析：(0.7+0.3)+(9.7+0.3)+(99.7+0.3)−0.9=1+10+100−0.9=110.1。
水平测试 A 第4题
0.99−1+1.01−1.02+1.03=______。
答案：1.01
解析：0.99+(1.01−1)+(1.03−1.02)=0.99+0.01+0.01=1.01。
水平测试 A 第5题
1.25×1.5×8=______。
答案：15
解析：(1.25×8)×1.5=10×1.5=15。
水平测试 A 第6题
1.7×0.4×5÷3.4=______。
答案：1
解析：1.7×(0.4×5)÷3.4=1.7×2÷3.4=3.4÷3.4=1。
水平测试 A 第7题
11.5²−9×1.25=______。
答案：121
解析：132.25−11.25=121。
水平测试 A 第8题
11.1×4÷9×3÷7.4×2=______。
答案：4
解析：原式=3×3.7×4÷9×3÷7.4×2=3.7×2÷7.4×3×3÷9×4=1×4=4。
水平测试 A 第9题
200.2×19.99−2.002×999=______。
答案：2002
解析：2.002×1999−2.002×999=2.002×(1999−999)=2.002×1000=2002。
水平测试 A 第10题
11.2×6.4+17.4×5.6−0.112×1010=______。
答案：56
解析：11.2×6.4+8.7×2×5.6−11.2×10.1=11.2×(6.4+8.7−10.1)=11.2×5=56。
水平测试 A 第11题
计算：4.8×29.6+17.1×5.2。
答案：231
解析：原式=4.8×(12.5+17.1)+5.2×17.1=4.8×12.5+(4.8+5.2)×17.1=0.6×100+171=231。
水平测试 A 第12题
计算：0.2+0.4+0.6+0.8+0.22+0.24+0.26+…+0.96+0.98。
答案：25.4
解析：分两组：(0.2+0.8)×4÷2=2；第二组0.22到0.98公差0.02共39项，(0.22+0.98)×39÷2=23.4；合计25.4。
水平测试 A 第13题
计算：(1234.56+2345.61+3456.12+4561.23+5612.34+6123.45)÷7。
答案：3333.33
解析：每个数位上1~6各出现一次：(1+2+3+4+5+6)×(1000+100+10+1+0.1+0.01)÷7=21×1111.11÷7=3333.33。
B层
水平测试 A 第1题
6.5+3.4+7.5+12.6=______。
答案：30
解析：(6.5+7.5)+(3.4+12.6)=14+16=30。
水平测试 A 第2题
12−4.38−5.62=______。
答案：2
解析：12−(4.38+5.62)=12−10=2。
水平测试 A 第3题
0.7+9.7+99.7=______。
答案：110.1
解析：(0.7+0.3)+(9.7+0.3)+(99.7+0.3)−0.9=1+10+100−0.9=110.1。
水平测试 A 第4题
0.99−1+1.01−1.02+1.03=______。
答案：1.01
解析：0.99+(1.01−1)+(1.03−1.02)=0.99+0.01+0.01=1.01。
水平测试 A 第5题
1.25×1.5×8=______。
答案：15
解析：(1.25×8)×1.5=10×1.5=15。
水平测试 A 第6题
1.7×0.4×5÷3.4=______。
答案：1
解析：1.7×(0.4×5)÷3.4=1.7×2÷3.4=3.4÷3.4=1。
水平测试 A 第7题
11.5²−9×1.25=______。
答案：121
解析：132.25−11.25=121。
水平测试 A 第8题
11.1×4÷9×3÷7.4×2=______。
答案：4
解析：原式=3×3.7×4÷9×3÷7.4×2=3.7×2÷7.4×3×3÷9×4=1×4=4。
水平测试 A 第9题
200.2×19.99−2.002×999=______。
答案：2002
解析：2.002×1999−2.002×999=2.002×(1999−999)=2.002×1000=2002。
水平测试 A 第10题
11.2×6.4+17.4×5.6−0.112×1010=______。
答案：56
解析：11.2×6.4+8.7×2×5.6−11.2×10.1=11.2×(6.4+8.7−10.1)=11.2×5=56。
水平测试 A 第11题
计算：4.8×29.6+17.1×5.2。
答案：231
解析：原式=4.8×(12.5+17.1)+5.2×17.1=4.8×12.5+(4.8+5.2)×17.1=0.6×100+171=231。
水平测试 A 第12题
计算：0.2+0.4+0.6+0.8+0.22+0.24+0.26+…+0.96+0.98。
答案：25.4
解析：分两组：(0.2+0.8)×4÷2=2；第二组0.22到0.98公差0.02共39项，(0.22+0.98)×39÷2=23.4；合计25.4。
水平测试 A 第13题
计算：(1234.56+2345.61+3456.12+4561.23+5612.34+6123.45)÷7。
答案：3333.33
解析：每个数位上1~6各出现一次：(1+2+3+4+5+6)×(1000+100+10+1+0.1+0.01)÷7=21×1111.11÷7=3333.33。
水平测试 B 第1题
11.8×43−860×0.09=______。
答案：430
解析：原式=11.8×43−1.8×43=(11.8−1.8)×43=430。
水平测试 B 第2题
0.00000000125×0.000000008=______。
答案：0.000000000000000001（小数点后16个0再加1）
解析：125×8=1000占4位，两因数小数位11+9=20位，去掉末尾3个0，前面补20−4=16个0。
水平测试 B 第3题
0.1÷(0.2÷0.3)÷(0.3÷0.4)÷…÷(0.8÷0.9)=______。
答案：0.45
解析：去括号：0.1÷0.2×0.3÷0.3×0.4÷…÷0.8×0.9=0.1÷0.2×0.9=0.45。
水平测试 B 第4题
666.66×6666.7+99999×22.222=______。
答案：6666600
解析：原式=66.666×66667+66.666×33333=66.666×(66667+33333)=66.666×100000=6666600。
水平测试 B 第5题
20.02²÷0.77=______。
答案：520.52
解析：原式=2²×1001×10.01÷77=4×13×10.01=52×10.01=520.52。
水平测试 B 第6题
2.1×5.1×159.1÷0.7÷1.7÷3.7=______。
答案：387
解析：原式=3×0.7÷0.7×3×1.7÷1.7×43×3.7÷3.7=3×3×43=387。
水平测试 B 第7题
0.27×1.5+0.15×3.2+□×1.5=7.7×0.15，则“□”内应填______。
答案：0.18
解析：1.5×(0.27+0.32+□)=0.77×1.5，0.27+0.32+□=0.77，□=0.18。
水平测试 B 第8题
27.8×28.7−27.7×28.8=______。
答案：0.1
解析：原式=27.8×28.7−27.7×(28.7+0.1)=(27.8−27.7)×28.7−27.7×0.1=2.87−2.77=0.1。
水平测试 B 第9题
如果甲=100…0÷0.1÷0.1÷…÷0.1（10个0，10个0.1），乙=100…0×0.1×0.1×…×0.1（10个0，10个0.1），那么甲比乙大______。
答案：99…9（20个9）
解析：甲=10^20，乙=1，甲−乙=10^20−1=99…9（20个9）。
水平测试 B 第10题
现有11，33，55，77，99，111，333，555，777，999共十个数，其中有五个数的和恰为1997，这五个数中最小数的最大值为______。
答案：33
解析：1997=11a+111b，枚举得a=10,b=17，试验可得四种组合，最小数最大值为33。
水平测试 B 第11题
现有六个算式：①51÷99；②2÷3；③5÷9；④23÷45；⑤24÷47；⑥13÷25。将它们按商从小到大排序，则第四个算式是哪一个？
答案：13÷25
解析：各商≈0.515,0.667,0.556,0.511,0.511,0.52；排序后第四个为13÷25=0.52。
水平测试 B 第12题
已知 0.1²+0.2²+…+200.2²=26766790.05，求 0.1×0.2+0.2×0.3+…+200.2×200.3 的值。
答案：26786840.08
解析：0.1×0.2=0.1²+0.1×0.1，…，总和=平方和+(0.01+0.02+…+200.2)=26766790.05+20050.03=26786840.08。
水平测试 B 第13题
8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少？
答案：29
解析：各因数和均为9.25，近积大：8.01×1.24>8.02×1.23>8.03×1.22；放缩得29.28<原式<30，整数部分29。
C层
水平测试 A 第1题
6.5+3.4+7.5+12.6=______。
答案：30
解析：(6.5+7.5)+(3.4+12.6)=14+16=30。
水平测试 A 第2题
12−4.38−5.62=______。
答案：2
解析：12−(4.38+5.62)=12−10=2。
水平测试 A 第3题
0.7+9.7+99.7=______。
答案：110.1
解析：(0.7+0.3)+(9.7+0.3)+(99.7+0.3)−0.9=1+10+100−0.9=110.1。
水平测试 A 第4题
0.99−1+1.01−1.02+1.03=______。
答案：1.01
解析：0.99+(1.01−1)+(1.03−1.02)=0.99+0.01+0.01=1.01。
水平测试 A 第5题
1.25×1.5×8=______。
答案：15
解析：(1.25×8)×1.5=10×1.5=15。
水平测试 A 第6题
1.7×0.4×5÷3.4=______。
答案：1
解析：1.7×(0.4×5)÷3.4=1.7×2÷3.4=3.4÷3.4=1。
水平测试 A 第7题
11.5²−9×1.25=______。
答案：121
解析：132.25−11.25=121。
水平测试 A 第8题
11.1×4÷9×3÷7.4×2=______。
答案：4
解析：原式=3×3.7×4÷9×3÷7.4×2=3.7×2÷7.4×3×3÷9×4=1×4=4。
水平测试 A 第9题
200.2×19.99−2.002×999=______。
答案：2002
解析：2.002×1999−2.002×999=2.002×(1999−999)=2.002×1000=2002。
水平测试 A 第10题
11.2×6.4+17.4×5.6−0.112×1010=______。
答案：56
解析：11.2×6.4+8.7×2×5.6−11.2×10.1=11.2×(6.4+8.7−10.1)=11.2×5=56。
水平测试 A 第11题
计算：4.8×29.6+17.1×5.2。
答案：231
解析：原式=4.8×(12.5+17.1)+5.2×17.1=4.8×12.5+(4.8+5.2)×17.1=0.6×100+171=231。
水平测试 A 第12题
计算：0.2+0.4+0.6+0.8+0.22+0.24+0.26+…+0.96+0.98。
答案：25.4
解析：分两组：(0.2+0.8)×4÷2=2；第二组0.22到0.98公差0.02共39项，(0.22+0.98)×39÷2=23.4；合计25.4。
水平测试 A 第13题
计算：(1234.56+2345.61+3456.12+4561.23+5612.34+6123.45)÷7。
答案：3333.33
解析：每个数位上1~6各出现一次：(1+2+3+4+5+6)×(1000+100+10+1+0.1+0.01)÷7=21×1111.11÷7=3333.33。
水平测试 C 第1题
0.25×[(5.2+1.8−5.2+1.8)÷1.5]=______。
答案：0.6
解析：括号内=3.6，0.25×(3.6÷1.5)=0.25×2.4=0.6。
水平测试 C 第2题
3.1×0.75+7.5×0.62+9.3×0.25=______。
答案：9.3
解析：原式=(3.1+6.2)×0.75+9.3×0.25=9.3×(0.75+0.25)=9.3。
水平测试 C 第3题
2.2×3.3+3.3×4.4+4.4×5.5=______。
答案：45.98
解析：原式=1.1²×(2×3+3×4+4×5)=1.21×38=45.98。
水平测试 C 第4题
1+0.5+0.5²+0.5³+0.5⁴+0.5⁵+0.5⁶=______。
答案：1又63/64
解析：设S，0.5S=0.5+…+0.5⁷，相减0.5S=1−0.5⁷，S=2×(1−1/128)=127/64=1又63/64。
水平测试 C 第5题
如果 A=20012002.2003×20002001.2002，B=20012002.2002×20002001.2003，那么 A 和 B 的大小关系是A______B。
答案：<
解析：B−A=(200120022002×200020012002+1)÷100000000>0，所以A<B。
水平测试 C 第6题
一个四位数，给它加上小数点后与原数相加得3207.76，这个四位数是______。
答案：3176
解析：加小数点后是原数的0.01倍，和为原数的1.01倍：3207.76÷1.01=3176。
水平测试 C 第7题
4.6×2.8+2.4×6.3=______。
答案：28
解析：原式=4.6×2.8+5.4×2.8=(4.6+5.4)×2.8=28。
水平测试 C 第8题
0.27×11+0.36×13−0.45×15=______。
答案：0.9
解析：原式=0.9×(3.3+5.2−7.5)=0.9×1=0.9。
水平测试 C 第9题
1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655=______。
答案：4
解析：原式=1.2345²+0.7655×(0.7655+2.469)=1.2345×(1.2345+0.7655)+0.7655×2=2×2=4。
水平测试 C 第10题
1.1+1.91+1.991+…+1.99…991（100个9）=______。
答案：201.000…001（100个0）
解析：拆成(1+0.1)+(1+0.91)+…，配对后=2×100+0.000…001。
水平测试 C 第11题
计算 9.9…9（2019个9）×9.9…9（2019个9）+0.00…088…8（2017个0，2018个8）的结果中有多少个连续的8？
答案：2019个连续的8
解析：找规律：9.9×9.9=98.01，加0.88得98.81；推广后结果为99…988…81，含2019个连续8。
水平测试 C 第12题
在一张纸上写有20个1.1和20个1.11，现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和为19.97，那么应划去多少个1.1？
答案：划去19个1.1
解析：百分位7推出留下17个1.11（和18.87）和1个1.1，共19.97；划去20−17=3个1.11和20−1=19个1.1。
水平测试 C 第13题
老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）。小明计算出的得数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其他都对了。”那么，正确的得数应是多少？
答案：14.71
解析：14.7×7=102.9，七个自然数和为整数，可能是103或104；103÷7≈14.71，104÷7≈14.86不符，故和为103，平均14.71。
四、方法小结
小数巧算核心三件套：凑整（0.125×8、0.25×4、同尾合十）、分拆（把一个数拆成两数和/积以露出公因数）、提取公因数（逆用分配律）。连加凑等差数列用(首+末)×项数÷2，项数=(末−首)÷公差+1。位数极多的小数：加减对齐有效数字，乘先算数字再补位（注意末尾0），除用商不变化整。比较大小时从高位逐位比，估算整数部分用放缩夹逼。
五、作业建议
基础必做：- 教材P2 水平测试A 第1–7题（凑整基础）
- 教材P3 水平测试A 第8–10题（提取公因数）
巩固选做：- 教材P3 水平测试A 第11–13题（综合巧算）
- 教材P5 水平测试B 第1–8题
- 教材P6–7 水平测试C 第1–4题
提高挑战：- 教材P5 水平测试B 第9–13题（大数估算、循环小数比较）
- 教材P6–7 水平测试C 第5–13题（方程思想、规律探索、平均数反推）
六、课堂错因定位
症状：拿到题就从左到右硬算
根因：没有先观察算式结构的习惯。
补救：要求先读题10秒，圈出能凑整的数和相同因数，再动笔。
症状：项数数错（如0.11到0.99算成44项）
根因：忘记项数=(末−首)÷公差+1。
补救：用小例子验证：0.11,0.13共2项，(0.13−0.11)÷0.02+1=2，强调+1。
症状：位数极多小数乘法补0个数错
根因：忘记乘积末尾有0要去掉。
补救：分步：先写数字积占几位，总小数位=两因数之和，前面补0=总位−数字积位数。
症状：比较大小题硬算精确值
根因：不会放缩夹逼。
补救：教“往大估、往小估”各一次，若夹住唯一整数就出答案。