【教师版】第10讲 · 素数与合数
五年级奥数 · 教材第85–91页（第10讲全讲）
一、知识要点
按因数个数把正整数分成三类
本质：只有1个因数的数是1；只有1和它本身两个因数的数是素数（质数）；除了1和本身还有别的因数的数是合数。
适用：判断一个数是哪一类，就数它有几个因数。17的因数只有1和17，所以17是素数；12的因数有1,2,3,4,6,12共6个，所以12是合数。2是最小素数、也是唯一的偶素数；3是最小的奇素数。
- 因数个数=1：只有1本身，所以单独一类。
- 因数个数=2：只能是1和这个数本身，即素数。
- 因数个数≥3：除了1和本身还有别的因数，即合数。最小合数是4。
- 特殊地：2的因数只有1和2，所以2是素数，而且是唯一的偶素数。
典型错误：把1当成素数，或把2当成合数；忘记“除2外所有素数都是奇数”。
怎样判断一个数是素数还是合数
本质：用从小到大的素数2,3,5,7,11,…依次去试除这个数；只要有一个能整除，它就是合数；一直试到除数与商最接近（除数²>N）还没被整除，它就是素数。
适用：典例/测试A11判断117、373：先用被2、3、5整除的特征快速排除，再用7,11,13,17,19试除。试除到除数²>N为止，不必除到底。
- 第一步：先用整除特征快速排除被2、3、5整除的情况（教材第9讲）。
- 第二步：若都除不尽，再用7,11,13,…逐个试除。
- 第三步：试除范围的上限是√N——一旦除数²>N，商就比除数小，而比商小的因数早就试过了，所以停止。
- 例：判断373，√373≈19.3，只需试7,11,13,17,19，都除不尽，故373是素数。
典型错误：试除时一直试到这个数本身，白费功夫；或忘记先用被3整除的数字和特征（如117数字和9直接判合数）。
奇偶性论证：素数里藏着的那个2
本质：除2外，素数都是奇数。因此：两个素数之和为奇数 ⇔ 其中必有一个是2；几个素数相加，和的奇偶性由其中2的个数决定。
适用：典例A1正方体对面和相等、测试A3/A4/A5/A7等：凡是“几个素数的和是奇数”，立刻想到里面有且只有一个2；再据等式求其余素数。
- 把素数分两类：偶素数只有2一个；其余都是奇素数。
- 奇+奇=偶，奇+偶=奇。所以两个素数相加得奇数，必为“一个奇素数+2”。
- 三个素数相加得偶数，则其中要么0个2（三个奇素数相加为奇，矛盾），要么2个2，即必含一个2。
- 求出2之后，再按题目给的等量关系求其余素数。
典型错误：遇到“和为奇数”却想不到必有一个2；或确定有2后，忘记用等式把其余数求出来。
拆素数和使积最大
本质：把一个数拆成若干个（互不相同的）素数之和，要使积最大：先用2的个数控制和的奇偶，再让素数个数尽量多、彼此尽量接近，最后枚举比较积。
适用：典例A2把33拆成不同素数之和使积最大：先排除拆成6个以上（最小6个素数和41>33），再按拆5个/4个/3个/2个分别枚举，比较积。
- 先定上限：最小的6个素数2+3+5+7+11+13=41>33，所以最多拆5个。
- 拆5个：33是奇数，5个素数若含2则和为偶，矛盾；不含2的最小5个奇素数3+5+7+11+13=39>33，所以拆5个不可能。
- 拆4个：33奇数，必含一个2，其余3个奇素数和31。枚举：3+5+23、3+11+17、7+11+13、5+7+19。积分别为690、1122、1001、665，最大是7×11×13=1001（连同2得2×7×11×13=2002）。
- 拆3个、拆2个的积都比它小，淘汰。
典型错误：忘记“不同素数”；不先定奇偶和个数上限就盲目枚举；枚举后忘记把2乘进积里。
二、典例精讲
典例 A1
正方体纸盒的每个面上都写有一个正整数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。若18对面所写的素数是a，14对面所写的素数是b，35对面所写的素数是c，试求a+b+c的值。
训练点：用奇偶性确定对面素数，再用相等关系求解。
提示：
1. 18是偶数，14是偶数，35是奇数。它们对面的素数a、b、c要让三个和相等，和是奇还是偶？
2. 和为偶数则对面是奇素数；和为奇数则对面是偶素数(=2)。哪个等式必须出2？
1由题意 18+a=14+b=35+c，要使等式成立，a、b、c的奇偶性应为奇、奇、偶，或偶、偶、奇。依据：偶+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=奇；18、14为偶，35为奇。
2而a、b、c均为素数，偶素数只有2，所以只能是c=2。依据：三个和相等：前两个和(偶+?)与第三个和(奇+?)要一致，唯一可能是第三个加数c为偶素数2。
3此时公共和=35+2=37，b=37−14=23，a=37−18=19。依据：由相等关系求对面素数。
答：44
典型错法：想不到c=2，直接硬猜三个素数；或奇偶性判断反了。
典例 A2
把33拆成若干个不同素数之和，如果要使这些素数的积最大，问：这几个素数分别是多少？
训练点：先用2控制奇偶定个数上限，再系统枚举比较积。
提示：
1. 最小的6个素数2+3+5+7+11+13=41>33，说明最多能拆成几个？
2. 33是奇数。若拆成5个素数且不含2，最小的5个奇素数和是多少？超过33吗？
3. 拆成4个时，33为奇数，这4个素数里必须有几个2？其余3个奇素数的和是多少？
1先排除拆成6个或6个以上：最小6个素数和2+3+5+7+11+13=41>33。依据：为什么先定个数：素数越小、个数越多积越大；但最小6个素数和已41>33，个数封顶5。
2拆5个：33是奇数，5个素数中不能有2（否则和为偶）；最小连续5个奇素数3+5+7+11+13=39>33，所以拆5个不可能。依据：为什么想到奇偶：33奇，5个素数和为奇必不含2；不含2的最小5奇素数和仍39>33。
3拆4个：33是奇数，4个数中必有一个2，其余3个和为31。枚举：(3,5,23)(3,11,17)(7,11,13)(5,7,19)，积最大为7×11×13=1001。依据：4个素数和为奇→必含一个偶素数2；其余3个奇素数和31，全部枚举比较积。
4拆3个(3,13,17等)、拆2个(2,31)的积均小于2×7×11×13。依据：个数越少、数越分散，积越小；教材已逐一比较淘汰。
5故拆成2,7,11,13时积最大。依据：综合比较。
答：2、7、11、13
典型错法：忘记必须含一个2；枚举漏情况；最后忘记把2乘进积。
典例 B1
9个连续的正整数，它们都大于80，那么其中素数最多有几个？
训练点：用“奇数个数”和“连续奇数中必有3的倍数”两层筛子限制素数个数。
提示：
1. 大于2的素数一定是奇数。9个连续正整数里最多有几个奇数？
2. 任意3个连续奇数中，至少有一个是3的倍数（即合数）。那5个连续奇数里至少有几个合数？
1大于2的素数都是奇数，大于80的9个连续正整数至多有5个奇数，所以素数个数不大于5。依据：为什么第一层筛：偶数除2外都是合数，而这里数都大于80，偶数全是合数。
23个连续奇数中至少有1个是3的倍数，所以这5个连续奇数中至少有1个是合数。依据：为什么第二层筛：任意三个连续整数必有3的倍数，连续奇数步长为2，隔两个也是3的倍数。
3因此素数至多5−1=4个。在101~109中素数有101,103,107,109，恰为4个。依据：给出达到上界的实例，说明4确实能取到。
答：最多4个
典型错法：只答5个，漏掉“连续奇数中有3的倍数”这一筛子。
典例 B2
在1~100这100个正整数中，与21互素的奇数之和为m₁，与21互素的偶数之和为m₂。问：m₁与m₂哪个大？大多少？
训练点：用“总和减去不互素的”做容斥；21=3×7。
提示：
1. 21=3×7，与21不互素就是含因数3或7。
2. 与21互素的奇数和 = 所有奇数和 −(含3的奇数和 + 含7的奇数和 − 含21的奇数和)。偶数同理。
1m₁=(1+3+…+99)−[3×(1+3+…+33)+7×(1+3+…+13)−21×(1+3)]=2500−(867+343−84)=1374。依据：奇数总和2500；减去含3、含7的奇数和，加回重复减的含21奇数和。
2m₂=(2+4+…+100)−[3×(2+4+…+32)+7×(2+4+…+14)−21×(2+4)]=2550−(816+392−126)=1468。依据：偶数总和2550；同理容斥。
3m₂−m₁=1468−1374=94。依据：比较大小。
答：m₂大，大94
典型错法：忘记加回含21的重复部分（容斥符号错）；奇数和偶数项的起止算错。
典例 C1
三个素数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个素数。
训练点：由乘积含因子7，先断定其中一个素数是7，再因式分解求其余。
提示：
1. abc=7(a+b+c)，左边乘积是7的倍数，而a,b,c都是素数，所以其中必有一个等于7。
2. 不妨设a=7，则bc=7+b+c，移项因式分解：(b−1)(c−1)=？
1设三个素数为a,b,c，abc=7(a+b+c)。左边是7的倍数，故a,b,c中必有一个为7，不妨设a=7。依据：7是素数，乘积含7则某个因子必为7。
2代入得bc=7+b+c，整理(b−1)(c−1)=8。依据：bc−b−c+1=8，因式分解。
38=1×8时b=2,c=9(9不是素数，舍去)；8=2×4时b=3,c=5。依据：枚举因数对。
4所以三个素数是3,5,7。依据：验证3×5×7=105=7×(3+5+7)=105。
答：3、5、7
典型错法：不会移项因式分解；舍去c=9时没注意9是合数。
典例 C2
已知 p/q = 1+1/2+1/3+…+1/28，其中p、q是互素的正整数。证明：p是29的倍数。
训练点：倒序配对求和，把和写成29乘以一个分数，再用29是素数且与2×28!互素来论证。
提示：
1. 把原式正写一遍、倒写一遍再相加：第k项与第(29−k)项相加，1/k+1/(29−k)=29/[k(29−k)]。
2. 两边乘2×28!后，右边是29乘以一个整数；29是素数且不整除2×28!，又p、q互素，故29|p。
1倒序相加：2·p/q=(1+1/28)+(1/2+1/27)+…+(1/28+1)=29/28+29/(2·27)+…+29/28。依据：为什么配对：1/k+1/(29−k)=(29−k+k)/[k(29−k)]=29/[k(29−k)]，分子恒为29。
2两边乘2×28!，得 2×28!·p/q = 29·(28!/28 + 28!/(2·27)+…+28!/28)=29m，m为正整数。依据：每一项分母都整除28!，故括号内是整数。
3故29|2×28!·p/q。因29是素数，(29,2×28!)=1，又p、q互素，所以29|p。依据：为什么整除p不整除q：29不整除2×28!，又p、q互素，素数29只能落在p上。
答：p是29的倍数（得证）
典型错法：配对时凑不出29；最后一步说不清为什么29一定整除p而不是q。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
最小的素数与最小的合数之和为______。
答案：6
解析：最小素数是2，最小合数是4，和为6。
水平测试 A 第2题(填空题)
两个合数的和为素数，则这两个数最小为______、______。
答案：4、9
解析：两个合数的和是素数（只能是奇数），必为一偶一奇；最小为4+9=13。
水平测试 A 第3题(填空题)
已知两个素数a和b的和是奇数，则它们的积为______。（填“奇数”或“偶数”）
答案：偶数
解析：两个素数和为奇数，必有一个是2，故积为偶数。
水平测试 A 第4题(填空题)
两个素数的和为43，则这两个素数中较大数比较小数大______。
答案：39
解析：43是奇数，必含一个2，另一素数为41，差为41−2=39。
水平测试 A 第5题(填空题)
三个互不相同的素数相加，和为40，这三个素数分别是______、______、______。
答案：2、7、31
解析：40为偶数，三个素数中必含一个2；其余两奇素数和38，枚举只有7+31=38。
水平测试 A 第6题(填空题)
有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和为8，差为2，这个两位数如果写成素数是______，如果写成合数是______。
答案：53、35
解析：两数字和8差2，得5和3；组成53（素数）和35（合数）。
水平测试 A 第7题(填空题)
正整数A和B都是素数，3A+2B=67，且A>B，则A+B=______。
答案：24
解析：B=(67−3A)/2。试A=17得B=8(舍)；A=19得B=5(素数)，A+B=24。
水平测试 A 第8题(填空题)
有一个素数加上10或12后，仍为素数，则这个数最小为______。
答案：7
解析：7+10=17，7+12=19，都是素数。
水平测试 A 第9题(填空题)
素数A、B、C、D满足A+B=C，A+C=D，那么A×C+B×D是______。
答案：31
解析：若A、B都为奇则C为偶合数，矛盾；故A、B中有偶素数，同理A=2。B+2=C，C+2=D，三个连续奇数B,C,D中必有一个3的倍数，得B=3,C=5,D=7。A×C+B×D=2×5+3×7=31。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一类两位素数，将十位数字与个位数字对换后仍为素数，则所有这些数之和为______。
答案：429
解析：符合条件的两位素数有11,13,17,31,37,71,73,79,97，和为429。
水平测试 A 第11题(解答题)
分别判断117和373是素数还是合数。
答案：117是合数，373是素数
解析：117各位数字和为9，能被3整除，是合数。373是奇数、数字和13不被3整除、末位不是0或5；再用7,11,13,17,19试除（20²=400>373）都除不尽，故是素数。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知x、y、z为三个素数，且x+y=24，y+z=66，x<y<z，求x、y、z。
答案：(5,19,47)或(11,13,53)
解析：x=24−y，枚举y为奇素数：y=19→x=5,z=47；y=17→x=7,z=49(舍)；y=13→x=11,z=53。两组均满足x<y<z。
水平测试 A 第13题(解答题)
将1~9这9个自然数分成3组，每组3个数。第一组3个数的乘积是48，第二组3个数的乘积是45，第三组3个数字之和最大是多少？
答案：18
解析：45=1×5×9；48=2×3×8或2×4×6。若48取2,4,6，则剩下3,7,8和为18（最大）。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
最小的素数与最小的合数之和为______。
答案：6
解析：最小素数是2，最小合数是4，和为6。
水平测试 A 第2题(填空题)
两个合数的和为素数，则这两个数最小为______、______。
答案：4、9
解析：两个合数的和是素数（只能是奇数），必为一偶一奇；最小为4+9=13。
水平测试 A 第3题(填空题)
已知两个素数a和b的和是奇数，则它们的积为______。（填“奇数”或“偶数”）
答案：偶数
解析：两个素数和为奇数，必有一个是2，故积为偶数。
水平测试 A 第4题(填空题)
两个素数的和为43，则这两个素数中较大数比较小数大______。
答案：39
解析：43是奇数，必含一个2，另一素数为41，差为41−2=39。
水平测试 A 第5题(填空题)
三个互不相同的素数相加，和为40，这三个素数分别是______、______、______。
答案：2、7、31
解析：40为偶数，三个素数中必含一个2；其余两奇素数和38，枚举只有7+31=38。
水平测试 A 第6题(填空题)
有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和为8，差为2，这个两位数如果写成素数是______，如果写成合数是______。
答案：53、35
解析：两数字和8差2，得5和3；组成53（素数）和35（合数）。
水平测试 A 第7题(填空题)
正整数A和B都是素数，3A+2B=67，且A>B，则A+B=______。
答案：24
解析：B=(67−3A)/2。试A=17得B=8(舍)；A=19得B=5(素数)，A+B=24。
水平测试 A 第8题(填空题)
有一个素数加上10或12后，仍为素数，则这个数最小为______。
答案：7
解析：7+10=17，7+12=19，都是素数。
水平测试 A 第9题(填空题)
素数A、B、C、D满足A+B=C，A+C=D，那么A×C+B×D是______。
答案：31
解析：若A、B都为奇则C为偶合数，矛盾；故A、B中有偶素数，同理A=2。B+2=C，C+2=D，三个连续奇数B,C,D中必有一个3的倍数，得B=3,C=5,D=7。A×C+B×D=2×5+3×7=31。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一类两位素数，将十位数字与个位数字对换后仍为素数，则所有这些数之和为______。
答案：429
解析：符合条件的两位素数有11,13,17,31,37,71,73,79,97，和为429。
水平测试 A 第11题(解答题)
分别判断117和373是素数还是合数。
答案：117是合数，373是素数
解析：117各位数字和为9，能被3整除，是合数。373是奇数、数字和13不被3整除、末位不是0或5；再用7,11,13,17,19试除（20²=400>373）都除不尽，故是素数。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知x、y、z为三个素数，且x+y=24，y+z=66，x<y<z，求x、y、z。
答案：(5,19,47)或(11,13,53)
解析：x=24−y，枚举y为奇素数：y=19→x=5,z=47；y=17→x=7,z=49(舍)；y=13→x=11,z=53。两组均满足x<y<z。
水平测试 A 第13题(解答题)
将1~9这9个自然数分成3组，每组3个数。第一组3个数的乘积是48，第二组3个数的乘积是45，第三组3个数字之和最大是多少？
答案：18
解析：45=1×5×9；48=2×3×8或2×4×6。若48取2,4,6，则剩下3,7,8和为18（最大）。
水平测试 B 第1题(填空题)
用1，2，3这3个数码（可以重复）可以组成的最大两位素数为______。
答案：31
解析：从最大33往下排：33合数、32偶数、31是素数。
水平测试 B 第2题(填空题)
7个连续素数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么d是______。
答案：7
解析：7个素数和为偶数，必含偶素数2；2最小，故g=2，依次f=3,e=5,d=7。
水平测试 B 第3题(填空题)
在所有两位以上的素数中，在个位数上不可能出现的数字共有______个。
答案：6
解析：个位为0,2,4,6,8能被2整除，个位为5能被5整除，共6个数字不可能出现在素数个位。
水平测试 B 第4题(填空题)
设xy是小于50的素数，且2|(x+y)，则满足条件的数共有______个。
答案：6
解析：x+y为偶数说明两数字都是奇数；小于50的素数11,13,17,19,31,37共6个。
水平测试 B 第5题(填空题)
已知3个素数x、y、z，且x+y+z=30，则xyz最小值为______。
答案：230
解析：30为偶数，必含2；其余两素数和28，取2+5+23=30时积最小，2×5×23=230。
水平测试 B 第6题(填空题，配教材图10-1)
图10-1中的每个圆圈内的数都是素数，且大三角形每条边上3个数的和与其中小三角形上3个顶点的和都相等，则这个和最小为______。
答案：10
解析：六个圆圈填2,3,5（顶点与边中点配合），可使大三角形每条边三数之和与中间小三角形三顶点之和相等，最小和为10。
水平测试 B 第7题(填空题)
如果P为素数，且P²+4、P³+4仍为素数，那么P最小为______。
答案：3
解析：P不能为偶（P=2时8+4=12合数），取P=3：9+4=13、27+4=31均为素数。
水平测试 B 第8题(填空题)
已知3个不同素数的和是最小的合数与4的乘积，那么这3个素数的乘积是______。
答案：66
解析：最小合数4，4×4=16。三个不同素数和为偶必含2，其余两素数和14=3+11，积=2×3×11=66。
水平测试 B 第9题(填空题)
将50写成10个素数之和，则其中最大的一个不会超过______。
答案：31
解析：要使一个素数最大，其余9个取最小。8个2加1个3共19，50−19=31（32不是素数），故最大不超过31。
水平测试 B 第10题(填空题)
已知两个素数a和b的积加上7后恰好为三个不同素数的乘积，这三个素数均不超过30，则a的最小值是______。
答案：5
解析：试a=5,b=7：5×7+7=42=2×3×7，满足，故a最小为5。
水平测试 B 第11题(解答题)
已知P、(P+4)²−5都为素数，求(P+1)(P+2)(P+3)(P+4)的值。
答案：360
解析：(P+4)²−5为素数，(P+4)²−5是偶数则只能为2；这要求P为偶素数2。P=2时原式=3×4×5×6=360。
水平测试 B 第12题(解答题)
有1997个奇数，它们的和等于它们的积，其中只有3个数不是1，且为3个不同的素数，求这3个素数。
答案：5、7、59
解析：设另三个素数为a,b,c，则1994+a+b+c=abc。试a=5,b=7：35c=2006+c，c=59（素数），满足。
水平测试 B 第13题(解答题)
2001个连续的自然数的和等于a×b×c×d，其中a、b、c、d为素数，求a+b+c+d的最小值。
答案：1064
解析：设首项为x，和=(x+1000)×2001=(x+1000)×3×23×29，故x+1000为素数。最小四位数素数1009，x=9，和=1009+3+23+29=1064。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
最小的素数与最小的合数之和为______。
答案：6
解析：最小素数是2，最小合数是4，和为6。
水平测试 A 第2题(填空题)
两个合数的和为素数，则这两个数最小为______、______。
答案：4、9
解析：两个合数的和是素数（只能是奇数），必为一偶一奇；最小为4+9=13。
水平测试 A 第3题(填空题)
已知两个素数a和b的和是奇数，则它们的积为______。（填“奇数”或“偶数”）
答案：偶数
解析：两个素数和为奇数，必有一个是2，故积为偶数。
水平测试 A 第4题(填空题)
两个素数的和为43，则这两个素数中较大数比较小数大______。
答案：39
解析：43是奇数，必含一个2，另一素数为41，差为41−2=39。
水平测试 A 第5题(填空题)
三个互不相同的素数相加，和为40，这三个素数分别是______、______、______。
答案：2、7、31
解析：40为偶数，三个素数中必含一个2；其余两奇素数和38，枚举只有7+31=38。
水平测试 A 第6题(填空题)
有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和为8，差为2，这个两位数如果写成素数是______，如果写成合数是______。
答案：53、35
解析：两数字和8差2，得5和3；组成53（素数）和35（合数）。
水平测试 A 第7题(填空题)
正整数A和B都是素数，3A+2B=67，且A>B，则A+B=______。
答案：24
解析：B=(67−3A)/2。试A=17得B=8(舍)；A=19得B=5(素数)，A+B=24。
水平测试 A 第8题(填空题)
有一个素数加上10或12后，仍为素数，则这个数最小为______。
答案：7
解析：7+10=17，7+12=19，都是素数。
水平测试 A 第9题(填空题)
素数A、B、C、D满足A+B=C，A+C=D，那么A×C+B×D是______。
答案：31
解析：若A、B都为奇则C为偶合数，矛盾；故A、B中有偶素数，同理A=2。B+2=C，C+2=D，三个连续奇数B,C,D中必有一个3的倍数，得B=3,C=5,D=7。A×C+B×D=2×5+3×7=31。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一类两位素数，将十位数字与个位数字对换后仍为素数，则所有这些数之和为______。
答案：429
解析：符合条件的两位素数有11,13,17,31,37,71,73,79,97，和为429。
水平测试 A 第11题(解答题)
分别判断117和373是素数还是合数。
答案：117是合数，373是素数
解析：117各位数字和为9，能被3整除，是合数。373是奇数、数字和13不被3整除、末位不是0或5；再用7,11,13,17,19试除（20²=400>373）都除不尽，故是素数。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知x、y、z为三个素数，且x+y=24，y+z=66，x<y<z，求x、y、z。
答案：(5,19,47)或(11,13,53)
解析：x=24−y，枚举y为奇素数：y=19→x=5,z=47；y=17→x=7,z=49(舍)；y=13→x=11,z=53。两组均满足x<y<z。
水平测试 A 第13题(解答题)
将1~9这9个自然数分成3组，每组3个数。第一组3个数的乘积是48，第二组3个数的乘积是45，第三组3个数字之和最大是多少？
答案：18
解析：45=1×5×9；48=2×3×8或2×4×6。若48取2,4,6，则剩下3,7,8和为18（最大）。
水平测试 C 第1题(填空题)
有5个不同的素数，其和为62，则其中最小数为______，最大数的最大值为______。
答案：2、41
解析：62为偶必含2；取2+3+5+11+41=62，最小数2，最大数最大41。
水平测试 C 第2题(填空题)
有5个素数能排成一个等差数列，则最小的5个数的和为______。
答案：85
解析：最小的5个成等差素数为5,11,17,23,29（公差6），和为85。
水平测试 C 第3题(填空题)
有3个素数x、y、z，若y>x>1，x+y=z，则x=______。
答案：2
解析：若y>x>2，则两奇素数和为偶数，z为偶合数；故必有一个偶素数2，即x=2。
水平测试 C 第4题(填空题)
有一类数，它们既是7的倍数又是5的倍数，加上9后为素数，这样的最小数为______。
答案：79
解析：既是5又是7的倍数即35的倍数：35+9=44(合数)，70+9=79(素数)，最小为79。
水平测试 C 第5题(填空题)
任取1、2、3这3个数字中的一些数就能组成数字不同的正整数，其中所有合数之和为______。
答案：1397
解析：一位数无合数；两位数中合数为12,21,32（13,23,31素数）；六个三位数数字和都是6，全被3整除为合数。合计12+21+32+123+132+213+231+312+321=1397。
水平测试 C 第6题(填空题)
在小于1000的正整数里，与1000互素的所有正整数的个数为______。
答案：400
解析：1000=2³×5³，不与1000互素即被2或5整除。1~999中被2或5整除的有499+199−99=599个，互素的有999−599=400个。
水平测试 C 第7题(填空题)
已知a、b、c都是素数，如果(a+b)×(b+c)=342，那么b等于______。
答案：7
解析：342=2×3²×19，两因子一奇一偶，故a,b中必有偶素数2。设a=2，分解342=9×38，得b=7,c=31。
水平测试 C 第8题(填空题)
将正整数1~99这99个数任意拼接成多个189位数，在这些数中有______个素数。
答案：0
解析：拼接后所有数的各位数字和都是(1+2+…+9)×20=900，能被9整除，故全是合数，没有素数。
水平测试 C 第9题(填空题)
一个四位数，后两位是素数，百位和千位也为素数，千位数字是十位数字的倍数，个位数字比百位数字的2倍少3，这样的四位数共有______个。
答案：18
解析：素数字仅2,3,5,7。个位=2×百位−3：百位取2,3,5得个位1,3,7。十位=1时后两位11,13,17均素数，千位为2,3,5,7共4种，计3×4=12；十位=千位时另有6个(3231,7271,2323,5353,7373,3537)。合计18个。
水平测试 C 第10题(填空题)
将所有的奇素数由小到大排列，则前2002个数的平方和除以12的余数为______。
答案：6
解析：3²=9≡9(mod12)，其余奇素数≥5，平方≡1(mod12)。和≡9+2001×1=2010≡6(mod12)。
水平测试 C 第11题(解答题)
在1~20的正整数中任取一个素数与一个合数相乘，则所有这些积的和为多少？
答案：10164
解析：1~20素数和=2+3+5+7+11+13+17+19=77；合数和=4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20=132。所有积之和=77×132=10164。
水平测试 C 第12题(解答题，配教材图10-2)
如图10-2，将6个连续素数从小到大依次排列填入6个方框内，然后根据图中所指的两个数求平均数得出第二层圆圈内的数，都为偶数。再求平均数得到最后两个数，恰好与原来6个素数排序后的中间两个数完全一样，且小数在左，大数在右，试求出原来的6个素数。
答案：5、7、11、13、17、19
解析：6个连续素数不能取2和3（否则平均数不为整数偶数）。经试验，取5,7,11,13,17,19满足第二层均为偶数、且最末两数恰为中间两数。
水平测试 C 第13题(解答题)
已知ab²c+a=2006，a、b、c为素数，求a+b+c。
答案：33
解析：a(b²c+1)=2006=2×17×59。a=2时b²c+1为奇数矛盾；a=17时b²c=117=3²×13，b=3,c=13；a=59时无平方因子解。故a+b+c=17+3+13=33。
四、方法小结
按因数个数分类：1既非素数也非合数；素数只有1和本身两个因数（最小2，唯一偶素数）；合数至少三个因数（最小4）。判断素数用较小素数试除，试到除数²>N为止。奇偶性是本讲利器：几个素数和为奇数⇔其中必有一个2。拆素数和使积最大时，先用2控制奇偶、定个数上限，再系统枚举比较积。综合题（正方体对面、连续整数中素数个数、与21互素求和）多用两层筛子和容斥。
五、作业建议
基础必做：- 教材P86 水平测试A 第1–5题（填空，分类与奇偶性）
- 教材P86 水平测试A 第6–10题（填空）
- 教材P87 水平测试A 第11题（判断素数合数）
巩固选做：- 教材P87 水平测试A 第12、13题
- 教材P88 水平测试B 第1–5题（填空）
- 教材P89 水平测试B 第6–10题（填空）
提高挑战：- 教材P89 水平测试B 第11–13题（解答）
- 教材P90 水平测试C 第1–7题（填空）
- 教材P91 水平测试C 第8–13题（综合，含竖式图、加权平均）
六、课堂错因定位
症状：把1当素数，或把2当合数
根因：概念：没按因数个数严格分类。
补救：回到分类表格：1个因数→1；2个因数→素数；≥3个→合数。强调2是唯一偶素数。
症状：和为奇数却想不出必有一个2
根因：方法：没建立“奇偶性→找2”的条件反射。
补救：用知识模块奇偶性图：奇+奇=偶，奇+偶=奇；和为奇数立刻圈出藏着的2。
症状：试除判断素数时试过头或没试够
根因：方法：不知道试到除数²>N为止。
补救：强调√N是上限，如373只试到19；先用被2/3/5整除特征快速排除。
症状：拆素数和使积最大时盲目枚举
根因：策略：不先用2定奇偶和个数上限。
补救：按典例A2四步：定上限→定奇偶→枚举→比较积。
症状：容斥求和题漏加回重复部分
根因：原理：容斥符号不清。
补救：用典例B2公式：减去含A和含B的，要加回含AB的。