【教师版】第11讲 · 分解素因数
五年级奥数 · 教材第92–98页（第11讲全讲）
一、知识要点
分解素因数与短除法
本质：把大于1的整数用素因数相乘形式表示：N=p1^r1·p2^r2·…·pn^rn，p为互不相同素数，r为正整数。短除法从最小素数2开始试除。
适用：任何乘积类问题先分解素因数。如126=2×3×3×7=2×3²×7。
- 从最小素数2除起，能除就继续除。
- 2除不尽再试3、5、7…
- 除到商本身是素数为止，把所有除数和最后的商连乘。
典型错误：除数选成合数；除到一半停止，商还能再除。
因数个数公式
本质：若 N=p1^r1·p2^r2·…·pn^rn，则N的正因数个数=(r1+1)(r2+1)…(rn+1)。因数个数为奇数⇔N是完全平方数（各指数都是偶数）。
适用：典例C1/C2、测试C1/C2：已知因数个数反求N，或判断完全平方数。
- 每个素因数的指数可取0到r，共r+1种选择。
- 各素因数独立选择，用乘法原理相乘。
- 只有每个(r+1)都是奇数（即r全偶）时，总因数个数才是奇数，对应平方数。
典型错误：忘记指数+1，直接把指数相乘；或把“因数个数奇”与“偶数”混淆。
连乘积末尾有几个零
本质：末尾每个零来自一对因数2×5。连乘积中因数2通常远多于5，所以末尾零的个数=因数5的个数（含25、125等多5因子）。
适用：测试B5、C4、C6：求n!末尾零的个数，或反乘一个数使末尾凑够零。
- 一个零=10=2×5。
- 连续乘积里偶数多，因数2充足，瓶颈在因数5。
- 25贡献2个5，125贡献3个5，要分别按⌊n/5^k⌋累加。
典型错误：只算⌊n/5⌋，漏算25、125、625的额外5；或去数因数2。
二、典例精讲
典例 A1
一个筐里共有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出。但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么共有几种拿法？
训练点：用因数个数判断“等拿法”种数。
提示：
1. 把96分解成两个正整数相乘，有多少对？
2. 题目说“不一次拿出，也不一个一个拿”，要去掉哪一对？
196=2⁵×3，因数个数=(5+1)(1+1)=12，即6对乘积。依据：为什么想到分解：等拿法=把96拆成两数相乘的对数，用因数个数公式算。
2去掉1×96（一次拿完或一个一个拿），剩5对。依据：题目排除这对特殊拿法。
3每对可作两种拿法（每次拿a个拿b次，或每次拿b个拿a次），共2×5=10种。依据：为什么乘2：a×b与b×a方向相反，是两种不同拿法。
答：10种
典型错法：忘记去掉1×96；或忘记每对算两种拿法。
典例 A2
4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？
训练点：分解素因数后按“只有一个合数”重组一位数。
提示：
1. 360分解成几个素因数？
2. 4个数中只有一个合数，其余三个是素数（一位素数2,3,5,7）。那个合数至少由几个素因数拼成？
1360=2×2×2×3×3×5，是6个素因数乘积。依据：为什么先分解：一位数只能是1~9，先看素因数怎么合并。
24个数中只有一个合数，其余三个是一位素数；该合数至少由6−3=3个素因数拼成。依据：三个素数各占一个素因数，剩下3个素因数必须挤进同一个合数。
3只有3个2相乘=8是一位数，故四个数为3,3,5,8。依据：为什么是8：2×2×2=8是一位数；2×2×3=12已超一位数。
答：8533
典型错法：不会把多个素因数合并成一个一位合数。
典例 B1
将下列8个数平均分成2组，并使这2组数的乘积相等：12，18，33，35，36，65，77，104。
训练点：分解素因数后按每种素因数个数对半分。
提示：
1. 把8个数全部分解素因数，数出每种素因数共有几个。
2. 要两组乘积相等，每组必须含每种素因数个数的一半。
1分解：12=2²×3，18=2×3²，33=3×11，35=5×7，36=2²×3²，65=5×13，77=7×11，104=2³×13。依据：为什么先分解：乘积相等等价于两边每种素因数个数相同。
2计数：素因数2共8个、3共6个、5/7/11/13各2个。依据：统计总数。
3每组各分4个2、3个3、1个5、1个7、1个11、1个13，得两组为12,36,65,77和18,33,35,104。依据：为什么对半：总数是偶数，每组必须拿一半才能两边乘积相等。
答：{12,36,65,77} 和 {18,33,35,104}
典型错法：分解不完整；配对时只看数字大小不看素因数。
典例 B2
在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的正整数。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764。但是甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数。
训练点：把积分解后枚举所有“5个≤10因数”的拆法，按和配对。
提示：
1. 1764分解素因数是多少？它有哪些不超过10的因数？
2. 把1764写成5个不超过10的因数之积，列出所有可能并算和。
11764=2²×3²×7²，不超过10的因数有1,2,3,4,6,7,9。依据：为什么列因数：每箭环数≤10，只能从这些因数里挑5个相乘。
2枚举5个≤10因数的乘积，和分别为28,27,24,25,27。依据：两个7必须各占一箭，再把2²×3²分配到其余3箭。
3只有24与28相差4，故甲总环数24，乙28。依据：为什么和差4锁定：只有这一对和相差4，且甲少。
答：甲24环，乙28环
典型错法：枚举漏拆法；和算错。
典例 C1
504乘以正整数a，得到一个平方数（即等于某正整数的平方），求a的最小值和这个平方数。
训练点：补因数使各指数都成为偶数。
提示：
1. 504分解素因数后各指数是几？
2. 平方数要求每个指数都是偶数，现有指数里哪些是奇数？补什么能把它们变偶？
1504=2³×3²×7。依据：为什么先分解：平方数的标准分解式每个指数都必须是偶数。
2要成为平方数，各指数须为偶数；需补一个2和一个7，故a=2×7=14。依据：指数3、1是奇数各补1个，指数2已是偶数不动。
3平方数=504×14=7056=2⁴×3²×7²。依据：验证指数全偶。
答：a最小14，平方数7056
典型错法：只补2漏掉7；或补成奇数次。
典例 C2
有一正整数，它的个位是零，共有8个因数，这个数最小是多少？
训练点：由因数个数8反推标准分解式形状，再结合个位是0（含2和5）求最小。
提示：
1. 8可以写成哪几种“≥2整数相乘”？对应指数是什么形状？
2. 个位是0说明必含素因数2和5，哪种分解式形状才可能同时含2和5？
18=7+1=2×4=2×2×2。个位为0必含2和5，故p⁷形状不可能。依据：为什么拆8：因数个数=(指数+1)相乘，先把8拆成几个≥2整数的积定形状。
22×4形状：2³×5=40或5³×2=250；2×2×2形状：2×3×5=30。依据：个位0必须同时有2和5，p⁷只含一个素数被排除。
答：30
典型错法：漏掉p·q·r形状；或没排除p⁷。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
三个连续自然数的乘积是210，这三个数分别是______、______、______。
答案：5、6、7
解析：210=2×3×5×7，组合成连续自然数即5,6,7。
水平测试 A 第2题(填空题)
已知一个三位数2aa与一个素数的乘积是2016，则这个素数是______。
答案：7
解析：2016=2⁵×3²×7=288×7，三位数2aa=288，故素数为7。
水平测试 A 第3题(填空题)
用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
答案：8
解析：1155=3×5×7×11，因数个数=2⁴=16，拼法=16÷2=8种。
水平测试 A 第4题(填空题)
两个连续奇数的乘积为111555，这两个奇数的和为______。
答案：668
解析：111555=333×335，两连续奇数为333和335，和为668。
水平测试 A 第5题(填空题)
若a、b、c、d是互不相等的正整数，a×b×c×d=357，则a+b+c+d=______。
答案：28
解析：357=3×7×17只有3个素因数，四个不等正整数必为1,3,7,17，和为28。
水平测试 A 第6题(解答题)
甲、乙、丙三人进行射箭训练，每人射三箭，三人三箭射后统计发现各自三次成绩的积都为60，每人每次成绩都不低于2。按个人中靶的总环数由高到低依次为甲、乙、丙，则______打中了靶子上的4环。
答案：丙
解析：60=2²×3×5，三箭成绩（≥2）的和可能为(15,2,2)=19、(10,2,3)=15、(6,2,5)=13、(5,3,4)=12。甲=19、乙=15、丙=12(含4)，故丙打中4环。
水平测试 A 第7题(填空题)
把180支铅笔平均分成若干份（无剩余），每份不少于7支，也不多于25支，共有______种不同的分法。
答案：6
解析：180=2²×3²×5，在7~25之间的因数有9,10,12,15,18,20，共6个。
水平测试 A 第8题(填空题)
在100以内的正整数中，只有3个因数的数有______个。
答案：4
解析：只有3个因数的数是素数平方：2²,3²,5²,7²即4,9,25,49，共4个。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知2002被一些正整数去除，都得到相同的余数12，则这些数共有______个。
答案：4
解析：除数整除2002−12=1990=2×5×199，且除数>12，有199,398,995,1990共4个。
水平测试 A 第10题(填空题)
232323的全部素因数的和表示为AB，那么A×B×AB=______。
答案：1992
解析：232323=23×3×7×13×37，素因数和=23+3+7+13+37=83，即AB=83，A=8,B=3，A×B×AB=8×3×83=1992。
水平测试 A 第11题(解答题)
一个长方体的长、宽、高是三个两两互素的自然数，已知这个长方体的体积是425立方厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？
答案：934平方厘米
解析：425=5²×17，三个两两互素边长为1,17,25。表面积=2(25×17+25×1+17×1)=2×467=934。
水平测试 A 第12题(解答题)
有五个人都属马，他们的年龄相乘的积为15925，他们中年龄最大的是几岁？
答案：49岁
解析：15925=5²×7×13，都属马年龄差为12的倍数，重组为1,1,13,25,49，最大49岁。
水平测试 A 第13题(解答题)
小灵通有一个七位的QQ号，它恰好是几个连续素数的乘积，这个号码的后四位组成的数是前三位组成的数的10倍。小灵通的QQ号是多少？
答案：9699690
解析：号码形如abcabc0=10×1001×abc=2×5×7×11×13×abc，是从2开始连续素数乘积。abc=3×17×19=969，故号码=2×3×5×7×11×13×17×19=9699690。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
三个连续自然数的乘积是210，这三个数分别是______、______、______。
答案：5、6、7
解析：210=2×3×5×7，组合成连续自然数即5,6,7。
水平测试 A 第2题(填空题)
已知一个三位数2aa与一个素数的乘积是2016，则这个素数是______。
答案：7
解析：2016=2⁵×3²×7=288×7，三位数2aa=288，故素数为7。
水平测试 A 第3题(填空题)
用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
答案：8
解析：1155=3×5×7×11，因数个数=2⁴=16，拼法=16÷2=8种。
水平测试 A 第4题(填空题)
两个连续奇数的乘积为111555，这两个奇数的和为______。
答案：668
解析：111555=333×335，两连续奇数为333和335，和为668。
水平测试 A 第5题(填空题)
若a、b、c、d是互不相等的正整数，a×b×c×d=357，则a+b+c+d=______。
答案：28
解析：357=3×7×17只有3个素因数，四个不等正整数必为1,3,7,17，和为28。
水平测试 A 第6题(解答题)
甲、乙、丙三人进行射箭训练，每人射三箭，三人三箭射后统计发现各自三次成绩的积都为60，每人每次成绩都不低于2。按个人中靶的总环数由高到低依次为甲、乙、丙，则______打中了靶子上的4环。
答案：丙
解析：60=2²×3×5，三箭成绩（≥2）的和可能为(15,2,2)=19、(10,2,3)=15、(6,2,5)=13、(5,3,4)=12。甲=19、乙=15、丙=12(含4)，故丙打中4环。
水平测试 A 第7题(填空题)
把180支铅笔平均分成若干份（无剩余），每份不少于7支，也不多于25支，共有______种不同的分法。
答案：6
解析：180=2²×3²×5，在7~25之间的因数有9,10,12,15,18,20，共6个。
水平测试 A 第8题(填空题)
在100以内的正整数中，只有3个因数的数有______个。
答案：4
解析：只有3个因数的数是素数平方：2²,3²,5²,7²即4,9,25,49，共4个。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知2002被一些正整数去除，都得到相同的余数12，则这些数共有______个。
答案：4
解析：除数整除2002−12=1990=2×5×199，且除数>12，有199,398,995,1990共4个。
水平测试 A 第10题(填空题)
232323的全部素因数的和表示为AB，那么A×B×AB=______。
答案：1992
解析：232323=23×3×7×13×37，素因数和=23+3+7+13+37=83，即AB=83，A=8,B=3，A×B×AB=8×3×83=1992。
水平测试 A 第11题(解答题)
一个长方体的长、宽、高是三个两两互素的自然数，已知这个长方体的体积是425立方厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？
答案：934平方厘米
解析：425=5²×17，三个两两互素边长为1,17,25。表面积=2(25×17+25×1+17×1)=2×467=934。
水平测试 A 第12题(解答题)
有五个人都属马，他们的年龄相乘的积为15925，他们中年龄最大的是几岁？
答案：49岁
解析：15925=5²×7×13，都属马年龄差为12的倍数，重组为1,1,13,25,49，最大49岁。
水平测试 A 第13题(解答题)
小灵通有一个七位的QQ号，它恰好是几个连续素数的乘积，这个号码的后四位组成的数是前三位组成的数的10倍。小灵通的QQ号是多少？
答案：9699690
解析：号码形如abcabc0=10×1001×abc=2×5×7×11×13×abc，是从2开始连续素数乘积。abc=3×17×19=969，故号码=2×3×5×7×11×13×17×19=9699690。
水平测试 B 第1题(填空题)
已知53÷□=□……3，则在方框中填入适当的正整数使等式成立，共有______种填法。
答案：4
解析：除数整除53−3=50=1×50=2×25=5×10，且除数>3，有5,10,25,50共4种。
水平测试 B 第2题(填空题)
在1~200的200个正整数中，所有只有3个因数的正整数的和为______。
答案：377
解析：只有3个因数的是素数平方：4,9,25,49,121,169，和为377。
水平测试 B 第3题(填空题)
一个长方体相邻两个面的面积之和为77平方厘米，它的长、宽、高都是整数厘米，且是素数，这个长方体的体积是______立方厘米。
答案：110
解析：77=7×11，相邻两面面积和=长×(宽+高)，7=5+2，故三边为11,5,2，体积=11×5×2=110。
水平测试 B 第4题(填空题)
有4个连续正整数，它们的积为24024，则其中最大数为______。
答案：14
解析：24024=2³×3×7×11×13，组合成连续数11,12,13,14，最大14。
水平测试 B 第5题(填空题)
975×935×972×（ ），要使这个连乘积的最后四个数字都是零，在括号内最小应填______。
答案：20
解析：前三个数共含3个5、2个2，末尾4个零需4个5和4个2，还缺1个5、2个2，填2²×5=20。
水平测试 B 第6题(填空题)
有甲、乙、丙三名学生，甲比乙大2岁，乙比丙也大2岁，且三人年龄之积为1287，则甲、乙、丙三人年龄依次为：______、______、______。
答案：13岁、11岁、9岁
解析：1287=3²×11×13，成等差(差2)的三数为9,11,13。
水平测试 B 第7题(填空题)
长和宽为正整数，面积为165的形状不同的长方形有______种。
答案：4
解析：165=1×165=3×55=5×33=11×15，共4种。
水平测试 B 第8题(填空题)
在射箭运动中，每次一箭得到的环数是不超过10的自然数。甲、乙两名运动员各射了6箭，每人得到的环数的积是8820，那么两人的总环数相差最大是______环。
答案：7
解析：8820=2²×3²×5×7²。拆法和最小为3+3+4+5+7+7=29，最大为1+2+9+7+7+10=36，差为7。
水平测试 B 第9题(解答题)
把5，11，14，15，21，22这6个数填入下面的括号内，使等式成立。（ ）×（ ）×（ ）=（ ）×（ ）×（ ）。
答案：5×21×22=11×14×15
解析：分解后每组各含1个2、1个3、1个5、1个7、1个11，得5×21×22=11×14×15。
水平测试 B 第10题(填空题)
用边长为1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体，共用去2100块木块。如果高为10厘米，长、宽都大于高，则长与宽的和为______厘米。
答案：29
解析：底面积2100÷10=210=2×3×5×7，长宽都>10只能取14和15，和为29。
水平测试 B 第11题(解答题)
将12，15，18，30，36和45分成3组，使3组数的乘积都相等。
答案：12×45=15×36=18×30
解析：共6个2、9个3、3个5，每组2个2、3个3、1个5，得12×45=15×36=18×30=540。
水平测试 B 第12题(解答题)
自然数从1至n乘积可以写成n!。例如，5!=1×2×3×4×5=120。要使n!可以被990整除，则n的最小值等于多少？
答案：11
解析：990=2×3²×5×11，n!须含素因数11，故n最小为11。
水平测试 B 第13题(解答题)
A、B、C三人进行射击训练，每人射三箭，三人三箭后统计发现各自三次的成绩的积都为60，每人每次的成绩都不低于2环，按个人中靶的总环数由高到低依次为甲、乙、丙，且总环数都不低于13环，则谁打中了15环？
答案：乙
解析：三箭成绩和不低于13的拆法：(15,2,2)=19、(10,2,3)=15、(6,2,5)=13，对应甲19、乙15、丙13，故乙打中15环。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
三个连续自然数的乘积是210，这三个数分别是______、______、______。
答案：5、6、7
解析：210=2×3×5×7，组合成连续自然数即5,6,7。
水平测试 A 第2题(填空题)
已知一个三位数2aa与一个素数的乘积是2016，则这个素数是______。
答案：7
解析：2016=2⁵×3²×7=288×7，三位数2aa=288，故素数为7。
水平测试 A 第3题(填空题)
用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
答案：8
解析：1155=3×5×7×11，因数个数=2⁴=16，拼法=16÷2=8种。
水平测试 A 第4题(填空题)
两个连续奇数的乘积为111555，这两个奇数的和为______。
答案：668
解析：111555=333×335，两连续奇数为333和335，和为668。
水平测试 A 第5题(填空题)
若a、b、c、d是互不相等的正整数，a×b×c×d=357，则a+b+c+d=______。
答案：28
解析：357=3×7×17只有3个素因数，四个不等正整数必为1,3,7,17，和为28。
水平测试 A 第6题(解答题)
甲、乙、丙三人进行射箭训练，每人射三箭，三人三箭射后统计发现各自三次成绩的积都为60，每人每次成绩都不低于2。按个人中靶的总环数由高到低依次为甲、乙、丙，则______打中了靶子上的4环。
答案：丙
解析：60=2²×3×5，三箭成绩（≥2）的和可能为(15,2,2)=19、(10,2,3)=15、(6,2,5)=13、(5,3,4)=12。甲=19、乙=15、丙=12(含4)，故丙打中4环。
水平测试 A 第7题(填空题)
把180支铅笔平均分成若干份（无剩余），每份不少于7支，也不多于25支，共有______种不同的分法。
答案：6
解析：180=2²×3²×5，在7~25之间的因数有9,10,12,15,18,20，共6个。
水平测试 A 第8题(填空题)
在100以内的正整数中，只有3个因数的数有______个。
答案：4
解析：只有3个因数的数是素数平方：2²,3²,5²,7²即4,9,25,49，共4个。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知2002被一些正整数去除，都得到相同的余数12，则这些数共有______个。
答案：4
解析：除数整除2002−12=1990=2×5×199，且除数>12，有199,398,995,1990共4个。
水平测试 A 第10题(填空题)
232323的全部素因数的和表示为AB，那么A×B×AB=______。
答案：1992
解析：232323=23×3×7×13×37，素因数和=23+3+7+13+37=83，即AB=83，A=8,B=3，A×B×AB=8×3×83=1992。
水平测试 A 第11题(解答题)
一个长方体的长、宽、高是三个两两互素的自然数，已知这个长方体的体积是425立方厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？
答案：934平方厘米
解析：425=5²×17，三个两两互素边长为1,17,25。表面积=2(25×17+25×1+17×1)=2×467=934。
水平测试 A 第12题(解答题)
有五个人都属马，他们的年龄相乘的积为15925，他们中年龄最大的是几岁？
答案：49岁
解析：15925=5²×7×13，都属马年龄差为12的倍数，重组为1,1,13,25,49，最大49岁。
水平测试 A 第13题(解答题)
小灵通有一个七位的QQ号，它恰好是几个连续素数的乘积，这个号码的后四位组成的数是前三位组成的数的10倍。小灵通的QQ号是多少？
答案：9699690
解析：号码形如abcabc0=10×1001×abc=2×5×7×11×13×abc，是从2开始连续素数乘积。abc=3×17×19=969，故号码=2×3×5×7×11×13×17×19=9699690。
水平测试 C 第1题(填空题)
144的全部因数有______个。
答案：15
解析：144=2⁴×3²，因数个数=(4+1)(2+1)=15。
水平测试 C 第2题(填空题)
恰好有6个因数的两位数共有______个。
答案：12
解析：6=1×6=2×3，数的形状为p⁵或p²·q，枚举两位数共12个。
水平测试 C 第3题(填空题)
已知360x为一个完全平方数，则x最小为______。
答案：10
解析：360=2³×3²×5，需补一个2和一个5使指数全偶，x=10。
水平测试 C 第4题(填空题)
在1×2×3×…×999×1000中，末尾连续有______个零。
答案：249
解析：因数5的个数=⌊1000/5⌋+⌊1000/25⌋+⌊1000/125⌋+⌊1000/625⌋=200+40+8+1=249。
水平测试 C 第5题(填空题)
有3个正整数a、b、c，a×b=30，b×c=35，a×c=42，则a+b+c=______。
答案：18
解析：b=gcd(30,35)=5，a=gcd(30,42)=6，c=gcd(35,42)=7，和为18。
水平测试 C 第6题(填空题)
已知1×2×3×…×10=2ᵃ×3ᵇ×M（a、b、M都为整数，M与2、3互素），a与b的和为______。
答案：12
解析：10!中因数2有8个、因数3有4个，a+b=12。
水平测试 C 第7题(填空题)
有20多位学生围成一圈，按顺时针方向不断报数。其中有一位学生同时报了5和395，则共有______名学生。
答案：26
解析：学生数整除395−5=390=2×3×5×13，且在20~30之间，只有26。
水平测试 C 第8题(解答题)
少年宫游乐厅内悬挂着100个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗。这100个灯泡按1~100编号，它们的亮暗规则是：第一秒全部变亮；第二秒凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；……第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，第100秒时，明亮的灯泡有______个。
答案：10
解析：被拉奇数次的灯才亮，即编号因数个数为奇数，即完全平方数：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100，共10个。
水平测试 C 第9题(填空题)
A、B为正整数，A有4个因数，B有6个因数，A、B相互不能整除，A×B最小为______。
答案：96
解析：4个因数的最小A=6(=2×3)，但6整除B的最小值12，不合；改取A=8=2³，B=12=2²×3，A×B=96。
水平测试 C 第10题(填空题)
已知a、b、c、d是素数，且a×b×c×d是77个非零连续自然数之和，则a+b+c+d的最小值是______。
答案：32
解析：设中间数x，和=77x=7×11×x，x≥39且为两素数之积，最小x=49=7×7，故和=7+11+7+7=32。
水平测试 C 第11题(解答题)
如果33与x的积能写成3个连续正整数的积，求x的最小值。
答案：30
解析：33=3×11，三个连续数中必须含11，最小为9×10×11=990，x=990÷33=30。
水平测试 C 第12题(解答题)
在1×2×3×…×100的积中，从右边数第25个数字是多少？
答案：4
解析：100!末尾有24个零（⌊100/5⌋+⌊100/25⌋=24），第25位即去掉24个零后剩余乘积的个位；按个位分组乘积最后乘得个位为4。
水平测试 C 第13题(解答题)
从1开始的若干连续自然数相乘，1×2×3×…×○=△，最后数用圆圈表示。已知圆圈是一个奇数，如果△÷12÷12÷12÷…÷12=1925，那么△被12除了多少次？
答案：4次
解析：○为奇数且11≤○≤12，故○=11，△=11!=2⁸×3⁴×5²×7×11。每次除以12=2²×3消耗2个2和1个3，12^k=2^(2k)×3^k，由2⁸定2k≤8得k=4。
四、方法小结
分解素因数是本讲工具：短除法从2除起，写成标准分解式。因数个数=各指数加1再相乘；因数个数为奇数即完全平方数。分组乘积相等按素因数对半分；末尾零数因数5的个数；补平方数要把每个指数补成偶数。
五、作业建议
基础必做：- 教材P93 水平测试A 第1–8题
- 教材P93 水平测试A 第9、10题
巩固选做：- 教材P93–94 水平测试A 第11–13题
- 教材P95 水平测试B 第1–8题
提高挑战：- 教材P95–96 水平测试B 第9–13题
- 教材P97–98 水平测试C 第1–13题
六、课堂错因定位
症状：因数个数公式不会用
根因：没把指数+1再相乘。
补救：对照144=2⁴×3²，因数个数=(4+1)(2+1)=15，逐个指数加1。
症状：分组乘积相等无从下手
根因：不先分解计数。
补救：像典例B1一样把每个数分解，数清每种素因数个数再对半分。
症状：末尾零个数算错
根因：只数5或去数2。
补救：牢记瓶颈在5，25、125要多算。
症状：补平方数补错
根因：没把每个奇指数都补成偶。
补救：像典例C1逐指数检查奇偶。