【教师版】第13讲 · 数论综合
五年级奥数 · 教材第107–113页（第13讲全讲）
一、知识要点
因数个数定理与因数和
本质：把数分解素因数后，每个素因数的指数决定因数个数：因数个数=各(指数+1)连乘；因数和=各素因数“0次到指数次幂和”连乘。
适用：水平测试A4/A5/A7/A8/A9/A12、典例C1：已知数求因数个数/因数和，或已知因数个数反推原数。
- 因数是从每个素因数的幂次中“各选一档”搭配出来的。
- 2的指数可选0,1,2,3,4共5种，3的指数可选0,1共2种，5的指数可选0,1共2种，搭配5×2×2=20个因数。
- 求奇因数时，2的指数只能取0（即不选2），其余照常。
典型错误：把指数本身（而不是指数+1）连乘；或求奇因数时仍把2的指数算进去。
整除特征综合与补数构造
本质：被12整除=同时被3和4整除；被15整除=同时被3和5整除；被99整除=同时被9和11整除。多位未知数字时，先按尾位锁定（被4看末两位、被5看末位），再按数字和锁定。
适用：典例A2（8ab8ab被12整除）、水平测试A1/A3/B3/B7/B8/C11/C12。
- 末位类整除（2,4,5,8）只决定末一位/两位，先锁定末位。
- 数字和类整除（3,9）再列方程求其余位。
- 被11整除用“奇位和−偶位和”。
典型错误：把被4整除当成看整个数；或被99整除时只拆成9和11却忘了同时满足。
奇偶性作为等式的硬约束
本质：若干个整数相加，和是奇数当且仅当其中奇数的个数是奇数。把同一组条件相加，左右两边奇偶性必须一致，否则无解。
适用：典例B2（三圆圈填数）、水平测试B13、C10、C13。
- 把“每条线段两端和为奇”翻译成三个等式。
- 三式左边相加，每个字母出现两次，必为偶数。
- 三式右边相加是三个奇数之和，必为奇数。
- 偶=奇矛盾，故不存在。
典型错误：只试几个数说“好像不行”，不会用三式相加给出严格证明。
同余逐步满足法
本质：一个数除以几个除数余数各不同时，先找“余数相同”的条件合并成“除以它们最小公倍数余几”，再写一列数逐个试下一个条件。
适用：典例B1（3余1/5余2/7余1）、典例C2、水平测试C7（9余7/5余2/4余3）。
- 除以3余1且除以7余1，余数相同，合并为除以21余1。
- 写出1,22,43,64,85,106,127,…
- 其中满足除以5余2的数个位必为2或7；一百多中只有127。
典型错误：不会把“除以3余1且除以7余1”合并成除以21余1，逐个盲试。
二、典例精讲
典例 A1
老师在黑板上写下三个数：108，396，A。让同学们求它们的最小公倍数。小马虎将108当作180进行计算，结果竟然与答案一致，求A的最小值。
训练点：用素因数分解看LCM到底由哪些素因数决定。
提示：
1. 把108、396、180都分解素因数，列成指数表。
2. LCM取各素因数最高次幂。108和180相比，哪个素因数的幂次变了？A必须含有谁才能让两个LCM相同？
1分解：108=2²×3³，396=2²×3²×11，180=2²×3²×5依据：为比较LCM逐素因数看最高次幂。
2108→180，3的幂从3³降到3²，却多出素因子5。要让LCM不变，A必须自己含3³和5依据：LCM取最高次幂；A补上后无论用108还是180，3的最高次都是3³、且都含5。
3A最小=3³×5=27×5=135依据：取最少因子即得最小值。
答：135
典型错法：只看到5漏掉3³，得到45。
典例 A2
一个六位数 8ab8ab，能被12整除，其中a、b互异。求这样的六位数中最小的那个数的末两位数字。
训练点：被12整除拆成被3和被4整除；要最小数从高位试起。
提示：
1. 被4整除只看末两位ab，两位数ab能被4整除的有哪些？
2. 要整个六位数最小，a应尽量小；a=0时数字和8+0+b要被3整除，b最小取几？
112=3×4，需同时被3、4整除依据：3与4互素。
2被4整除只看末两位ab；要数最小先取a=0依据：高位越小数越小。
3a=0时数字和=8+0+b+8+0+b=16+2b，要被3整除；b最小取4（04是4的倍数，16+8=24被3整除）依据：b=0与a相同不合互异，b=4满足两条件。
答：末两位是04
典型错法：只让数字和被3整除而忘了末两位被4整除。
典例 B1
某小学的六年级有一百多名学生。若按3人一行排队，则多出1人；若按5人一行排队，则多出2人；若按7人一行排队，则多出1人。该年级的人数是多少人？
训练点：简单中国剩余问题：先合并同余数，再逐条件筛。
提示：
1. 除以3余1、除以7也余1，这两个余数相同，能不能合成一个条件？
2. 除以5余2的数个位有什么特点？
1除以3余1且除以7余1 → 除以21余1：1,22,43,64,85,106,127,…依据：同余数合并到最小公倍数。
2再满足除以5余2：个位为2或7；一百多中只有127依据：5的倍数个位0或5，余2即个位2或7。
答：127人
典型错法：从3的倍数开始盲试，效率低且漏数。
典例 B2
如图13-1所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。请问：这样的填法存在吗？如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
训练点：奇偶性反证法。
提示：
1. 设三个数为a,b,c，写出三个“和为奇数”的等式。
2. 把三个等式左边加起来、右边加起来，两边奇偶性一样吗？
1假设存在：a+b奇，a+c奇，b+c奇依据：三条线段各一个条件。
2三式左边相加=2(a+b+c)，是偶数依据：每个字母出现两次。
3三式右边相加=三个奇数之和，是奇数依据：奇数个奇数之和为奇。
答：不存在这样的填法
典型错法：试了几组不行就下结论，缺乏证明。
典例 C1
有8个不同因数的自然数中，最小的一个数是多少？
训练点：因数个数定理逆向：把8拆成(指数+1)的乘积，列举三种结构再取最小。
提示：
1. 因数个数8，意味着(指数+1)的乘积=8。8能怎样拆？
2. 三种结构分别是 a⁷、a·b³、a·b·c，哪种配最小素数得到的数最小？
18=1×8→a⁷型，最小2⁷=128依据：指数+1分别为8。
28=2×4→a·b³型，大指数3配小素数2，取3·2³=24依据：b³中b=2，a取次小素数3。
38=2×2×2→a·b·c型，最小2·3·5=30依据：三个不同素数各一次。
答：24
典型错法：只想到a·b·c型答30，漏掉更小的a·b³型。
典例 C2
一个自然数，它加上1是2的倍数，它的2倍加上1是3的倍数，它的3倍加上1是5的倍数。这样的自然数中最小的一个是多少？
训练点：逐步满足：先由前两个条件写出等差数列，再用第三个条件筛。
提示：
1. 加1是2的倍数 → 这个数是奇还是偶？
2. 2倍加1是3的倍数 → 这个数除以3余几？
1加1是2的倍数 → 该数是奇数依据：偶数+1才被2整除即原数奇。
22倍加1是3的倍数 → 该数除以3余1，写出7,13,19,…依据：2x+1≡0 → x≡1(mod3)。
3检验3倍加1被5整除：13→40被5整除依据：7→22不被5整除，13是第一个符合的。
答：13
典型错法：把“2倍加1是3的倍数”误读成原数被3整除。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
一个三位数 6□4 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值。(1)如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于______。(2)如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于______。
答案：(1)2或5或8；(2)0或2或4或6或8
解析：(1)被3整除看数字和6+□+4=10+□，□=2,5,8。(2)被4整除只看末两位□4，□4为4的倍数时□=0,2,4,6,8。
水平测试 A 第2题(填空题)
由1，3，5，7这四个数字组成的没有重复数字的三位数中，有______个能被3整除。
答案：12
解析：被3整除要求数字和被3整除：{1,3,5}和为9、{3,5,7}和为15，各排列6个，共12个（135,153,315,351,513,531,357,375,537,573,735,753）。
水平测试 A 第3题(填空题)
六位数 2014□□ 能被99整除，它的最后两位数是______。
答案：65
解析：设末两位ab。被11整除：(b+4)−(a+1+2)=0或11，得a−b=1。被9整除：2+0+1+4+a+b=7+a+b被9整除。联立得a=6,b=5。
水平测试 A 第4题(填空题)
240有______个因数，这些因数的和是______。
答案：20；744
解析：240=2⁴×3×5。因数个数=(4+1)(1+1)(1+1)=20；因数和=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5)=31×4×6=744。
水平测试 A 第5题(填空题)
360有______个奇因数，所有这些奇因数的和是______。
答案：6；78
解析：360=2³×3²×5。奇因数不含2，个数=(2+1)(1+1)=6；奇因数和=(1+3+9)(1+5)=13×6=78。
水平测试 A 第6题(填空题)
边长为整数，面积是1260的形状不同的长方形共有______种。
答案：18
解析：1260=2²×3²×5×7，因数个数=(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=36。长与宽成对，共36÷2=18种。
水平测试 A 第7题(填空题)
在1到100中，恰好有6个因数的数有______个。
答案：16
解析：6=1×6或2×3。素数五次方：2⁵=32（1个）。素数平方×另一素数：2²×3,5,7,11,13,17,19,23（8个）；3²×2,5,7,11（4个）；5²×2,3（2个）；7²×2（1个）。共1+8+4+2+1=16。
水平测试 A 第8题(填空题)
恰有8个因数的两位数有______个。
答案：10
解析：8=1×8=2×4=2×2×2。a⁷型2⁷=128超100无；a·b³型：2×3³,3×2³,5×2³,7×2³,11×2³共5个；a·b·c型：2×3×5,2×3×7,2×5×7共5个。合计10个。
水平测试 A 第9题(填空题)
有一个两位数，它有6个因数，且这个两位数最小的3个因数之和为10，那么这个两位数是______。
答案：98
解析：最小因数必含1，另两个和为9且一奇一偶，故第二小因数是2；第三小因数是7。数为14的倍数，且不含因数3,4,5,6，只能是14或98；有6个因数的是98。
水平测试 A 第10题(填空题)
如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使每组里的数字之和相等，则称这个数为“好数”。例如，12715是“好数”，因为1+2+5=7+1。满足两个相邻的自然数都是“好数”这个条件的最小的两个自然数是______。
答案：549，550
解析：好数各位数字和必为偶数。相邻两数若无进位则数字和差1，必一奇一偶；故最小解为a(a−1)9与aa0型，a+a−1=9，a=5，即549与550。
水平测试 A 第11题(解答题)
用0，0，1，2，3，4，5，6组成两个能同时被2，3，5整除的四位数（每个数字只用一次），这两个四位数的差最小是多少？
答案：510
解析：末位必为0，前三位数字和被3整除。使两数尽量接近：5130与4620、3150与2640，差均为510。
水平测试 A 第12题(解答题)
能被210整除且恰有210个因数的数有多少个？
答案：24个
解析：210=2×3×5×7，原数必含这四个素因子且各至少一次；因数个数210=2×3×5×7恰为四个指数+1的排列，4个指数可任意排列，共4!=24个。
水平测试 A 第13题(解答题)
已知偶数A不是4的整数倍，它的因数的个数为12，求4A的因数的个数。
答案：24
解析：A只含一个2，写A=2×B（B奇），因数个数=(1+1)·N=12，N=6。4A=8B=2³×B，因数个数=(3+1)·N=4×6=24。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
一个三位数 6□4 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值。(1)如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于______。(2)如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于______。
答案：(1)2或5或8；(2)0或2或4或6或8
解析：(1)被3整除看数字和6+□+4=10+□，□=2,5,8。(2)被4整除只看末两位□4，□4为4的倍数时□=0,2,4,6,8。
水平测试 A 第2题(填空题)
由1，3，5，7这四个数字组成的没有重复数字的三位数中，有______个能被3整除。
答案：12
解析：被3整除要求数字和被3整除：{1,3,5}和为9、{3,5,7}和为15，各排列6个，共12个（135,153,315,351,513,531,357,375,537,573,735,753）。
水平测试 A 第3题(填空题)
六位数 2014□□ 能被99整除，它的最后两位数是______。
答案：65
解析：设末两位ab。被11整除：(b+4)−(a+1+2)=0或11，得a−b=1。被9整除：2+0+1+4+a+b=7+a+b被9整除。联立得a=6,b=5。
水平测试 A 第4题(填空题)
240有______个因数，这些因数的和是______。
答案：20；744
解析：240=2⁴×3×5。因数个数=(4+1)(1+1)(1+1)=20；因数和=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5)=31×4×6=744。
水平测试 A 第5题(填空题)
360有______个奇因数，所有这些奇因数的和是______。
答案：6；78
解析：360=2³×3²×5。奇因数不含2，个数=(2+1)(1+1)=6；奇因数和=(1+3+9)(1+5)=13×6=78。
水平测试 A 第6题(填空题)
边长为整数，面积是1260的形状不同的长方形共有______种。
答案：18
解析：1260=2²×3²×5×7，因数个数=(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=36。长与宽成对，共36÷2=18种。
水平测试 A 第7题(填空题)
在1到100中，恰好有6个因数的数有______个。
答案：16
解析：6=1×6或2×3。素数五次方：2⁵=32（1个）。素数平方×另一素数：2²×3,5,7,11,13,17,19,23（8个）；3²×2,5,7,11（4个）；5²×2,3（2个）；7²×2（1个）。共1+8+4+2+1=16。
水平测试 A 第8题(填空题)
恰有8个因数的两位数有______个。
答案：10
解析：8=1×8=2×4=2×2×2。a⁷型2⁷=128超100无；a·b³型：2×3³,3×2³,5×2³,7×2³,11×2³共5个；a·b·c型：2×3×5,2×3×7,2×5×7共5个。合计10个。
水平测试 A 第9题(填空题)
有一个两位数，它有6个因数，且这个两位数最小的3个因数之和为10，那么这个两位数是______。
答案：98
解析：最小因数必含1，另两个和为9且一奇一偶，故第二小因数是2；第三小因数是7。数为14的倍数，且不含因数3,4,5,6，只能是14或98；有6个因数的是98。
水平测试 A 第10题(填空题)
如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使每组里的数字之和相等，则称这个数为“好数”。例如，12715是“好数”，因为1+2+5=7+1。满足两个相邻的自然数都是“好数”这个条件的最小的两个自然数是______。
答案：549，550
解析：好数各位数字和必为偶数。相邻两数若无进位则数字和差1，必一奇一偶；故最小解为a(a−1)9与aa0型，a+a−1=9，a=5，即549与550。
水平测试 A 第11题(解答题)
用0，0，1，2，3，4，5，6组成两个能同时被2，3，5整除的四位数（每个数字只用一次），这两个四位数的差最小是多少？
答案：510
解析：末位必为0，前三位数字和被3整除。使两数尽量接近：5130与4620、3150与2640，差均为510。
水平测试 A 第12题(解答题)
能被210整除且恰有210个因数的数有多少个？
答案：24个
解析：210=2×3×5×7，原数必含这四个素因子且各至少一次；因数个数210=2×3×5×7恰为四个指数+1的排列，4个指数可任意排列，共4!=24个。
水平测试 A 第13题(解答题)
已知偶数A不是4的整数倍，它的因数的个数为12，求4A的因数的个数。
答案：24
解析：A只含一个2，写A=2×B（B奇），因数个数=(1+1)·N=12，N=6。4A=8B=2³×B，因数个数=(3+1)·N=4×6=24。
水平测试 B 第1题(填空题)
有一个素数，用它分别加上10与14以后，所得和仍为素数，这个素数是______。
答案：3
解析：除3外素数除以3余1或2；若余1则加14后被3整除，若余2则加10后被3整除。只有3本身：3+10=13、3+14=17均为素数。
水平测试 B 第2题(填空题)
两个非零自然数的和是210，它们的最小公倍数是1547，则它们的乘积是______。
答案：10829
解析：1547=7×13×17。两数为91=7×13与119=7×17，和91+119=210，乘积91×119=10829。
水平测试 B 第3题(填空题)
在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3，4，5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是______。
答案：235020
解析：被5整除个位0或5；要最小先取个位0、百位0；后两位要被4整除且数字和被3整除，取20，得235020。
水平测试 B 第4题(填空题)
在数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和能被11整除的数组共有______个。
答案：7
解析：十数之和177。去掉其中一个数后剩余和要被11整除，即去掉的数≡177≡10(mod11)，逐一枚举单段与多段和，共7组。
水平测试 B 第5题(填空题)
一些士兵排成一列横队，第一次从左往右1到4报数，第二次从右往左1到6报数，两次都报3的人恰有5人。这列士兵一共有______人。
答案：67
解析：4与6最小公倍数12，两次都报3的相邻两人间距12米(人)，5人之间共12×4+1=49人；左边最多再补10人，右边最多补8人，最多49+10+8=67人。
水平测试 B 第6题(填空题)
任取一个四位数乘6453，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C是______。
答案：9
解析：6453=717×9，积必被9整除，故A被9整除，A=9,18,27,…；三位数以内最大数字和为27，逐次求和后C=9。
水平测试 B 第7题(填空题)
在5个数字互不相同的五位数中，能被36整除的最大数是______。
答案：98712
解析：被36=4×9整除。前三位尽量大取987；后两位为4的倍数，且数字和加24被9整除，取后两位12，得98712。
水平测试 B 第8题(填空题)
为了打开密码箱，需要先输入密码。密码由7个数字组成，它们不是2就是3；密码中2的个数比3多，而且密码数是12的倍数。这个密码是______。
答案：2222232
解析：被4整除末两位为32；被3整除数字和。设2有k个、3有7−k个，和=2k+3(7−k)=21−k被3整除；末两位32中3的个数已计，推得前五位全2，即2222232。
水平测试 B 第9题(填空题)
有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。它们的前四位都是9876，而末位数字不同。这两个五位数的和是______。
答案：197532
解析：98760+a被11整除：(6+6+9)−(8+7+a)=6−a，a=3得98763；98760+b被7整除，试得b=9得98769。和=98763+98769=197532。
水平测试 B 第10题(解答题)
任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7，11，13整除。请说明原因。
答案：成立
解析：设三位数为ABC，则六位数ABCABC=ABC×1001=ABC×7×11×13，故必同时被7,11,13整除。
水平测试 B 第11题(解答题)
下面这个199位整数：100100100…1001（199位）被13除，余数是多少？
答案：余数是1
解析：100100能被13整除。199位可分成33个100100（共198位）再加末位1，故余数为1。
水平测试 B 第12题(解答题)
如果 20052005…200501（n个2005）能被11整除，那么n的最小值是多少？
答案：7
解析：奇数位数字和=5n+1，偶数位数字和=2n，差=3n+1需被11整除，n最小为7。
水平测试 B 第13题(解答题)
从1～100中任意选出两个不同的数组成两个加法算式（A+B与B+A认为是不同的），在所有这些不同的加法算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多？多多少个？
答案：和为奇数的多，多100个
解析：1~100奇偶各50。偶+偶、奇+奇各50×49=2450，和为偶共4900；偶+奇、奇+偶各50×50=2500，和为奇共5000。奇比偶多100个。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
一个三位数 6□4 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值。(1)如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于______。(2)如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于______。
答案：(1)2或5或8；(2)0或2或4或6或8
解析：(1)被3整除看数字和6+□+4=10+□，□=2,5,8。(2)被4整除只看末两位□4，□4为4的倍数时□=0,2,4,6,8。
水平测试 A 第2题(填空题)
由1，3，5，7这四个数字组成的没有重复数字的三位数中，有______个能被3整除。
答案：12
解析：被3整除要求数字和被3整除：{1,3,5}和为9、{3,5,7}和为15，各排列6个，共12个（135,153,315,351,513,531,357,375,537,573,735,753）。
水平测试 A 第3题(填空题)
六位数 2014□□ 能被99整除，它的最后两位数是______。
答案：65
解析：设末两位ab。被11整除：(b+4)−(a+1+2)=0或11，得a−b=1。被9整除：2+0+1+4+a+b=7+a+b被9整除。联立得a=6,b=5。
水平测试 A 第4题(填空题)
240有______个因数，这些因数的和是______。
答案：20；744
解析：240=2⁴×3×5。因数个数=(4+1)(1+1)(1+1)=20；因数和=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+5)=31×4×6=744。
水平测试 A 第5题(填空题)
360有______个奇因数，所有这些奇因数的和是______。
答案：6；78
解析：360=2³×3²×5。奇因数不含2，个数=(2+1)(1+1)=6；奇因数和=(1+3+9)(1+5)=13×6=78。
水平测试 A 第6题(填空题)
边长为整数，面积是1260的形状不同的长方形共有______种。
答案：18
解析：1260=2²×3²×5×7，因数个数=(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=36。长与宽成对，共36÷2=18种。
水平测试 A 第7题(填空题)
在1到100中，恰好有6个因数的数有______个。
答案：16
解析：6=1×6或2×3。素数五次方：2⁵=32（1个）。素数平方×另一素数：2²×3,5,7,11,13,17,19,23（8个）；3²×2,5,7,11（4个）；5²×2,3（2个）；7²×2（1个）。共1+8+4+2+1=16。
水平测试 A 第8题(填空题)
恰有8个因数的两位数有______个。
答案：10
解析：8=1×8=2×4=2×2×2。a⁷型2⁷=128超100无；a·b³型：2×3³,3×2³,5×2³,7×2³,11×2³共5个；a·b·c型：2×3×5,2×3×7,2×5×7共5个。合计10个。
水平测试 A 第9题(填空题)
有一个两位数，它有6个因数，且这个两位数最小的3个因数之和为10，那么这个两位数是______。
答案：98
解析：最小因数必含1，另两个和为9且一奇一偶，故第二小因数是2；第三小因数是7。数为14的倍数，且不含因数3,4,5,6，只能是14或98；有6个因数的是98。
水平测试 A 第10题(填空题)
如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使每组里的数字之和相等，则称这个数为“好数”。例如，12715是“好数”，因为1+2+5=7+1。满足两个相邻的自然数都是“好数”这个条件的最小的两个自然数是______。
答案：549，550
解析：好数各位数字和必为偶数。相邻两数若无进位则数字和差1，必一奇一偶；故最小解为a(a−1)9与aa0型，a+a−1=9，a=5，即549与550。
水平测试 A 第11题(解答题)
用0，0，1，2，3，4，5，6组成两个能同时被2，3，5整除的四位数（每个数字只用一次），这两个四位数的差最小是多少？
答案：510
解析：末位必为0，前三位数字和被3整除。使两数尽量接近：5130与4620、3150与2640，差均为510。
水平测试 A 第12题(解答题)
能被210整除且恰有210个因数的数有多少个？
答案：24个
解析：210=2×3×5×7，原数必含这四个素因子且各至少一次；因数个数210=2×3×5×7恰为四个指数+1的排列，4个指数可任意排列，共4!=24个。
水平测试 A 第13题(解答题)
已知偶数A不是4的整数倍，它的因数的个数为12，求4A的因数的个数。
答案：24
解析：A只含一个2，写A=2×B（B奇），因数个数=(1+1)·N=12，N=6。4A=8B=2³×B，因数个数=(3+1)·N=4×6=24。
水平测试 C 第1题(填空题)
2，4，6，8，…是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是______。
答案：60
解析：中间数=320÷5=64，五个数为60,62,64,66,68，最小60。
水平测试 C 第2题(填空题)
“任何不小于6的偶数可以表示为两个奇素数之和”，这就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5。那么，能有两种表示成两个不同素数之和形式的最小自然数是______。
答案：16
解析：16=3+13=5+11，是第一个有两种不同表示的偶数。
水平测试 C 第3题(填空题)
在小于100的自然数中，与2，3都互素且是合数的数有______个。
答案：9
解析：与2,3都互素即只含素因子≥5的合数：25,35,49,55,65,77,85,91,95，共9个。
水平测试 C 第4题(填空题)
一个两位素数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位素数，称这样的两位素数为“无暇素数”，则所有“无暇素数”的和是______。
答案：429
解析：无暇素数有11,13,17,31,37,71,73,79,97，和为429。
水平测试 C 第5题(填空题)
小晶最近迁居了，发现新居门牌号码有四位数字，形式为abba，其中a≠b，而且ab和ba都是素数。具有这种形式的数共有______个，分别是______。
答案：8个：1331，1771，3113，3773，7117，7337，7997，9779
解析：两位素数ab与ba互为对调，且十位a只能取1,3,7,9，搭配得上述8个。
水平测试 C 第6题(填空题)
有两个数，这两个数的最大公因数是18，最小公倍数是270，它们的差是36。这两个数是______和______。
答案：54和90
解析：270÷18=15=1×15=3×5，两数为18×3=54与18×5=90，差36。
水平测试 C 第7题(填空题)
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3。这样的三位数共有______个。
答案：5
解析：[9,5,4]=180，先满足三条件得187，通解为180n+7：187,367,547,727,907，共5个。
水平测试 C 第8题(填空题)
把一张纸剪成8块，从所得的纸片中取出若干块，每块各剪成8块；再从所有的纸片中取出若干块，每块各剪成8块……如此进行下去，到剪完某一次后停止，所得的纸片总数有可能是2000，2001，2002，2003，2004这五个数中的______。
答案：2003
解析：每剪一张增加7块，总数N=8+7k，被7除余1。五个数中只有2003被7除余1。
水平测试 C 第9题(填空题)
有一个袋子里装着许多玻璃球，这些球或者是黑色的，或者是白色的。每次取两个球：同色则放回一个白球；异色则放回一个黑球。取若干次后最后袋中只剩一个黑球。原来袋里有______个黑球。（填“奇数”或“偶数”）
答案：奇数
解析：无论取同色还是异色，黑球个数总是减少0个或2个（偶数个），黑球个数奇偶性不变；最后剩1个（奇数）黑球，故原来黑球数为奇数。
水平测试 C 第10题(解答题)
你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？并说明理由。
答案：不能
解析：1~9中有5个奇数，九数总和为奇数。若每行和都是偶数，三行总和应为偶数，矛盾。故不能。
水平测试 C 第11题(解答题)
若四位数 9a8a 能被15整除，则a代表的数字是几？
答案：5
解析：15=3×5。被5整除个位a为0或5；被3整除数字和17+2a。a=0时17不被3整除，a=5时27被3整除。故a=5。
水平测试 C 第12题(解答题)
一个大于0的整数的每个数字不是7就是9，但不全是7也不全是9，并且它是7和9的公倍数。满足上述条件的最小正整数是多少？
答案：77777779779
解析：被9整除要求7的个数是9的倍数（至少9个）；再在7、9组合中找最小且被7整除的数，试得77777779779。
水平测试 C 第13题(解答题)
能否将1～16这16个自然数填入4×4的方格表中，使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？如果能，请给出一种填法；如果不能，请说明理由。
答案：不能
解析：所有行和列相加=总和的2倍=(1+…+16)×2=16×17。8个连续自然数和=8k+28。令8k+28=16×17，即2k+7=4×17，左端奇、右端偶，矛盾。故不能。
四、方法小结
本讲是小学数论全章复习。核心四件事：①分解素因数后用因数个数定理(指数+1连乘)和因数和公式；②把大数拆成互素因子(12=3×4、15=3×5、99=9×11)分别满足；③奇偶性是等式的硬约束，把条件相加看左右奇偶是否一致即可反证；④同余先合并同余数(除以3余1且除以7余1→除以21余1)再逐条件筛。
五、作业建议
基础必做：- 教材P108 水平测试A 第1–6题（整除特征、因数个数）
- 教材P108 水平测试A 第7–9题（恰有6/8个因数）
巩固选做：- 教材P108–109 水平测试A 第10–13题（好数、补数、因数个数反求）
- 教材P110–111 水平测试B 第1–9题（素数、LCM、补六位数、报数、密码）
- 教材P111 水平测试B 第10–13题（1001、199位、11整除、奇偶计数）
提高挑战：- 教材P112–113 水平测试C 第1–9题（连续偶数、哥德巴赫、无暇素数、abba、剪纸、取球）
- 教材P113 水平测试C 第10–13题（3×3奇偶、9a8a、7/9公倍数、4×4连续和）
六、课堂错因定位
症状：求因数个数时把指数本身连乘
根因：没理解因数个数=(指数+1)连乘。
补救：用240=2⁴×3×5逐步数2的幂档(5种)、3的幂档(2种)、5的幂档(2种)。
症状：被4整除还去看整个数
根因：整除特征记混。
补救：强调被2,4,5,8只看末一/两位；被3,9看数字和；被11看奇位偶位差。
症状：同余题不会合并同余条件
根因：没意识到除以3余1且除以7余1=除以21余1。
补救：用典例B1余数表演练：先合并同余数，再筛。
症状：奇偶性题只会试数
根因：不会用三式相加反证。
补救：板演典例B2：左边必偶、右边必奇。