奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【学生版】第15讲 · 完全平方数

五年级奥数 · 教材第122–128页（第15讲全讲）

一、知识要点

完全平方数的尾数与余数特征

本质：平方数个位只能0,1,4,5,6,9；被4除余0或1；被3除余0或1。用这些“不可能”快速排除。
个位数字 → 平方后个位 0→0 1→1 2→4 3→9 4→6 5→5 6→6 平方数个位不可能是2,3,7,8 被4除余0或1；被3除余0或1

素因数分解：平方数所有指数为偶数

本质：一个数是完全平方数，当且仅当它分解素因数后每个素因数的指数都是偶数。求“最小乘几成为平方数”就把奇指数补成偶。
12! = 2¹⁰·3⁵·5²·7·11 已偶：2¹⁰、5²；奇指数：3⁵、7¹、11¹ 要除成平方数，n最小 = 3·7·11 = 231 奇指数各补一个一次方即可

因数个数为奇数 ⇔ 完全平方数

本质：因数成对出现，只有当某个因数自己重复（即平方数）时因数个数才是奇数。翻牌问题：被翻奇数次的恰是平方数。
50张卡片翻牌：学号倍数就翻 卡片n被翻次数 = n的因数个数 翻奇数次→红色朝上→因数个数奇→是平方数 ≤50的平方数：1,4,9,16,25,36,49 共7张

平方差公式 a²−b²=(a+b)(a−b)

本质：两平方数之差可拆成(a+b)(a−b)，且a+b与a−b同奇同偶。按差的因数对配对求a、b。
A²−B²=77=(A+B)(A−B) 77=77×1 或 11×7（须同奇同偶） A+B=77,A−B=1→B=38；A+B=11,A−B=7→B=2 和最大2965，最小85

二、典例精讲

典例 A1
下面是一个算式 1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+…+1×2×3×4×5×6×7×8×9，问：这个算式的得数是否是某个数的平方？
算式：1+1×2+1×2×3+…+1×2×…×9 不必硬算，只看末位能否判断它是不是平方数？
典例 A2
两个不相等的完全平方数相除，结果仍是一个完全平方数，并且这个完全平方数与前两个完全平方数不相等。问：这两个完全平方数的和最小是多少？
两个不等平方数相除仍是平方数，且三者不等 求这两个平方数之和的最小值
典例 B1
已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是多少？
12! ÷ n 是完全平方数，求n最小值 分解12!，看哪些素因子的指数是奇数
典例 B2
从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？
1~2000中，有多少个数乘以72后是完全平方数？ 先分解72，判断原数必须是什么形式
典例 C1
50张卡片，写着1～50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有50名学生，学号1～50。老师把蓝色一面都朝上摆在桌上，让同学按学号顺序逐个来翻：只要卡片上的数字是自己学号的倍数，就把它翻过来。到最后每个学生都翻完后，红色朝上的卡片还有多少张？
50张卡片（1~50），蓝面朝上 学号n的学生翻过所有编号为n倍数的卡片 最后红面朝上的有多少张？
典例 C2
求一个四位完全平方数，它的前两位数码相同，后两位数码也相同。
四位完全平方数，前两位相同、后两位相同 形式aabb，求这个数

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
已知a是一个两位数，且2⁹+a是一个完全平方数，则a=______。
水平测试 A 第2题(填空题)
在300～600中，有______个完全平方数。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一些不超过三位的完全平方数，它的各位数字之和为13，则这些数分别是______的平方。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果32x是一个完全平方数，那么x至少是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
如果一个完全平方数的十位数字与百位数字的和正好是个位数字的2倍，且为三位数，则与其相邻且比它大的一个完全平方数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
下式中每个汉字表示1～9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。已知：热²+爱²+小²=学²+奥²+数²，那么，学+奥+数=______。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果2ⁿ+201是一个小于2002的完全平方数，那么n=______。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果n!+3是一个完全平方数，那么n=______。（其中n!=1×2×…×n）
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙、丙在猜一个两位数。甲说：它的因数个数为偶数，而且它比50大；乙说：它是奇数，而且它比60大；丙说：它是偶数，而且它比70大。如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是______。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和，这个三位数的最大值是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
在1～1000中找一个数，使它的平方与2002的差最小。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知1²+2²+3²+…+25²=5525，计算3²+6²+9²+…+75²的值。
水平测试 A 第13题(解答题)
A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数，那么A的所有可能取值之和为多少？

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
已知a是一个两位数，且2⁹+a是一个完全平方数，则a=______。
水平测试 A 第2题(填空题)
在300～600中，有______个完全平方数。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一些不超过三位的完全平方数，它的各位数字之和为13，则这些数分别是______的平方。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果32x是一个完全平方数，那么x至少是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
如果一个完全平方数的十位数字与百位数字的和正好是个位数字的2倍，且为三位数，则与其相邻且比它大的一个完全平方数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
下式中每个汉字表示1～9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。已知：热²+爱²+小²=学²+奥²+数²，那么，学+奥+数=______。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果2ⁿ+201是一个小于2002的完全平方数，那么n=______。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果n!+3是一个完全平方数，那么n=______。（其中n!=1×2×…×n）
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙、丙在猜一个两位数。甲说：它的因数个数为偶数，而且它比50大；乙说：它是奇数，而且它比60大；丙说：它是偶数，而且它比70大。如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是______。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和，这个三位数的最大值是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
在1～1000中找一个数，使它的平方与2002的差最小。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知1²+2²+3²+…+25²=5525，计算3²+6²+9²+…+75²的值。
水平测试 A 第13题(解答题)
A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数，那么A的所有可能取值之和为多少？
水平测试 B 第1题(填空题)
有6张四位数的数字卡片，每张卡片上有一个或两个数字已被弄脏看不清了。它们分别是24□2，58□7，23□4，4□□8，□□45，□□20，其中只有一个是完全平方数。这个数是______。
水平测试 B 第2题(填空题)
两位数ab减去互换数字位置后的两位数ba之差，恰好是某个正整数的平方，这样的两位数共有______个。
水平测试 B 第3题(填空题)
如果5能整除1²+2²+…+n²，则n最小为______。
水平测试 B 第4题(填空题)
2002加上一个两位素数后得到一个完全平方数，这个素数是______。
水平测试 B 第5题(填空题)
在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有______个。
水平测试 B 第6题(填空题)
有A、B、C三个两位数，A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个素数，而且它的每一位数字都是素数，数字和也是素数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间。那么A、B、C这三个数的和是______。
水平测试 B 第7题(填空题)
如果ab+ba为完全平方数，且a<b，则形如ab的两位数共有______个。
水平测试 B 第8题(填空题)
已知d÷2=c+4=b−4=a×2，且abcd+1为完全平方数，则abcd是______。
水平测试 B 第9题(填空题)
已知四位数ABCD满足下面的性质：AB、BC、CD都是完全平方数，所有满足这个性质的四位数之和为______。
水平测试 B 第10题(填空题)
三个连续的正整数，都是合数。中间一个数为完全平方数，且三个数的和能被18整除，这个完全平方数最小为______。
水平测试 B 第11题(解答题)
2002加上一个三位数后和为完全平方数，这样的三位数共有几个？
水平测试 B 第12题(解答题)
已知正整数A分解素因数可以写成A=2^α×3^β×5^γ，其中α、β、γ是自然数。如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是多少？
水平测试 B 第13题(解答题)
有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是多少？

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
已知a是一个两位数，且2⁹+a是一个完全平方数，则a=______。
水平测试 A 第2题(填空题)
在300～600中，有______个完全平方数。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一些不超过三位的完全平方数，它的各位数字之和为13，则这些数分别是______的平方。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果32x是一个完全平方数，那么x至少是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
如果一个完全平方数的十位数字与百位数字的和正好是个位数字的2倍，且为三位数，则与其相邻且比它大的一个完全平方数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
下式中每个汉字表示1～9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。已知：热²+爱²+小²=学²+奥²+数²，那么，学+奥+数=______。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果2ⁿ+201是一个小于2002的完全平方数，那么n=______。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果n!+3是一个完全平方数，那么n=______。（其中n!=1×2×…×n）
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙、丙在猜一个两位数。甲说：它的因数个数为偶数，而且它比50大；乙说：它是奇数，而且它比60大；丙说：它是偶数，而且它比70大。如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是______。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和，这个三位数的最大值是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
在1～1000中找一个数，使它的平方与2002的差最小。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知1²+2²+3²+…+25²=5525，计算3²+6²+9²+…+75²的值。
水平测试 A 第13题(解答题)
A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数，那么A的所有可能取值之和为多少？
水平测试 C 第1题(填空题)
甲、乙两人合养了n只羊，每只羊的售价也恰为n元。全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足10元时，轮到乙去拿。为了平均分配，甲应该补给乙______元。
水平测试 C 第2题(填空题)
1～1000之间既不是完全平方数，又不是完全立方数的有______个。
水平测试 C 第3题(填空题)
将从1开始的连续2002个奇数的平方和除以4，所得余数为______。
水平测试 C 第4题(填空题)
一个四位数的数码都是非零的偶数，它又恰是某个偶数数字组成的数的平方，则这个四位数是______。
水平测试 C 第5题(填空题)
在一个两位完全平方数右边添上一个一位完全平方数后仍为完全平方数，则这个完全平方数是______。
水平测试 C 第6题(填空题)
用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数、一个三位完全平方数和一个四位完全平方数。那么，其中的四位完全平方数最小是______。
水平测试 C 第7题(填空题)
123454321×(1+2+3+4+5+4+3+2+1)等于______的平方。
水平测试 C 第8题(填空题)
三个连续正整数，如果中间一个是完全平方数，我们称这三个数的积为“美妙数”。那么所有“美妙数”的最大公因数是______。
水平测试 C 第9题(填空题)
有一个自然数，它与172的和恰好等于某个数的平方，它与100的和恰好等于另一个数的平方。这个数是______。
水平测试 C 第10题(填空题)
若有5个连续正整数的和为完全立方数，中间3个数的和为完全平方数，则其中最小的一个数的最小值是______。
水平测试 C 第11题(解答题)
两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
水平测试 C 第12题(解答题)
已知a和bcd为完全平方数（a、b、c、d均为一位数），且abcd也为完全平方数，求这个四位数。
水平测试 C 第13题(解答题)
三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数。