【教师版】第15讲 · 完全平方数
五年级奥数 · 教材第122–128页（第15讲全讲）
一、知识要点
完全平方数的尾数与余数特征
本质：平方数个位只能0,1,4,5,6,9；被4除余0或1；被3除余0或1。用这些“不可能”快速排除。
适用：典例A1（末位3必非平方数）、测试A1/A3/B1/B3/B4。
- 0~9平方的个位只有0,1,4,5,6,9循环出现。
- 故个位为2,3,7,8的数必非平方数。
- 偶数(2k)²=4k²被4整除；奇数(2k+1)²=4k(k+1)+1被8除余1。
典型错误：以为个位6也能随便出现；忘了个位6时十位必须是奇数。
素因数分解：平方数所有指数为偶数
本质：一个数是完全平方数，当且仅当它分解素因数后每个素因数的指数都是偶数。求“最小乘几成为平方数”就把奇指数补成偶。
适用：典例B1（12!除以n）、B2（乘72）、测试A4/B5/B12。
- 平方数每个素因子成对出现，指数必偶。
- 12!中3的指数5、7和11的指数1是奇数。
- 除以n要变平方数，n至少含这些奇次素因子各一次。
典型错误：把偶指数也补乘一遍，或补成了平方本身。
因数个数为奇数 ⇔ 完全平方数
本质：因数成对出现，只有当某个因数自己重复（即平方数）时因数个数才是奇数。翻牌问题：被翻奇数次的恰是平方数。
适用：典例C1（50张翻牌）、测试A9。
- 每来一个学号是n的因数，卡片n就被翻一次。
- 翻奇数次变红色，即因数个数为奇数。
- 因数个数为奇数的只有平方数，列出≤50的平方数即可。
典型错误：逐张模拟翻牌，不会用因数个数。
平方差公式 a²−b²=(a+b)(a−b)
本质：两平方数之差可拆成(a+b)(a−b)，且a+b与a−b同奇同偶。按差的因数对配对求a、b。
适用：测试B13、C11、C13。
- 把77拆成两因数之积，两因数同奇同偶。
- 和大的一对给出大B，和小的一对给出小B。
典型错误：拆因数后不检查同奇同偶。
二、典例精讲
典例 A1
下面是一个算式 1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+…+1×2×3×4×5×6×7×8×9，问：这个算式的得数是否是某个数的平方？
训练点：用末位特征判断平方数。
提示：
1. 从哪一项起，阶乘里含有因子2和5，末位就变成0？
2. 只需把前面几项的末位加起来看整个和的末位。
11×2×3×4×5及以后各项都含因子2和5，末位为0依据：含10的倍数。
2总和末位=1+2+6+4=13的末位3依据：前四项末位相加。
3平方数末位只能0,1,4,5,6,9，没有3依据：尾数特征。
答：不是某个数的平方
典型错法：硬算大数。
典例 A2
两个不相等的完全平方数相除，结果仍是一个完全平方数，并且这个完全平方数与前两个完全平方数不相等。问：这两个完全平方数的和最小是多少？
训练点：用 a²÷b²=c² 结构找最小。
提示：
1. 设两数为a²、b²，商为c²，则a²÷b²=c²，即a=bc。
2. 要三数不等且尽量小，c最小取几？b最小取几？
1设两平方数为a²、b²，商为c²，则a²=b²c²，a=bc依据：开方。
2c≠1且尽量小取c=3，b=2，则a=6依据：c=1时商等于原数不合题意。
答：40
典型错法：取c=1导致商等于原数。
典例 B1
已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是多少？
训练点：素因数分解后把奇指数补成偶。
提示：
1. 把12!分解素因数，列出每个素因子的指数。
2. 哪些指数是奇数？n至少要含这些素因子各一次。
112!=2¹⁰·3⁵·5²·7·11依据：阶乘素因数分解。
2要除成平方数，n至少含奇次素因子3、7、11各一次依据：平方数指数全偶。
答：231
典型错法：把偶指数5²也补乘。
典例 B2
从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？
训练点：分解72后判断原数结构。
提示：
1. 72=2³·3²，3²已是偶次，2³还缺一个2。
2. 原数必须是2乘一个平方数，再按<2000计数。
172=2³·3²，要乘积为平方数，原数须补一个2再乘平方数：2k²依据：指数全偶。
22k²<2000，k²<1000，k=1,2,…,31依据：31²=969<1000<32²。
答：31个
典型错法：漏掉补一个2。
典例 C1
50张卡片，写着1～50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有50名学生，学号1～50。老师把蓝色一面都朝上摆在桌上，让同学按学号顺序逐个来翻：只要卡片上的数字是自己学号的倍数，就把它翻过来。到最后每个学生都翻完后，红色朝上的卡片还有多少张？
训练点：翻牌次数=因数个数，平方数翻奇数次。
提示：
1. 卡片n被翻几次？和n的什么有关？
2. 翻奇数次变红，什么时候因数个数是奇数？
1卡片n被翻的次数=n的因数个数依据：每个学号是n的因数就翻一次。
2翻奇数次变红，即因数个数为奇数，即n是平方数依据：因数成对，只有平方数因数个数奇。
3≤50的平方数有1,4,9,16,25,36,49共7个依据：枚举。
答：7张
典型错法：逐张翻牌模拟。
典例 C2
求一个四位完全平方数，它的前两位数码相同，后两位数码也相同。
训练点：aabb型平方数。
提示：
1. aabb=1100a+11b=11×(100a+b)，它是11的倍数。
2. 中间三位数a0b要被11整除，枚举后试平方。
1aabb=11×a0b，故a0b是11的倍数依据：11整除aabb。
2被11整除的三位数a0b有902,803,704,…依据：奇位和−偶位和为11倍数。
3704=11×64=11×8²，故aabb=11²×8²=88²=7744依据：唯一满足。
答：7744
典型错法：盲目试四位数。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知a是一个两位数，且2⁹+a是一个完全平方数，则a=______。
答案：17或64
解析：2⁹=512。23²=529、24²=576，a=529−512=17、576−512=64。
水平测试 A 第2题(填空题)
在300～600中，有______个完全平方数。
答案：7
解析：18²=324到24²=576，共18,19,20,21,22,23,24七个。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一些不超过三位的完全平方数，它的各位数字之和为13，则这些数分别是______的平方。
答案：7，16，25，29
解析：两位数平方中49数字和13；三位数256,625,841数字和均13，对应7²,16²,25²,29²。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果32x是一个完全平方数，那么x至少是______。
答案：2
解析：32=2⁵，指数5为奇，至少再乘2使指数变6。
水平测试 A 第5题(填空题)
如果一个完全平方数的十位数字与百位数字的和正好是个位数字的2倍，且为三位数，则与其相邻且比它大的一个完全平方数是______。
答案：625
解析：符合条件的是576（5+7=12=6×2），相邻比它大的平方数是625。
水平测试 A 第6题(填空题)
下式中每个汉字表示1～9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。已知：热²+爱²+小²=学²+奥²+数²，那么，学+奥+数=______。
答案：12，13，14，15或16
解析：如1²+5²+6²=2²+3²+7²等多组解，三数和可为12,13,14,15,16。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果2ⁿ+201是一个小于2002的完全平方数，那么n=______。
答案：10
解析：2ⁿ<1801，n≤10。按尾数筛选n=2,3,6,7,10；n=10时2¹⁰+201=1225=35²。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果n!+3是一个完全平方数，那么n=______。（其中n!=1×2×…×n）
答案：3
解析：1×2×3=6，6+3=9=3²。n更大时n!含因子使末位为0，加3后末位3非平方数。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙、丙在猜一个两位数。甲说：它的因数个数为偶数，而且它比50大；乙说：它是奇数，而且它比60大；丙说：它是偶数，而且它比70大。如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是______。
答案：64
解析：乙丙一奇一偶必一真一假。若数>70则必>60，后半句只能是>60<70，数为偶；甲说>50正确，因数个数为奇（平方数），50~70间偶平方数只有64。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和，这个三位数的最大值是______。
答案：997
解析：997=31²+6²。999、998经余数分析不可能，故最大997。
水平测试 A 第11题(解答题)
在1～1000中找一个数，使它的平方与2002的差最小。
答案：45²（即2025）
解析：2002≈44.7²，45²=2025与2002差23最小。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知1²+2²+3²+…+25²=5525，计算3²+6²+9²+…+75²的值。
答案：49725
解析：提公因子9：原式=9×(1²+2²+…+25²)=9×5525=49725。
水平测试 A 第13题(解答题)
A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数，那么A的所有可能取值之和为多少？
答案：145
解析：两五位数差=1006A−601A=405A=9²×5×A为平方数，故A=5×k²。A两位数：5×2²,5×3²,5×4²，和=5×(4+9+16)=145。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知a是一个两位数，且2⁹+a是一个完全平方数，则a=______。
答案：17或64
解析：2⁹=512。23²=529、24²=576，a=529−512=17、576−512=64。
水平测试 A 第2题(填空题)
在300～600中，有______个完全平方数。
答案：7
解析：18²=324到24²=576，共18,19,20,21,22,23,24七个。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一些不超过三位的完全平方数，它的各位数字之和为13，则这些数分别是______的平方。
答案：7，16，25，29
解析：两位数平方中49数字和13；三位数256,625,841数字和均13，对应7²,16²,25²,29²。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果32x是一个完全平方数，那么x至少是______。
答案：2
解析：32=2⁵，指数5为奇，至少再乘2使指数变6。
水平测试 A 第5题(填空题)
如果一个完全平方数的十位数字与百位数字的和正好是个位数字的2倍，且为三位数，则与其相邻且比它大的一个完全平方数是______。
答案：625
解析：符合条件的是576（5+7=12=6×2），相邻比它大的平方数是625。
水平测试 A 第6题(填空题)
下式中每个汉字表示1～9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。已知：热²+爱²+小²=学²+奥²+数²，那么，学+奥+数=______。
答案：12，13，14，15或16
解析：如1²+5²+6²=2²+3²+7²等多组解，三数和可为12,13,14,15,16。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果2ⁿ+201是一个小于2002的完全平方数，那么n=______。
答案：10
解析：2ⁿ<1801，n≤10。按尾数筛选n=2,3,6,7,10；n=10时2¹⁰+201=1225=35²。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果n!+3是一个完全平方数，那么n=______。（其中n!=1×2×…×n）
答案：3
解析：1×2×3=6，6+3=9=3²。n更大时n!含因子使末位为0，加3后末位3非平方数。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙、丙在猜一个两位数。甲说：它的因数个数为偶数，而且它比50大；乙说：它是奇数，而且它比60大；丙说：它是偶数，而且它比70大。如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是______。
答案：64
解析：乙丙一奇一偶必一真一假。若数>70则必>60，后半句只能是>60<70，数为偶；甲说>50正确，因数个数为奇（平方数），50~70间偶平方数只有64。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和，这个三位数的最大值是______。
答案：997
解析：997=31²+6²。999、998经余数分析不可能，故最大997。
水平测试 A 第11题(解答题)
在1～1000中找一个数，使它的平方与2002的差最小。
答案：45²（即2025）
解析：2002≈44.7²，45²=2025与2002差23最小。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知1²+2²+3²+…+25²=5525，计算3²+6²+9²+…+75²的值。
答案：49725
解析：提公因子9：原式=9×(1²+2²+…+25²)=9×5525=49725。
水平测试 A 第13题(解答题)
A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数，那么A的所有可能取值之和为多少？
答案：145
解析：两五位数差=1006A−601A=405A=9²×5×A为平方数，故A=5×k²。A两位数：5×2²,5×3²,5×4²，和=5×(4+9+16)=145。
水平测试 B 第1题(填空题)
有6张四位数的数字卡片，每张卡片上有一个或两个数字已被弄脏看不清了。它们分别是24□2，58□7，23□4，4□□8，□□45，□□20，其中只有一个是完全平方数。这个数是______。
答案：2304
解析：末位2,7,8先排除；末位5,0的须末两位25/00，□□45、□□20排除。剩23□4，在45²~50²间且末位4，得48²=2304。
水平测试 B 第2题(填空题)
两位数ab减去互换数字位置后的两位数ba之差，恰好是某个正整数的平方，这样的两位数共有______个。
答案：13
解析：ab−ba=9(a−b)，a−b=1,4,9，列举得21,32,…,87,51,…,95共13个。
水平测试 B 第3题(填空题)
如果5能整除1²+2²+…+n²，则n最小为______。
答案：2
解析：1²+2²=5被5整除，n最小为2。
水平测试 B 第4题(填空题)
2002加上一个两位素数后得到一个完全平方数，这个素数是______。
答案：23
解析：45²=2025，2025−2002=23是素数。
水平测试 B 第5题(填空题)
在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有______个。
答案：16
解析：即(3k)²≤2500，3k≤50，k=1…16，共16个。
水平测试 B 第6题(填空题)
有A、B、C三个两位数，A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个素数，而且它的每一位数字都是素数，数字和也是素数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间。那么A、B、C这三个数的和是______。
答案：120
解析：A每位数字为平方数且是两位平方数→A=49；B每位素数、数字和素数→B=23；C每位合数、两位差合数且在之间→C=48。和=120。
水平测试 B 第7题(填空题)
如果ab+ba为完全平方数，且a<b，则形如ab的两位数共有______个。
答案：4
解析：ab+ba=11(a+b)为平方数，故a+b=11，a<b：(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)共4个。
水平测试 B 第8题(填空题)
已知d÷2=c+4=b−4=a×2，且abcd+1为完全平方数，则abcd是______。
答案：2808
解析：由连等得a=2,b=8,c=0,d=8，2808+1=53²。
水平测试 B 第9题(填空题)
已知四位数ABCD满足下面的性质：AB、BC、CD都是完全平方数，所有满足这个性质的四位数之和为______。
答案：13462
解析：AB/BC/CD组合为16-64-49、36-64-49、81-16-64，得1649,3649,8164，和=13462。
水平测试 B 第10题(填空题)
三个连续的正整数，都是合数。中间一个数为完全平方数，且三个数的和能被18整除，这个完全平方数最小为______。
答案：144
解析：中间数a，三数和3a被18整除即6|a，a为平方数。a=36时相邻37是素数；a=144时143,144,145均合数，最小144。
水平测试 B 第11题(解答题)
2002加上一个三位数后和为完全平方数，这样的三位数共有几个？
答案：9个
解析：和在2102~3001之间，46²=2116到54²=2916，共46~54九个平方数，对应9个三位数。
水平测试 B 第12题(解答题)
已知正整数A分解素因数可以写成A=2^α×3^β×5^γ，其中α、β、γ是自然数。如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是多少？
答案：31
解析：A/2平方→α−1,β,γ偶；A/3立方→α,β−1,γ是3倍数；A/5五次方→α,β,γ−1是5倍数。解得α=15,β=10,γ=6，和31。
水平测试 B 第13题(解答题)
有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是多少？
答案：18和32，或43和57，或68和82
解析：设小数n，(n+14)²−n²=100k，即7(n+7)=25k，25|(n+7)，n+7=25,50,75，得n=18,43,68。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知a是一个两位数，且2⁹+a是一个完全平方数，则a=______。
答案：17或64
解析：2⁹=512。23²=529、24²=576，a=529−512=17、576−512=64。
水平测试 A 第2题(填空题)
在300～600中，有______个完全平方数。
答案：7
解析：18²=324到24²=576，共18,19,20,21,22,23,24七个。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一些不超过三位的完全平方数，它的各位数字之和为13，则这些数分别是______的平方。
答案：7，16，25，29
解析：两位数平方中49数字和13；三位数256,625,841数字和均13，对应7²,16²,25²,29²。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果32x是一个完全平方数，那么x至少是______。
答案：2
解析：32=2⁵，指数5为奇，至少再乘2使指数变6。
水平测试 A 第5题(填空题)
如果一个完全平方数的十位数字与百位数字的和正好是个位数字的2倍，且为三位数，则与其相邻且比它大的一个完全平方数是______。
答案：625
解析：符合条件的是576（5+7=12=6×2），相邻比它大的平方数是625。
水平测试 A 第6题(填空题)
下式中每个汉字表示1～9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。已知：热²+爱²+小²=学²+奥²+数²，那么，学+奥+数=______。
答案：12，13，14，15或16
解析：如1²+5²+6²=2²+3²+7²等多组解，三数和可为12,13,14,15,16。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果2ⁿ+201是一个小于2002的完全平方数，那么n=______。
答案：10
解析：2ⁿ<1801，n≤10。按尾数筛选n=2,3,6,7,10；n=10时2¹⁰+201=1225=35²。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果n!+3是一个完全平方数，那么n=______。（其中n!=1×2×…×n）
答案：3
解析：1×2×3=6，6+3=9=3²。n更大时n!含因子使末位为0，加3后末位3非平方数。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙、丙在猜一个两位数。甲说：它的因数个数为偶数，而且它比50大；乙说：它是奇数，而且它比60大；丙说：它是偶数，而且它比70大。如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是______。
答案：64
解析：乙丙一奇一偶必一真一假。若数>70则必>60，后半句只能是>60<70，数为偶；甲说>50正确，因数个数为奇（平方数），50~70间偶平方数只有64。
水平测试 A 第10题(填空题)
有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和，这个三位数的最大值是______。
答案：997
解析：997=31²+6²。999、998经余数分析不可能，故最大997。
水平测试 A 第11题(解答题)
在1～1000中找一个数，使它的平方与2002的差最小。
答案：45²（即2025）
解析：2002≈44.7²，45²=2025与2002差23最小。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知1²+2²+3²+…+25²=5525，计算3²+6²+9²+…+75²的值。
答案：49725
解析：提公因子9：原式=9×(1²+2²+…+25²)=9×5525=49725。
水平测试 A 第13题(解答题)
A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数，那么A的所有可能取值之和为多少？
答案：145
解析：两五位数差=1006A−601A=405A=9²×5×A为平方数，故A=5×k²。A两位数：5×2²,5×3²,5×4²，和=5×(4+9+16)=145。
水平测试 C 第1题(填空题)
甲、乙两人合养了n只羊，每只羊的售价也恰为n元。全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足10元时，轮到乙去拿。为了平均分配，甲应该补给乙______元。
答案：2
解析：总价n²元，含奇数个10元即十位为奇数，此时个位必为6，乙最后拿6元，甲补(10+6)÷2−6=2元。
水平测试 C 第2题(填空题)
1～1000之间既不是完全平方数，又不是完全立方数的有______个。
答案：962
解析：平方数31个、立方数10个，重复1³,4³,9³三个，共31+10−3=38个，1000−38=962。
水平测试 C 第3题(填空题)
将从1开始的连续2002个奇数的平方和除以4，所得余数为______。
答案：2
解析：奇数平方被4除余1，2002个奇数平方和被4除余2002≡2。
水平测试 C 第4题(填空题)
一个四位数的数码都是非零的偶数，它又恰是某个偶数数字组成的数的平方，则这个四位数是______。
答案：4624
解析：平方根为两位偶数xy，xy≥32，逐试42,48,62,68,82,88，只有68²=4624各位均为非零偶数。
水平测试 C 第5题(填空题)
在一个两位完全平方数右边添上一个一位完全平方数后仍为完全平方数，则这个完全平方数是______。
答案：361或169
解析：36右边添1得361=19²；16右边添9得169=13²。
水平测试 C 第6题(填空题)
用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数、一个三位完全平方数和一个四位完全平方数。那么，其中的四位完全平方数最小是______。
答案：1369
解析：四位平方数至少36²=1296；试37²=1369时，另两位、三位平方数可用余下数字凑出，故最小1369。
水平测试 C 第7题(填空题)
123454321×(1+2+3+4+5+4+3+2+1)等于______的平方。
答案：55555
解析：123454321=11111²，括号内=25=5²，乘积=(11111×5)²=55555²。
水平测试 C 第8题(填空题)
三个连续正整数，如果中间一个是完全平方数，我们称这三个数的积为“美妙数”。那么所有“美妙数”的最大公因数是______。
答案：60
解析：三连续数必有因子3；中间偶平方数被4整除或两端偶含因子4；且必有因子5。故美妙数都被60整除，而60本身是美妙数，最大公因数60。
水平测试 C 第9题(填空题)
有一个自然数，它与172的和恰好等于某个数的平方，它与100的和恰好等于另一个数的平方。这个数是______。
答案：189
解析：n+172=a²，n+100=b²，a²−b²=72=(a−b)(a+b)，同偶拆2×36，得a=19,b=17，n=17²−100=189。
水平测试 C 第10题(填空题)
若有5个连续正整数的和为完全立方数，中间3个数的和为完全平方数，则其中最小的一个数的最小值是______。
答案：673
解析：中间数k，五数和5k为立方数，三数和3k为平方数。凑得k=675，最小数673。
水平测试 C 第11题(解答题)
两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
答案：最大2965，最小85
解析：A²−B²=77=(A+B)(A−B)=77×1或11×7。前者B=38和2965最大；后者B=2和85最小。
水平测试 C 第12题(解答题)
已知a和bcd为完全平方数（a、b、c、d均为一位数），且abcd也为完全平方数，求这个四位数。
答案：1225，4225或4900
解析：一位平方数a为1,4,9；bcd为三位平方数且≥100。在34²~44²、65²~70²、96²~99²中得35²=1225、65²=4225、70²=4900。
水平测试 C 第13题(解答题)
三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数。
答案：144，64，4
解析：设A²>B²>C²。(A+B)(A−B)=80，(A+C)(A−C)=140。同偶拆得A=12,C=2，进而B=8，三数为144,64,4。
四、方法小结
完全平方数四把钥匙：①尾数与余数（个位只能0,1,4,5,6,9；被4余0/1、被3余0/1）；②素因数分解所有指数为偶，求最小补乘几就把奇指数补成偶；③因数个数为奇数⇔平方数（翻牌题直接用）；④平方差a²−b²=(a+b)(a−b)，两因数同奇同偶。判断“是不是”先看尾数，求“最小乘几”看指数奇偶，求“两平方数”用平方差拆因数。
五、作业建议
基础必做：- 教材P123 水平测试A 第1–5题（平方数定位、尾位）
- 教材P123–124 水平测试A 第6–9题（汉字平方、2ⁿ、n!、猜数）
巩固选做：- 教材P124 水平测试A 第10–13题（最大和、最近平方、平方和、五位数差）
- 教材P125 水平测试B 第1–9题（弄脏卡片、ab−ba、凑平方、被9整除）
- 教材P126 水平测试B 第10–13题（连续合数、三位数、指数方程、末两位相同）
提高挑战：- 教材P127–128 水平测试C 第1–7题（分羊、既非平方也非立方、奇数平方和、四位数、添位、九数字、回文积）
- 教材P128 水平测试C 第8–13题（美妙数、差定两平方、五连续、差77、abcd、三个平方数）
六、课堂错因定位
症状：判断平方数只凭感觉
根因：不记尾数/余数特征。
补救：板演个位→平方个位表，强调不可能是2,3,7,8。
症状：求最小补乘数时补错指数
根因：没逐条看奇偶指数。
补救：用B1把12!的指数逐个标奇偶。
症状：翻牌题逐张模拟
根因：想不到翻牌次数=因数个数。
补救：强调因数成对、平方数因数个数奇。
症状：平方差拆因数不检查同奇偶
根因：遗忘a+b与a−b同奇同偶。
补救：板演C11：77只拆77×1与11×7。