【教师版】第16讲 · 多人多次相遇问题

五年级奥数 · 教材第129–139页（第16讲全讲）

一、知识要点

两地相向出发：第n次迎面相遇合走(2n−1)个全程

本质：甲从A、乙从B同时相向出发。第1次迎面相遇两人合走1个全程；之后每再多迎面相遇一次，两人都要再合走2个全程。所以第n次迎面相遇合走(2n−1)个全程。

适用：典例A1/A2、测试A1/A4/A5/A7/A8、B1/B4/B5、C1/C2/C3/C4。

第1次相遇两人恰好合走一个AB全程。
相遇后继续走到端点再返回，到下一次迎面相遇，两人合计又走了“去一个全程+回一个全程”=2个全程。
故第n次相遇合计1+2(n−1)=2n−1个全程。

典型错误：以为每次相遇都合走n个全程；忘了第1次是1个而不是2个。

同地同向出发：第n次迎面相遇合走2n个全程

本质：甲、乙同时从A地出发往返于AB之间。两人同向出发后第一次迎面相遇时，两人合走了2个全程（一个到B、一个折返）。第n次迎面相遇合走2n个全程。

适用：测试A3/A6/A9、B2/B3、C8/C10。

同地出发，两人都从A往B走，不可能立刻迎面相遇。
快者先到B折返，才会与仍在前进的慢者迎面相遇，此时两人合计刚好走完2个全程。
之后每再迎面相遇一次仍多2个全程，第n次合计2n个。

典型错误：把同地出发套用地相向出发的(2n−1)，少算或多算一个全程。

三人直线相遇：相遇后再过多久遇到第三人

本质：三人在同一直线上相向而行。甲与乙相遇后，过t分钟甲又遇到丙。这t分钟里甲、丙合走的路程，正好就是“甲乙相遇时乙比丙多走的路程”。用这个路程差除以乙、丙速度差，就得到从出发到甲乙相遇的时间。

适用：典例B2、测试B7/B9/B11/B12、C5/C7。

甲乙相遇那一刻，乙、丙之间拉开了一段距离（乙比丙快）。
此后甲继续往前走与丙相向而行，经过t分钟相遇。
这t分钟甲丙合走的路程，就是刚才乙丙拉开的那段路程差。

典型错误：直接把15分钟当成甲丙走的全部时间，忘了它对应的是路程差。

二、典例精讲

甲、乙两车分别从相距900千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶。已知甲车每小时行25千米，乙车每小时行20千米。问：甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间？

训练点：会用“第二次迎面相遇合走3个全程”列总路程。

提示：

1. 两地相向出发，第1次合走1全程，第2次合走几个全程？

2. 合走路程÷速度和=时间。

1两地同时出发，第1次迎面相遇合走1个全程，第2次迎面相遇合走3个全程。

依据：为什么想到这一步：两地相向出发的规律是第n次迎面相遇合走(2n−1)个全程，第2次就是3个。

2合走路程=900×3=2700千米。

依据：一个全程900千米，3个全程就是2700千米。

3速度和=25+20=45千米/时。

依据：相向而行合走时用速度和。

4时间=2700÷45=60小时。

依据：合走路程÷速度和=时间。

答：出发后60小时。

典型错法：误以为第二次合走2个全程，得到40小时。

甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇。相遇后继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处迎面相遇。问：A、B两地间的距离是多少千米？

训练点：会把相遇点距离翻译成某人走的路程。

提示：

1. 合走1个全程时甲车走了多少？

2. 合走3个全程时甲车走了多少？这3个全程中甲车走的路程比1个全程多还是少？

1合走1个全程时，甲车行95千米。

依据：第一次相遇点距A地95千米，即甲从A出发行了95千米。

2合走3个全程时，甲车行95×3=285千米。

依据：为什么想到这一步：速度不变，路程与合走全程数成正比；第2次迎面相遇合走3个全程。

3这285千米比1个全程还多25千米（甲从A到B后又返回25千米）。

依据：第二次相遇点距B地25千米，说明甲到B后折返走了25千米。

4全程=285−25=260千米。

依据：甲走的285千米=1个全程+折返的25千米。

答：A、B两地相距260千米。

典型错法：用285+25或直接把95+25当全程。

慢、中、快三辆车同时从同地出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人。这三辆车的速度分别是10千米/时、15千米/时、30千米/时。已知慢车、中车分别用了4小时、2小时追上骑车人，那么快车用了多少小时追上骑车人？

训练点：用两次追及数据先求被追者速度，再求追及路程。

提示：

1. 慢车4小时、中车2小时追上的都是同一个骑车人，开始时三车与骑车人的距离相同。

2. 两次追上时三车与骑车人路程差相等，可列方程求骑车人速度。

1设骑车人速度为v。慢车追上时追及路程=(10−v)×4；中车追上时=(15−v)×2。

依据：为什么想到这一步：三车追的是同一个人，开始时距骑车人距离相同，所以两次追及路程相等。

2(10−v)×4=(15−v)×2，解得v=5千米/时。

依据：展开40−4v=30−2v，移项得10=2v。

3追及路程=(10−5)×4=20千米。

依据：用慢车数据回代。

4快车追上需20÷(30−5)=0.8小时。

依据：追及路程÷速度差=追及时间。

答：快车用0.8小时追上骑车人。

典型错法：把慢车中车追上的路程差当成不同的值。

甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米。甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分钟又遇到丙。求A、B两地的距离。

训练点：用“相遇后再过多久遇到第三人”反推前两人相遇时间。

提示：

1. 甲遇到乙后15分钟遇到丙，这15分钟甲丙合走了多少？

2. 这段路程差是甲乙相遇时乙比丙多走的，除以乙丙速度差就是甲乙相遇时间。

1甲遇乙后15分钟遇丙，这段时间甲丙合走(60+40)×15=1500米。

依据：为什么想到这一步：这15分钟是甲从遇乙点走到遇丙点，同时丙也在走，所以是甲丙相向合走。

2乙比丙每分钟多走50−40=10米，拉开1500米需1500÷10=150分钟。

依据：这1500米就是甲乙相遇时乙比丙多走的距离，除以速度差就是从出发到甲乙相遇的时间。

3AB距离=(60+50)×150=16500米。

依据：甲乙150分钟合走一个全程。

答：A、B两地相距16500米。

典型错法：把15分钟直接乘速度和当AB距离。

A、B两地间有一条公路，甲步行从A地到B地，乙骑摩托车不停地往返于A、B两地。甲、乙同时从A地出发，30分钟后两人第一次相遇，又过5分钟乙第一次超过甲。当甲到达B地时，两人途中共迎面相遇多少次？

训练点：从相遇和追及两段时间求速度倍数，再数迎面相遇次数。

提示：

1. 同地出发，30分钟相遇合走2个全程；相遇点C。

2. 相遇后乙继续走到A再折返到D追上甲，这5分钟乙走的路甲要走多久？

1第一次相遇点C。相遇后乙从C到A再折返到D追上甲用5分钟。

依据：为什么想到这一步：同地出发，相遇后乙继续走到A再折返才能追上仍在前进的甲。

2这段路甲需要走30（C到A）+30（A到C）+5（C到D）=65分钟。

依据：甲从C走到A要30分钟（和相遇前一样），再从A走回C又30分钟，再走5分钟到D。

3所以乙速是甲速的65÷5=13倍。

依据：同一段路乙用5分、甲用65分，速度与时间成反比。

4甲走1个单程时，乙走13个单程。

依据：时间相同，路程比=速度比。

5乙每完成一次从B到A的单程，都会与迎面走来的甲相遇1次，共迎面相遇6次。

依据：13个单程中奇数趟是A→B、偶数趟是B→A，B→A共6次。

答：两人途中共迎面相遇6次。

典型错法：把追上也算成迎面相遇，或数错13个单程中B→A的次数。

甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回散步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米。如果他们同时分别从直路的两端出发相向而行，当他们走了10分钟后，共相遇（迎面碰到和追上都算相遇）几次？

训练点：用柳卡图找周期，一个周期内数迎面+追及相遇次数。

提示：

1. 甲走一个单程30÷1=30秒，乙走一个单程30÷0.6=50秒。

2. 两人各自回到出发点需要多久？这就是周期。

1甲单程30秒，乙单程50秒。[30,50]=300秒，即甲走5个来回、乙走3个来回后各自回到出发点，以此为周期。

依据：为什么想到这一步：两人速度不同，必须找到两人同时回到起点的最短时间作为周期。

2画柳卡图，一个周期300秒内两人相遇10次（含迎面与追及）。

依据：其中第3、8次为追及相遇，其余为迎面。

310分钟=600秒=2个周期，共相遇10×2=20次。

依据：周期内相遇次数固定，直接乘周期数。

答：共相遇20次。

典型错法：只数迎面相遇漏掉追及，或周期找错。

三、水平测试

A层

甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出。甲每小时行60千米，乙每小时行40千米。两车第一次相遇后仍按原速继续前进，各自到达对方出发地点后立即按原路返回。两车从开出到第二次迎面相遇共行3小时。A、B两地相距多少千米？

答案：100千米

解析：第二次迎面相遇合走3个全程，AB=(60+40)×3÷3=100千米。

甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶。已知甲车速度是乙车的3倍，甲、乙两车第二次迎面相遇在距离A地多少千米处？

答案：150千米

解析：第二次迎面相遇合走3个全程=1800千米，甲走1800×3/4=1350千米，1350−600×2=150千米。

甲、乙两车同时从A地出发，在相距900千米的A、B两地之间不断往返行驶。已知甲车每小时行25千米，乙车每小时行20千米。(1)两车出发后几小时第一次迎面相遇？(2)第一次迎面相遇后再过几小时第二次迎面相遇？

答案：(1)40小时；(2)40小时

解析：同地出发，第一次迎面相遇合走2个全程：900×2÷(25+20)=40时。从第一次到第二次迎面相遇仍合走2个全程，再过40小时。

甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米。第一次相遇后继续前进，各自到达B、A两地后立即按原路原速返回，两车从开始到第二次相遇共用6小时。A、B两地距离是多少千米？

答案：174千米

解析：第二次相遇合走3个全程，(42+45)×6÷3=174千米。

甲、乙两人以均匀速度分别从A、B两地同时出发相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米。相遇后继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次迎面相遇。两次相遇地点之间的距离是多少千米？

答案：2千米

解析：第1次相遇甲走4千米，第2次合走3全程甲走12千米=全程+3，全程=9千米。两次相遇点相距9−(4+3)=2千米。

甲、乙两人在一条90米的直路上跑步，甲的速度是4米/秒。如果他们同时从直路的同一端出发，36秒后第二次迎面相遇，乙的速度是多少米/秒？

答案：6米/秒

解析：同端出发第二次迎面相遇合走4个全程=90×4=360米，速度和360÷36=10米/秒，乙=10−4=6米/秒。

甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地32千米处相遇，相遇后继续行驶，各自到达目的地后立即原路返回，第二次在距A地64千米处迎面相遇。A、B两地间的距离是多少千米？

答案：80千米

解析：第1次相遇甲走32千米，第2次合走3全程甲走96千米=2全程−64，全程=(96+64)÷2=80千米。

甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回。如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么A、B两地的距离为多少米？

答案：750米

解析：速度比3:2，全程等分5份，甲走3份乙走2份。两次相遇点相距2份=300米，全程=300÷2×5=750米。

甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两地之间。已知甲车速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。甲车的速度是乙车速度的多少倍？

答案：2倍

解析：同地出发每次迎面相遇合走2全程，两次总行程相等，故每次甲走的路程=2×乙走的路程，甲速是乙速2倍。

A10

李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。骑车人张明每小时行驶多少千米？

答案：20千米/时

解析：老师出发时李华已走2千米，余18.4千米。两人相遇18.4÷(4+5.2)=2小时，此时李华共走10千米。张明用2−1.5=0.5小时走10千米，速度20千米/时。

A11

小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次迎面相遇。问：他们两人第四次迎面相遇的地点离乙村多远？

答案：离乙村1千米

解析：第1次相遇张走3.5千米，第2次合走3全程张走10.5千米，两村距离=10.5−2=8.5千米。第4次相遇合走7全程张走3.5×7=24.5=8.5×2+7.5，距乙村8.5−7.5=1千米。

A12

甲、乙两人同时分别从A、B两地出发，相向匀速而行。甲到达B地后立即往回走，乙到达A地后也立即往回走。已知他们第一次相遇在离A、B中点2千米处靠B一侧，第二次相遇在离A地4千米处。A、B两地相距多少千米？

答案：20千米

解析：第1次相遇甲走半程+2，第2次合走3全程甲走3个半程+6=2全程−4，故半程=10千米，全程20千米。

A13

长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4小时才能行驶完全程。从上午6点开始，每隔1小时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车下午4点出发。请问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到几辆？

答案：最多9辆，最少5辆

解析：画柳卡图。最多时遇到路上正在行驶的所有对向车共9辆；最少时遇到5辆。

B层

答案：100千米

解析：第二次迎面相遇合走3个全程，AB=(60+40)×3÷3=100千米。

答案：150千米

解析：第二次迎面相遇合走3个全程=1800千米，甲走1800×3/4=1350千米，1350−600×2=150千米。

答案：(1)40小时；(2)40小时

解析：同地出发，第一次迎面相遇合走2个全程：900×2÷(25+20)=40时。从第一次到第二次迎面相遇仍合走2个全程，再过40小时。

答案：174千米

解析：第二次相遇合走3个全程，(42+45)×6÷3=174千米。

答案：2千米

解析：第1次相遇甲走4千米，第2次合走3全程甲走12千米=全程+3，全程=9千米。两次相遇点相距9−(4+3)=2千米。

甲、乙两人在一条90米的直路上跑步，甲的速度是4米/秒。如果他们同时从直路的同一端出发，36秒后第二次迎面相遇，乙的速度是多少米/秒？

答案：6米/秒

解析：同端出发第二次迎面相遇合走4个全程=90×4=360米，速度和360÷36=10米/秒，乙=10−4=6米/秒。

答案：80千米

解析：第1次相遇甲走32千米，第2次合走3全程甲走96千米=2全程−64，全程=(96+64)÷2=80千米。

答案：750米

解析：速度比3:2，全程等分5份，甲走3份乙走2份。两次相遇点相距2份=300米，全程=300÷2×5=750米。

答案：2倍

解析：同地出发每次迎面相遇合走2全程，两次总行程相等，故每次甲走的路程=2×乙走的路程，甲速是乙速2倍。

A10

答案：20千米/时

解析：老师出发时李华已走2千米，余18.4千米。两人相遇18.4÷(4+5.2)=2小时，此时李华共走10千米。张明用2−1.5=0.5小时走10千米，速度20千米/时。

A11

答案：离乙村1千米

A12

答案：20千米

解析：第1次相遇甲走半程+2，第2次合走3全程甲走3个半程+6=2全程−4，故半程=10千米，全程20千米。

A13

答案：最多9辆，最少5辆

解析：画柳卡图。最多时遇到路上正在行驶的所有对向车共9辆；最少时遇到5辆。

甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米。第一次相遇后继续前进，各自到达B、A两地后立即按原路原速返回。两车从开始到第二次迎面相遇共用6小时。A、B两地相距多少千米？

答案：170千米

解析：第二次相遇合走3全程，(40+45)×6÷3=170千米。

甲、乙两人在60米的游泳池中往返练习游泳，甲每分钟游30米，乙每分钟游20米，两人同时从同一端出发，几分钟后第二次迎面相遇？

答案：4.8分钟

解析：同端出发第二次迎面相遇合走4个全程=240米，240÷(30+20)=4.8分钟。

两地相距900米，甲、乙两人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米。当乙到达目标后立即返回，与甲相遇。那么第二次相遇时，乙走了多少米？

答案：2000米

解析：第二次相遇路程是全程4倍=3600米，时间3600÷180=20分，乙走20×100=2000米。

甲、乙两人以均匀速度分别从A、B两地同时出发相向而行，第一次相遇地点离A地6千米，相遇后继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇。A、B两地间的距离是多少千米？

答案：14千米

解析：第1次相遇甲走6千米，第2次合走3全程甲走18千米=全程+4，全程=14千米。

两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后两车继续以原来速度前进，各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？

答案：140千米

解析：第二次相遇东站出发的车走3个60千米=180千米，距中点西侧30千米即再走30千米为1.5倍全程：(180+30)÷1.5=140千米。

快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人。三车速度分别是54千米/时、22千米/时、12千米/时，快车和中车分别用2小时、6小时追上骑车人。慢车要多少小时追上骑车人？

答案：16小时

解析：骑车人速度=(22×6−54×2)÷(6−2)=6千米/时，追及路程=(54−6)×2=96千米，慢车需96÷(12−6)=16小时。

在公路上，汽车A、B、C分别以80千米/时、70千米/时、50千米/时的速度匀速行驶。若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且途中汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇。甲、乙两站相距多少千米？

答案：1950千米

解析：A遇B后2小时遇C，这2小时A、C合走(80+50)×2=260千米，即A遇B时B、C相距260千米，此前已行驶260÷(70−50)=13小时，两站=(80+70)×13=1950千米。

A、B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A、B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？

答案：2160千米

解析：两次相遇都在P，从第一次到第二次甲走的路程正好是第一次走的路程。设全程3份，第一次相遇甲走2份乙走4份。到第三次相遇乙共走4×3=12份，540÷3×12=2160千米。

快、中、慢三车同时从甲地出发沿同一公路开往乙地，途中有骑车人也在同方向行进。这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米。中速车的速度是多少米/分？

答案：750米/分

解析：骑车人速度=(600×14−800×7)÷(14−7)=400米/分，开始相差路程=(600−400)×14=2800米，中速车=2800÷8+400=750米/分。

B10

某轮船公司每天中午都有一艘轮船从甲城开往乙城，并且每天同一时刻也有一艘轮船从乙城开往甲城。轮船在途中所花时间都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。今天中午从甲城开出的轮船，在开往乙城的航行过程中，将会遇到多少艘同一公司的轮船从对面开来？

答案：15艘

解析：出发时遇到1艘，到达时遇到1艘，海上遇到13艘，共15艘。（只算以后开出的7艘是错的。）

B11

甲、乙两地相距120千米，黄娟和小玉两人骑自行车分别从两地同时相向而行，出发后2小时相遇。接着两人继续前进，在她们相遇3分钟后，黄娟中途与迎面而来的刘坚相遇。刘坚在与黄娟相遇后继续前进，在C地追上小玉。已知黄娟骑车速度为40千米/时；如果一开始黄娟每小时快6千米、小玉每小时快14千米，则两人会在C地相遇。求刘坚骑车的速度。

答案：26千米/时

解析：小玉速度120÷2−40=20千米/时。C地距甲地120÷(46+34)×46=69千米。B地距甲地40×2+3÷60×40=82千米。刘坚在B遇黄、在C追小玉，BC=13千米，用时(82−69)÷20−3÷60=0.5小时，速度13÷0.5=26千米/时。

B12

甲从A地出发前往B地，1小时后乙、丙两人同时从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，甲和乙相遇在D地。已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍，A、B两地之间的距离是220千米，C、D两地之间的距离是20千米。求丙的速度。

答案：30千米/时

解析：设乙走单位1则丙走1.5，路程差0.5。实际CD=20×2=40千米，故甲丙相遇时乙走80千米，甲也走80千米，丙走120千米，甲2小时走220−80−120=20千米，甲速10千米/时，丙速15？答案册为丙速30千米/时（甲速20千米/时），见openIssues。

教师备注：按答案册：甲速20千米/时，丙速30千米/时。

B13

小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时。小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？

答案：270千米

解析：面包车遇小轿车时，大客车与小轿车距离(48+42)×0.5=45千米，此前已行驶45÷(60−42)=2.5小时，两站=(60+48)×2.5=270千米。

C层

答案：100千米

解析：第二次迎面相遇合走3个全程，AB=(60+40)×3÷3=100千米。

答案：150千米

解析：第二次迎面相遇合走3个全程=1800千米，甲走1800×3/4=1350千米，1350−600×2=150千米。

答案：(1)40小时；(2)40小时

解析：同地出发，第一次迎面相遇合走2个全程：900×2÷(25+20)=40时。从第一次到第二次迎面相遇仍合走2个全程，再过40小时。

答案：174千米

解析：第二次相遇合走3个全程，(42+45)×6÷3=174千米。

答案：2千米

解析：第1次相遇甲走4千米，第2次合走3全程甲走12千米=全程+3，全程=9千米。两次相遇点相距9−(4+3)=2千米。

甲、乙两人在一条90米的直路上跑步，甲的速度是4米/秒。如果他们同时从直路的同一端出发，36秒后第二次迎面相遇，乙的速度是多少米/秒？

答案：6米/秒

解析：同端出发第二次迎面相遇合走4个全程=90×4=360米，速度和360÷36=10米/秒，乙=10−4=6米/秒。

答案：80千米

解析：第1次相遇甲走32千米，第2次合走3全程甲走96千米=2全程−64，全程=(96+64)÷2=80千米。

答案：750米

解析：速度比3:2，全程等分5份，甲走3份乙走2份。两次相遇点相距2份=300米，全程=300÷2×5=750米。

答案：2倍

解析：同地出发每次迎面相遇合走2全程，两次总行程相等，故每次甲走的路程=2×乙走的路程，甲速是乙速2倍。

A10

答案：20千米/时

解析：老师出发时李华已走2千米，余18.4千米。两人相遇18.4÷(4+5.2)=2小时，此时李华共走10千米。张明用2−1.5=0.5小时走10千米，速度20千米/时。

A11

答案：离乙村1千米

A12

答案：20千米

解析：第1次相遇甲走半程+2，第2次合走3全程甲走3个半程+6=2全程−4，故半程=10千米，全程20千米。

A13

答案：最多9辆，最少5辆

解析：画柳卡图。最多时遇到路上正在行驶的所有对向车共9辆；最少时遇到5辆。

甲、乙两人以均匀速度分别从A、B两地同时出发相向而行，第一次相遇地点离A地5千米，相遇后继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇。两次相遇地点之间的距离是多少千米？

答案：4千米

解析：第1次甲走5，第2次合走3全程甲走15=全程+3，全程12千米，两次相遇点相距12−5−3=4千米。

甲、乙两人同时分别从A、B两地出发，相向匀速而行。甲到达B地后立即往回走，乙到达A地后也立即往回走。已知他们第一次相遇在离A、B中点3千米处靠B一侧，第二次相遇在离A地5千米处。A、B两地相距多少千米？

答案：28千米

解析：第1次甲走半程+3，第2次合走3全程甲走3半程+9=2全程−5，故半程=14千米，全程28千米。

甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，3小时后两人在距离中点30千米处相遇，相遇后两人继续按原来速度前进。甲到达B地后立即返回并追上乙，此时距离两人相遇正好10小时。A、B两地之间的距离是多少千米？

答案：260千米

解析：3小时相遇路程差60千米，速度差20千米/时。甲追上乙时路程差为一个全程，从出发到追上共13小时，全程=20×13=260千米。

甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米。那么A、B两地相距多少千米？

答案：125千米

解析：速度比3:2，全程5份。第2次相遇乙走6份，第3次乙走10份，两次相距4份=100千米，全程5份=125千米。

有甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走70米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，途中甲与乙相遇2分钟后，甲又与丙相遇。那么东、西两村之间的距离是多少米？

答案：6120米

解析：甲遇乙后2分钟遇丙，这2分钟甲丙合走(100+70)×2=340米，即甲乙相遇时乙丙相距340米，此前已走340÷(80−70)=34分钟，两村=(100+80)×34=6120米。

A、B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地出发不停地往返于A、B两地之间。他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲。当甲到达B地时，乙追上甲多少次？

答案：4次

解析：第一次相遇80分，第一次追上100分。乙在这20分钟走的路=甲180分钟走的路，乙速是甲9倍。甲走1个全程时乙走9个全程，其中从A到B共4次追上甲。

甲从A地出发前往B地，2小时后乙、丙两人同时从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，甲和乙相遇在D地。已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的2倍，A、B两地之间的距离是200千米，C、D两地之间的距离是30千米。丙的速度是多少千米/时？

答案：20千米/时

解析：设乙走单位1则丙走2，路程差1。实际CD=30×2=60千米，故甲丙相遇时乙走60千米，甲2小时也走60千米，丙走120千米，甲2小时走200−60−120=20千米，甲速10千米/时，丙速20千米/时。

甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲速度为每秒3米，乙速度为每秒2米。他们同时分别从两端出发，且每人均跑了12分钟，那么他们在这段时间内共相遇了多少次？

答案：20次

解析：甲速是乙1.5倍，甲跑3个来回乙跑2个来回为一个周期3分钟。画柳卡图一个周期相遇5次，12分钟=4周期，共20次。

甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，在C处相遇后，甲没有休息，到B地后立即折返；乙则休息了15分钟才继续走，到A地后立即折返。两人折返后仍在C处相遇。如果甲每分钟走60米，乙每分钟走90米，那么A、B两地相距多少米？

答案：1350米

解析：速度比甲:乙=2:3，全程5份，相遇时甲走2份乙走3份。乙休息15分钟甲多走的路对应乙少走的5份，乙走1份需3分钟，全程=3×5×90=1350米。

C10

甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇（迎面碰到和追上都算相遇）了多少次？

答案：17次

解析：甲来回需60秒，乙来回需90秒，周期[60,90]=180秒，一周期相遇5次。600÷180=3……60，共5×3+2=17次。

C11

A、B两地间有一条公路，甲步行从A地到B地，乙骑摩托车不停地往返于A、B两地。甲、乙同时从A地出发50分钟后两人第一次相遇，又过4分钟乙第一次超过甲。当甲到达B地时，乙共超过甲多少次？

答案：12次

解析：同地出发。相遇点C，追上点D。乙5分钟走的路甲需50+50+4=104分钟，乙速是甲104÷4=26倍。甲走1单程乙走26单程，每从A到B超过甲1次，共26÷2−1=12次。

C12

A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时离A地最近？最近距离是多少米？

答案：第2次相遇时离A地最近，最近800米

解析：30×(300+240)÷2400=6.75个全程，共相遇3次。全程分9份，第1次甲跑5份，第2次甲跑15份距A3份，第3次甲跑25份距A7份。第2次最近：2400÷9×3=800米。

C13

一辆大卡车和一辆小汽车在甲、乙两地之间往返行驶，小汽车的速度是大卡车的3倍。他们分别在甲、乙两地同时相对而行，当他们在途中处于同一地点即为相遇。第12次相遇时，大卡车跑了多少个全程？期间有几次是同向追及相遇的？

答案：大卡车跑了3¾个全程，期间有4次同向追及相遇

解析：柳卡图。第12次相遇时两人共走11+3+1=15个全程，大卡车跑15×1/4=3¾个全程。第2、5、8、11次为同向追及相遇，共4次。

四、方法小结

本讲核心是把往返相遇问题转化为“合走几个全程”。两地相向出发第n次迎面相遇合走(2n−1)个全程；同地同向出发第n次合走2n个全程。相遇点距某端的距离，用某人在对应全程数内走的路程与全程整数倍作差得到。三人问题抓住“相遇后再过多久遇到第三人”这段路程差。迎面与追及混合时画柳卡图找周期数次数。

五、作业建议

基础必做：

复习全程数规律两条公式
重做A1、A2
重做B1、B2

巩固选做：

完成测试B第5、7、9题
完成测试C第1、2、5题

提高挑战：

完成测试C第12、13题并画柳卡图

六、课堂错因定位

症状：学生把第二次迎面相遇的全程数算成2个。
根因：混淆“两地相向出发”和“同地同向出发”，或忘了第1次是1个全程。
补救：让学生先在题旁标注“从两地相向”还是“从同地同向”，再套对应公式。

症状：三人问题中直接用15分钟乘速度和。
根因：没理解“相遇后再过t分钟遇到第三人”对应的是路程差。
补救：画时间轴，标出甲乙相遇时刻，再画这t分钟甲丙合走的距离，与乙丙路程差对齐。