A层
A1
毕达哥拉斯把图18-4中小球的数目称为三棱锥数。已知前四个三棱锥数是1、4、10、20，则下一个三棱锥数是多少？
答案：35
解析：20+(1+2+3+4+5)=35。
A2
在“3×3”方格内，每个方格填一个数，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数之和均相等。如图18-5，已填好左上角97、右中17，左下角为a。求a所代表的数。
答案：177
解析：由行和列相等得97+x=17+y，y−x=80；又97+y=a+x，故a=97+y−x=177。
A3
如图18-6，从第二行起，每个空格中的数都是它上一行两侧数字的和（例如16=7+9），最底层和为77。那么“x”处所填的数是多少？
答案：10
解析：列方程16+(9+x)+(9+x)+(x+13)=77，解得x=10。
A4
在图18-7所示的七个圆圈内分别填入1，2，3，4，5，6，7，要求每条直线上的三数和相等。那么这个相等的和最大是多少？
答案：13
解析：交叉处填尽可能大的数，和最大为3+6+4=13。
A5
将1，2，…，8中任选四个数填入图18-8中四个圈内，使任意相邻两个圈内的大数与小数的差恰好等于联结这两个圈的线条数。
答案：如图A-18-3（开放填数）
解析：按线条数匹配两数之差构造填法。
A6
在图18-9中的六个圈内分别填入数1～6，使相邻两数之和为素数。若a为1，c为3，则b、d、e、f各是多少？
答案：b=4，d=2，e=5，f=6
解析：相邻和为素数则a、c、e都为奇数，e=5；4不能和5相邻，6不能和3相邻，故b=4，d=2，f=6。
A7
观察图18-10的规律（第1个表[1]，第2个表奇数三角形，第3个继续扩展），算出第6个表格中所有数的和是多少？
答案：396
解析：第n个表平均数为2n−1，第6个平均数11，有1+3+5+7+9+11=36个数，和=36×11=396。
A8
如图18-11，横、竖各12个方格，横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3，5，8和x四个数，那么x代表的数是多少？
答案：5
解析：竖列任意三相邻和为21，每隔两格重复，重叠格=21−3−8=10；横行同理x=20−5−10=5。
A9
在图18-12的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。现已填好左边11、右边19。那么D等于多少？
答案：23
解析：B=(11+19)÷2=15，由11+A=2C和15+A=19+C得C=15，D=15+19−11=23。
A10
将1～8八个数分别填入图18-13的8个圆圈中（两个嵌套正方形），每个数只用一次，使得图中的2个正方形、4个梯形顶点处的四个圆圈内所填数的和都相等。这个相等的和为多少？
答案：18
解析：两个梯形的和相等且合起来包含全部8个数，故四个数的和=(1+…+8)÷2=36÷2=18。
A11
把6～11这六个数填入图18-14中的小圆圈内，使每个圆上三个数的和为27，三角形每条边上三个数之和为24。
答案：如图A-18-5（开放填数）
解析：a、b、c在圆上被算两次，a+b+c+6+7+8+9+10+11=27×3，得a+b+c=30，可取9、10、11。
A12
如图18-15，用一个“T”形框在2022年8月的日历上框出5个数，框出的5个数的和是101。分别求出这5个数中的最小数和最大数。
答案：最小数15，最大数30
解析：T字框4种摆法逐一讨论，只有一种满足5a=80，a=16，最小数15，最大数30。
A13
如图18-16，每个圆圈内的汉字代表1～9中的一个数字，汉字不同数字也不同，每个小三角形三个顶点上的数字之和相等。若7个数字之和等于12，则“杯”所代表的数字是多少？
答案：3
解析：设每个小三角形和为S，6S=12×2+4×杯，杯必为3的倍数，经试6、9不符，杯=3。
B层
A1
毕达哥拉斯把图18-4中小球的数目称为三棱锥数。已知前四个三棱锥数是1、4、10、20，则下一个三棱锥数是多少？
答案：35
解析：20+(1+2+3+4+5)=35。
A2
在“3×3”方格内，每个方格填一个数，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数之和均相等。如图18-5，已填好左上角97、右中17，左下角为a。求a所代表的数。
答案：177
解析：由行和列相等得97+x=17+y，y−x=80；又97+y=a+x，故a=97+y−x=177。
A3
如图18-6，从第二行起，每个空格中的数都是它上一行两侧数字的和（例如16=7+9），最底层和为77。那么“x”处所填的数是多少？
答案：10
解析：列方程16+(9+x)+(9+x)+(x+13)=77，解得x=10。
A4
在图18-7所示的七个圆圈内分别填入1，2，3，4，5，6，7，要求每条直线上的三数和相等。那么这个相等的和最大是多少？
答案：13
解析：交叉处填尽可能大的数，和最大为3+6+4=13。
A5
将1，2，…，8中任选四个数填入图18-8中四个圈内，使任意相邻两个圈内的大数与小数的差恰好等于联结这两个圈的线条数。
答案：如图A-18-3（开放填数）
解析：按线条数匹配两数之差构造填法。
A6
在图18-9中的六个圈内分别填入数1～6，使相邻两数之和为素数。若a为1，c为3，则b、d、e、f各是多少？
答案：b=4，d=2，e=5，f=6
解析：相邻和为素数则a、c、e都为奇数，e=5；4不能和5相邻，6不能和3相邻，故b=4，d=2，f=6。
A7
观察图18-10的规律（第1个表[1]，第2个表奇数三角形，第3个继续扩展），算出第6个表格中所有数的和是多少？
答案：396
解析：第n个表平均数为2n−1，第6个平均数11，有1+3+5+7+9+11=36个数，和=36×11=396。
A8
如图18-11，横、竖各12个方格，横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3，5，8和x四个数，那么x代表的数是多少？
答案：5
解析：竖列任意三相邻和为21，每隔两格重复，重叠格=21−3−8=10；横行同理x=20−5−10=5。
A9
在图18-12的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。现已填好左边11、右边19。那么D等于多少？
答案：23
解析：B=(11+19)÷2=15，由11+A=2C和15+A=19+C得C=15，D=15+19−11=23。
A10
将1～8八个数分别填入图18-13的8个圆圈中（两个嵌套正方形），每个数只用一次，使得图中的2个正方形、4个梯形顶点处的四个圆圈内所填数的和都相等。这个相等的和为多少？
答案：18
解析：两个梯形的和相等且合起来包含全部8个数，故四个数的和=(1+…+8)÷2=36÷2=18。
A11
把6～11这六个数填入图18-14中的小圆圈内，使每个圆上三个数的和为27，三角形每条边上三个数之和为24。
答案：如图A-18-5（开放填数）
解析：a、b、c在圆上被算两次，a+b+c+6+7+8+9+10+11=27×3，得a+b+c=30，可取9、10、11。
A12
如图18-15，用一个“T”形框在2022年8月的日历上框出5个数，框出的5个数的和是101。分别求出这5个数中的最小数和最大数。
答案：最小数15，最大数30
解析：T字框4种摆法逐一讨论，只有一种满足5a=80，a=16，最小数15，最大数30。
A13
如图18-16，每个圆圈内的汉字代表1～9中的一个数字，汉字不同数字也不同，每个小三角形三个顶点上的数字之和相等。若7个数字之和等于12，则“杯”所代表的数字是多少？
答案：3
解析：设每个小三角形和为S，6S=12×2+4×杯，杯必为3的倍数，经试6、9不符，杯=3。
B1
将图18-20①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样方式分割得到图③……则第10个图形中共有多少个正六边形？
答案：28个
解析：规律1,4,7,…每次增加3个，第n个为3n−2，第10个=10×3−2=28。
B2
如图18-21，数字排列形式，每排由1开始2结束，其他数是上一排直接对着两数的和（如第四排9=4+5）。按此规律继续下去，第十排数的总和是多少？
答案：1536
解析：每排和依次为(1+2)×2⁰,(1+2)×2¹,…第十排=3×2⁹=1536。
B3
图18-22中有6个圆圈，每个圆圈内各有一个数。若同一直线上三个圆圈，中间圆圈内的数是它两侧圆圈内数的平均数（已知顶部15、左下11）。则X等于多少？
答案：13
解析：A=(11+15)÷2=13，C=2X−11，B=(15+X)÷2，由B=(13+2X−11)÷2解得X=13。
B4
如图18-23，在6个圆圈内不重复填入2，3，5，11，13，17这6个素数，使其中一个三角形和每个梯形所有顶点所填数之和相等。那么阴影部分圆圈应该填多少？
答案：17
解析：由11+5=13+3推出中间两圈填2和17。只有2一个偶数，若填阴影则三角形和为偶数而梯形和为奇数，矛盾，故阴影填17。
B5
如图18-24，已知A、B、C、D四个数的和为35，如果圆圈上的两数之和等于中间正方形中的数（A+B=13，A+C=17，A+D=19）。那么A×B×C×D等于多少？
答案：5040
解析：三式相加减四数和得2A=14，A=7，B=6，C=10，D=12，乘积=7×6×10×12=5040。
B6
如图18-25，在五个四边形区域内各填一个非零自然数，每个圆圈内填相邻区域数的积。若八个圆圈中所填数之和为1001，则这五个区域内所填数之和为多少？
答案：30
解析：ab+ad+be+de+abc+acd+bce+cde=(a+e)(b+d)(c+1)=1001=7×11×13，五数和=7+11+13−1=30。
B7
把自然数按图18-26所示排列（螺旋三角形），虚线小三角内三个数的和是5+8+9=22。如果一个尖朝上的小三角形圈住的三个数之和是2013，那么其中最大的数是多少？
答案：680
解析：第n行最大数n(n+1)/2≈670，n=36时为666（偶数行最大在右），以666为尖的三角和2001，比2013小12，往左移12位变大，668+12=680。
B8
将1～8填入图18-27中的立方体的圈内，使每个面上的四个数之和都相等。
答案：如图A-18-8（填法不唯一）
解析：每个点被3个面共用，以1的斜对角为a，2a+(b+d+e)=19，取a=2,b=3,d=5,e=7即可。
B9
如图18-28，三个圆圈两两相交组成七个部分，填入3～9这七个数，使每个圆圈中四个数的和都是23（上圆已有4，左圆6，右圆8）。则图中“A”处应填入多少？
答案：3
解析：4+A+B+C=23，6+A+B+D=23，8+A+C+D=23。三式相加18+2(A+B+C+D)+A=69，A+B+C+D=(3+…+9)−(4+6+8)=24，A=69−18−48=3。
B10
如图18-29，七个圆圈内所填数之和为67，已知中间圆圈所填数字为5，每个三角形三个顶点圆圈内所填数之和都等于31，且“巨”“人”代表其中两个整数。那么巨+人等于多少？
答案：10
解析：两个小三角形有公共数5，五个圆圈和=31+31−5=57，巨+人=67−57=10。
B11
如图18-30，将1～16填入圆圈内，使每个圆上的五个数之和相等，且每条线段上四个数的和也相等。请给出一种填法。
答案：如图A-18-11（填法不唯一）
解析：设中心数a，4a+(1+…+16)=5k，解得a=1,k=28，按每组和27、大圈和45分组填入。
B12
将从1开始的奇数排成图18-31所示的三角形，用一个菱形框住其中四个数（图中框住9+15+17+25=66）。如果一个菱形框住的四数之和为1242，那么其中最大的数是多少？
答案：347
解析：菱形上下两数和比左右两数和大2，左右两数和=(1242−2)÷2=620，左309右311。311是第156个奇数，位于第18行，最大数=311+18×2=347。
B13
字母a～j表示十个不同的非零自然数，按图18-32关系图（每个数若有两个箭头指向它，就等于两起点之和，如h=j+i）。则d的最小值是多少？
答案：20
解析：d=c+e=(b+h)+(h+f)=b+2h+f=(a+j)+2(j+i)+(i+g)=a+g+3(i+j)。令i=1,j=2，取a=7,g=4无重复数，d=20最小。
C层
A1
毕达哥拉斯把图18-4中小球的数目称为三棱锥数。已知前四个三棱锥数是1、4、10、20，则下一个三棱锥数是多少？
答案：35
解析：20+(1+2+3+4+5)=35。
A2
在“3×3”方格内，每个方格填一个数，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数之和均相等。如图18-5，已填好左上角97、右中17，左下角为a。求a所代表的数。
答案：177
解析：由行和列相等得97+x=17+y，y−x=80；又97+y=a+x，故a=97+y−x=177。
A3
如图18-6，从第二行起，每个空格中的数都是它上一行两侧数字的和（例如16=7+9），最底层和为77。那么“x”处所填的数是多少？
答案：10
解析：列方程16+(9+x)+(9+x)+(x+13)=77，解得x=10。
A4
在图18-7所示的七个圆圈内分别填入1，2，3，4，5，6，7，要求每条直线上的三数和相等。那么这个相等的和最大是多少？
答案：13
解析：交叉处填尽可能大的数，和最大为3+6+4=13。
A5
将1，2，…，8中任选四个数填入图18-8中四个圈内，使任意相邻两个圈内的大数与小数的差恰好等于联结这两个圈的线条数。
答案：如图A-18-3（开放填数）
解析：按线条数匹配两数之差构造填法。
A6
在图18-9中的六个圈内分别填入数1～6，使相邻两数之和为素数。若a为1，c为3，则b、d、e、f各是多少？
答案：b=4，d=2，e=5，f=6
解析：相邻和为素数则a、c、e都为奇数，e=5；4不能和5相邻，6不能和3相邻，故b=4，d=2，f=6。
A7
观察图18-10的规律（第1个表[1]，第2个表奇数三角形，第3个继续扩展），算出第6个表格中所有数的和是多少？
答案：396
解析：第n个表平均数为2n−1，第6个平均数11，有1+3+5+7+9+11=36个数，和=36×11=396。
A8
如图18-11，横、竖各12个方格，横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。图中已填入3，5，8和x四个数，那么x代表的数是多少？
答案：5
解析：竖列任意三相邻和为21，每隔两格重复，重叠格=21−3−8=10；横行同理x=20−5−10=5。
A9
在图18-12的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。现已填好左边11、右边19。那么D等于多少？
答案：23
解析：B=(11+19)÷2=15，由11+A=2C和15+A=19+C得C=15，D=15+19−11=23。
A10
将1～8八个数分别填入图18-13的8个圆圈中（两个嵌套正方形），每个数只用一次，使得图中的2个正方形、4个梯形顶点处的四个圆圈内所填数的和都相等。这个相等的和为多少？
答案：18
解析：两个梯形的和相等且合起来包含全部8个数，故四个数的和=(1+…+8)÷2=36÷2=18。
A11
把6～11这六个数填入图18-14中的小圆圈内，使每个圆上三个数的和为27，三角形每条边上三个数之和为24。
答案：如图A-18-5（开放填数）
解析：a、b、c在圆上被算两次，a+b+c+6+7+8+9+10+11=27×3，得a+b+c=30，可取9、10、11。
A12
如图18-15，用一个“T”形框在2022年8月的日历上框出5个数，框出的5个数的和是101。分别求出这5个数中的最小数和最大数。
答案：最小数15，最大数30
解析：T字框4种摆法逐一讨论，只有一种满足5a=80，a=16，最小数15，最大数30。
A13
如图18-16，每个圆圈内的汉字代表1～9中的一个数字，汉字不同数字也不同，每个小三角形三个顶点上的数字之和相等。若7个数字之和等于12，则“杯”所代表的数字是多少？
答案：3
解析：设每个小三角形和为S，6S=12×2+4×杯，杯必为3的倍数，经试6、9不符，杯=3。
C1
如图18-36，把自然数按规律排列起来，用“土”字形阴影覆盖出8个数并求和（土字不能旋转或翻转）。如果用“土”字覆盖出的8个数和为798，那么这8个数中最大的数是多少？
答案：112
解析：任取一个土字形8个数和为142，与798差656，对应位置差656÷8=82。参考土字形最大数30，故所求最大数=30+82=112。
C2
如图18-37，“天道酬勤，厚德载物”8个不同汉字代表1～8这8个不同数字，使得每个三角形顶点处3个数的和都相等，并且与正方形顶点处4个数的和也相等。那么这个和等于多少？
答案：12
解析：4个三角形共12个数相加，但只有8个数，4个边点重复一次；再减去正方形4个顶点（和也是x），得4x−x=1+…+8=36，x=12。
C3
如图18-38，跳棋棋盘上一共有多少个棋孔？
答案：121个
解析：大三角形棋孔(1+13)×13÷2=91个，剩余三个小三角形各1+2+3+4=10个，共91+30=121个。
C4
如图18-39，六个小圆圈中三个分别填有15、26、31三个数，这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和。那么填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是多少？
答案：5
解析：设三空白为a,b,c，a+b=15，b+c=31，a+c=26，三式相加得a+b+c=36，最小a=36−31=5。
C5
将5～20这16个数分别填入图18-40所示的圈内，使每个圆上四个圆圈内数的和都相等。
答案：如图A-18-15（填法不唯一）
解析：5+6+…+20=200，每个圆四数和=200÷4=50，将16个数分成和为50的四组即可。
C6
将1～11这11个数分别填入图18-41所示的11个圈内，使每条直线上的三个圆圈内的数的和都相等。
答案：如图A-18-16（填法不唯一）
解析：1+…+11=66，设左下角为a，5S=66+4a且4S=66+a，解得S=18，a=6。
C7
请将1～6这6个数字分别填入图18-42所示的6个圆圈中，使得每条直线上的圆圈中填的所有数的和都相等（3条直线上各3个圈，2条线上各2个圈）。那么两位数AB等于多少？
答案：63
解析：由2A+B+C+D+E+F是3的倍数且6数和21，知A是3的倍数。A=3时矛盾，故A=6，每条直线和=(21+6)÷3=9，B=9−6=3，AB=63。
C8
图18-43是一张50行和100列的表，按斜线依次填入自然数（如14在第2行第4列）。那么自然数2014填在第几行第几列？
答案：第12行第54列
解析：前50条斜线共1+…+50=1275个数，1275在(1,50)。739÷50=14……39，1975在(1,64)，1976在(50,16)，按蛇形规律推得2014在(12,54)。
C9
用2～14中七个偶数，分别填入图18-44中的圈内，使三角形的三个顶点、三条直线上三个数的和都相等。与10在一条直线上及在一个三角形上的四个数是哪四个？
答案：6，8，2，12
解析：设中间数为a，三数和为S，则a+2S=56，3S−2a=56，解得S=24，a=8，按图填得与10相关的四个数为6、8、2、12。
C10
在图18-45的每个圆圈中，各填入一个1～9中的数字，使得所有有线段联结的相邻两个圆圈内数的差至少为2，而且每个数字都恰好出现两次。那么A×B的值是多少？
答案：18
解析：按差≥2约束逐圈排除，最终A=2，B=9（填法见答案册图③），A×B=18。
C11
如图18-46，有一个圆圈填了数字1。请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2。问：共有几种不同的填法？
答案：3种
解析：b只能取3,4,5,6。逐一枚举：b=3,a=5可行；b=5,a=3有2种可行；其余矛盾。共3种填法。
C12
如图18-47，把从1开始的自然数按某种顺序排列（6行蛇形）。(1)最下面一行从左到右第10个数是多少？(2)标有字母a的位置应填的是几？
答案：(1)55；(2)73
解析：将1看作第1斜行，2、3看作第2斜行……偶数斜行从左上到右下排，奇数斜行从右下到左上排，每条斜行个数依次1,2,3,…。推得最底行第10个数55，a处73。
C13
图18-48中有11个空圆圈，要求把1～13这些数分别填入各圈内（其中3、4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和等于和它相连的下面圆圈内的数，并且最下面空着的四个圆圈中的数之和等于43。请你在图中填一填。
答案：如图（开放填数）
解析：按“上两数之和=下一数”的树形关系自顶向下填，使最下四数和为43。