奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【学生版】第19讲 · 有余数的除法

五年级奥数 · 教材第161–167页（第19讲全讲）

一、知识要点

带余数除法：a=bq+r

本质：设a、b为正整数，由除法得 a=bq+r，其中q是商，r是余数，且 0≤r<b。这就是带余数除法，即：被除数=除数×商+余数，或 被除数−余数=除数×商。
带余数除法 a = b × q + r 被除数 a = 除数 b × 商 q + 余数 r（0≤r<b）

余数的运算性质：可加、可减、可乘

本质：a÷b余数为c记作 a mod b=c。余数<除数。可加性：(a+b)÷c的余数 = a、b分别除以c的余数之和（再除以c）；可减性：差的余数=余数之差；可乘性：积的余数=余数之积（再除以c）。
求余时“先取余，再运算” 98÷13余7 × 626÷13余2 × 1004÷13余3 7×2×3=42，42÷13余3 所以 98×626×1004÷13 余 3

同余：a≡b(mod m)

本质：若两个整数a、b被正整数m除有相同余数，称a、b对模m同余，记 a≡b(mod m)。关键等价：a≡b(mod m) ⟺ m|(a−b)。性质：自反、对称、传递、可加可减、可乘、可乘方。
同余 ⟺ 差被整除 967÷n余r 1000÷n余r n|(1000−967)=33，n|(2001−1000)=1001 n 是两两之差的公因数（>1）

物不知数：特殊同余与逐级满足

本质：余数相同时“去掉余数”即整除：原数=LCM+余数。余数都比除数少1时“补上1”即整除：原数=LCM−1。余数都多同一个常数k时“去掉k”即整除：原数=LCM+k。一般情形用枚举逐级满足（先列条件最强的余数，再筛其他条件），即中国剩余定理。
物不知数：先“凑整除” 四四剩三、五五剩二、六六剩一 → 都多7 去掉7个后，4、5、6个一数都正好 LCM(4,5,6)=60，去掉的是7 原数 = 60 + 7 = 67

二、典例精讲

典例 A1
A = 2010×1 + 2010×2 + 2010×3 + … + 2010×2010，A 被 9 除余数是多少？
A = 2010×1 + 2010×2 + … + 2010×2010 求 A 被 9 除的余数（不必算出A）
典例 A2
有一个不等于1的整数，它除 967，1000，2001 得到相同的余数，这个数是多少？
同一个整数 n（n≠1）除 967、1000、2001 余数相同 求这个整数 n
典例 B1
从 1，2，…，100 中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被 3 整除？
从 1，2，…，100 中选尽量多的数 使选出的数中任意两个的和都不能被 3 整除
典例 B2
今有物不知其数：(1)四四数之剩一，五五数之剩一，六六数之剩一，问物几何？(2)四四数之剩三，五五数之剩四，六六数之剩五，问物几何？(3)四四数之剩三，五五数之剩二，六六数之剩一，问物几何？（总数为100个以内）
物不知其数（总数100以内） (1)四四剩一、五五剩一、六六剩一 (2)剩3,4,5　(3)剩3,2,1
典例 C1
一个正整数被8除余1，所得商被8除也余1，再把第二次所得的商除8后余7，最后商是a。又知这个正整数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍，求这个正整数。
一边：连除3次8，余数依次1、1、7，最后商 a 另一边：连除2次17，余数依次4、15，最后商 2a 求这个正整数
典例 C2
一个正整数除以3余2，除以5余4，除以7余5，求满足条件的最小正整数。
一个正整数：除以3余2、除以5余4、除以7余5 求满足条件的最小正整数

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
已知自然数 a、b、c，其中 c≥3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余______。
水平测试 A 第2题(填空题)
一个三位数，它被 71 除余 22，被 72 除余 15，且商相等，这个三位数是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个；如果每天吃4个，不到十天就吃完了，最后一天吃了3个。这些糖果原来有______个。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个两位数去除 251，得到的余数是 41。这个两位数是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
98×626×1004 除以 13 的余数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
把一堆苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。这堆苹果至少有______个。
水平测试 A 第7题(填空题)
8 + 8×8 + … + 8×8×…×8（10个8）除以5的余数是______。
水平测试 A 第8题(填空题)
2001²⁰⁰² 除以 4 的余数为______。
水平测试 A 第9题(填空题)
若 34 和 56 除以 m 的余数相同，且 m 为奇素数，则 m 除 72 的余数为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
一个整数除以 42 的余数是 37，那么用它分别除以 3，6，7 所得到的 3 个余数之和是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
用一个奇数去除 255 和 197，所得的余数都是 23，求这个奇数。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知正整数 n 除以 5 余 3，则 n 除以 15 余数为多少？
水平测试 A 第13题(解答题)
已知 a 为大于 1 的正整数，且 272，221，85 这三个数除以 a 得相同余数，则 a 为多少？

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
已知自然数 a、b、c，其中 c≥3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余______。
水平测试 A 第2题(填空题)
一个三位数，它被 71 除余 22，被 72 除余 15，且商相等，这个三位数是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个；如果每天吃4个，不到十天就吃完了，最后一天吃了3个。这些糖果原来有______个。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个两位数去除 251，得到的余数是 41。这个两位数是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
98×626×1004 除以 13 的余数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
把一堆苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。这堆苹果至少有______个。
水平测试 A 第7题(填空题)
8 + 8×8 + … + 8×8×…×8（10个8）除以5的余数是______。
水平测试 A 第8题(填空题)
2001²⁰⁰² 除以 4 的余数为______。
水平测试 A 第9题(填空题)
若 34 和 56 除以 m 的余数相同，且 m 为奇素数，则 m 除 72 的余数为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
一个整数除以 42 的余数是 37，那么用它分别除以 3，6，7 所得到的 3 个余数之和是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
用一个奇数去除 255 和 197，所得的余数都是 23，求这个奇数。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知正整数 n 除以 5 余 3，则 n 除以 15 余数为多少？
水平测试 A 第13题(解答题)
已知 a 为大于 1 的正整数，且 272，221，85 这三个数除以 a 得相同余数，则 a 为多少？
水平测试 B 第1题(填空题)
一个数除以 3 余 2，除以 4 余 1，则这个数除以 12 余______。
水平测试 B 第2题(填空题)
某数除以 7 余 1，除以 11 余 3，除以 13 少 3，则该数最小为______。
水平测试 B 第3题(填空题)
实验小学五年级有三百多人，将总人数减去 5 能被 6 整除，减去 6 能被 7 整除，减去 7 能被 8 整除，则五年级共有______人。
水平测试 B 第4题(填空题)
已知有一个数除 309，222，251 所得余数相同，这个余数为______。
水平测试 B 第5题(填空题)
一个两位数除 13，商是 A，余数是 B，则 A+B 最小为______。
水平测试 B 第6题(填空题)
19×199×1999 被 7 除的余数是______。
水平测试 B 第7题(填空题)
1²+2²+3²+…+100² 除以 11 的余数为______。
水平测试 B 第8题(填空题)
3¹⁰¹ ÷ 7 的余数为______。
水平测试 B 第9题(填空题)
3²⁰⁰ + 4³⁰⁰ 除以 11 的余数为______。
水平测试 B 第10题(填空题)
如果今天是星期三，则再过 2002¹¹ 天后是星期______。
水平测试 B 第11题(解答题)
某个正整数除以 512 余 83，除以 513 余 83，求这个数除以 38 的余数。
水平测试 B 第12题(解答题)
某公司有若干套设备需要装箱，每套设备有3个零件，分别设为A₁、A₂、A₃。若A₁是5个装一箱余3个，A₂是12个装一箱余6个，A₃是20个装一箱余18个，如果剩余的零件不装箱，一共装224箱，那么共有多少套设备？
水平测试 B 第13题(解答题)
在 1，2，3，…，2017 这 2017 个自然数中，最多能取出多少个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是 7 的倍数？

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
已知自然数 a、b、c，其中 c≥3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余______。
水平测试 A 第2题(填空题)
一个三位数，它被 71 除余 22，被 72 除余 15，且商相等，这个三位数是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个；如果每天吃4个，不到十天就吃完了，最后一天吃了3个。这些糖果原来有______个。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个两位数去除 251，得到的余数是 41。这个两位数是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
98×626×1004 除以 13 的余数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
把一堆苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。这堆苹果至少有______个。
水平测试 A 第7题(填空题)
8 + 8×8 + … + 8×8×…×8（10个8）除以5的余数是______。
水平测试 A 第8题(填空题)
2001²⁰⁰² 除以 4 的余数为______。
水平测试 A 第9题(填空题)
若 34 和 56 除以 m 的余数相同，且 m 为奇素数，则 m 除 72 的余数为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
一个整数除以 42 的余数是 37，那么用它分别除以 3，6，7 所得到的 3 个余数之和是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
用一个奇数去除 255 和 197，所得的余数都是 23，求这个奇数。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知正整数 n 除以 5 余 3，则 n 除以 15 余数为多少？
水平测试 A 第13题(解答题)
已知 a 为大于 1 的正整数，且 272，221，85 这三个数除以 a 得相同余数，则 a 为多少？
水平测试 C 第1题(填空题)
若有一个正整数除 314，257，447 所得余数相同，则 2002 除以这个数的余数为______。
水平测试 C 第2题(填空题)
一个一百位整数，各个数位上的数字都是3，则这个数除以13的商的个位数是______，余数是______。
水平测试 C 第3题(填空题)
一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______。
水平测试 C 第4题(填空题)
将 1，2，3，…从左至右依次排成一个51位数，这个数除以11的余数为______。
水平测试 C 第5题(填空题)
有一个整数分别除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，这个整数为______。
水平测试 C 第6题(填空题)
已知 N = 1×2002 + 2×2002 + 3×2002 + … + 2002×2002，则 N 除以 7 的余数为______。
水平测试 C 第7题(填空题)
一个自然数，被3除余2，被7除余4，被11除余1，满足条件的最小自然数是______。
水平测试 C 第8题(填空题)
123¹²³ + 124¹²⁴ + 125¹²⁵ 除以 3 所得的余数是______。
水平测试 C 第9题(填空题)
今天是星期六，再过 2001²⁰⁰² + 2002²⁰⁰³ 天后为星期______。
水平测试 C 第10题(填空题)
5555³³³³ + 3333⁵⁵⁵⁵ 除以 7 的余数为______。
水平测试 C 第11题(解答题)
五个连续正整数的平方和能否被5整除，为什么？
水平测试 C 第12题(解答题)
1～2017 的所有自然数中，有多少个整数 x 使 2ˣ 与 x² 被 7 除的余数相同？
水平测试 C 第13题(解答题)
某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同。他们一起去买笔记本，已知简装笔记本3元一本，精装笔记本4元一本，要求每人都要把自己手中的钱全部用完，并且尽可能多买几本笔记本，那么最后全班一共买了多少本精装笔记本？