【教师版】第19讲 · 有余数的除法
五年级奥数 · 教材第161–167页（第19讲全讲）
一、知识要点
带余数除法：a=bq+r
本质：设a、b为正整数，由除法得 a=bq+r，其中q是商，r是余数，且 0≤r<b。这就是带余数除法，即：被除数=除数×商+余数，或 被除数−余数=除数×商。
适用：所有余数问题的出发点。余数必须小于除数；已知被除数、除数、商、余数中的三个可求第四个。典例A2、测试A2/A4、B5都用此恒等式。
- 写出恒等式 a=bq+r，余数r必须满足 0≤r<b。
- 移项得 a−r=bq，即（被除数−余数）能被除数整除，也能被商整除。
- 研究带余除法就可以转化为整除问题。
典型错误：余数大于或等于除数；或忘记“被除数−余数”才是除数的倍数。
余数的运算性质：可加、可减、可乘
本质：a÷b余数为c记作 a mod b=c。余数<除数。可加性：(a+b)÷c的余数 = a、b分别除以c的余数之和（再除以c）；可减性：差的余数=余数之差；可乘性：积的余数=余数之积（再除以c）。
适用：求大数乘积、和、乘方除以某数的余数时，不必算出原数，先把每个因子取余再运算。典例A1、测试A5/A7/A8、B6/B8/B9/C6/C8/C10都用此性质。
- 可乘性：积除以c的余数 = 各因子除以c余数之积再除以c。
- 乘方性：a≡b(mod m) 则 aⁿ≡bⁿ(mod m)，可把底数先取余。
- 遇到乘方先找余数的循环周期，再用指数除以周期取余。
典型错误：直接硬算大数乘积；或乘方忘记把底数先取余。
同余：a≡b(mod m)
本质：若两个整数a、b被正整数m除有相同余数，称a、b对模m同余，记 a≡b(mod m)。关键等价：a≡b(mod m) ⟺ m|(a−b)。性质：自反、对称、传递、可加可减、可乘、可乘方。
适用：典例A2、测试A9/A13/B4/C1：一个数除几个整数余数相同，则这个数整除两两之差，再用公因数求除数。
- 若 n 除 a、b 余数相同，则 a=nk₁+r，b=nk₂+r，相减得 a−b=n(k₁−k₂)，所以 n|(a−b)。
- 三个数同余时，n 整除任意两数之差，求这些差的公因数。
- 除数n必须大于余数r。
典型错误：想不到做差；或求出公因数后忘记排除1和小于余数的数。
物不知数：特殊同余与逐级满足
本质：余数相同时“去掉余数”即整除：原数=LCM+余数。余数都比除数少1时“补上1”即整除：原数=LCM−1。余数都多同一个常数k时“去掉k”即整除：原数=LCM+k。一般情形用枚举逐级满足（先列条件最强的余数，再筛其他条件），即中国剩余定理。
适用：典例B2（物不知数三问）、典例C2、测试B1/B2/B3、C3/C7。
- 第一步：把余数统一成同一个数（都多k或都少k）。
- 第二步：去掉或补上k后，各除数都能整除，即原数∓k是各除数的公倍数。
- 第三步：取最小公倍数LCM，再加回k（或减k）得最小解；100以内再给范围。
- 一般情形（余数不统一）：先列“除以5余4”的数：4,9,14,19,…，再从中挑“除以7余5”的，最后挑“除以3余2”的。
典型错误：分不清该加k还是减k；或枚举时漏数、跳号。
二、典例精讲
典例 A1
A = 2010×1 + 2010×2 + 2010×3 + … + 2010×2010，A 被 9 除余数是多少？
训练点：提取公因数后用同余可乘性求余，避免硬算大数。
提示：
1. 先把2010提出来：A=2010×(1+2+…+2010)。括号里是什么？
2. 等差数列求和：1+2+…+2010=2010×2011÷2。再把2010、1005、2011分别除以9看余数。
1A = 2010×(1+2+…+2010) = 2010×2010×2011÷2 = 2010×1005×2011依据：提取公因数，括号内用等差数列求和。
2取余：2010≡3(mod 9)，1005≡6(mod 9)，2011≡4(mod 9)依据：各因子先除以9取余。
33×6×4 = 72 ≡ 0(mod 9)依据：可乘性：余数之积再除以9。
答：A÷9 余 0
典型错法：硬算2010×1005×2011；或取余算错（2010÷9余3、1005÷9余6、2011÷9余4）。
典例 A2
有一个不等于1的整数，它除 967，1000，2001 得到相同的余数，这个数是多少？
训练点：同余→差整除→公因数，标准三步。
提示：
1. 同一个数除967和1000余数相同，那1000−967能被这个数整除吗？
2. 把三个两两之差都算出来：1001、1034、33，求它们的公因数（不等于1）。
1两两作差：2001−1000=1001，2001−967=1034，1000−967=33依据：同余则差被除数整除。
2求 gcd(1001,1034,33)：1001=7×11×13，1034=2×11×47，33=3×11，公因数有1和11依据：分解质因数取公共因数。
答：11
典型错法：只算一个差就下结论；或求出公因数后忘记排除1。
典例 B1
从 1，2，…，100 中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被 3 整除？
训练点：按除以3的余数分类，分析哪两类不能同时选。
提示：
1. 把1~100按除以3的余数分成三类：余0、余1、余2，各有多少个？
2. 余1和余2的数能同时选吗？为什么？余0的数能选几个？
1分类：余1的共34个（1,4,…,100），余2的共33个，余0的共33个依据：100÷3=33余1，所以余1多一个。
2余1+余2≡0(mod 3)，两类不能同时选，选多的一类（余1共34个）依据：1+2=3≡0。
3余0的数两两和仍为0，最多选1个依据：选2个余0，它们的和被3整除。
4共 34+1=35 个依据：选34个余1的，再加1个余0的。
答：35个
典型错法：余1余2同时选；余0选了多个；或数错余1是34个、余2是33个。
典例 B2
今有物不知其数：(1)四四数之剩一，五五数之剩一，六六数之剩一，问物几何？(2)四四数之剩三，五五数之剩四，六六数之剩五，问物几何？(3)四四数之剩三，五五数之剩二，六六数之剩一，问物几何？（总数为100个以内）
训练点：物不知数三型：都多1、都少1、都多同一常数。
提示：
1. (1)都剩1：去掉1个后4、5、6个一数都正好，原数是多少？
2. (2)剩3、4、5，也就是比4、5、6都少1个，补上1个正好。
3. (3)剩3、2、1，换成“多7”看：四四剩三=四四剩七，五五剩二=五五剩七，六六剩一=六六剩七。
2(1)都多1：去掉1个正好整除，原数=60+1=61依据：原数−1是60的倍数。
3(2)都少1：补上1个正好整除，原数=60−1=59依据：剩3=少1、剩4=少1、剩5=少1。
4(3)剩3≡7(mod4)、剩2≡7(mod5)、剩1≡7(mod6)，都多7：去掉7个正好，原数=60+7=67依据：把余数统一加LCM内同一数7。
答：(1)61；(2)59；(3)67
典型错法：(2)答成61（该减1却加1）；(3)看不出余数都等于7，乱试数。
典例 C1
一个正整数被8除余1，所得商被8除也余1，再把第二次所得的商除8后余7，最后商是a。又知这个正整数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍，求这个正整数。
训练点：连续带余除法逆推：从最后商a逐层乘回去列方程。
提示：
1. 第二次商被8除余7、商是a，那第二次商=8a+7。
2. 第一次商被8除余1、商是(8a+7)，那第一次商=8(8a+7)+1。原数=8×[第一次商]+1。
3. 另一边：被17除余4、商是(17×2a+15)，原数=17×(17×2a+15)+4。两边相等解a。
1第二次商=8a+7；第一次商=8(8a+7)+1；原数=8[8(8a+7)+1]+1=512a+457依据：逐层乘8加余。
2另一边：原数=17(17×2a+15)+4=578a+259依据：商是2a，乘17加余15，再乘17加余4。
3512a+457=578a+259，66a=198，a=3依据：两边相等解方程。
答：1993
典型错法：逆推时漏乘某一层；或两边表达式列错。
典例 C2
一个正整数除以3余2，除以5余4，除以7余5，求满足条件的最小正整数。
训练点：逐级满足枚举法（中国剩余定理入门）。
提示：
1. 先列“除以5余4”的数：4，9，14，19，24，29，34，39，…
2. 从中挑“除以7余5”的；再从剩下的里面挑“除以3余2”的。
1除以5余4：4，9，14，19，24，29，34，39，…依据：末位是4或9。
2其中除以7余5：19，54，89，…依据：5，12，19，26，33，40，47，54，…与上列取交集。
3其中除以3余2的最小数是89依据：19÷3余1，54÷3余0，89÷3余2。
4（CRT验证：[3,5]=15,15×5÷7余5→75；[3,7]=21,21×4÷5余4→84；[5,7]=35,35÷3余2→35；(75+84+35)−105=89）依据：中国剩余定理交叉验证。
答：89
典型错法：枚举到54就停（54÷3余0不满足）；或不会取交集。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知自然数 a、b、c，其中 c≥3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余______。
答案：2
解析：a≡1，b≡2(mod c)，可乘性 ab≡1×2=2(mod c)。
水平测试 A 第2题(填空题)
一个三位数，它被 71 除余 22，被 72 除余 15，且商相等，这个三位数是______。
答案：519
解析：设商为k：71k+22=72k+15，得k=7。三位数=71×7+22=519。
水平测试 A 第3题(填空题)
一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个；如果每天吃4个，不到十天就吃完了，最后一天吃了3个。这些糖果原来有______个。
答案：35
解析：每天吃3个至少11天、最后一天2个→至少10×3+2=32个；每天吃4个最多9天、最后一天3个→最多8×4+3=35个。在32,33,34,35中找除以3余2、除以4余3的，只有35。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个两位数去除 251，得到的余数是 41。这个两位数是______。
答案：42或70
解析：251=除数×商+41，251−41=210=除数×商。210=2×3×5×7，两位数因数有10,14,15,21,30,35,42,70，其中大于余数41的只有42和70。
水平测试 A 第5题(填空题)
98×626×1004 除以 13 的余数是______。
答案：3
解析：98≡7，626≡2，1004≡3(mod13)，7×2×3=42≡3(mod13)。
水平测试 A 第6题(填空题)
把一堆苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。这堆苹果至少有______个。
答案：71
解析：都少1个：补上1个后是9、8、4的倍数。LCM(9,8,4)=72，原数=72−1=71。
水平测试 A 第7题(填空题)
8 + 8×8 + … + 8×8×…×8（10个8）除以5的余数是______。
答案：2
解析：8≡3(mod5)。3,3²,3³,3⁴,…除以5余数依次为3,4,2,1循环，周期4。10项余数为3,4,2,1,3,4,2,1,3,4，和=3×3+4×3+2×2+1×2=9+12+4+2=27≡2(mod5)。
水平测试 A 第8题(填空题)
2001²⁰⁰² 除以 4 的余数为______。
答案：1
解析：2001≡1(mod4)，1²⁰⁰²≡1(mod4)。
水平测试 A 第9题(填空题)
若 34 和 56 除以 m 的余数相同，且 m 为奇素数，则 m 除 72 的余数为______。
答案：6
解析：m|(56−34)=22=2×11，m是奇素数故m=11。72÷11=6……6。
水平测试 A 第10题(填空题)
一个整数除以 42 的余数是 37，那么用它分别除以 3，6，7 所得到的 3 个余数之和是______。
答案：4
解析：42是3,6,7的倍数，该数除以3,6,7的余数=37除以3,6,7的余数：37÷3余1、37÷6余1、37÷7余2，和=1+1+2=4。
水平测试 A 第11题(解答题)
用一个奇数去除 255 和 197，所得的余数都是 23，求这个奇数。
答案：29
解析：奇数|(255−197)=58=2×29，且奇数>余数23，故为29。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知正整数 n 除以 5 余 3，则 n 除以 15 余数为多少？
答案：3、8或13
解析：n=5k+3。k除以3余0,1,2时：k=3m→n=15m+3余3；k=3m+1→n=15m+8余8；k=3m+2→n=15m+13余13。
水平测试 A 第13题(解答题)
已知 a 为大于 1 的正整数，且 272，221，85 这三个数除以 a 得相同余数，则 a 为多少？
答案：17
解析：a|(272−221)=51，a|(221−85)=136。gcd(51,136)=17，a>1故a=17。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知自然数 a、b、c，其中 c≥3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余______。
答案：2
解析：a≡1，b≡2(mod c)，可乘性 ab≡1×2=2(mod c)。
水平测试 A 第2题(填空题)
一个三位数，它被 71 除余 22，被 72 除余 15，且商相等，这个三位数是______。
答案：519
解析：设商为k：71k+22=72k+15，得k=7。三位数=71×7+22=519。
水平测试 A 第3题(填空题)
一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个；如果每天吃4个，不到十天就吃完了，最后一天吃了3个。这些糖果原来有______个。
答案：35
解析：每天吃3个至少11天、最后一天2个→至少10×3+2=32个；每天吃4个最多9天、最后一天3个→最多8×4+3=35个。在32,33,34,35中找除以3余2、除以4余3的，只有35。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个两位数去除 251，得到的余数是 41。这个两位数是______。
答案：42或70
解析：251=除数×商+41，251−41=210=除数×商。210=2×3×5×7，两位数因数有10,14,15,21,30,35,42,70，其中大于余数41的只有42和70。
水平测试 A 第5题(填空题)
98×626×1004 除以 13 的余数是______。
答案：3
解析：98≡7，626≡2，1004≡3(mod13)，7×2×3=42≡3(mod13)。
水平测试 A 第6题(填空题)
把一堆苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。这堆苹果至少有______个。
答案：71
解析：都少1个：补上1个后是9、8、4的倍数。LCM(9,8,4)=72，原数=72−1=71。
水平测试 A 第7题(填空题)
8 + 8×8 + … + 8×8×…×8（10个8）除以5的余数是______。
答案：2
解析：8≡3(mod5)。3,3²,3³,3⁴,…除以5余数依次为3,4,2,1循环，周期4。10项余数为3,4,2,1,3,4,2,1,3,4，和=3×3+4×3+2×2+1×2=9+12+4+2=27≡2(mod5)。
水平测试 A 第8题(填空题)
2001²⁰⁰² 除以 4 的余数为______。
答案：1
解析：2001≡1(mod4)，1²⁰⁰²≡1(mod4)。
水平测试 A 第9题(填空题)
若 34 和 56 除以 m 的余数相同，且 m 为奇素数，则 m 除 72 的余数为______。
答案：6
解析：m|(56−34)=22=2×11，m是奇素数故m=11。72÷11=6……6。
水平测试 A 第10题(填空题)
一个整数除以 42 的余数是 37，那么用它分别除以 3，6，7 所得到的 3 个余数之和是______。
答案：4
解析：42是3,6,7的倍数，该数除以3,6,7的余数=37除以3,6,7的余数：37÷3余1、37÷6余1、37÷7余2，和=1+1+2=4。
水平测试 A 第11题(解答题)
用一个奇数去除 255 和 197，所得的余数都是 23，求这个奇数。
答案：29
解析：奇数|(255−197)=58=2×29，且奇数>余数23，故为29。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知正整数 n 除以 5 余 3，则 n 除以 15 余数为多少？
答案：3、8或13
解析：n=5k+3。k除以3余0,1,2时：k=3m→n=15m+3余3；k=3m+1→n=15m+8余8；k=3m+2→n=15m+13余13。
水平测试 A 第13题(解答题)
已知 a 为大于 1 的正整数，且 272，221，85 这三个数除以 a 得相同余数，则 a 为多少？
答案：17
解析：a|(272−221)=51，a|(221−85)=136。gcd(51,136)=17，a>1故a=17。
水平测试 B 第1题(填空题)
一个数除以 3 余 2，除以 4 余 1，则这个数除以 12 余______。
答案：5
解析：LCM(3,4)=12。枚举除以3余2：2,5,8,11,…其中除以4余1的最小是5。
水平测试 B 第2题(填空题)
某数除以 7 余 1，除以 11 余 3，除以 13 少 3，则该数最小为______。
答案：36
解析：除以13少3即余10。枚举从23开始（23÷13余10，但23÷11余1不合）；36÷13余10、36÷11余3、36÷7余1，满足。
水平测试 B 第3题(填空题)
实验小学五年级有三百多人，将总人数减去 5 能被 6 整除，减去 6 能被 7 整除，减去 7 能被 8 整除，则五年级共有______人。
答案：335
解析：人数−5是6的倍数、−6是7的倍数、−7是8的倍数，即人数比6,7,8的LCM=336小1：336−1=335（三百多人符合）。
水平测试 B 第4题(填空题)
已知有一个数除 309，222，251 所得余数相同，这个余数为______。
答案：19
解析：除数|(309−222)=87、|(251−222)=29、|(309−251)=58。gcd(87,29,58)=29。309÷29=10……19。
水平测试 B 第5题(填空题)
一个两位数除 13，商是 A，余数是 B，则 A+B 最小为______。
答案：2
解析：两位数除13，商A只能是0（两位数>13时）或1（除数为十几）。除数最小两位数10：13÷10=1……3，A+B=4；除数为两位数且最小时，13÷12=1……1，A+B=2最小。
水平测试 B 第6题(填空题)
19×199×1999 被 7 除的余数是______。
答案：4
解析：19≡5，199≡3，1999≡4(mod7)，5×3×4=60≡4(mod7)。
水平测试 B 第7题(填空题)
1²+2²+3²+…+100² 除以 11 的余数为______。
答案：1
解析：平方和=100×101×201÷6=338350。338350÷11=30759……1。
水平测试 B 第8题(填空题)
3¹⁰¹ ÷ 7 的余数为______。
答案：5
解析：3的幂除以7余数周期：3,2,6,4,5,1，周期6。101÷6=16……5，第5个是5。
水平测试 B 第9题(填空题)
3²⁰⁰ + 4³⁰⁰ 除以 11 的余数为______。
答案：2
解析：3²⁰⁰÷11余1（3^5=243≡1 mod11），4³⁰⁰÷11余1，和=2。
水平测试 B 第10题(填空题)
如果今天是星期三，则再过 2002¹¹ 天后是星期______。
答案：三
解析：2002÷7=286整除，故2002¹¹÷7余0，还是星期三。
水平测试 B 第11题(解答题)
某个正整数除以 512 余 83，除以 513 余 83，求这个数除以 38 的余数。
答案：7
解析：该数−83是512×513的倍数：x=512×513k+83。512×513=27×256×38k，是38倍数，故x÷38与83÷38同余，83÷38=2……7。
水平测试 B 第12题(解答题)
某公司有若干套设备需要装箱，每套设备有3个零件，分别设为A₁、A₂、A₃。若A₁是5个装一箱余3个，A₂是12个装一箱余6个，A₃是20个装一箱余18个，如果剩余的零件不装箱，一共装224箱，那么共有多少套设备？
答案：678套
解析：设套数为n。A₁：5箱余3，A₂：12箱余6，A₃：20箱余18。LCM(5,12,20)=60，每60套A₁装12箱、A₂装5箱、A₃装3箱共20箱。224箱中先去掉余数对应的箱：A₁余3个不足1箱、A₂余6个不足1箱、A₃余18个不足1箱，即224−4=220箱对应11个60套周期=660套，加上余数对应的18套（余零件不装）共678套。
水平测试 B 第13题(解答题)
在 1，2，3，…，2017 这 2017 个自然数中，最多能取出多少个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是 7 的倍数？
答案：866个
解析：按除以7余数分7组。2017÷7=288……1，余1组289个，余2~余6、余0各288个。余0最多选1个；余1不能与余6同选，余2不能与余5同选，余3不能与余4同选。选多的三组：余1(289)+余2(288)+余3(288)+余0选1=866。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知自然数 a、b、c，其中 c≥3，a 除以 c 余 1，b 除以 c 余 2，则 ab 除以 c 余______。
答案：2
解析：a≡1，b≡2(mod c)，可乘性 ab≡1×2=2(mod c)。
水平测试 A 第2题(填空题)
一个三位数，它被 71 除余 22，被 72 除余 15，且商相等，这个三位数是______。
答案：519
解析：设商为k：71k+22=72k+15，得k=7。三位数=71×7+22=519。
水平测试 A 第3题(填空题)
一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个；如果每天吃4个，不到十天就吃完了，最后一天吃了3个。这些糖果原来有______个。
答案：35
解析：每天吃3个至少11天、最后一天2个→至少10×3+2=32个；每天吃4个最多9天、最后一天3个→最多8×4+3=35个。在32,33,34,35中找除以3余2、除以4余3的，只有35。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个两位数去除 251，得到的余数是 41。这个两位数是______。
答案：42或70
解析：251=除数×商+41，251−41=210=除数×商。210=2×3×5×7，两位数因数有10,14,15,21,30,35,42,70，其中大于余数41的只有42和70。
水平测试 A 第5题(填空题)
98×626×1004 除以 13 的余数是______。
答案：3
解析：98≡7，626≡2，1004≡3(mod13)，7×2×3=42≡3(mod13)。
水平测试 A 第6题(填空题)
把一堆苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。这堆苹果至少有______个。
答案：71
解析：都少1个：补上1个后是9、8、4的倍数。LCM(9,8,4)=72，原数=72−1=71。
水平测试 A 第7题(填空题)
8 + 8×8 + … + 8×8×…×8（10个8）除以5的余数是______。
答案：2
解析：8≡3(mod5)。3,3²,3³,3⁴,…除以5余数依次为3,4,2,1循环，周期4。10项余数为3,4,2,1,3,4,2,1,3,4，和=3×3+4×3+2×2+1×2=9+12+4+2=27≡2(mod5)。
水平测试 A 第8题(填空题)
2001²⁰⁰² 除以 4 的余数为______。
答案：1
解析：2001≡1(mod4)，1²⁰⁰²≡1(mod4)。
水平测试 A 第9题(填空题)
若 34 和 56 除以 m 的余数相同，且 m 为奇素数，则 m 除 72 的余数为______。
答案：6
解析：m|(56−34)=22=2×11，m是奇素数故m=11。72÷11=6……6。
水平测试 A 第10题(填空题)
一个整数除以 42 的余数是 37，那么用它分别除以 3，6，7 所得到的 3 个余数之和是______。
答案：4
解析：42是3,6,7的倍数，该数除以3,6,7的余数=37除以3,6,7的余数：37÷3余1、37÷6余1、37÷7余2，和=1+1+2=4。
水平测试 A 第11题(解答题)
用一个奇数去除 255 和 197，所得的余数都是 23，求这个奇数。
答案：29
解析：奇数|(255−197)=58=2×29，且奇数>余数23，故为29。
水平测试 A 第12题(解答题)
已知正整数 n 除以 5 余 3，则 n 除以 15 余数为多少？
答案：3、8或13
解析：n=5k+3。k除以3余0,1,2时：k=3m→n=15m+3余3；k=3m+1→n=15m+8余8；k=3m+2→n=15m+13余13。
水平测试 A 第13题(解答题)
已知 a 为大于 1 的正整数，且 272，221，85 这三个数除以 a 得相同余数，则 a 为多少？
答案：17
解析：a|(272−221)=51，a|(221−85)=136。gcd(51,136)=17，a>1故a=17。
水平测试 C 第1题(填空题)
若有一个正整数除 314，257，447 所得余数相同，则 2002 除以这个数的余数为______。
答案：7
解析：除数|(447−314)=133、|(447−257)=190、|(314−257)=57。gcd(133,190,57)=19。2002÷19=105……7。
水平测试 C 第2题(填空题)
一个一百位整数，各个数位上的数字都是3，则这个数除以13的商的个位数是______，余数是______。
答案：商个位6，余数5
解析：333333能被13整除（末三位与末三位前数字差为0）。100÷6=16……4，即33…3≡3333(mod13)。3333÷13=256……5，余数5；(3333−5)÷13=256，商个位6。
水平测试 C 第3题(填空题)
一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______。
答案：16
解析：设第三次商为t：第二次商=7t+5；第一次商=5(7t+5)+3=35t+28；原数=3(35t+28)+2=105t+86=35(3t+2)+16，余16。
水平测试 C 第4题(填空题)
将 1，2，3，…从左至右依次排成一个51位数，这个数除以11的余数为______。
答案：7
解析：排到30：1~9占9位，10~30占21×2=42位共51位，即1234567891011…2930。被11整除看奇偶位数字和差：奇位和115，偶位和53，差62，62÷11=5……7。
水平测试 C 第5题(填空题)
有一个整数分别除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，这个整数为______。
答案：43
解析：设除数为x：(63+91+129)−25=258=k·x，x|258=2×3×43。除数必须大于余数（余数和25），试43：63÷43余20、91÷43余5、129÷43余0，和=25，成立。
水平测试 C 第6题(填空题)
已知 N = 1×2002 + 2×2002 + 3×2002 + … + 2002×2002，则 N 除以 7 的余数为______。
答案：0
解析：N=2002×(1+2+…+2002)，而7|2002，故N≡0(mod7)。
水平测试 C 第7题(填空题)
一个自然数，被3除余2，被7除余4，被11除余1，满足条件的最小自然数是______。
答案：221
解析：中国剩余定理：[3,7]=21,21×10÷11余1→210；[3,11]=33,33×5÷7余4→165；[7,11]=77,77÷3余2→77；[3,7,11]=231。(210+165+77)−231=221。
水平测试 C 第8题(填空题)
123¹²³ + 124¹²⁴ + 125¹²⁵ 除以 3 所得的余数是______。
答案：0
解析：123≡0，124≡1，125≡2(mod3)。原式≡0+1+2¹²⁵。2²≡1(mod3)，2¹²⁵=2^(2×62+1)≡2。0+1+2=3≡0。
水平测试 C 第9题(填空题)
今天是星期六，再过 2001²⁰⁰² + 2002²⁰⁰³ 天后为星期______。
答案：日（星期日）
解析：2001≡6≡−1(mod7)，2001²⁰⁰²≡1；2002≡0(mod7)，2002²⁰⁰³≡0。和≡1(mod7)。星期六过1天是星期日。
水平测试 C 第10题(填空题)
5555³³³³ + 3333⁵⁵⁵⁵ 除以 7 的余数为______。
答案：2
解析：5555÷7余4，4³³³³=(4³)¹¹¹¹=64¹¹¹¹≡1¹¹¹¹=1；3333÷7余1，1⁵⁵⁵⁵=1。和=2。
水平测试 C 第11题(解答题)
五个连续正整数的平方和能否被5整除，为什么？
答案：能被5整除
解析：五个连续数除以5余数必为0,1,2,3,4。平方和≡0²+1²+2²+3²+4²=0+1+4+9+16=30≡0(mod5)，故能被5整除。
水平测试 C 第12题(解答题)
1～2017 的所有自然数中，有多少个整数 x 使 2ˣ 与 x² 被 7 除的余数相同？
答案：576
解析：2ˣ÷7余数周期3：2,4,1；x²÷7余数周期7：1,4,2,2,4,1,0。合周期21，其中6个余数相同。2017÷21=96……1，共96×6=576个。
水平测试 C 第13题(解答题)
某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同。他们一起去买笔记本，已知简装笔记本3元一本，精装笔记本4元一本，要求每人都要把自己手中的钱全部用完，并且尽可能多买几本笔记本，那么最后全班一共买了多少本精装笔记本？
答案：42本
解析：钱尽量多买→简装(3元)尽量多买、精装(4元)尽量少买。钱是3的倍数：不买精装；钱÷3余1：3k+1=3(k−1)+4，买1本精装；钱÷3余2：3k+2=3(k−2)+8，买2本精装。10~50共41个数中，除以3余1和余2的各14个，共买14×1+14×2=42本。
四、方法小结
带余数除法 a=bq+r（0≤r<b），核心是“被除数−余数=除数×商”，把余数问题转化为整除。求余用同余性质：先取余再运算（可加、可减、可乘、可乘方），乘方先找余数周期。一个数除几个数余数相同，它必整除两两之差，求公因数即得除数。物不知数：余数都多k→LCM+k，都少k→LCM−1，余数不统一时用枚举逐级满足（中国剩余定理）。
五、作业建议
基础必做：- 教材P162 水平测试A 第1、2、4、5题（同余性质与带余除法）
- 教材P162 水平测试A 第6、7、8题（物不知数与乘方求余）
巩固选做：- 教材P163 水平测试A 第9–13题（同余做差、周期）
- 教材P164–165 水平测试B 第1–9题（逐级满足、乘方周期）
提高挑战：- 教材P165 水平测试B 第10–13题（星期、装箱、分组最大值）
- 教材P167 水平测试C 第1–8题（综合同余与CRT）
- 教材P167 水平测试C 第9–13题（星期、平方和、2^x与x²周期、买笔记本）
六、课堂错因定位
症状：求大数乘积/乘方余数时硬算
根因：不会先把每个因子取余再运算。
补救：回到余数运算性质模块，示范 98×626×1004 先分别除以13取余。
症状：“同余”题想不到做差
根因：不理解 a≡b(mod m) ⟺ m|(a−b)。
补救：用典例A2演示：同一个除数除两个数余数相同，两数之差必是它的倍数。
症状：物不知数该加还是减搞反
根因：没分清“都多k”和“都少k”。
补救：口诀：都多k就LCM+k，都少k就LCM−1；先问“去掉/补上后能不能整除”。
症状：乘方求余找不到周期
根因：不会列余数观察循环。
补救：列 3,3²,3³,…除以7的余数表，圈出重复出现的位置确定周期。