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【教师版】第20讲 · 长方体和正方体

五年级奥数 · 教材第168–178页（第20讲全讲，全书末讲）

一、知识要点

长方体与正方体的认识

本质：长方体：8顶点、12棱、6面；相对棱相等，相交于一个顶点的三条棱叫长、宽、高；棱长和=(长+宽+高)×4；相对面完全相同，一般是长方形（特殊有2个面是正方形）。正方体是特殊的长方体：8顶点、12棱都相等、6面都是正方形；棱长和=棱长×12。
长 a 高 b 宽 c 棱长和=(a+b+c)×4
适用：所有棱长和、框架问题。典例A2、测试A4/B9。
  1. 12条棱分3组：4条长、4条宽、4条高。
  2. 正方体长宽高相等，棱长和=棱长×12。
典型错误：棱长和忘记乘4；或把正方体棱长和误算为×6。

体积公式 V=abh=a³=Sh

本质：长方体体积=长×宽×高，V=abh；正方体体积=棱长³，V=a³；统一写成 V=底面积×高=Sh。
体积 = 底面积 × 高 底面积 S × 高 h V = abh = a³ = Sh
适用：所有体积、容积问题。典例A2、测试A4/A10/B4/B5/C1/C2。
  1. 长方体体积=长×宽×高。
  2. 正方体长宽高相等，V=a³。
  3. 通用 V=Sh，已知体积和底面积可求高。
典型错误：体积与表面积单位混淆；忘记统一单位。

表面积与侧面积

本质：表面积=6个面面积之和。长方体 S=2(ab+ah+bh)；正方体 S=6a²；侧面积 S侧=2(a+b)h（四周四个面）。
表面积 = 三组对面之和 ×2 长×宽 ab 长×高 ah 宽×高 bh S=2(ab+ah+bh)；正方体 S=6a²
适用：典例A1、测试A1/A8/A12/B6/B7/C10。
  1. 长方体6个面分3对：上下、前后、左右。
  2. 每对面积相同，乘2即得表面积。
典型错误：漏乘2；或把侧面积当表面积。

切拼对表面积的影响

本质：把一个立体切一刀，多出两个切面（面积=切面面积）；把两个立体粘在一起，遮住两个接触面。组合体表面积=各立体表面积之和−2×拼接面。
切一刀 ↔ 多两个面；粘一处 ↔ 遮住两个面 切面露出2个 粘合遮住2个
适用：典例A1、B1、B2、测试A5/A7/B10/C10/C13。
  1. 切开：原来的一个面被切成两个，新增两个切面。
  2. 拼接：两个接触面被遮住，各减一个面。
典型错误：切一刀只算一个新面；或拼接忘记乘2。

表面涂色立方体的分类计数

本质：长a×宽b×高c长方体表面涂色后切成小正方体：三面涂色=8块（8个顶点）；两面涂色=4[(a−2)+(b−2)+(c−2)]（各棱上去顶点）；一面涂色=2[(a−2)(b−2)+(b−2)(c−2)+(a−2)(c−2)]（各面去四周）；无面涂色=(a−2)(b−2)(c−2)（内部）。
涂色位置口诀 三面涂：顶点（固定8块） 两面涂：棱上去顶点 一面涂：面上去边缘 无面涂：内部（长宽高各减2）
适用：典例C1、测试C3。
  1. 顶点处小正方体3个面露在外面。
  2. 棱中间小正方体2个面露外面。
  3. 面中心小正方体1个面露外面。
  4. 完全在内部的小正方体0个面露外面。
典型错误：两面/一面计数忘记减去顶点或边缘那一圈。

二、典例精讲

典例 A1
一个长方体的表面积是 14 平方厘米，并能够把这个长方体分割成 3 个完全相同的正方体。问：每个正方体的表面积是多少平方厘米？
3个正方体排成一行
训练点：把长方体表面积折算成多少个正方形面。
提示：
1. 3个正方体拼成的长方体，长是3条棱长、宽和高是1条棱长，画一画。
2. 上下、前后各是3个正方形面，左右各1个正方形面，共几个？
1长方体表面相当于 (3×4+2)=14 个正方形面
依据：为什么折算成正方形面：3个正方体拼成一行，上下前后各是3个正方形面，左右各1个，共14个小正方形面。
2每个正方形面面积=14÷14=1 平方厘米
依据：14个这样的面共14平方厘米。
3每个正方体表面积=1×6=6 平方厘米
依据：一个正方体有6个面。
答：6平方厘米
典型错法：14÷3再×6，忘记折算面数。
典例 A2
一个长方体，如果把它的高增加 2 厘米，长和宽不变，则体积增加了 50 立方厘米。这时长方体正好变成正方体。问：原来长方体的体积是多少立方厘米？
训练点：由“变正方体”反推底面是正方形，由增加体积求底面积。
提示：
1. 高增加2cm后变正方体，说明原来长和宽相等、都比高多2cm。
2. 增加的体积是一个底面积不变、高2cm的长方体，底面积=50÷2。
1增加部分底面积=50÷2=25 平方厘米
依据：为什么用增加体积÷增加高度：增加的部分是一个底面积不变、高2cm的薄长方体。
2底面是正方形，边长=√25=5 厘米
依据：为什么边长5：变正方体说明长=宽，底面是正方形，面积25即边长5。
3原高=5−2=3 厘米
依据：高增加2才到5，故原高比5少2。
4原体积=25×3=75 立方厘米
依据：底面积×原高。
答：75立方厘米
典型错法：忘记原高要减2；或底面边长算错。
典例 B1
如图20-12，三个棱长分别是1厘米、2厘米、3厘米的正方体叠放在一起。问：这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
训练点：叠放体表面积：大正方体6面，上面被遮住的部分用“补位法”算。
提示：
1. 从上下方向看：最上面看到的就是大正方体上面，小正方体的上面补到被遮住处，上下投影=大正方体上下两面。
2. 四周方向：大、中、小正方体的侧面都露在外面。
1大正方体6个面全算：3²×6=54平方厘米。
依据：为什么大的按6面：最下面的大正方体上下前后左右6个面都外露，上面被遮的小块由中、小正方体的上面补位后仍按完整大面投影。
2中正方体只算4个侧面：2²×4=16平方厘米。
依据：为什么中按4面：它的底面贴在大正方体上被遮住，上面被小正方体遮住一块，四周4个侧面全外露。
3小正方体只算4个侧面：1²×4=4平方厘米。
依据：为什么小按4面：它底面贴在中正方体上被遮住，四周4个侧面外露，上面虽外露但与上下投影合并不再重复加。
4表面积=54+16+4=74平方厘米。
依据：三类相加。
答：74平方厘米
典型错法：中、小正方体多算或漏算侧面；正确是大6、中4、小4。
典例 B2
把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（3×3），用红、黄、蓝三种颜色染这些小正方形，要求有公共边的正方形染成不同颜色，那么用红色染的正方形最多有多少个？
训练点：3×3方格内最多放几个互不相邻的红格，再按相对面分配。
提示：
1. 一个3×3面最多几个红格互不相邻？（四角+中心=5个）
2. 染红格多的面不能相邻、只能相对；剩下的面最多染几个？
1一个3×3面最多5个红格（四角+中心），这样的面必须两两相对，最多2个面
依据：为什么最多5个：3×3中互不相邻的格子，四角与中心正好5个；染红5格的面彼此不能相邻，只能放在相对面，故至多2个。
2其余四面每面最多4个红格，也两两相对，最多选2组相对面
依据：次优的4格染法同样要求面不相邻，按相对面配对。
3最后剩两个相对面，每面最多2个红格
依据：逐层减少可选密度。
4总数=5×2+4×2+2×2=10+8+4=22
依据：三类面各乘2（相对成对）。
答：22个
典型错法：面与面相邻冲突没考虑；或一类面多算。
典例 C1
图20-21是由120块小正方体构成的4×5×6的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
训练点：涂色长方体分类计数公式。
提示：
1. 三面涂色在几个顶点？
2. 两面涂色在棱上但不在顶点：4条长棱每条(6−2)，4条宽棱每条(5−2)，4条高棱每条(4−2)。
3. 一面涂色在每个面的中心（去掉四周一圈）。
1三面涂色=8块（8个顶点）
依据：为什么是8：只有顶点处的小正方体三个面露在外面，任何长方体都有8个顶点。
2两面涂色=(4−2)×4+(5−2)×4+(6−2)×4=8+12+16=36块
依据：为什么减2：棱中间的小正方体两面外露，每条棱要去掉两端的顶点块。
3一面涂色=(6−2)(5−2)×2+(5−2)(4−2)×2+(6−2)(4−2)×2=24+12+16=52块
依据：为什么去四周：每个面中心部分一面外露，要去掉边缘一圈。
答：三面8块，两面36块，一面52块
典型错法：两面忘记减2；一面忘记减2。
典例 C2
把一个长方体形状的木料分割成3个小长方体，使这3个小长方体的体积相等。已知这个长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米，分割时要求只能锯两次，请你画出9种不同的分割方法。
训练点：体积等分的开放分割：不限形状相同，先切1/3再平分剩余。
提示：
1. 体积相等不要求形状相同。每次锯出总体积的1/3即可。
2. 可沿长切、沿宽切、沿高切，两次方向可以不同。
1总体积=15×12×9=1620，每份540
依据：为什么先算每份体积：体积相等即每份占1/3。
2方法举例：①沿高切9÷3=3，得三个15×12×3；②沿长切15÷3=5，得三个5×12×9；③第一次沿高切出3（1/3），剩余6高再沿宽12平分…共9种
依据：为什么9种：第一次切的方向有长、宽、高3种选择，第二次切剩余部分的方向又有3种选择，组合得3×3=9种。
答：9种（图20-22）
典型错法：只想到沿一个方向切；忘记两次可沿不同方向。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题，配教材图20-3)
如图20-3，这是一个长方体纸盒的展开图，其中有一组相对的面为正方形，那么它的表面积是______平方厘米。（展开图总长30，正方形面边长3）
答案：114
解析：纸盒长=(30−3×2)÷3=8cm。一组相对面是正方形说明宽=高=3cm。表面积=(3+8×2)×3×2=114cm²。
水平测试 A 第2题(填空题，配教材图20-4/20-5)
数一数图20-4中空心的大长方体由______个小木块组成，图20-5中空心的大长方体由______个小木块组成。（阴影部分为空心）
答案：60；28
解析：图20-4：4×4×5−2×5−2×4−2×4+2×2+2=60。图20-5：4×4×4−2×4−2×4−2×4+重叠=28。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一棱长4分米的正方体木块，要把这个木块截成棱长1分米的小正方体，需要截______次，一共可截成______块棱长为1分米的小正方体木块。
答案：9；64
解析：4÷1=4份，每方向切3刀，3方向共3×3=9刀；共4³=64块。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个长方体的长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，总棱长是96厘米，其体积是______立方厘米。
答案：384
解析：设高x，宽2x，长3x。4(x+2x+3x)=96，x=4。V=4×8×12=384。
水平测试 A 第5题(填空题，配教材图20-6)
如图20-6，一个正方体被切成24个小长方体，这些小长方体的表面积总和为162平方厘米，这个正方体的体积是______立方厘米。
答案：27
解析：切了1+2+3=6刀，每刀增2面，共增12面，加原6面=18个正方形面。每面=162÷18=9cm²，棱长3cm，V=27cm³。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图20-7)
如图20-7，是由若干个小正方体组成的，阴影部分是空缺的通道，这个立方体图形由______个小正方体组成。
答案：38
解析：分层数：第一层13个、第二层6个、第三层6个、第四层13个，共(13+6)×2=38。
水平测试 A 第7题(填空题)
用6个同样的小正方体拼成一个3×2的长方体，它的表面积比6个正方体的表面积减少了56平方厘米，每个正方体的体积是______立方厘米。
答案：8
解析：拼成长方体后减少14个接触面（每个接触减2面），每个面=56÷14=4cm²，棱长2cm，V=8cm³。
水平测试 A 第8题(填空题)
用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米。
答案：42
解析：把最大面(3×2)叠起来，拼成3×2×3。S=2(3×2+3×3+2×3)=2(6+9+6)=42。
水平测试 A 第9题(填空题，配教材图20-8)
图20-8是用棱长1厘米的正方体搭成，其体积是______，表面积是______。
答案：29立方厘米；76平方厘米
解析：共1+5+7+16=29块。三视图：前后11、上下16、左右各，(11+16+11)×2=76。
水平测试 A 第10题(填空题)
棱长为1米的2100个正方体堆成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高，它的长、宽各为______米、______米。
答案：15；14
解析：底面积=2100÷10=210=2×3×5×7。长>宽>10，分解为15×14。
水平测试 A 第11题(解答题，配教材图20-9)
如图20-9，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四角各去掉边长是2厘米的正方形，然后将剩余的长方形硬纸板折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
答案：90立方厘米
解析：折成容器长=13−2×2=9、宽=9−2×2=5、高=2。V=9×5×2=90。
水平测试 A 第12题(解答题，配教材图20-10)
图20-10是用17个棱长是1厘米的正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。
答案：54平方厘米
解析：三视图：前面12、上面8、左面7，(12+8+7)×2=54。
水平测试 A 第13题(解答题，配教材图20-11)
如图20-11，这是一个长9厘米、宽5厘米、高8厘米的长方体木块，现将它如图所示分割，共割成24块小长方体。问：这24块小长方体的表面积总和是多少？
答案：878平方厘米
解析：原表面积+新增切面。沿长切2刀增4个(宽×高)面，沿宽切2刀增4个(长×高)面，沿高切3刀增6个(长×宽)面。S=2(9×5+9×8+5×8)+4×5×8+4×9×8+6×9×5=314+160+288+270=878。

B层

水平测试 A 第1题(填空题，配教材图20-3)
如图20-3，这是一个长方体纸盒的展开图，其中有一组相对的面为正方形，那么它的表面积是______平方厘米。（展开图总长30，正方形面边长3）
答案：114
解析：纸盒长=(30−3×2)÷3=8cm。一组相对面是正方形说明宽=高=3cm。表面积=(3+8×2)×3×2=114cm²。
水平测试 A 第2题(填空题，配教材图20-4/20-5)
数一数图20-4中空心的大长方体由______个小木块组成，图20-5中空心的大长方体由______个小木块组成。（阴影部分为空心）
答案：60；28
解析：图20-4：4×4×5−2×5−2×4−2×4+2×2+2=60。图20-5：4×4×4−2×4−2×4−2×4+重叠=28。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一棱长4分米的正方体木块，要把这个木块截成棱长1分米的小正方体，需要截______次，一共可截成______块棱长为1分米的小正方体木块。
答案：9；64
解析：4÷1=4份，每方向切3刀，3方向共3×3=9刀；共4³=64块。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个长方体的长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，总棱长是96厘米，其体积是______立方厘米。
答案：384
解析：设高x，宽2x，长3x。4(x+2x+3x)=96，x=4。V=4×8×12=384。
水平测试 A 第5题(填空题，配教材图20-6)
如图20-6，一个正方体被切成24个小长方体，这些小长方体的表面积总和为162平方厘米，这个正方体的体积是______立方厘米。
答案：27
解析：切了1+2+3=6刀，每刀增2面，共增12面，加原6面=18个正方形面。每面=162÷18=9cm²，棱长3cm，V=27cm³。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图20-7)
如图20-7，是由若干个小正方体组成的，阴影部分是空缺的通道，这个立方体图形由______个小正方体组成。
答案：38
解析：分层数：第一层13个、第二层6个、第三层6个、第四层13个，共(13+6)×2=38。
水平测试 A 第7题(填空题)
用6个同样的小正方体拼成一个3×2的长方体，它的表面积比6个正方体的表面积减少了56平方厘米，每个正方体的体积是______立方厘米。
答案：8
解析：拼成长方体后减少14个接触面（每个接触减2面），每个面=56÷14=4cm²，棱长2cm，V=8cm³。
水平测试 A 第8题(填空题)
用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米。
答案：42
解析：把最大面(3×2)叠起来，拼成3×2×3。S=2(3×2+3×3+2×3)=2(6+9+6)=42。
水平测试 A 第9题(填空题，配教材图20-8)
图20-8是用棱长1厘米的正方体搭成，其体积是______，表面积是______。
答案：29立方厘米；76平方厘米
解析：共1+5+7+16=29块。三视图：前后11、上下16、左右各，(11+16+11)×2=76。
水平测试 A 第10题(填空题)
棱长为1米的2100个正方体堆成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高，它的长、宽各为______米、______米。
答案：15；14
解析：底面积=2100÷10=210=2×3×5×7。长>宽>10，分解为15×14。
水平测试 A 第11题(解答题，配教材图20-9)
如图20-9，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四角各去掉边长是2厘米的正方形，然后将剩余的长方形硬纸板折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
答案：90立方厘米
解析：折成容器长=13−2×2=9、宽=9−2×2=5、高=2。V=9×5×2=90。
水平测试 A 第12题(解答题，配教材图20-10)
图20-10是用17个棱长是1厘米的正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。
答案：54平方厘米
解析：三视图：前面12、上面8、左面7，(12+8+7)×2=54。
水平测试 A 第13题(解答题，配教材图20-11)
如图20-11，这是一个长9厘米、宽5厘米、高8厘米的长方体木块，现将它如图所示分割，共割成24块小长方体。问：这24块小长方体的表面积总和是多少？
答案：878平方厘米
解析：原表面积+新增切面。沿长切2刀增4个(宽×高)面，沿宽切2刀增4个(长×高)面，沿高切3刀增6个(长×宽)面。S=2(9×5+9×8+5×8)+4×5×8+4×9×8+6×9×5=314+160+288+270=878。
水平测试 B 第1题(填空题)
长方体的三个侧面积分别为2，3，6，则长方体的体积为______。
答案：6
解析：设长宽高a,b,c：ab=2，bc=3，ac=6。(abc)²=2×3×6=36，V=abc=6。
水平测试 B 第2题(填空题)
在一个棱长为8厘米的正方体的钢坯上下底面正中打一个对穿孔，制成一个机器零件。已知这个对穿孔是底面边长为2厘米的正方形，这个零件的体积是______立方厘米，表面积是______平方厘米。
答案：480；440
解析：V=8³−2²×8=512−32=480。S=6×8²−2×2²+4×2×8=384−8+64=440。
水平测试 B 第3题(填空题)
将一个棱长为6的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体的表面积的2倍，则切割成的小正方体的棱长是______。
答案：3
解析：切后表面积=6×6²×2=432。原表面积216，增加216。每切一刀增2个面，需切216÷(2×36)=3刀，即每方向切1刀棱长减半=3。
水平测试 B 第4题(填空题，配教材图20-15)
有空的长方体容器A和装有21厘米深的水的长方体容器B，如图20-15。将容器B中的水倒一部分到A，使B容器的水深是A容器的水深的2倍，B容器的水深是______厘米。（A：20×10；B：30×20）
答案：18
解析：设A水深x，B水深2x。水体积不变：20×10×x+30×20×2x=30×20×21，得200x+1200x=12600，x=9，B水深=18cm。
水平测试 B 第5题(填空题)
一块长32厘米的长方形铁皮，四角各剪去边长为4厘米的正方形铁皮，然后做成无盖铁盒，这个铁盒的容积是1920立方厘米，这块铁皮的面积是______平方厘米。
答案：896
解析：铁盒长=32−8=24，高=4，宽=1920÷24÷4=20。原铁皮宽=20+8=28，面积=32×28=896。
水平测试 B 第6题(填空题，配教材图20-16)
图20-16是由18个棱长为1厘米的小正方体拼成的几何图形，则该几何体的表面积是______平方厘米。
答案：48
解析：三视图：前视7、上视8、左视9，(7+8+9)×2=48。
水平测试 B 第7题(填空题，配教材图20-17)
如图20-17，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是______平方厘米。
答案：194
解析：三视图法：前后面5²+3²+2²=38，左右面5²+3²=34，上下面5²=25。S=(38+34+25)×2=194。
水平测试 B 第8题(填空题)
长方体的右面和上面的面积之和为209平方厘米，它的长、宽、高都是素数，则这个长方体的体积为______立方厘米。
答案：374
解析：右面+上面=宽×高+长×宽=宽×(长+高)=209=11×19。宽=11，长+高=19=17+2（都是素数）。V=11×17×2=374。
水平测试 B 第9题(填空题)
一个长方体的长、宽、高都扩大相同的倍数后，体积比原来多7倍，棱长总和比原来多100厘米，这个长方体扩大后棱长的总和为______厘米。
答案：200
解析：多7倍=原8倍，故棱长扩大2倍（体积×8）。棱长总和也扩大2倍，多1倍=100，故原棱长和=100，扩大后=200。
水平测试 B 第10题(填空题)
在一个棱长为4厘米的正方体上，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个横断面是边长为1厘米的正方形的长方体（都和对面打通），则这个物体的表面积是______平方厘米，体积是______立方厘米。
答案：126；54
解析：S=6×4²−6×1×1+内侧4×1×4×6−中心重叠=126。V=4³−3×1×1×4+2×1×1×1=64−12+2=54。
水平测试 B 第11题(解答题，配教材图20-18)
把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形。用颜色去染这些小正方形，要求对有公共边的正方形染成不同的颜色，那么染这个正方体至少要用几种颜色？
答案：至少3种
解析：一个3×3方格本身需要至少3色（棋盘式2色不够，中心与四角同色会冲突），正方体相邻面再分配，至少3种。
水平测试 B 第12题(解答题，配教材图20-19)
两个较小的正方体积木粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如图20-19所示的立体图形，其中每个小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个五等分点。如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5厘米，那么这个立体图形的表面积为多少平方厘米？
答案：270平方厘米
解析：大正方体5×5×6=150。两个小正方形粘贴面面积：一个=25−(1×4÷2)×4=17，另一个=25−(2×3÷2)×4=13。三个正方体表面积和=150+17×6+13×6=330，减去粘贴处(17+13)×2=60，得270。
水平测试 B 第13题(解答题，配教材图20-20)
如图20-20，一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米，求这个大长方体的体积。
答案：250立方分米
解析：设宽=高=x，长=2x。切开后表面积=2x²×6+2x²×2+4x²×8=12x²+4x²+32x²=600，x²=25，x=5。V=10×5×5=250。

C层

水平测试 A 第1题(填空题，配教材图20-3)
如图20-3，这是一个长方体纸盒的展开图，其中有一组相对的面为正方形，那么它的表面积是______平方厘米。（展开图总长30，正方形面边长3）
答案：114
解析：纸盒长=(30−3×2)÷3=8cm。一组相对面是正方形说明宽=高=3cm。表面积=(3+8×2)×3×2=114cm²。
水平测试 A 第2题(填空题，配教材图20-4/20-5)
数一数图20-4中空心的大长方体由______个小木块组成，图20-5中空心的大长方体由______个小木块组成。（阴影部分为空心）
答案：60；28
解析：图20-4：4×4×5−2×5−2×4−2×4+2×2+2=60。图20-5：4×4×4−2×4−2×4−2×4+重叠=28。
水平测试 A 第3题(填空题)
有一棱长4分米的正方体木块，要把这个木块截成棱长1分米的小正方体，需要截______次，一共可截成______块棱长为1分米的小正方体木块。
答案：9；64
解析：4÷1=4份，每方向切3刀，3方向共3×3=9刀；共4³=64块。
水平测试 A 第4题(填空题)
一个长方体的长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，总棱长是96厘米，其体积是______立方厘米。
答案：384
解析：设高x，宽2x，长3x。4(x+2x+3x)=96，x=4。V=4×8×12=384。
水平测试 A 第5题(填空题，配教材图20-6)
如图20-6，一个正方体被切成24个小长方体，这些小长方体的表面积总和为162平方厘米，这个正方体的体积是______立方厘米。
答案：27
解析：切了1+2+3=6刀，每刀增2面，共增12面，加原6面=18个正方形面。每面=162÷18=9cm²，棱长3cm，V=27cm³。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图20-7)
如图20-7，是由若干个小正方体组成的，阴影部分是空缺的通道，这个立方体图形由______个小正方体组成。
答案：38
解析：分层数：第一层13个、第二层6个、第三层6个、第四层13个，共(13+6)×2=38。
水平测试 A 第7题(填空题)
用6个同样的小正方体拼成一个3×2的长方体，它的表面积比6个正方体的表面积减少了56平方厘米，每个正方体的体积是______立方厘米。
答案：8
解析：拼成长方体后减少14个接触面（每个接触减2面），每个面=56÷14=4cm²，棱长2cm，V=8cm³。
水平测试 A 第8题(填空题)
用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米。
答案：42
解析：把最大面(3×2)叠起来，拼成3×2×3。S=2(3×2+3×3+2×3)=2(6+9+6)=42。
水平测试 A 第9题(填空题，配教材图20-8)
图20-8是用棱长1厘米的正方体搭成，其体积是______，表面积是______。
答案：29立方厘米；76平方厘米
解析：共1+5+7+16=29块。三视图：前后11、上下16、左右各，(11+16+11)×2=76。
水平测试 A 第10题(填空题)
棱长为1米的2100个正方体堆成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高，它的长、宽各为______米、______米。
答案：15；14
解析：底面积=2100÷10=210=2×3×5×7。长>宽>10，分解为15×14。
水平测试 A 第11题(解答题，配教材图20-9)
如图20-9，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四角各去掉边长是2厘米的正方形，然后将剩余的长方形硬纸板折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
答案：90立方厘米
解析：折成容器长=13−2×2=9、宽=9−2×2=5、高=2。V=9×5×2=90。
水平测试 A 第12题(解答题，配教材图20-10)
图20-10是用17个棱长是1厘米的正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。
答案：54平方厘米
解析：三视图：前面12、上面8、左面7，(12+8+7)×2=54。
水平测试 A 第13题(解答题，配教材图20-11)
如图20-11，这是一个长9厘米、宽5厘米、高8厘米的长方体木块，现将它如图所示分割，共割成24块小长方体。问：这24块小长方体的表面积总和是多少？
答案：878平方厘米
解析：原表面积+新增切面。沿长切2刀增4个(宽×高)面，沿宽切2刀增4个(长×高)面，沿高切3刀增6个(长×宽)面。S=2(9×5+9×8+5×8)+4×5×8+4×9×8+6×9×5=314+160+288+270=878。
水平测试 C 第1题(填空题)
将一个长9厘米、宽8厘米、高3厘米的长方体锯成若干个小正方体（损耗不计），然后拼成一个大正方体，则这个大正方体的表面积是______平方厘米。
答案：216
解析：体积=9×8×3=216=6³，大正方体棱长6，S=6×6²=216。
水平测试 C 第2题(填空题)
将表面积为54、96、150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），则这个大正方体的表面积为______平方厘米。
答案：216
解析：54=6×3²→棱长3；96=6×4²→棱长4；150=6×5²→棱长5。V=3³+4³+5³=216=6³，大正方体棱长6，S=216。
水平测试 C 第3题(填空题，配教材图20-23)
图20-23是一个表面都涂满了红色的立方体，在它的每个面上等距离地切两刀，可得27个小立方体，而且切面都是白色的，那么27个小立方体中三面是红色的有______块，两面是红色的有______块，一面是红色的有______块，各面都是白色的有______块。
答案：8；12；6；1
解析：3×3×3：三面=8顶点；两面=12条棱各1块=12；一面=6面中心各1块=6；无色=中心1块。
水平测试 C 第4题(填空题，配教材图20-24)
如图20-24①，有一个玻璃容器，底面是边长为10分米的正方形。已知这个容器里面有一些水，把一个棱长为4分米的正方体实心铁块缓缓放到容器中，最后容器中的水恰好淹没这个铁块，如图20-24②，从正面看是个“巨”字，那么原来容器内的水面高度是______分米。
答案：3.36
解析：放入铁块后总体积=10×10×4=400，铁块体积=4³=64，水体积=336。原水面高=336÷10÷10=3.36。
水平测试 C 第5题(填空题，配教材图20-25)
将一块长方体木头切三刀，切成8个小的长方体。如图20-25，其中7小块的表面积已经给出了（单位：平方米），则看不见的那一小块的表面积为______平方米。
答案：22
解析：对面两组表面积和相等：148+72+46+28=126+88+58+x，解得x=22。
水平测试 C 第6题(填空题，配教材图20-26)
如图20-26，将一个正方体分成了大、小两个长方体。大长方体的表面积是小长方体的2.5倍，则大长方体的体积是小长方体的______倍。
答案：13
解析：设原正方体棱长1，切在宽x处。小长方体S=2+4x，大长方体S=6−4x。6−4x=2.5(2+4x)，x=1/14。体积比=(13/14):(1/14)=13。
水平测试 C 第7题(填空题)
一个正方体木块，棱长是15厘米。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1，2，3，4，5，6，7，8厘米的小正方体。这块木块剩下部分的表面积最少是______平方厘米。
答案：1252
解析：截去顶点小正方体表面积不变（截去3面又露出3面）。但若相邻顶点截去7和8，7+8=15刚好碰面，表面积减少7×7×2=98。最少S=6×15²−98=1350−98=1252。
水平测试 C 第8题(填空题，配教材图20-27)
用同样的无色透明小正方体和红色小正方体拼成一个大正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（如图20-27），大正方体内的对角线AC₁、BD₁、CA₁、DB₁所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明小正方体，红色小正方体共用了401个，则无色透明小正方体用了______个。
答案：1029900
解析：四条对角线共401个红块，中心交点重复算3次，故大正方体棱长=(401+3)÷4=101。总块=101³=1030301，无色=1030301−401=1029900。
水平测试 C 第9题(填空题，配教材图20-28)
有2cm×1cm×1cm的砖块若干块，我打算用它们来构造一个大的积木。当我拼到如图20-28所示的形体时，我已用尽了所有的砖块，那么我原来共有______块砖块。
答案：60
解析：形体可补成6×4×6=144cm³长方体，每砖2cm³需72块，图中空缺12块砖，原共72−12=60块。
水平测试 C 第10题(填空题，配教材图20-29)
如图20-29，大立方体的棱长是4厘米，在此正方体的上面的正中间向下挖一个棱长为2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1厘米的正方体的小洞。第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长是1/2厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是______平方厘米。
答案：117
解析：S=原6×4²+内侧四个侧面积=96+4×2²+4×1²+4×(1/2)²=96+16+4+1=117。
水平测试 C 第11题(解答题)
有6个棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的相同长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有一个面是红色的，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有三个面是红色的，有的长方体恰有四个面是红色的，有的长方体恰有五个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色的，染色后把所用长方体分割成棱长为1厘米的小正方体。分割完毕后，恰有一个面是红色的正方体最多有几个？
答案：177个
解析：3×4×5长方体：1面染红最多染4×5面→20个；2面染4×5和3×5→40；3面→36；4面→32；5面→27；6面→22。合计20+40+36+32+27+22=177。
水平测试 C 第12题(解答题)
一个棱长为5的正方体，分割成若干个边长分别为1，2，3的小立方体。如果要求分割的结果是使小立方体的总数最少，那么棱长为1的小立方体有多少个？
答案：42个
解析：5³=125。先放1个3³=27，剩余放7个2³=56，共83，还剩125−27−56=42个，即棱长1的有42个。
水平测试 C 第13题(解答题，配教材图20-30)
如图20-30，一个棱长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）。如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长。
答案：6厘米
解析：S=6×(3a)²−6a²+3×[(3a×a×4)−a²×4]=54a²−6a²+3(12a²−4a²)=54a²−6a²+24a²=72a²=2592，a²=36，a=6。

四、方法小结

长方体V=abh=a³=Sh，S=2(ab+ah+bh)=6a²，棱长和=(a+b+c)×4。切拼问题：切一刀增两个切面，粘一处遮两个面。组合体表面积用三视图法=(前+上+左)×2。涂色立方体：三面8块在顶点、两面在棱上去顶点、一面在面上去边缘、无色在内部。挖洞体要加内侧壁、减洞口。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P169 水平测试A 第1题（展开图）
  • 教材P170 水平测试A 第2、3、4题（数块、切刀、棱长和）
巩固选做：
  • 教材P170 水平测试A 第5–10题（切拼、三视图、拼最小表面积）
  • 教材P171 水平测试A 第11–13题（折盒、表面积总和）
  • 教材P172–173 水平测试B 第1–5题
提高挑战：
  • 教材P173 水平测试B 第6–11题（三视图、紧贴、打通、染色）
  • 教材P174 水平测试B 第12、13题
  • 教材P175–178 水平测试C 第1–13题（熔铸、涂色、铁块、对角线、挖洞）

六、课堂错因定位

症状：切开后表面积增量算错
根因：不知道切一刀增两个面。
补救：用切拼模块图：切一刀=多出两个切面，每个切面面积=切面。
症状：组合体漏算被遮面或重复算
根因：不会用三视图法。
补救：固定程序：分别数前、上、左三个方向看到几个1×1正方形，和×2。
症状：涂色立方体两面/一面数错
根因：忘记减2（去顶点、去边缘）。
补救：背口诀：三面8顶点、两面棱上去2、一面面上去2、无面内部长宽高各减2。
症状：挖洞/打通体表面积漏算内侧
根因：只减洞口忘记加洞内壁。
补救：先算外表减洞口，再加洞内侧四个面；中心重叠处要减回。