【教师版】第3讲 · 平面图形的周长与面积
五年级奥数 · 教材第18–27页（第3讲全讲）
一、知识要点
基本公式回顾
本质：长方形C=2(a+b),S=ab；正方形C=4a,S=a²；平行四边形S=ah；三角形S=ah÷2；梯形S=(a+b)h÷2=mh。
适用：所有几何题的基础。求面积前先认准“底”和对应的“高”，三角形和梯形的高必须垂直于底。
- 先认准图形类型，选对公式。
- 三角形和梯形面积别忘÷2。
- 高必须画到对应底上，不能用邻边代替。
典型错误：三角形面积忘÷2；高和底不对应。
平移法求不规则周长
本质：把凹进去的横边往上平移补成大长方形，竖边左右平移；平移后多出的短边要补上。
适用：台阶形、凸字形、凹字形周长题。先补成规则长方形算一圈，再加上多出来的竖边长度。
- 把所有横线段向上/下平移，发现总长=2×长。
- 把竖线段向左/右平移，发现总长=2×宽+多出的短边。
- 列算式：大长方形周长+多出短边。
典型错误：只补横边忘记多出来的两个竖边；或多算。
面积差不变（重叠不影响差）
本质：甲阴影−乙阴影=(甲+空白)−(乙+空白)，重叠部分在两边同时出现，相减时消掉。
适用：两个图形叠放，问两块阴影面积差。不用管重叠部分多大，直接用两个大图形面积相减。
- 设大图形面积a、b，重叠c。
- 甲阴影=a−c，乙阴影=b−c。
- 差=a−b，与c无关。
典型错误：硬算两块阴影各自面积，被重叠部分绕进去。
等积变换：同底等高三角形面积相等
本质：两个三角形底相同、高相同（或顶点在同一条平行于底的直线上），面积相等。
适用：梯形里一条对角线分出的两个三角形；长方形里对顶三角形。用来把阴影三角形换成同面积的空白三角形。
- 找公共底。
- 看顶点是否在平行于底的直线上。
- 是则面积相等，可互换。
典型错误：高不对应还硬说等积；平行线没找对。
二、典例精讲
典例 A1
求图3-1的周长（单位：厘米）。图为一个大长方形长50高40，上方中间凸一个小矩形，标注：凹口宽4，凸台高15，右侧凹口深5。
训练点：平移法求不规则周长。
提示：
1. 把所有横边向上平移，总长是多少？
2. 竖边方向：除了大长方形的两条高，上方凸出来的地方还多了几条竖边？
1横边平移后总长=50×2=100依据：上下横边平移补成50×40长方形，横边总长不变。
2竖边：左右外框各40，中间凸起两侧各15，左侧台阶高4，右侧凹槽深5依据：凸出来和凹进去的竖边都要数进去。
3凹槽比台阶多出来的部分(5−4)=1要减去依据：右侧凹槽深5、左侧台阶高4，两者高度差1在平移时被重复计算，需扣回。
4周长=100+40+40+15×2+4+5−(5−4)=218依据：照教材算式：50×2+40+5+15×2+4+40−(5−4)=218。
答：218厘米
典型错法：漏算凸台两侧竖边；或凹口处多算。
典例 A2
如图3-3，将一个正方形划分为9个小长方形，这些小长方形周长的总和是96厘米，那么这个大正方形的面积是多少平方厘米？
训练点：内部线被两个长方形共用，数边长。
提示：
1. 外面4条边只算1次。
2. 中间的横线和竖线各被两个长方形共用，每条算2次。
3. 9个小长方形需要几条内部线？横2条、竖2条。
1外框4条边各算1次=4a依据：属于最外层长方形。
2内部2横2竖共4条线，每条被两个长方形共用算2次=4×2a=8a依据：中间线在周长和里出现两次。
4a=8，面积=8×8=64依据：求边长再求面积。
答：64平方厘米
典型错法：内部线只算1次；或数错内部线条数。
典例 B1
如图3-16，正方形ABCD边长10厘米，长方形EFGH长8宽5，问阴影甲与阴影乙的面积差是多少？
训练点：面积差不变，与重叠无关。
提示：
1. 设正方形面积a，长方形面积b，重叠c。
2. 甲=a−c，乙=b−c。
3. 甲−乙=a−b。
3甲−乙=正方形−长方形=100−40=60依据：重叠c消掉。
答：60平方厘米
典型错法：去算重叠面积；或方向搞反。
典例 B2
如图3-17，正方形ABCD中，红、绿正方形面积分别52和13，红、绿正方形有一个顶点重合。黄色正方形一个顶点是红正方形对角线交点，另一个顶点是绿正方形对角线交点，求黄色正方形面积。
训练点：对角线交点即中心，黄边长=红半边长+绿半边长。
提示：
1. 红边长=√52，绿边长=√13。
2. 中心到顶点距离=边长的一半。
3. 黄边长=红边长÷2+绿边长÷2=(√52+√13)/2。
1红面积52，绿面积13，红是绿的4倍，红边长是绿的2倍依据：面积比=边长比²。
2黄边长=红边长÷2+绿边长÷2=绿边长+绿边长÷2=1.5×绿边长依据：中心连线。
3黄面积=(1.5)²×绿面积=2.25×13=29.25依据：面积比=边长比²。
答：29.25平方厘米
典型错法：不会用面积比推边长比；或黄边长关系搞错。
典例 C1
如图3-32，红、黄、绿三块大小相同的正方形纸片放在正方形盒底上相互重叠。露出部分红20，黄14，绿10，求盒底面积。
训练点：平移黄色纸片使黄绿露出面积相等。
提示：
1. 把黄片左移，黄减少的=绿增加的，黄绿总面积不变=24。
2. 移动后黄绿各12。
3. 盒底=红20+黄12+绿10+中间小条2=44，再按比例求。
1黄绿总面积=14+10=24，移动后各12依据：平移不改变黄绿和。
2长方形EFCD=20+10+2=32依据：红+绿+中间条。
3AE:ED=12:20=0.6依据：同宽矩形面积比=长比。
4盒底=32×(1+0.6)=51.2依据：宽相同，总长比=面积比。
答：51.2平方厘米
典型错法：不会平移凑等；比例方向反。
典例 C2
如图3-34，10个相同小长方形拼成大长方形，长6宽5，求小长方形周长。
训练点：观察行列关系列方程。
提示：
1. 横着看：6=3个小长。
2. 竖着看：5=1个小长+2个小宽。
2小长+2个小宽=5，2+2宽=5，宽=1.5依据：右侧竖看。
3周长=(2+1.5)×2=7依据：长方形周长公式。
答：7厘米
典型错法：行列关系看反；宽算错。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题
两个正方形的边长相差8厘米，面积相差100平方厘米，这两个正方形边长分别为______厘米和______厘米。
答案：2.25和10.25
解析：设大b小a：b−a=8，b²−a²=(b−a)(b+a)=100，b+a=12.5；b=10.25,a=2.25。
水平测试 A 第2题
长方形ABCD中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1，求△AEF面积。
答案：20
解析：长方形5×9=45；减△ABE=5×5÷2=12.5，△ECF=4×4÷2=8，△ADF=1×9÷2=4.5；45−25=20。
水平测试 A 第3题
边长4和10的两个正方形如图放置，阴影面积是______。
答案：42
解析：阴影=(10−4)×(10+4)÷2=6×14÷2=42。
水平测试 A 第4题
三个正方形边长32、40、50厘米，阴影面积是______。
答案：2440
解析：阴影=50×40÷2+(40+32)×40÷2=1000+1440=2440。
水平测试 A 第5题
梯形ABCD被对角线BD分成两部分，△BDC比△ABD大10。上下底和15，差5，梯形面积是______。
答案：30
解析：上下底a+b=15,b−a=5→b=10,a=5；面积差=(b−a)h÷2=10→h=4；梯形面积=15×4÷2=30。
水平测试 A 第6题
大正方形边长6，小正方形边长4，阴影面积为______。
答案：14
解析：连GC：△ACG=(6−4)×6÷2=6，△CGF=4×4÷2=8，共14。
水平测试 A 第7题
正方形边长2、4、6、8、10，阴影面积是______。
答案：40
解析：10×10−(2×2+4×2+6×2+8×2+10×2)=100−60=40。
水平测试 A 第8题
长方形ABCD长是宽的2倍，CD=DE=2，阴影面积为______。
答案：8
解析：补左上角得16正方形，S1=S2=2，S3=4，阴影=16−2−2−4=8。
水平测试 A 第9题
A、B、C、D为正六边形四条边中点，六边形面积16，阴影面积是______。
水平测试 A 第10题
正方形中斜放长方形，四个等腰直角三角形面积18、18、50、50，正方形面积是______。
答案：256
解析：两个18拼边长6，两个50拼边长10，大正方形边长16，面积256。
水平测试 A 第11题
计算图3-13几何图形面积（菱形底8，下方凹两个小三角）。
答案：48平方厘米
解析：分割成6个对角线长4的小正方形，每个4×4÷2=8，共48。
水平测试 A 第12题
四边形ABCD四边都是10，AB上高8，求S1+S2。
答案：20
解析：S1+S4是四边形面积的1/4，10×8÷4=20。
水平测试 A 第13题
正方形ABCD边长5，E/F/G/H为各边中点，I/J/K/M为AM/DI/CJ/BK中点，IJKM也是正方形，求IJKM面积。
答案：5
解析：设IJKM边长a，四个三角形面积各a²，大正方形=5a²=25，a²=5。
B层
水平测试 A 第1题
两个正方形的边长相差8厘米，面积相差100平方厘米，这两个正方形边长分别为______厘米和______厘米。
答案：2.25和10.25
解析：设大b小a：b−a=8，b²−a²=(b−a)(b+a)=100，b+a=12.5；b=10.25,a=2.25。
水平测试 A 第2题
长方形ABCD中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1，求△AEF面积。
答案：20
解析：长方形5×9=45；减△ABE=5×5÷2=12.5，△ECF=4×4÷2=8，△ADF=1×9÷2=4.5；45−25=20。
水平测试 A 第3题
边长4和10的两个正方形如图放置，阴影面积是______。
答案：42
解析：阴影=(10−4)×(10+4)÷2=6×14÷2=42。
水平测试 A 第4题
三个正方形边长32、40、50厘米，阴影面积是______。
答案：2440
解析：阴影=50×40÷2+(40+32)×40÷2=1000+1440=2440。
水平测试 A 第5题
梯形ABCD被对角线BD分成两部分，△BDC比△ABD大10。上下底和15，差5，梯形面积是______。
答案：30
解析：上下底a+b=15,b−a=5→b=10,a=5；面积差=(b−a)h÷2=10→h=4；梯形面积=15×4÷2=30。
水平测试 A 第6题
大正方形边长6，小正方形边长4，阴影面积为______。
答案：14
解析：连GC：△ACG=(6−4)×6÷2=6，△CGF=4×4÷2=8，共14。
水平测试 A 第7题
正方形边长2、4、6、8、10，阴影面积是______。
答案：40
解析：10×10−(2×2+4×2+6×2+8×2+10×2)=100−60=40。
水平测试 A 第8题
长方形ABCD长是宽的2倍，CD=DE=2，阴影面积为______。
答案：8
解析：补左上角得16正方形，S1=S2=2，S3=4，阴影=16−2−2−4=8。
水平测试 A 第9题
A、B、C、D为正六边形四条边中点，六边形面积16，阴影面积是______。
水平测试 A 第10题
正方形中斜放长方形，四个等腰直角三角形面积18、18、50、50，正方形面积是______。
答案：256
解析：两个18拼边长6，两个50拼边长10，大正方形边长16，面积256。
水平测试 A 第11题
计算图3-13几何图形面积（菱形底8，下方凹两个小三角）。
答案：48平方厘米
解析：分割成6个对角线长4的小正方形，每个4×4÷2=8，共48。
水平测试 A 第12题
四边形ABCD四边都是10，AB上高8，求S1+S2。
答案：20
解析：S1+S4是四边形面积的1/4，10×8÷4=20。
水平测试 A 第13题
正方形ABCD边长5，E/F/G/H为各边中点，I/J/K/M为AM/DI/CJ/BK中点，IJKM也是正方形，求IJKM面积。
答案：5
解析：设IJKM边长a，四个三角形面积各a²，大正方形=5a²=25，a²=5。
水平测试 B 第1题
图3-19由1小正方形+8相同长方形拼成大正方形。小正方形面积1600，大正方形周长320，每个长方形周长是______。
答案：100
解析：大边长80，小边长40；长=(80−40)÷2=20？答100：长+宽=50，周长100。
水平测试 B 第2题
梯形内两三角形面积6和8，下底是上底2倍，阴影面积是______。
答案：16
解析：梯形高2.5h，ah=8；总面积=(a+2a)×2.5h÷2=7.5ah÷2=30；阴影=30−8−6=16。
水平测试 B 第3题
正六边形面积2016，A/B/C为三边中点，阴影面积是______。
答案：630
解析：分成24个小正三角形，阴影占7.5份：2016×7.5÷24=630。
水平测试 B 第4题
四边形ABCD面积36，AD=CD，DE=BE，AE=2，∠DEB=∠CBE=90°，四边形BCDE面积为______。
答案：30
解析：作正方形BEDF，S△CDF=S△ADE，BEDF=36，BE=6，BCDE=(4+6)×6÷2=30。
水平测试 B 第5题
等腰△ABC沿EF对折A与BC中点D重合。△ABC周长16，四边形BCEF周长10，BC=______。
答案：2
解析：△AEF周长=8，EF=(18−16)÷2=1，BC=2EF=2。
水平测试 B 第6题
直角△ABC∠C=90°面积12，AE=2CE，BD=CD，四边形ABDE面积为______。
答案：10
解析：设△CDE=S，△ACD=3S，△ABC=6S=12，S=2；ABDE=12−2=10。
水平测试 B 第7题
直角△ABC中BDEF为正方形，AF=9，CD=16，△ABC面积为______。
答案：294
解析：补长方形9×16=144=a²，a=12；AB=21,BC=28，面积=294。
水平测试 B 第8题
两个面积9的正三角形重叠，不重叠部分六个小三角形全等，重叠面积为______。
答案：6
解析：大正三角含9个小正三角，每个1，重叠6个=6。
水平测试 B 第9题
P为△ABC内一点，到三边距离都是1，△ABC面积20，周长为______。
答案：40
解析：S=½×周长×1=20，周长=40。
水平测试 B 第10题
长方形ABCD中E/F分别在AD/AB上，已标三块面积42、30、16，阴影面积是______。
答案：88
解析：阴影=长方形一半，42+16+30=88。
水平测试 B 第11题
长方形ABCD面积30，DEFG面积18，△ADG面积15，求△DCE面积。
答案：9
解析：ADGH面积=30，CDEI=30×18÷30=18，△DCE=9。
水平测试 B 第12题
AB=3，△BCE面积16，高EH=4，△BEF比△DFC大6，求△ABD面积。
答案：3.75
解析：S△BCD=16−6=10，BC=8，△BCD高2.5，△ABD=3×2.5÷2=3.75。
水平测试 B 第13题
正六边形ABCDEF，M平分AB，P/Q为ME/MD与FC交点，梯形PQDE面积2016，求△MFP面积。
答案：1008
解析：S△MFP=S△MCQ，梯形PQDE=两三角形和，△MFP=2016÷2=1008。
C层
水平测试 A 第1题
两个正方形的边长相差8厘米，面积相差100平方厘米，这两个正方形边长分别为______厘米和______厘米。
答案：2.25和10.25
解析：设大b小a：b−a=8，b²−a²=(b−a)(b+a)=100，b+a=12.5；b=10.25,a=2.25。
水平测试 A 第2题
长方形ABCD中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1，求△AEF面积。
答案：20
解析：长方形5×9=45；减△ABE=5×5÷2=12.5，△ECF=4×4÷2=8，△ADF=1×9÷2=4.5；45−25=20。
水平测试 A 第3题
边长4和10的两个正方形如图放置，阴影面积是______。
答案：42
解析：阴影=(10−4)×(10+4)÷2=6×14÷2=42。
水平测试 A 第4题
三个正方形边长32、40、50厘米，阴影面积是______。
答案：2440
解析：阴影=50×40÷2+(40+32)×40÷2=1000+1440=2440。
水平测试 A 第5题
梯形ABCD被对角线BD分成两部分，△BDC比△ABD大10。上下底和15，差5，梯形面积是______。
答案：30
解析：上下底a+b=15,b−a=5→b=10,a=5；面积差=(b−a)h÷2=10→h=4；梯形面积=15×4÷2=30。
水平测试 A 第6题
大正方形边长6，小正方形边长4，阴影面积为______。
答案：14
解析：连GC：△ACG=(6−4)×6÷2=6，△CGF=4×4÷2=8，共14。
水平测试 A 第7题
正方形边长2、4、6、8、10，阴影面积是______。
答案：40
解析：10×10−(2×2+4×2+6×2+8×2+10×2)=100−60=40。
水平测试 A 第8题
长方形ABCD长是宽的2倍，CD=DE=2，阴影面积为______。
答案：8
解析：补左上角得16正方形，S1=S2=2，S3=4，阴影=16−2−2−4=8。
水平测试 A 第9题
A、B、C、D为正六边形四条边中点，六边形面积16，阴影面积是______。
水平测试 A 第10题
正方形中斜放长方形，四个等腰直角三角形面积18、18、50、50，正方形面积是______。
答案：256
解析：两个18拼边长6，两个50拼边长10，大正方形边长16，面积256。
水平测试 A 第11题
计算图3-13几何图形面积（菱形底8，下方凹两个小三角）。
答案：48平方厘米
解析：分割成6个对角线长4的小正方形，每个4×4÷2=8，共48。
水平测试 A 第12题
四边形ABCD四边都是10，AB上高8，求S1+S2。
答案：20
解析：S1+S4是四边形面积的1/4，10×8÷4=20。
水平测试 A 第13题
正方形ABCD边长5，E/F/G/H为各边中点，I/J/K/M为AM/DI/CJ/BK中点，IJKM也是正方形，求IJKM面积。
答案：5
解析：设IJKM边长a，四个三角形面积各a²，大正方形=5a²=25，a²=5。
水平测试 C 第1题
边长15正方形从各顶点起4cm沿45°剪下，中间小正方形面积为______。
答案：32
解析：中间阴影=四个等腰直角三角形：4×4×4÷2=32。
水平测试 C 第2题
最大正三角形面积144，阴影面积是______。
答案：72
解析：小三角每份9，3份18、3份6：144−54−18=72。
水平测试 C 第3题
△ABC中OA=OD，BD=2CD，面积40，阴影面积为______。
答案：16
解析：设△CDE=S，△BDE=2S，△ABE=2S，△ABC=5S=40，S=8；阴影=2S=16。
水平测试 C 第4题
长方形ABCD面积24，对角线交于O，E在AD上，四边形OGEF面积2，阴影面积为______。
水平测试 C 第5题
长方形20×16，内放两个重叠正方形DEFG和BHIJ，三个阴影长方形周长相等，INFM面积为______。
答案：32
解析：INFM周长24，IN=8,IM=4，面积32。
水平测试 C 第6题
四边形ABCD中M/N为AB/CD中点，S1+S2=30，阴影面积为______。
水平测试 C 第7题
△ABC的AB/BC边上各有3个四等分点，△ABC面积80，阴影面积为______。
答案：50
解析：设△BDG=a，逐步推出S△ABC=16a，阴影=10a=50。
水平测试 C 第8题
两个等腰直角三角形重叠，大直角边6，小直角边4，阴影面积为______。
答案：6
解析：S四边形BOFE=¾×4×4÷2=6。
水平测试 C 第9题
平行四边形ABCD中△PAB=4，△PBC=17，BD为对角线，△PBD=______。
答案：13
解析：S△PBD=S△PBC−S△PAB=17−4=13。
水平测试 C 第10题
梯形ABCD中O为对角线交点，EF∥AD∥BC，EO=OF，S△ABF=50，S1+S2=8，阴影面积为______。
水平测试 C 第11题
小正方形EFGH在大正方形ABCD内，阴影总面积124，E/H在AD上，O为CF中点，四边形BOGF面积为______。
答案：31
解析：阴影=4×BOGF，BOGF=124÷4=31。
水平测试 C 第12题
梯形ABCD面积3，DF=FC，S1=S2=S3，求△AEF面积。
答案：1.2
解析：AE∥CD，S△AEF=2S1，总面积=5S1=3，S1=0.6，△AEF=1.2。
水平测试 C 第13题
长方形BEFJ=1，AEFI=2，CHGJ=3，DIGH=4，求阴影面积。
四、方法小结
周长用平移法补成规则图形再补短边；面积三招：整体减空白、分割求和、等积变换。面积差与重叠无关，直接用大图形面积相减。三角形和梯形面积别忘÷2，高要对应底。辅助线只能作平行、高、连线，不添加图中没有的等长/垂直条件。
五、作业建议
基础必做：- 教材P19 水平测试A 第1–2题
- 教材P20 水平测试A 第3–8题
巩固选做：- 教材P20–21 水平测试A 第9–13题
- 教材P22–24 水平测试B 第1–8题
提高挑战：- 教材P23–24 水平测试B 第9–13题
- 教材P25–27 水平测试C 第1–13题
六、课堂错因定位
症状：不规则周长只补成长方形，忘记多出的短边
根因：平移后没数清竖边。
补救：要求用两种颜色笔：横边一色、竖边一色，分别数总长。
症状：阴影面积硬算每一块，被重叠绕进去
根因：不会用整体减空白或面积差不变。
补救：先问自己：阴影是哪两块的差？大图形面积能不能直接求？
症状：三角形面积忘÷2
根因：公式不熟。
补救：列式后默念“三角要除以2”，写完检查。
症状：辅助线乱加，凭空假设平行/等长
根因：把看起来像的条件当已知。
补救：强调：图上没标的条件不能用；辅助线只能作平行线、高、连线。