【教师版】第4讲 · 排列组合初步
五年级奥数 · 教材第28–36页（第4讲全讲）
一、知识要点
分类加法计数原理
本质：完成一件事有若干类办法，每一类都能独立、直接完成这件事，各类办法互斥并列，总方法数=各类方法数相加。
适用：对应教材图4-1：从A地到B地，可以坐飞机、坐汽车、坐火车，三种方式任选一种都能直接到B，所以总走法=1+1+1=3。判断关键：选其中一种是不是就把事情做完了？是→加法。
- 从A到B，坐飞机这一类就能直接到达，坐汽车、坐火车同理。
- 三类办法彼此独立、互斥（坐了飞机就不用再坐汽车），所以总数=3相加。
典型错误：把“分类”当成“分步”去相乘，或把需要两步才能完成的事直接加起来。
分步乘法计数原理
本质：完成一件事需要分成互相依存的若干步，每步只得到中间结果，缺一步都不行，总方法数=各步方法数相乘。
适用：对应教材图4-2：从A到B必须经过C。A→C有飞机/汽车/火车3种，C→B有汽车/火车2种，两步缺一不可，总走法=3×2=6。判断关键：能不能一步就做完？不能、要分先后→乘法。
- A→C这一步只到C，没到B，是中间结果；C→B这一步又依赖前面已到C。
- 前一步的每一种选择，后面都有2种配合，所以用乘法 3×2=6。
典型错误：把“先A→C再C→B”错当成两类办法相加；或分步时漏乘某一步。
排列 P(n,m)：选出来还要排队
本质：从n个不同元素中取出m个排成一列（有顺序），排列数 P(n,m)=n(n−1)…(n−m+1)。
适用：选人排队、借书、坐座位、车票（往返方向不同）都有顺序，用排列。典例C1：10人选6辆不同碰碰车，相当于从10个元素取6个排在6个位置上，P(10,6)。
- 排第1个位置有n种；排第2个位置剩n−1种；……排第m个位置有 n−m+1 种。
- 分步相乘即得 P(n,m)。顺序换了算不同排法（甲坐位1乙坐位2 ≠ 乙坐位1甲坐位2）。
典型错误：把“挑代表”这种无顺序问题也乘出顺序；或忘记排列是从大到小数m个因数。
组合 C(n,m)：只选不排
本质：从n个不同元素中取出m个合成一组（不管顺序），组合数 C(n,m)=P(n,m)/m! = n!/((n−m)!·m!)。
适用：挑代表、握手、两人之间一张车票票价、三点定三角形都没有顺序，用组合。典例B1单循环赛：每两队只赛一场（不分主客），是组合 C。
- 先按排列有 P(n,m) 种；但同一组m个元素互相排队有 m! 种，它们其实是同一组。
- 所以要除以 m!：C(n,m)=P(n,m)/m!。
典型错误：该用组合时多乘了顺序；该用排列时漏乘顺序。区分一句：交换两个元素，结果变不变？变→排列；不变→组合。
相邻问题：捆绑法
本质：要求某些元素必须相邻，先把它们“捆成一个整体”内部排列，再把这个整体和其他元素一起排列。
适用：教材典例C2：6人中A、B必须相邻。把AB捆成1个整体（内部2!），与其余4人共5个单元全排列 5!，再乘 2!。测试B第4题B、C相邻同理。
- 第一步：相邻的几个元素当成一个“大元素”，先排它们内部的顺序（如AB两种：AB、BA）。
- 第二步：把大元素与剩下的元素一起排队。相邻要求就被“打包”保证了。
典型错误：只捆不排内部（忘记乘2!）；或捆完忘了和其他元素一起全排列。
不相邻问题：插空法与排除法
本质：要求某些元素互不相邻，先排其他普通元素，再把特殊元素插进它们之间（含两端）的空隙里；“不能相邻”也可用总数减“相邻”。
适用：典例C2：A、B不能相邻=全部排列720−相邻240=480。测试A第7题男生不能相邻：先排3名女生P(3,3)，形成4个空隙，把4名男生插进去P(4,4)。
- 插空法：n个普通元素排好，共(n+1)个空隙（含两端）；把不相邻元素各占一个空隙，它们自然不相邻。
- 排除法：互不相邻 = 全部 − 相邻；当“相邻”更好算时优先用排除法。
典型错误：数空隙时数错（n个元素有n+1个空）；或不相邻问题硬着头皮正面分类而不用排除法。
排除法（间接法）与几何三点共线
本质：正面分类太繁时，先算不加限制的总数，再减去不符合条件的情况。几何中“三点定三角形”用 C(n,3) 减去同一直线上的三点组。
适用：典例A1：三条平行线共9个点，C(9,3)=84，减去同一直线上的 C(4,3)+C(3,3)=5，得79个三角形。典例B2半圆上12点同理 C(12,3)−C(5,3)。
- 先不管共线，任取3点 C(n,3)。
- 再把落在同一直线上的三点组（不能成三角形）逐线减去：每条线k个点就减 C(k,3)。
典型错误：只减了一条线；或重复减交点处的三点组。数清楚每条线上有几个点再减。
含0组数与圆桌环形排列
本质：组数：0不能放首位，按个位是否为0等分类；圆桌：n个不同元素围一圈，旋转相同只算一种，排列数为 (n−1)!。
适用：典例A2用0,1,2,3组无重复数字偶数，按位数和个位分类。测试A第10题8人圆桌：先固定一人打破旋转，再排其余7人（相邻用捆绑、不相邻用排除）。
- 组数：先定首位（不能为0）或先定个位（偶数），分类要互斥；每类内部再分步。
- 圆桌：所有人同时平移一个位置算同一种，所以先固定某人，问题变成其余n−1人直线排列，即 (n−1)!。
典型错误：含0组数时让0占了首位；圆桌问题误用 n!（多算了旋转等价的n种）。
二、典例精讲
典例 A1
三条平行线上分别有2、4、3个点（如图4-3），已知在不同直线上的任意三个点都不共线，以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？
训练点：几何计数：总取法减共线三点组（排除法）。
提示：
1. 先不管能不能成三角形，9个点里任取3个，有多少种取法？
2. 再想想：第二条直线上4个点任取3个、第三条直线上3个点任取3个，这些三点能连成三角形吗？要减去几？
1任取3点：C(9,3)=9×8×7÷(3×2×1)=84（个）依据：三角形由三个不共线点确定，先不考虑共线。
2减去同一直线上的三点组：C(4,3)+C(3,3)=4+1=5（个）依据：第二条线4点任取3、第三条线3点任取3都在一条线上，不能成三角形；第一条线只有2点凑不够3个。
答：79个
典型错法：直接答84，忘记减去同一直线上的5组三点。
典例 A2
由数字0，1，2，3可以组成多少个没有重复数字的偶数？
训练点：含0偶数的分类计数：按位数、再按个位是0还是2分类。
提示：
1. 偶数由谁决定？个位只能是哪几个数字？
2. 先按位数分：一位偶数、两位偶数、三位偶数、四位偶数；每一类里再按个位是不是0分两小类。
1一位偶数：0、2，共2个依据：一位数里0、2是偶数。
2两位偶数：个位取0，十位有C(3,1)=3；个位取2，十位不能为0有C(2,1)=2；共3+2=5依据：个位为0和为2分两类。
3三位偶数：个位取0，百位十位P(3,2)=6；个位取2，百位2种(1,3)、十位2种，2×2=4；共10依据：个位为2时百位不能为0也不能为2。
4四位偶数：个位取0，千位到十位P(3,3)=6；个位取2，千位2种、百十位P(2,2)=2，2×2=4；共10依据：四位数千位不能为0。
5合计：2+5+10+10=27（个）依据：分类相加。
答：27个
典型错法：漏分个位为0/为2两类；或个位为2时仍让0占了首位。
典例 B1
国家举行足球赛，共15个队参加。比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队。各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）。然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军。问：（1）共需比赛多少场？（2）如果实行主客场制（即A、B两队既要在A城赛一场，也要在B城赛一场），共需比赛多少场？
训练点：单循环=组合 C；主客场=排列 P。
提示：
1. 单循环里A和B只赛一场，和顺序有关吗？用组合还是排列？
2. 主客场里A去B城、B去A城是两场，和顺序有关吗？
1(1) 单循环：C(8,2)+C(7,2)+C(4,2)=28+21+6=55（场）依据：每两队只赛一场，用组合；三组阶段相加。
2(2) 主客场：每两队赛两场，是单循环的2倍：2×55=110（场）依据：也可写 P(8,2)+P(7,2)+P(4,2)=56+42+12=110。
答：（1）55场；（2）110场
典型错法：单循环误用 P；主客场忘记乘2；或漏加决赛阶段。
典例 B2
在一个半圆周上共有12个点，如图4-5。（1）以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？（2）以这些点为顶点，可以画出多少个四边形？
训练点：半圆上点+直径端点的分类几何计数。
提示：
1. 为了不重复，先把A、B归到直径线段上：圆弧上几个点？直径线段上几个点？
2. 三角形按“几个点取自圆弧、几个取自直径”分三类相加；四边形同理。
1把A、B归到直径线段：圆弧上7点，直径上5点依据：避免重复计算端点。
2(1) 三角形：三点全在圆弧 C(7,3)=35；两弧一直径 C(7,2)×C(5,1)=105；一弧两直径 C(7,1)×C(5,2)=70依据：按取自圆弧/直径的点数分类相加。
3三角形合计：35+105+70=210（个）依据：也可 C(12,3)−C(5,3)=220−10=210。
4(2) 四边形：4弧 C(7,4)=35；2弧2直 C(7,2)×C(5,2)=210；3弧1直 C(7,3)×C(5,1)=175依据：四边形需任三点不共线，直径上最多取2点。
5四边形合计：35+210+175=420（个）依据：也可 C(12,4)−C(5,4)−C(5,3)×C(7,1)=495−5−70=420。
答：（1）210个三角形；（2）420个四边形
典型错法：A、B重复计数；四边形忘记直径上不能取3点。
典例 C1
10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？
训练点：从较多元素中取较少个排在不同位置→排列 P。
提示：
1. 6辆碰碰车颜色不同，坐不同车算不同坐法吗？这说明是排列还是组合？
2. 相当于从10个人里选6个，排在6个不同位置上。
1把6辆车看成6个不同位置，从10人取6排列：P(10,6)=10×9×8×7×6×5依据：位置有顺序，用排列。
答：151200种
典型错法：用 C(10,6)=210，漏了6辆车之间的顺序。
典例 C2
6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排。若A、B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？
训练点：相邻用捆绑法；不相邻用排除法。
提示：
1. A、B必须相邻：把他俩捆成一个整体先排内部，再和其余4人一起排。
2. A、B不能相邻：它和“必须相邻”是互补的两件事，用总站法减相邻站法。
1必须相邻：AB捆成整体，内部2!，与CDEF共5单元全排列5!：P(2,2)×P(5,5)=2×120=240依据：捆绑法。
2不相邻：总站法 P(6,6)=720，减去相邻240：720−240=480依据：排除法，不相邻与相邻互补。
答：必须相邻240种；不能相邻480种
典型错法：捆绑漏乘内部2!；不相邻硬排而不用排除法。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
有5本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有______种不同的借法。
答案：60
解析：从5本不同的书取3本分给3名不同同学（人不同、书不同，有顺序），P(5,3)=5×4×3=60。
水平测试 A 第2题(填空题)
幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子，每人只能坐一把，有______种不同的坐法。
答案：120
解析：6把椅子不同，3人坐上去有顺序，P(6,3)=6×5×4=120。
水平测试 A 第3题(填空题)
在6名女同学和5名男同学中，选4名女同学和3名男同学，男女相间站成一排，共有______种排法。
答案：21600
解析：4女3男相间只能是女男女男女男女。4女全排列P(4,4)=24，从6女选4排列P(6,4)=360；3男全排列P(3,3)=6，从5男选3排列P(5,3)=60。合计P(6,4)·P(5,3)=360×60=21600。
水平测试 A 第4题(填空题)
用0，1，2，3，4，5，6这七个数字可组成______个比300000大的无重复数字的六位偶数。
答案：1680
解析：分两类。十万位为3或5（奇数）：个位从0,2,4,6选1个P(4,1)，中间4位从余5个数字排P(5,4)，共2×4×120=960。十万位为4或6（偶数）：个位从余3个偶数选P(3,1)，中间P(5,4)，共2×3×120=720。合计1680。
水平测试 A 第5题(填空题)
用数字1，2，4，8可以组成______个比490小且没有重复数字的三位偶数。
答案：14
解析：比490小的三位偶数。百位为1：个位从2,4,8选3种、十位余2个，3×2=6。百位为2或4：百位2种，个位从余偶数选2种，十位2种，2×2×2=8。合计14。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图4-4)
直线a、b上分别有5个点和4个点（如图4-4），以这些点为顶点，可以画出______个三角形。
答案：70
解析：共C(9,3)=84个三点组，减去同一直线上的三点组C(5,3)+C(4,3)=10+4=14，得70。
水平测试 A 第7题(填空题)
学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生。某次比赛后他们站成一排照相，如果要求男生不能相邻，一共有______种不同的站法。
答案：144
解析：先排3名女生P(3,3)=6，形成4个空隙，把4名男生插入P(4,4)=24，合计6×24=144。
水平测试 A 第8题(填空题)
5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有______种不同的排法。
答案：17280
解析：4名女生捆成整体P(4,4)=24，与5名男生共6个单元全排列P(6,6)=720，合计720×24=17280。
水平测试 A 第9题(填空题)
某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排在一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有______种。
答案：3628800
解析：4名女少先队员捆成整体P(4,4)=24，与其余5名非少先队员共6单元全排列P(6,6)=720；再把3名男少先队员插入7个空隙P(7,3)=210。合计720×210×24=3628800。
水平测试 A 第10题(填空题)
8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有______种坐法。（所有人按同一方向同时移动相同个数的位置算一种坐法）
答案：1200
解析：圆桌先把甲乙捆成整体，共7单元环形排列(7−1)!，内部2!：2×6!=1440。减去乙与丙也相邻（甲乙丙成串且乙在中间）：环形6单元5!×2=240。1440−240=1200。
水平测试 A 第11题(解答题)
一个七位数，其数码只能是2或3，且没有两个3是相邻的。这样的七位数共有多少个？
答案：34个
解析：按3的个数分类（不相邻则3的个数≤4）。0个3：1种；1个3插入6个2的7个空：C(7,1)=7；2个3插入5个2的6个空：C(6,2)=15；3个3插入4个2的5个空：C(5,3)=10；4个3：3232323共1种。合计1+7+15+10+1=34。
水平测试 A 第12题(解答题)
千位数字与十位数字之差为2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个？
答案：840个
解析：千位大于十位：千位2~9共8种，十位随之确定，百位个位从余8个数字排P(8,2)=56，共8×56。千位小于十位：千位1~7共7种，十位随之确定，7×56。合计15×56=840。
水平测试 A 第13题(解答题)
某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？
答案：56次
解析：把9拆成4个非0数字：(1,1,1,6)(1,1,2,5)(1,1,3,4)(1,2,2,4)(1,2,3,3)(2,2,2,3)。排列数：第一种和最后一种各4个，中间四种各4×3=12个。合计4×2+12×4=56。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
有5本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有______种不同的借法。
答案：60
解析：从5本不同的书取3本分给3名不同同学（人不同、书不同，有顺序），P(5,3)=5×4×3=60。
水平测试 A 第2题(填空题)
幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子，每人只能坐一把，有______种不同的坐法。
答案：120
解析：6把椅子不同，3人坐上去有顺序，P(6,3)=6×5×4=120。
水平测试 A 第3题(填空题)
在6名女同学和5名男同学中，选4名女同学和3名男同学，男女相间站成一排，共有______种排法。
答案：21600
解析：4女3男相间只能是女男女男女男女。4女全排列P(4,4)=24，从6女选4排列P(6,4)=360；3男全排列P(3,3)=6，从5男选3排列P(5,3)=60。合计P(6,4)·P(5,3)=360×60=21600。
水平测试 A 第4题(填空题)
用0，1，2，3，4，5，6这七个数字可组成______个比300000大的无重复数字的六位偶数。
答案：1680
解析：分两类。十万位为3或5（奇数）：个位从0,2,4,6选1个P(4,1)，中间4位从余5个数字排P(5,4)，共2×4×120=960。十万位为4或6（偶数）：个位从余3个偶数选P(3,1)，中间P(5,4)，共2×3×120=720。合计1680。
水平测试 A 第5题(填空题)
用数字1，2，4，8可以组成______个比490小且没有重复数字的三位偶数。
答案：14
解析：比490小的三位偶数。百位为1：个位从2,4,8选3种、十位余2个，3×2=6。百位为2或4：百位2种，个位从余偶数选2种，十位2种，2×2×2=8。合计14。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图4-4)
直线a、b上分别有5个点和4个点（如图4-4），以这些点为顶点，可以画出______个三角形。
答案：70
解析：共C(9,3)=84个三点组，减去同一直线上的三点组C(5,3)+C(4,3)=10+4=14，得70。
水平测试 A 第7题(填空题)
学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生。某次比赛后他们站成一排照相，如果要求男生不能相邻，一共有______种不同的站法。
答案：144
解析：先排3名女生P(3,3)=6，形成4个空隙，把4名男生插入P(4,4)=24，合计6×24=144。
水平测试 A 第8题(填空题)
5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有______种不同的排法。
答案：17280
解析：4名女生捆成整体P(4,4)=24，与5名男生共6个单元全排列P(6,6)=720，合计720×24=17280。
水平测试 A 第9题(填空题)
某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排在一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有______种。
答案：3628800
解析：4名女少先队员捆成整体P(4,4)=24，与其余5名非少先队员共6单元全排列P(6,6)=720；再把3名男少先队员插入7个空隙P(7,3)=210。合计720×210×24=3628800。
水平测试 A 第10题(填空题)
8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有______种坐法。（所有人按同一方向同时移动相同个数的位置算一种坐法）
答案：1200
解析：圆桌先把甲乙捆成整体，共7单元环形排列(7−1)!，内部2!：2×6!=1440。减去乙与丙也相邻（甲乙丙成串且乙在中间）：环形6单元5!×2=240。1440−240=1200。
水平测试 A 第11题(解答题)
一个七位数，其数码只能是2或3，且没有两个3是相邻的。这样的七位数共有多少个？
答案：34个
解析：按3的个数分类（不相邻则3的个数≤4）。0个3：1种；1个3插入6个2的7个空：C(7,1)=7；2个3插入5个2的6个空：C(6,2)=15；3个3插入4个2的5个空：C(5,3)=10；4个3：3232323共1种。合计1+7+15+10+1=34。
水平测试 A 第12题(解答题)
千位数字与十位数字之差为2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个？
答案：840个
解析：千位大于十位：千位2~9共8种，十位随之确定，百位个位从余8个数字排P(8,2)=56，共8×56。千位小于十位：千位1~7共7种，十位随之确定，7×56。合计15×56=840。
水平测试 A 第13题(解答题)
某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？
答案：56次
解析：把9拆成4个非0数字：(1,1,1,6)(1,1,2,5)(1,1,3,4)(1,2,2,4)(1,2,3,3)(2,2,2,3)。排列数：第一种和最后一种各4个，中间四种各4×3=12个。合计4×2+12×4=56。
水平测试 B 第1题(填空题)
由数字1，2，3，4，5，6可以组成______个没有重复数字的三位数。
答案：120
解析：P(6,3)=6×5×4=120。
水平测试 B 第2题(填空题)
用0，1，2，3，4可以组成______个没有重复数字的三位数。
答案：48
解析：百位不能为0有4种，十位个位从余4个数字排P(4,2)=12，共4×12=48。
水平测试 B 第3题(填空题)
5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有______种不同的站法。
答案：24
解析：甲固定中间，其余4人全排列P(4,4)=24。
水平测试 B 第4题(填空题)
将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻，共有______种不同的排列方法。
答案：1440
解析：BC捆成整体P(2,2)=2，与其余5人共6单元全排列P(6,6)=720，共1440。
水平测试 B 第5题(填空题)
四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成。如果要求同类型的节目连续演出，那么共有______种不同的出场顺序。
答案：144
解析：三类节目先排顺序P(3,3)=6，舞蹈内部P(2,2)=2，演唱内部P(2,2)=2，小品内部P(3,3)=6，合计6×2×2×6=144。
水平测试 B 第6题(填空题)
两组三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有______种不同的坐法。
答案：72
解析：环形排列：先固定6个位置之一打破旋转，再安排使同胞不相邻，共P(6,1)×P(3,3)×P(2,2)=6×6×2=72种。
水平测试 B 第7题(填空题，配教材图4-6)
如图4-6，两条相交直线上共有9个点，一共可以组成______个不同的三角形。
答案：60
解析：一条直线6点、另一条4点（交点公共）。C(9,3)−C(6,3)−C(4,3)=84−20−4=60。
水平测试 B 第8题(填空题，配教材图4-7)
如图4-7，在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，总共能作______个三角形。
答案：1056
解析：C(20,3)=1140。减去共线三点组：5点共线的4组（行）4×C(5,3)=40，4点共线的9组（列/斜）9×C(4,3)=36，3点共线的8组8×C(3,3)=8。1140−40−36−8=1056。
水平测试 B 第9题(填空题)
有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成______种不同的币值，并请研究______（填“能”或“不能”）组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值。
答案：1023；不能
解析：每张币可取或不取，共2^10−1=1023种非空组合。最大总和=1+2+5+10+20+50+100+200+500+1000=1888分，但中间某些币值凑不出，故不能。
水平测试 B 第10题(填空题)
9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有______种站法。
答案：362880
解析：两排共9个不同位置，相当于9人全排列P(9,9)=9!=362880。
水平测试 B 第11题(解答题，配教材图4-8)
从图4-8中的11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？
答案：150个
解析：C(11,3)=165，减去7条三点共线组7×C(3,3)=7和2条四点共线组2×C(4,3)=8，165−(7+8)=150。
水平测试 B 第12题(解答题)
7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（球无区别，盒有区别，不允许空盒）
答案：20种
解析：把7拆成4个正整数和：(1,1,1,4)有4种；(1,2,2,2)有4种；(1,1,2,3)选2盒放1C(4,2)=6，再分配2和3有2种，共12种。合计4+4+12=20。
水平测试 B 第13题(解答题)
邮递员给一条街上9户人家传递邮件，他发现从没有相邻的两家都接到信，也没有连续相邻的3户人家没有收到信。问：他一天有多少种不同的送信方式？
答案：21种
解析：等价于9位0/1串，没有“11”（相邻两家都收到）也没有“000”（连续3户没收到）。按收到户数：5户必为1,3,5,7,9共1种；4户：内部3个间隔各留1个0，余2个0放入5个空，1+C(5,2)=12；3户：内部2个间隔各留1个0，余4个0放入4个空，1+C(2,1)C(3,2)+C(4,4)=8。合计1+12+8=21。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
有5本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有______种不同的借法。
答案：60
解析：从5本不同的书取3本分给3名不同同学（人不同、书不同，有顺序），P(5,3)=5×4×3=60。
水平测试 A 第2题(填空题)
幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子，每人只能坐一把，有______种不同的坐法。
答案：120
解析：6把椅子不同，3人坐上去有顺序，P(6,3)=6×5×4=120。
水平测试 A 第3题(填空题)
在6名女同学和5名男同学中，选4名女同学和3名男同学，男女相间站成一排，共有______种排法。
答案：21600
解析：4女3男相间只能是女男女男女男女。4女全排列P(4,4)=24，从6女选4排列P(6,4)=360；3男全排列P(3,3)=6，从5男选3排列P(5,3)=60。合计P(6,4)·P(5,3)=360×60=21600。
水平测试 A 第4题(填空题)
用0，1，2，3，4，5，6这七个数字可组成______个比300000大的无重复数字的六位偶数。
答案：1680
解析：分两类。十万位为3或5（奇数）：个位从0,2,4,6选1个P(4,1)，中间4位从余5个数字排P(5,4)，共2×4×120=960。十万位为4或6（偶数）：个位从余3个偶数选P(3,1)，中间P(5,4)，共2×3×120=720。合计1680。
水平测试 A 第5题(填空题)
用数字1，2，4，8可以组成______个比490小且没有重复数字的三位偶数。
答案：14
解析：比490小的三位偶数。百位为1：个位从2,4,8选3种、十位余2个，3×2=6。百位为2或4：百位2种，个位从余偶数选2种，十位2种，2×2×2=8。合计14。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图4-4)
直线a、b上分别有5个点和4个点（如图4-4），以这些点为顶点，可以画出______个三角形。
答案：70
解析：共C(9,3)=84个三点组，减去同一直线上的三点组C(5,3)+C(4,3)=10+4=14，得70。
水平测试 A 第7题(填空题)
学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生。某次比赛后他们站成一排照相，如果要求男生不能相邻，一共有______种不同的站法。
答案：144
解析：先排3名女生P(3,3)=6，形成4个空隙，把4名男生插入P(4,4)=24，合计6×24=144。
水平测试 A 第8题(填空题)
5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有______种不同的排法。
答案：17280
解析：4名女生捆成整体P(4,4)=24，与5名男生共6个单元全排列P(6,6)=720，合计720×24=17280。
水平测试 A 第9题(填空题)
某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排在一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有______种。
答案：3628800
解析：4名女少先队员捆成整体P(4,4)=24，与其余5名非少先队员共6单元全排列P(6,6)=720；再把3名男少先队员插入7个空隙P(7,3)=210。合计720×210×24=3628800。
水平测试 A 第10题(填空题)
8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有______种坐法。（所有人按同一方向同时移动相同个数的位置算一种坐法）
答案：1200
解析：圆桌先把甲乙捆成整体，共7单元环形排列(7−1)!，内部2!：2×6!=1440。减去乙与丙也相邻（甲乙丙成串且乙在中间）：环形6单元5!×2=240。1440−240=1200。
水平测试 A 第11题(解答题)
一个七位数，其数码只能是2或3，且没有两个3是相邻的。这样的七位数共有多少个？
答案：34个
解析：按3的个数分类（不相邻则3的个数≤4）。0个3：1种；1个3插入6个2的7个空：C(7,1)=7；2个3插入5个2的6个空：C(6,2)=15；3个3插入4个2的5个空：C(5,3)=10；4个3：3232323共1种。合计1+7+15+10+1=34。
水平测试 A 第12题(解答题)
千位数字与十位数字之差为2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个？
答案：840个
解析：千位大于十位：千位2~9共8种，十位随之确定，百位个位从余8个数字排P(8,2)=56，共8×56。千位小于十位：千位1~7共7种，十位随之确定，7×56。合计15×56=840。
水平测试 A 第13题(解答题)
某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？
答案：56次
解析：把9拆成4个非0数字：(1,1,1,6)(1,1,2,5)(1,1,3,4)(1,2,2,4)(1,2,3,3)(2,2,2,3)。排列数：第一种和最后一种各4个，中间四种各4×3=12个。合计4×2+12×4=56。
水平测试 C 第1题(填空题)
用0～9这十个数字可组成______个无重复数字的四位数。
答案：4536
解析：千位不能为0有9种，其余三位从余9个数字排P(9,3)=504，共9×504=4536。
水平测试 C 第2题(填空题)
某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要______种不同的车票，有______种票价。
答案：182；91
解析：车票有方向（甲→乙与乙→甲不同）用排列P(14,2)=182；票价无方向用组合C(14,2)=91。
水平测试 C 第3题(填空题)
某班选出了5名班委，他们要分别担任班长、学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员，有______种不同的分工方式。
答案：120
解析：5人分工5个不同职务，全排列P(5,5)=120。
水平测试 C 第4题(填空题)
从15名同学中选5人参加数学竞赛，写出分别满足下列条件的选法：① 某两人必须入选，有______种；② 某两人中至少有一人入选，有______种；③ 某三人中恰入选一人，有______种；④ 某三人不能同时都入选，有______种。
答案：①286；②1716；③1485；④2937
解析：①两人必入选，再从余13人选3：C(13,3)=286。②至少一人=总数C(15,5)−两人都不入选C(13,5)=3003−1287=1716。③三人恰选1C(3,1)×余12人选4C(12,4)=3×495=1485。④三人不同时入选=C(15,5)−三人都入选C(12,2)=3003−66=2937。
水平测试 C 第5题(填空题)
从分别写有1，3，5，7，9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，可能有______个不同的乘积，有______个不同的乘法算式。
答案：10；20
解析：乘积与顺序无关C(5,2)=10；乘法算式有顺序（1×3与3×1）P(5,2)=20。
水平测试 C 第6题(填空题)
某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，这次聚会大家一共握了______次手。
答案：45
解析：握手无顺序，C(10,2)=45。
水平测试 C 第7题(填空题)
圆周上有12个点。（1）过每两个点可以画一条直线，一共可以画出______条直线；（2）过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出______个三角形。
答案：（1）66；（2）220
解析：圆上任两点不重合定一直线C(12,2)=66；任三点不共线定三角形C(12,3)=220。
水平测试 C 第8题(填空题，配教材图4-9)
（1）图4-9①中有______个梯形；（2）图4-9②中有______个长方体。
答案：（1）225；（2）1500
解析：（1）梯形由两条不平行底边和两条腰确定，在网格中取两组平行直线：C(6,2)×C(6,2)=225。（2）长方体由长、宽、高三个方向各取两条线：C(5,2)×C(6,2)×C(5,2)=10×15×10=1500。
水平测试 C 第9题(填空题)
七个同学照相，分别求出在下列条件要求下的站法数。（1）七个人排成一排，有______种；（2）七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间，有______种；（3）七个人排成一排，某两人必须站在两头，有______种；（4）七个人排成一排，某两人不能站在两头，有______种；（5）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不能在同一排，有______种。
答案：（1）5040；（2）1440；（3）240；（4）2400；（5）2880
解析：（1）P(7,7)=5040。（2）两人选一人站中间2种，余6人排6位P(6,6)：2×720=1440。（3）两人站两头2!×其余P(5,5)=240。（4）两人不在两头，从中间5位选2排列P(5,2)=20，其余P(5,5)=120，20×120=2400。（5）两人分两排：选谁前排2种，前排3位后排4位，2×3×4×P(5,5)=2880。
水平测试 C 第10题(填空题)
停车场划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有______种不同的停车方案。
答案：362880
解析：4个空车位看成一个整体，与8辆车共9个元素全排列P(9,9)=362880。
水平测试 C 第11题(解答题)
一个篮球队有五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上。问：一共有多少种不同的站位方法？
答案：96种
解析：中锋从除E外的4人中选1人：4种；其余4人分配到剩4个位置全排列P(4,4)=24，共4×24=96。
水平测试 C 第12题(解答题)
用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的。问：共有几种不同涂色方式？
答案：245种
解析：按用色数：1色7种；2色（每色两面C(7,2)=21，或一色一面另一色三面7×6=42）；3色（一色两面另两色各一面7×C(6,2)=105）；4色C(7,4)×2=70。合计7+21+42+105+70=245。
水平测试 C 第13题(解答题，配教材图4-10)
在图4-10①中的9个小正三角形中，按照规则分别填入1～9中的一个数字。规则：相邻的（有公共边的）两个小正三角形中填入的数字，左边的比右边的大，上边的比下边的大。例如图4-10②就是个符合规则的例子。那么，符合规则的填数方法共有多少种？（包括例图）
答案：52种
解析：由大小关系定出a9=1、a8=2。若a1、a2、a5为7、8、9全排列P(3,3)=6，余下4个位置按约束选2个放剩余两数C(4,2)=6，共36种；若a3、a6中恰有一个是7（另一个较小），选谁2种、排布2种，再从余4位选1个放剩余大数C(4,1)=4，共16种。合计36+16=52。
四、方法小结
先判断分类还是分步：一步能完成、各类互斥并列→加法；多步依存缺一不可→乘法。再判断排列还是组合：选出来要排队占不同位置→排列 P(n,m)=n(n−1)…(n−m+1)；只选一组不分先后→组合 C(n,m)=P(n,m)/m!。排队三招：相邻捆绑（内部排完再整体排）、不相邻插空（先排普通元素再插空隙）或用总数减反面。含0组数先定首位/个位分类；几何三角形用总取法减同一直线三点组；圆桌先固定一人再排其余。
五、作业建议
基础必做：- 教材P29 水平测试A 第1、2题（排列基础）
- 教材P30 水平测试A 第6题（两点线取三角形）
- 教材P32 水平测试B 第1、2、3题（无重复数字三位数、定中间）
巩固选做：- 教材P30 水平测试A 第3、4、5题（相间、六位偶数、三位偶数）
- 教材P30 水平测试A 第7、8、9题（相邻/不相邻捆绑插空）
- 教材P32–33 水平测试B 第4、5、7、10题（相邻、节目类型、交点三角形、两排照相）
提高挑战：- 教材P30 水平测试A 第10–13题（圆桌、不相邻七位数、千十位差、密码）
- 教材P33–34 水平测试B 第6、8、11、12、13题（三胞胎、棋盘格三角形、交点、分球、送信）
- 教材P35–36 水平测试C 第1–13题（综合：车票、选代表、梯形长方体、站位、涂色、三角填数）
六、课堂错因定位
症状：把该相加的相乘、该相乘的相加
根因：没判断“一步能否完成”。
补救：回到知识模块两张路线图：问“选一类是不是就做完了？”是→加法；“要不要分先后两步？”→乘法。
症状：排列组合混用
根因：没判断“交换两元素结果变不变”。
补救：举借书与挑代表对比：人不同书不同→排列；挑6人代表队不排位置→组合。
症状：相邻捆绑后漏乘内部顺序
根因：只捆不排。
补救：用典例C2：AB捆成[AB]后，先问“AB两种顺序都算吗？”，再乘2!。
症状：含0组数让0占了首位
根因：分类时没单独考虑个位为0。
补救：用典例A2分位数、分个位是否为0逐类列，写之前先圈出“首位不能为0”。
症状：几何三角形漏减共线三点
根因：只取总组合数。
补救：用典例A1：C(n,3)后逐条直线减C(k,3)，交点处注意不重复。
症状：圆桌用 n! 多算旋转
根因：没固定一人打破旋转。
补救：强调圆桌先固定1人，再排其余n−1人，即 (n−1)!。