奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第6讲 · 等积变形(一)

五年级奥数 · 教材第47–56页（第6讲全讲）

一、知识要点

同高三角形：面积比=底边比

本质：两个三角形若高相等，则面积比等于底边长度之比；底边共线、共用同一顶点时自然同高。
A B C D h 同高h：S△ABD:S△ABC = BD:BC
适用：教材图6-1：A、B不动，C沿CB方向移到D，高h不变，BD=x·BC，则 S△ABD/S△ABC=BD/BC=x。典例A1：D是BC中点，BD=DC，故 S△ABD=S△ADC。
  1. 三角形面积=底×高÷2，高h相同，面积随底边线性变化。
  2. D在BC上，△ABD和△ABC共用顶点A、底边都在BC上，高都是A到BC的距离。
典型错误：把底边比和高比弄混；或不确认两三角形是否真的同高就套比例。

共角定理（鸟头模型）

本质：两个三角形若有一组内角相等（或互补），则面积比等于夹这组角的两边乘积之比。
B C A D E 共∠A：S△ADE/S△ABC=(AD·AE)/(AB·AC)
适用：教材图6-2/6-3：∠DAE=∠BAC（或互补），S△ADE/S△ABC=(AD·AE)/(AB·AC)。典例A2：AD:AB=1:3，AE:AC=1:2，所以 S△ADE/S△ABC=1/6。
  1. 两个三角形在A处有公共角，分别以AB、AC为一组边。
  2. 面积=1/2·夹边1·夹边2·sin(夹角)，sin相同约掉，剩下两边乘积比。
典型错误：比例边对错（把AD对应到AC）；或角互补时忘记同样适用。

中点等分与逐层比例

本质：连接顶点与对边中点，三角形面积减半；多个中点点依次连接，面积逐层乘1/2。
B C A D E
适用：典例B1：D、E、F分别是BC、AC、AD中点。S△ADC=1/2 S△ABC，S△ADE=1/2 S△ADC，S△DEF=1/2 S△ADE，连乘得1/8。测试A第6题同理。
  1. 中点把底边分成长度相等的两段，同高两三角形等积。
  2. 连续中点：每次面积取一半，n个中点连乘(1/2)^n。
典型错误：漏乘某一层；或把中点比例记错成1/3。

辅助线：连接BE/AD逐层传递

本质：题目只给小三角形与大三角形的间接关系时，连一条辅助线把它们接上，再用同高/共角逐层推。
A B C D E 虚线BE为辅助线
适用：典例A2方法二：连BE。S△ADE:S△ABE=AD:AB=1:3，S△ABE:S△ABC=AE:AC=1:2，连乘1/6。典例C1连FB把平行四边形拆成可比较的三角形。
  1. 小三角形和大三角形没有直接公共角或公共高时，连一条中线/截线搭桥。
  2. 搭桥后两段比例相乘，得到总面积比。
典型错误：不敢连辅助线；或连错线导致比例接不上。

割补：旋转/平移等积变形

本质：把一块三角形绕某点旋转或平移，阴影面积不变地拼成直角三角形、矩形等规则图形再算。
旋转一块三角形 → 拼成规则图形 原阴影 旋转后拼成直角三角形
适用：测试A第12题：直角三角形内接正方形，把小直角三角形绕D旋转90°，阴影拼成两条直角边10、7的直角三角形，面积=10×7÷2=35。测试B第6题平移三角形成矩形24×18。
  1. 旋转/平移不改变图形面积。
  2. 拼成规则图形后，直角边或长宽往往就是题中给出的线段。
典型错误：想不到旋转方向；或旋转后对应边认错。

平行四边形中的三角形比例

本质：平行四边形对角线分成两个等积三角形；三角形占平行四边形几分之几，用共角/同高逐层算。
A B C D 对角线分等积两半，再用比例拆
适用：典例C1：E是AB中点，AF=2CF，阴影△AEF=8。连FB，S△AFB=2S△AEF，S△CFB=1/2 S△AFB，平行四边形=2 S△ABC=6×8=48。
  1. 平行四边形一条对角线分成两个等积三角形，各占一半。
  2. 再在三角形内用共角/同高把阴影占比算出来。
典型错误：忘记平行四边形=2倍△ABC；或比例乘错层数。

二、典例精讲

典例 A1
在△ABC中，D是BC的中点，S△ABD=5。求S△ADC和S△ABC。
A B C D
训练点：中点等分三角形。
提示：
1. D是BC中点意味着BD和DC什么关系？
2. △ABD和△ADC共用哪个高？底相等、高相同面积怎样？
1D是BC中点，BD=DC
依据：中点定义。
2△ABD与△ADC共用从A到BC的高，底边BD=DC，所以 S△ADC=S△ABD=5
依据：同高等底等积。
3S△ABC=S△ABD+S△ADC=5+5=10
依据：两半拼成整体。
答：S△ADC=5，S△ABC=10
典型错法：以为中点只分底边不分面积。
典例 A2
在△ABC中，D在AB上，AD:DB=1:2，E是AC的中点，S△ADE=16。求S△ABC。
A B C D E(中点)
训练点：共角定理（或连BE辅助线）。
提示：
1. △ADE和△ABC有没有公共角？在哪个点？
2. 夹这个角的两组边分别是什么比？
1共角∠A：AD:AB=1:3（因AD:DB=1:2），AE:AC=1:2
依据：为什么想到这一步：△ADE和△ABC在A点共用一个角，认准夹这个角的两组边，写比例。
2S△ADE/S△ABC=(AD·AE)/(AB·AC)=(1/3)×(1/2)=1/6
依据：为什么想到这一步：共角定理直接给出面积比=夹边乘积比，两步比例相乘。
3S△ABC=16÷(1/6)=96
依据：为什么想到这一步：小三角形16占大三角形的1/6，反求大三角形用除法。
答：96
典型错法：把AD:AB当成1:2（误用DB比）；或共角边对错。
典例 B1
如图，S△ABC=24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点。求S△DEF。
A B C D E F
训练点：连续中点逐层取半。
提示：
1. D是BC中点，△ADC占大三角形多少？
2. E是AC中点，△ADE占△ADC多少？F是AD中点，△DEF占△ADE多少？
1D是BC中点：S△ADC=1/2 S△ABC=12
依据：为什么想到这一步：中线把三角形分成等底同高的两半，面积直接减半。
2E是AC中点：S△ADE=1/2 S△ADC=6
依据：为什么想到这一步：在△ADC中，DE连到AC中点E，再次用中线等分。
3F是AD中点：S△DEF=1/2 S△ADE=3
依据：为什么想到这一步：在△ADE中，EF连到AD中点F，第三次等分。
答：3
典型错法：漏乘某一层1/2。
典例 B2
如图，D在BA的延长线上，E在AC上，AB:AD=2:1，AE:EC=1:1，S△ADE=12。求S△ABC。
A B C D E
训练点：角互补时的共角定理。
提示：
1. ∠DAE和∠BAC是什么关系？（互补还是相等？）
2. 共角定理对互补角同样成立。AD:AB是多少？AE:AC呢？
1AB:AD=2:1 → AD:AB=1:2；AE:EC=1:1 → AE:AC=1:2
依据：为什么想到这一步：先把题目给的比例换算成共角定理需要的形式（夹边比）。
2∠DAE与∠BAC互补，共角定理仍成立：S△ADE/S△ABC=(AD·AE)/(AB·AC)=(1/2)×(1/2)=1/4
依据：为什么想到这一步：D在BA延长线上，两角互补但正弦值相同，共角定理照样用。
3S△ABC=12×4=48
依据：为什么想到这一步：小三角形12占大三角形1/4，反求大三角形乘4。
答：48
典型错法：延长线上不敢用共角；比例写反。
典例 C1
如图，E是AB的中点，AF=2CF，阴影△AEF的面积为8。求平行四边形ABCD的面积。
A B C D E F
训练点：平行四边形中连辅助线FB逐层推。
提示：
1. 连FB。AF=2CF，△AFB和△CFB是什么关系？
2. E是AB中点，△AEF和△BEF呢？平行四边形和△ABC呢？
1连FB。AF=2CF，△AFB与△CFB同高，面积比AF:CF=2:1，故 S△AFB=2 S△CFB
依据：为什么想到这一步：连FB把△ABC拆成两个三角形，它们共享从B到AC的高，面积比就是底之比。
2E是AB中点，△AEF=△BEF=8，故 S△AFB=2×8=16
依据：为什么想到这一步：E是AB中点，△AEF和△BEF等底同高，阴影8就是一半。
3S△CFB=S△AFB÷2=8，S△ABC=16+8=24
依据：为什么想到这一步：由第一步比例2:1，CFB是AFB的一半，两块拼成△ABC。
4平行四边形=2 S△ABC=48
依据：为什么想到这一步：对角线把平行四边形分成两个等积三角形，所以乘2。
答：48
典型错法：忘记平行四边形=2倍△ABC；或比例乘错。
典例 C2
如图，把△ABC的各边延长得到△DEF。BD=2BA，CE=3CB，AF=4AC。若S△ABC=1，求S△DEF。
A B C D E F
训练点：向外延长边，连辅助线把△DEF拆成几块。
提示：
1. 连CD、AE、BF三条辅助线。
2. BD=2BA意味着AD=AB，△ADC和△ABC什么关系？再沿延长边逐块算。
1连CD、AE、BF。BD=2BA→AD=AB，故 S△ADC=S△ABC=1
依据：为什么想到这一步：向外延长的边，连辅助线把大三角形DEF拆成中间1加外三块，逐块用同高比底。
2AF=4AC→CF=3AC，S△BCF=3 S△ABC=3；CE=3CB→BE=2BC，S△ABE=2 S△ABC=2
依据：为什么想到这一步：延长边上的三角形与原三角形共享一个顶点，底成几倍面积就几倍。
3S△ADF=4 S△ADC=4；S△BDE=2 S△ABE=4；S△CEF=3 S△BCF=9
依据：为什么想到这一步：每块外侧三角形再沿延长边乘一次比例。
4S△DEF=4+4+9+1=18
依据：为什么想到这一步：外三块加中间△ABC就是整个大三角形DEF。
答：18
典型错法：拆块时漏乘延长比例；或漏加中间1。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
D是BC上一点，BD=2DC，S△ABD=10。则S△ADC=______，S△ABC=______。
答案：5；15
解析：△ABD与△ADC同高，面积比BD:DC=2:1，故S△ADC=10÷2=5；S△ABC=10+5=15。
水平测试 A 第2题(填空题，配教材图6-6)
如图6-6，等腰三角形中两条与底边平行的线段将两边的中点连线分成三等份，则阴影部分的面积占整个三角形的______。
答案：1/3
解析：平行线截得的小三角形与原三角形相似，面积比=边长比的平方。三层分别占1/9、4/9、9/9，阴影(中间环)=4/9−1/9=3/9=1/3。
水平测试 A 第3题(填空题，配教材图6-7)
如图6-7，BD=2，DE=4，EC=2，F是GE的中点，G是AB的中点，BC边上的高为4厘米。阴影部分的面积是______。
答案：2平方厘米
解析：BC=2+4+2=8，BC边上高4，S△ABC=8×4÷2=16。联结AE，设阴影S△DEF=S。由同高逐层：S△DFG=S，S△DEG=2S，S△BDG=S，S△BEG=3S，S△ABE=6S，S△AEC=2S，故S△ABC=8S=16，S=2平方厘米。
水平测试 A 第4题(填空题，配教材图6-8)
如图6-8，△ABC被分成甲、乙两部分。BD=DC=4厘米，BE=3厘米，AE=6厘米。乙的面积是甲的______倍。
答案：5
解析：联结AD。BD=DC→S△ADC=S△ABD。BE=3、AE=6即BE:BA=1:3，S△ADE=2S甲（甲=△BDE）。S△ADC=3S甲，S乙=S△ABC−S甲=6S甲−S甲=5S甲，即乙是甲的5倍。
水平测试 A 第5题(填空题，配教材图6-9)
如图6-9，AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，S△ADE=16。求S△ABC=______。
答案：70
解析：共角：S△ADE/S△ABC=(2/5)×(4/7)=8/35。S△ABC=16÷(8/35)=70。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图6-10)
如图6-10，D、E、F分别是AB、BC、BE的中点，S△ABC=120。S△DEF=______。
答案：15
解析：D是AB中点→S△BCD=60；E是BC中点→S△BDE=30；F是BE中点→S△DEF=15。
水平测试 A 第7题(填空题，配教材图6-11)
如图6-11，S△DEF=7，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF。求S△ABC=______。
答案：24
解析：三块外侧三角形：S△ADF=(AD/AB)(AF/AC)=(2/3)(1/4)=1/6；S△BDE=(BD/BA)(BE/BC)=(1/3)(1/2)=1/6；S△CEF=(CE/CB)(CF/CA)=(1/2)(3/4)=3/8。阴影占1−1/6−1/6−3/8=7/24。S△ABC=7÷(7/24)=24。
水平测试 A 第8题(填空题，配教材图6-12)
如图6-12，在平行四边形ABCD中，AE:ED=1:4，BF:FD=1:2，阴影部分面积为14。平行四边形ABCD的面积是______。
答案：60
解析：共角算△DEF占△ABD：(DE/DA)(DF/DB)=(4/5)(2/3)=8/15，四边形ABFE占△ABD=7/15。△ABD是平行四边形一半，故ABFE占平行四边形=7/30。平行四边形=14÷(7/30)=60。
水平测试 A 第9题(填空题，配教材图6-13)
如图6-13，BE=EF=FC，BD=2AD，AC=3CG，S△ABC=36。阴影部分面积是______。
答案：16
解析：三块外侧三角形用共角定理分别计算：S△ADG=8，S△BDE=8，S△CFG=4，阴影=36−8−8−4=16。
水平测试 A 第10题(填空题，配教材图6-14)
如图6-14，正方形中以AB为斜边作直角三角形ABE，∠AEB=90°，对角线AC、BD交于O。AE=3，BE=5。求S△OBE=______。
答案：2.5
解析：把△ADE绕A顺时针转90°到△ABF，AFBE为直角梯形面积=(3+5)×3÷2=12。AB²=AE²+BE²=34，S△ABD=17。S△BDE=17−12=5。O是对角线交点，S△OBE=1/2 S△BDE=2.5。
水平测试 A 第11题(填空题，配教材图6-15)
如图6-15，D在AC上，AD:DC=1:2，S△ABD=5。求S△BDC和S△ABC。
答案：S△BDC=10；S△ABC=15
解析：△ABD与△BDC同高，面积比AD:DC=1:2，故S△BDC=5×2=10；S△ABC=15。
水平测试 A 第12题(填空题，配教材图6-16)
如图6-16，直角三角形中有一个内接正方形，BD=10，DC=7。阴影部分面积是______。
答案：35
解析：把△CED绕D逆时针转90°，C落到AB上C'，两块阴影拼成直角三角形BC'D，两条直角边BD=10、DC'=DC=7，面积=10×7÷2=35。
水平测试 A 第13题(填空题，配教材图6-17)
如图6-17，E、F把四边形ABCD的对角线BD三等分，F是GC的中点，甲+乙=12.9。四边形ABCD的面积是______。
答案：38.7
解析：BE=EF=FD→S△ABD=3 S甲（△ABE=甲）；F是GC中点→S△BDC=3 S乙。四边形=3(甲+乙)=3×12.9=38.7。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
D是BC上一点，BD=2DC，S△ABD=10。则S△ADC=______，S△ABC=______。
答案：5；15
解析：△ABD与△ADC同高，面积比BD:DC=2:1，故S△ADC=10÷2=5；S△ABC=10+5=15。
水平测试 A 第2题(填空题，配教材图6-6)
如图6-6，等腰三角形中两条与底边平行的线段将两边的中点连线分成三等份，则阴影部分的面积占整个三角形的______。
答案：1/3
解析：平行线截得的小三角形与原三角形相似，面积比=边长比的平方。三层分别占1/9、4/9、9/9，阴影(中间环)=4/9−1/9=3/9=1/3。
水平测试 A 第3题(填空题，配教材图6-7)
如图6-7，BD=2，DE=4，EC=2，F是GE的中点，G是AB的中点，BC边上的高为4厘米。阴影部分的面积是______。
答案：2平方厘米
解析：BC=2+4+2=8，BC边上高4，S△ABC=8×4÷2=16。联结AE，设阴影S△DEF=S。由同高逐层：S△DFG=S，S△DEG=2S，S△BDG=S，S△BEG=3S，S△ABE=6S，S△AEC=2S，故S△ABC=8S=16，S=2平方厘米。
水平测试 A 第4题(填空题，配教材图6-8)
如图6-8，△ABC被分成甲、乙两部分。BD=DC=4厘米，BE=3厘米，AE=6厘米。乙的面积是甲的______倍。
答案：5
解析：联结AD。BD=DC→S△ADC=S△ABD。BE=3、AE=6即BE:BA=1:3，S△ADE=2S甲（甲=△BDE）。S△ADC=3S甲，S乙=S△ABC−S甲=6S甲−S甲=5S甲，即乙是甲的5倍。
水平测试 A 第5题(填空题，配教材图6-9)
如图6-9，AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，S△ADE=16。求S△ABC=______。
答案：70
解析：共角：S△ADE/S△ABC=(2/5)×(4/7)=8/35。S△ABC=16÷(8/35)=70。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图6-10)
如图6-10，D、E、F分别是AB、BC、BE的中点，S△ABC=120。S△DEF=______。
答案：15
解析：D是AB中点→S△BCD=60；E是BC中点→S△BDE=30；F是BE中点→S△DEF=15。
水平测试 A 第7题(填空题，配教材图6-11)
如图6-11，S△DEF=7，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF。求S△ABC=______。
答案：24
解析：三块外侧三角形：S△ADF=(AD/AB)(AF/AC)=(2/3)(1/4)=1/6；S△BDE=(BD/BA)(BE/BC)=(1/3)(1/2)=1/6；S△CEF=(CE/CB)(CF/CA)=(1/2)(3/4)=3/8。阴影占1−1/6−1/6−3/8=7/24。S△ABC=7÷(7/24)=24。
水平测试 A 第8题(填空题，配教材图6-12)
如图6-12，在平行四边形ABCD中，AE:ED=1:4，BF:FD=1:2，阴影部分面积为14。平行四边形ABCD的面积是______。
答案：60
解析：共角算△DEF占△ABD：(DE/DA)(DF/DB)=(4/5)(2/3)=8/15，四边形ABFE占△ABD=7/15。△ABD是平行四边形一半，故ABFE占平行四边形=7/30。平行四边形=14÷(7/30)=60。
水平测试 A 第9题(填空题，配教材图6-13)
如图6-13，BE=EF=FC，BD=2AD，AC=3CG，S△ABC=36。阴影部分面积是______。
答案：16
解析：三块外侧三角形用共角定理分别计算：S△ADG=8，S△BDE=8，S△CFG=4，阴影=36−8−8−4=16。
水平测试 A 第10题(填空题，配教材图6-14)
如图6-14，正方形中以AB为斜边作直角三角形ABE，∠AEB=90°，对角线AC、BD交于O。AE=3，BE=5。求S△OBE=______。
答案：2.5
解析：把△ADE绕A顺时针转90°到△ABF，AFBE为直角梯形面积=(3+5)×3÷2=12。AB²=AE²+BE²=34，S△ABD=17。S△BDE=17−12=5。O是对角线交点，S△OBE=1/2 S△BDE=2.5。
水平测试 A 第11题(填空题，配教材图6-15)
如图6-15，D在AC上，AD:DC=1:2，S△ABD=5。求S△BDC和S△ABC。
答案：S△BDC=10；S△ABC=15
解析：△ABD与△BDC同高，面积比AD:DC=1:2，故S△BDC=5×2=10；S△ABC=15。
水平测试 A 第12题(填空题，配教材图6-16)
如图6-16，直角三角形中有一个内接正方形，BD=10，DC=7。阴影部分面积是______。
答案：35
解析：把△CED绕D逆时针转90°，C落到AB上C'，两块阴影拼成直角三角形BC'D，两条直角边BD=10、DC'=DC=7，面积=10×7÷2=35。
水平测试 A 第13题(填空题，配教材图6-17)
如图6-17，E、F把四边形ABCD的对角线BD三等分，F是GC的中点，甲+乙=12.9。四边形ABCD的面积是______。
答案：38.7
解析：BE=EF=FD→S△ABD=3 S甲（△ABE=甲）；F是GC中点→S△BDC=3 S乙。四边形=3(甲+乙)=3×12.9=38.7。
水平测试 B 第1题(填空题，配教材图6-20)
如图6-20，S△ABC=180，D是BC的中点，AD=3AE，EF=3BF。S△AEF=______。
答案：22.5
解析：D是BC中点→S△ABD=90；AD=3AE→S△ABE=90÷3=30；EF=3BF→BE=4BF，S△AEF=30×3/4=22.5。
水平测试 B 第2题(填空题，配教材图6-21)
如图6-21，BD=2DC，AE=BE，S△ABC=18。四边形ACDE的面积是______。
答案：12
解析：连AD。BD=2DC→S△ADC=18÷3=6；AE=BE→S△ADE=S△BDE=6。四边形ACDE=6+6=12。
水平测试 B 第3题(填空题，配教材图6-22)
如图6-22，S△ABC=3，AB:BE=2:5，BC:CD=3:2。求S△BDE。
答案：12.5
解析：共角∠B：S△BDE/S△ABC=(BE/BA)(BD/BC)=(5/2)×(5/3)=25/6。S△BDE=3×25/6=12.5。
水平测试 B 第4题(填空题，配教材图6-23)
如图6-23，平行四边形上截去甲、乙两个直角三角形（甲两直角边2、4；乙两直角边3、6）。阴影部分面积是______。
答案：11
解析：平行四边形=两个矩形(2×6和3×4)=12+12。减去两个直角三角形3×6÷2+4×2÷2=9+4=13。阴影=24−13=11。
水平测试 B 第5题(填空题，配教材图6-24)
如图6-24，正十二边形边长1厘米，空白处是12个相同的正三角形。阴影部分面积是______。
答案：6平方厘米
解析：把12个正三角形平移，阴影拼成6个边长1的正方形，面积=1×1×6=6。
水平测试 B 第6题(填空题，配教材图6-25)
如图6-25，六边形ABCDEF中AB=ED，AF=CD，BC=EF，且AB∥ED，AF∥CD，BC∥EF，FD⊥BD。FD=24，BD=18。六边形面积是______。
答案：432
解析：平移三块三角形拼成矩形BGFD，长24宽18，面积=24×18=432。
水平测试 B 第7题(填空题，配教材图6-26)
如图6-26，四边形面积是______。（四边13、13、12，高12）
答案：144
解析：把△OAB旋转到△OCD，拼成边长12的正方形，面积=12×12=144。
水平测试 B 第8题(填空题，配教材图6-27)
如图6-27，等腰直角三角形ABC，P在三角形外，∠BPC=90°，AP=10。四边形ABPC的面积是______。
答案：50
解析：把△APC旋转，四边形拼成等腰直角三角形AP'P，直角边AP=AP'=10，面积=10×10÷2=50。
水平测试 B 第9题(填空题，配教材图6-28)
如图6-28，△ABC中∠ABC=90°，AB=3，BC=5，ACDE是向外作的正方形，O是中心。S△OBC=______。
答案：10
解析：把△OAB绕O转90°到△OCF，△BOF为等腰直角，BF=8，面积16。S△OBC=5/8×16=10。
水平测试 B 第10题(填空题，配教材图6-29)
如图6-29，四边形ABCD中∠A=∠C=45°，∠ABC=105°，AB=CD=15，BD，∠ABD=30°。四边形面积是______。
答案：112.5
解析：∠ADB=105°，∠DBC=75°。翻转△DBC使A、D、E共线，△ABE为等腰直角三角形，直角边AB=15，面积=15×15÷2=112.5。
水平测试 B 第11题(填空题，配教材图6-30)
如图6-30，平行四边形中AF:BF=2:3，AE:ED=3:2，阴影面积为38。平行四边形面积是______。
答案：100
解析：共角S△AEF/S△ABD=(AF/AB)(AE/AD)=(2/5)(3/5)=6/25，四边形BFED占△ABD=19/25。△ABD=38÷19/25=50，平行四边形=100。
水平测试 B 第12题(填空题，配教材图6-31)
如图6-31，BD、DF、FE把△ABC分成面积相等的四部分，BF=2DE。BC是AC的______倍。
答案：2.25
解析：四等分：AC=4AD，DE=CE=1.5，BC=3BF=6×1.5=9。BC/AC=9/4=2.25。
水平测试 B 第13题(填空题，配教材图6-32)
如图6-32，梯形ABCD中S△ADE=1.8，S△ABF=9，S△BCF=27。求阴影△AEC的面积。
答案：4.8
解析：由蝶形定理S△AFB×S△DFC=S△AFD×S△BFC。△AFB=△DFC等积，S△AFD=9×9/27=3。S△AEF=3−1.8=1.2。△AEC=4 S△AEF=4.8。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
D是BC上一点，BD=2DC，S△ABD=10。则S△ADC=______，S△ABC=______。
答案：5；15
解析：△ABD与△ADC同高，面积比BD:DC=2:1，故S△ADC=10÷2=5；S△ABC=10+5=15。
水平测试 A 第2题(填空题，配教材图6-6)
如图6-6，等腰三角形中两条与底边平行的线段将两边的中点连线分成三等份，则阴影部分的面积占整个三角形的______。
答案：1/3
解析：平行线截得的小三角形与原三角形相似，面积比=边长比的平方。三层分别占1/9、4/9、9/9，阴影(中间环)=4/9−1/9=3/9=1/3。
水平测试 A 第3题(填空题，配教材图6-7)
如图6-7，BD=2，DE=4，EC=2，F是GE的中点，G是AB的中点，BC边上的高为4厘米。阴影部分的面积是______。
答案：2平方厘米
解析：BC=2+4+2=8，BC边上高4，S△ABC=8×4÷2=16。联结AE，设阴影S△DEF=S。由同高逐层：S△DFG=S，S△DEG=2S，S△BDG=S，S△BEG=3S，S△ABE=6S，S△AEC=2S，故S△ABC=8S=16，S=2平方厘米。
水平测试 A 第4题(填空题，配教材图6-8)
如图6-8，△ABC被分成甲、乙两部分。BD=DC=4厘米，BE=3厘米，AE=6厘米。乙的面积是甲的______倍。
答案：5
解析：联结AD。BD=DC→S△ADC=S△ABD。BE=3、AE=6即BE:BA=1:3，S△ADE=2S甲（甲=△BDE）。S△ADC=3S甲，S乙=S△ABC−S甲=6S甲−S甲=5S甲，即乙是甲的5倍。
水平测试 A 第5题(填空题，配教材图6-9)
如图6-9，AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，S△ADE=16。求S△ABC=______。
答案：70
解析：共角：S△ADE/S△ABC=(2/5)×(4/7)=8/35。S△ABC=16÷(8/35)=70。
水平测试 A 第6题(填空题，配教材图6-10)
如图6-10，D、E、F分别是AB、BC、BE的中点，S△ABC=120。S△DEF=______。
答案：15
解析：D是AB中点→S△BCD=60；E是BC中点→S△BDE=30；F是BE中点→S△DEF=15。
水平测试 A 第7题(填空题，配教材图6-11)
如图6-11，S△DEF=7，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF。求S△ABC=______。
答案：24
解析：三块外侧三角形：S△ADF=(AD/AB)(AF/AC)=(2/3)(1/4)=1/6；S△BDE=(BD/BA)(BE/BC)=(1/3)(1/2)=1/6；S△CEF=(CE/CB)(CF/CA)=(1/2)(3/4)=3/8。阴影占1−1/6−1/6−3/8=7/24。S△ABC=7÷(7/24)=24。
水平测试 A 第8题(填空题，配教材图6-12)
如图6-12，在平行四边形ABCD中，AE:ED=1:4，BF:FD=1:2，阴影部分面积为14。平行四边形ABCD的面积是______。
答案：60
解析：共角算△DEF占△ABD：(DE/DA)(DF/DB)=(4/5)(2/3)=8/15，四边形ABFE占△ABD=7/15。△ABD是平行四边形一半，故ABFE占平行四边形=7/30。平行四边形=14÷(7/30)=60。
水平测试 A 第9题(填空题，配教材图6-13)
如图6-13，BE=EF=FC，BD=2AD，AC=3CG，S△ABC=36。阴影部分面积是______。
答案：16
解析：三块外侧三角形用共角定理分别计算：S△ADG=8，S△BDE=8，S△CFG=4，阴影=36−8−8−4=16。
水平测试 A 第10题(填空题，配教材图6-14)
如图6-14，正方形中以AB为斜边作直角三角形ABE，∠AEB=90°，对角线AC、BD交于O。AE=3，BE=5。求S△OBE=______。
答案：2.5
解析：把△ADE绕A顺时针转90°到△ABF，AFBE为直角梯形面积=(3+5)×3÷2=12。AB²=AE²+BE²=34，S△ABD=17。S△BDE=17−12=5。O是对角线交点，S△OBE=1/2 S△BDE=2.5。
水平测试 A 第11题(填空题，配教材图6-15)
如图6-15，D在AC上，AD:DC=1:2，S△ABD=5。求S△BDC和S△ABC。
答案：S△BDC=10；S△ABC=15
解析：△ABD与△BDC同高，面积比AD:DC=1:2，故S△BDC=5×2=10；S△ABC=15。
水平测试 A 第12题(填空题，配教材图6-16)
如图6-16，直角三角形中有一个内接正方形，BD=10，DC=7。阴影部分面积是______。
答案：35
解析：把△CED绕D逆时针转90°，C落到AB上C'，两块阴影拼成直角三角形BC'D，两条直角边BD=10、DC'=DC=7，面积=10×7÷2=35。
水平测试 A 第13题(填空题，配教材图6-17)
如图6-17，E、F把四边形ABCD的对角线BD三等分，F是GC的中点，甲+乙=12.9。四边形ABCD的面积是______。
答案：38.7
解析：BE=EF=FD→S△ABD=3 S甲（△ABE=甲）；F是GC中点→S△BDC=3 S乙。四边形=3(甲+乙)=3×12.9=38.7。
水平测试 C 第1题(填空题，配教材图6-36)
如图6-36，AB=5AD，AC=3AE，S△ADE=1。求S△ABC。
答案：15
解析：连BE。AB=5AD→S△ABE=5 S△ADE=5；AC=3AE→S△ABC=3 S△ABE=15。
水平测试 C 第2题(填空题，配教材图6-37)
如图6-37，S△ABC=12，BC=CD，AE=3EC。求S△CDE。
答案：3
解析：连BE。BC=CD→S△BCE=S△CDE；AE=3EC→AC=4EC，S△ABC=4 S△BCE=4 S△CDE。S△CDE=12÷4=3。
水平测试 C 第3题(填空题，配教材图6-38)
如图6-38，△ABD中AB=CD，∠B=40°，∠BAC=30°，AC=CD。求∠ADC。
答案：40°
解析：把△ABC移到△DCE，∠ACB=110°，∠ACD=70°，∠ACE=110°，ACED为等腰梯形，∠ADC=40°。
水平测试 C 第4题(填空题，配教材图6-39)
如图6-39，直角梯形AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3。将CD绕D逆时针转90°到ED。求S△ADE。
答案：1
解析：把△ADE绕D转90°到△FDC。ADHB为矩形，BH=AD=2，CH=BC−BH=1。S△FDC=2×1÷2=1。
水平测试 C 第5题(填空题，配教材图6-40)
如图6-40，AD=DC=CB，∠D=150°。求∠A和∠B。
答案：∠A=45°；∠B=75°
解析：作DE∥CB，BCDE为矩形。△EAB中EA=EB，∠EAB=∠EBA=15°。∠BAD=45°，∠ABC=75°。
水平测试 C 第6题(填空题，配教材图6-41)
如图6-41，AB=BC=CD，∠B=168°，∠C=108°。求∠D。
答案：54°
解析：作等边△ABE。BEDC为等腰梯形，∠ADC=54°。
水平测试 C 第7题(填空题，配教材图6-42)
如图6-42，长方形被分割，S△ADG=11，S△BCH=23。四边形EGFH的面积是______。
答案：34
解析：连EF。S△BHC=S△EFH，S△ADG=S△EFG。四边形EGFH=11+23=34。
水平测试 C 第8题(填空题，配教材图6-43)
如图6-43，D是AB中点，EC=2BE，F是AC的四等分点。阴影面积为20。求S△ABC。
答案：30
解析：共角S△BDE/S△ABC=(BD/BA)(BE/BC)=(1/2)(1/3)=1/6；S△EFC/S△ABC=(EC/BC)(FC/AC)=(2/3)(1/4)=1/6。阴影占1−1/6−1/6=2/3。S△ABC=20÷(2/3)=30。
水平测试 C 第9题(填空题，配教材图6-44)
如图6-44，S△ABC=1，延长AB到D使BD=AB，延长BC到E使CE=2BC，延长CA到F使AF=3AC。求S△DEF。
答案：18
解析：共角三块外侧：S△ADF=(AD/AB)(AF/AC)=2×3=6；S△BDE=(BD/BA)(BE/BC)=1×3=3；S△CEF=(CE/CB)(CF/CA)=2×4=8。S△DEF=6+3+8+1=18。
水平测试 C 第10题(填空题，配教材图6-45)
如图6-45，正方形边长10，E是AD中点，F是CE中点，G是BF中点。求S△BDG。
答案：6.25
解析：S△BDC=50；F是CE中点→S△DFC=25/2=12.5，S△BFC=25；S△DBF=50−25−12.5=12.5；G是BF中点→S△BDG=12.5÷2=6.25。
水平测试 C 第11题(填空题，配教材图6-46)
如图6-46，正方形边长6，3AE=AC，3CF=BC。求S△DEF。
答案：10
解析：连AF。S△ADF=18。3AE=AC→S△ADE=18/3=6；3CF=BC→S△AEF=S△AFC=2。S△DEF=18−6−2=10。
水平测试 C 第12题(填空题，配教材图6-47)
如图6-47，等边三角形ABC边长96，BD、DE、EF把它分成面积相等的四部分。求CE+CF。
答案：100
解析：四等面积：AD=96/4=24，CD=72；BE=96/3=32，CE=64；CF由面积比=边长比得CF=36。CE+CF=64+36=100。
水平测试 C 第13题(填空题，配教材图6-48)
如图6-48，EFGH是一块农田，ABCD是其中的蔬菜地，A、B、C、D分别是DH、AE、BF、CG的中点。已知蔬菜地面积为250，稻田面积是______。
答案：1000
解析：连BD、BH、AC。S△AEH=2 S△ABD，S△CFG=2 S△BCD，两块外侧和=2×250=500；同理另两块外侧和=500。稻田=500+500=1000。

四、方法小结

等积变形两条主线：(1)同高模型——高相同面积比=底边比，中点把三角形等分两半；(2)共角定理——有一组角相等或互补，面积比=夹边乘积比 S△ADE/S△ABC=(AD·AE)/(AB·AC)。求比例链时连辅助线（BE/AD）逐层乘。不规则图形用旋转/平移割补成直角三角形、矩形，面积不变。平行四边形一条对角线分成两个等积三角形，再在三角形内逐层算阴影占比。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P48 水平测试A 第1题（中点等分）
  • 教材P49 水平测试A 第5、11题（共角、同高）
  • 教材P51 水平测试B 第1、2题（中点链、辅助线）
巩固选做：
  • 教材P49 水平测试A 第6、7题（连续中点、三外侧相减）
  • 教材P50 水平测试A 第12、13题（旋转割补、三等分）
  • 教材P52 水平测试B 第3、11题（共角延长、平行四边形）
提高挑战：
  • 教材P52 水平测试B 第4–10题（割补拼成矩形/正方形/等腰直角）
  • 教材P53 水平测试B 第12、13题（四等分、蝶形）
  • 教材P54–56 水平测试C 第1–13题（延长边、旋转、等边、中点链、稻田）

六、课堂错因定位

症状：共角定理比例边对错位
根因：没认准夹公共角的两条边。
补救：用典例A2：在A点分别圈出AD与AB、AE与AC。
症状：连续中点漏乘1/2
根因：层数多数漏一层。
补救：用典例B1逐层写：12→6→3，别跳步。
症状：不会连辅助线
根因：小面积与大面积接不上。
补救：提示连BE或AD，把它当成比例桥。
症状：不规则图形不会割补
根因：想不到旋转/平移方向。
补救：用测试A12示范：绕内接正方形顶点转90°拼成直角三角形。
症状：平行四边形忘记乘2
根因：只算了△ABC。
补救：强调平行四边形=2倍对角线三角形。