【学生版】第1讲 · 数论初步

被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是______。

一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是______。

如果两个数被3除都余2，那么它们的积被3除，余数是______。

一个正整数被7除余2，被6除余5，这个正整数的最小值是______。

71427与19的积被7除，余数是______。

除以6所得商和余数相同的数是______。

在2022后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最大是______。

要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，A、B、C分别是______。

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是______。

小丽给小芳打电话，已知小芳家电话号码是个能被3整除的五位数。这五位的中间三位都是8，末位不是0，小丽最多拨______次就一定是小芳家的电话号码。

少年宫游乐厅内悬挂着1000个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗。这1000个灯泡按1~1000编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。问：第1000秒时，亮着的灯泡有多少个？

在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数都有哪些？

被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是______。

一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是______。

如果两个数被3除都余2，那么它们的积被3除，余数是______。

一个正整数被7除余2，被6除余5，这个正整数的最小值是______。

71427与19的积被7除，余数是______。

除以6所得商和余数相同的数是______。

在2022后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最大是______。

要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，A、B、C分别是______。

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是______。

小丽给小芳打电话，已知小芳家电话号码是个能被3整除的五位数。这五位的中间三位都是8，末位不是0，小丽最多拨______次就一定是小芳家的电话号码。

少年宫游乐厅内悬挂着1000个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗。这1000个灯泡按1~1000编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。问：第1000秒时，亮着的灯泡有多少个？

在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数都有哪些？

正整数A与B之差是19，A与B的最大公约数最大可以是______。

a和b是1~9中不同的数码，ab和ba的最大公约数最大可以是______。

整数除法，余数比除数小，从1到2022各数都除以9，所有余数的和是______。

把由1开始的正整数依次写下来，一直写到第201位为止，这个数除以3的余数是______。

将既能被5整除又能被7整除的正整数自105起从小到大排成一行，共有2000个数，这2000个数的和被11除的余数是______。

2021个9组成的多位数999……99除以74所得的余数是______。

一个整数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个整数是______。

在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，那么这样的六位数中最小的是______。

一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是2022。这个六位数是______。

从1、2、…、2016这2016个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，这样的数最多能选出______个。

有15个同学，每个同学编有一个号码，从1到15。编号为1的同学在黑板上写了一个正整数a后，编号为2的同学说：“a能够被2整除。”编号为3的同学说：“a能够被3整除。”依次下去，每一个同学都说这个数能被他的编号数整除。编号为1的同学作了验证，发现只有编号连续的两个同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两个同学，他们的编号是哪两个连续正整数？（2）若编号为1的同学在黑板上写的是一个五位数，这个五位数是多少？

有分别写着1、2、3、…、13的卡片各2张，任意抽出两张，计算这两张卡片上数的积，这样会得到许多不相等的积，试问：这些积中最多有多少个能被6整除？

被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是______。

一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是______。

如果两个数被3除都余2，那么它们的积被3除，余数是______。

一个正整数被7除余2，被6除余5，这个正整数的最小值是______。

71427与19的积被7除，余数是______。

除以6所得商和余数相同的数是______。

在2022后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最大是______。

要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，A、B、C分别是______。

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是______。

小丽给小芳打电话，已知小芳家电话号码是个能被3整除的五位数。这五位的中间三位都是8，末位不是0，小丽最多拨______次就一定是小芳家的电话号码。

少年宫游乐厅内悬挂着1000个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗。这1000个灯泡按1~1000编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。问：第1000秒时，亮着的灯泡有多少个？

在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数都有哪些？

1¹+2²+3³+4⁴+5⁵+6⁶+7⁷+8⁸+9⁹除以3的余数是______。

a除以5余1，b除以5余4。如果3a>b，那么3a−b除以5余数是______。

2024^(2023^2022)除以7的余数是______。

数A共有9个不同的约数，数B共有6个不同的约数，数C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不相互整除。三个数之积的最小值是______。

号码分别为101、126、173、193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。打球盘数最多的运动员打了______盘。

n=1919…1919（1919个1919），n被9除所得商的个位数是______。

一个正整数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除余7，最后得到一个商是a；又知这个正整数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍。这个正整数是______。

有100张的一摞卡片，小明拿着它们从最上面的一张开始按如下的顺序操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第______张。

一个三位数能同时被4、5、7整除，这样的三位数由小到大的顺序排成一列，中间的一个是______。

在2020这个数的前面或后面添写一个数4，所得到的两个五位数均能被4整除。现在请你找出一个三位数添写在2020的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除，这样的三位数有______个。

将正整数N接写在任意一个正整数的右面，例如：将2接写在35的右面得352。如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，请问：小于2022的正整数中有多少个魔术数？

一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？

目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日期。2016年11月28日记为161128，这个六位数恰好被88整除，这样的日期被看作“吉利日”，那么从2016年11月29日到2016年底还有哪些日期是“吉利日”？

已知m、n、k为正整数，m≥n≥k，2^m+2^n−2^k是100的倍数，求m+n−k的最小值。

求所有的由不同素数组成的三元数组（p，q，r）满足p|(q+r)，q|(r+2p)，r|(p+3q)。