【教师版】第1讲 · 数论初步

六年级奥数 · 教材第1–10页（第1讲全讲）

一、知识要点

整除的定义与三条性质

本质：对整数 a 和 b（b≠0），若存在整数 q 使 a=b×q，则称 a 被 b 整除（记 b|a）。三条性质：①线性组合；②互质传递；③互质乘积。

适用：当题目给出多个整除条件时，用性质①把它们线性组合得到新的整除关系；当除数之间互质时，用性质②③把条件拆开或合并。例如被36整除=被4整除且被9整除（因为4与9互质）。

定义：72=8×9，所以72被8整除，也被9整除。反之72÷5=14余2，不能说72被5整除。
性质一：若2|6, 2|10，则2|(3×6+5×10)=68，正确。这是把整除条件做线性组合的依据。
性质二：若3|12×5=60，且(3,5)=1，则3|12。互质时除数可以“消掉”。
性质三：若4|100, 25|100，且(4,25)=1，则100|100（当然成立）。反过来，被36整除=被4整除且被9整除。

典型错误：性质三要求b,c互质。若b=6,c=9（不互质），6|18,9|18，但54不整除18。不能盲目乘。

同余与余数性质

本质：若 a=qm+r, b=pm+r（0≤r<m），则 a≡b(mod m)。同余可加、可减、可乘：a≡b, c≡d → a±c≡b±d, ac≡bd(mod m)。

适用：求大数除以某数的余数时，不必算出大数本身，先把每个因子取余再乘再取余。例如求71427×19被7除的余数：71427÷7余6，19÷7余5，6×5=30，30÷7余2。

两个数被m除余数相同，则它们的差被m整除：a-b=(q-p)m。这是“同余”的本质。
同余可以相加相减：a≡r, b≡s(mod m)，则a+b≡r+s(mod m)，a-b≡r-s(mod m)。
同余可以相乘：a×b≡r×s(mod m)。但除法不随便做（需要互质条件）。
典例A1：16和20都被4整除（余0），426被4除余2。25被4除余1。设出25题x次，则x×1≡2(mod 4)，所以x≡2(mod 4)，即x=2,6,10,…。

典型错误：同余不能随意相除。例如 6≡12(mod 6)，不能两边除以3得到2≡4(mod 6)（虽然碰巧对，但原理上除数必须与模数互质）。

常见数的整除特征

本质：被2/5看末位；被4/25看末两位；被3/9看数字和；被11看奇位和与偶位和之差（大减小）。组合时拆成互质因数分别判断。

适用：题目给“能被36整除”就拆成被4和被9；给“被30整除”拆成被2、3、5。补数字问题（如2022__ __ __）先从最严格的条件（末位、末两位）入手。

被4整除看末两位：因为100是4的倍数，百位及以上不影响余数。同理被25看末两位。
被9整除看数字和：因为10≡1(mod 9)，所以10^k≡1(mod 9)，数 abcd=1000a+100b+10c+d≡a+b+c+d(mod 9)。
被11整除看奇位偶位差：因为10≡-1(mod 11)，所以10^k≡(-1)^k，交替加减。
组合判断：被36整除=被4整除（末两位C6被4整除）且被9整除（数字和被9整除）。

典型错误：被11判断时差是负数没关系，只要绝对值被11整除即可（包括0）。不要忘记取绝对值或加11调整。

余数合并：中国剩余定理思想

本质：若一个数被多个除数除，余数条件可以统一：找到公共余数 r（可能需要调整），则原数=r+[各除数最小公倍数]×k。

适用：“物不知数”类问题：先列出各除数与余数，观察除数与余数的和（或差）是否相同。如典例B3：除以5余3，除以7余1——5+3=8，7+1=8，统一成“除以5余8，除以7余8”，再看除以9余8也统一。则原数−8是5、7、9的公倍数。

第一步：列出所有除数和余数，算“除数+余数”或“除数−余数”。
第二步：如果各（除数+余数）相同为r，则统一成“除以各除数都余r”（注意余数要小于除数，否则调整）。
第三步：n−r 是各除数的公倍数，取最小公倍数L，n=r+L×k。
典例B3：5+3=8, 7+1=8, 9余8。统一余8。LCM(5,7,9)=315。n=315+8=323（k=1，因为要>10）。

典型错误：统一余数后忘记验证余数是否小于除数。如“除以5余8”要意识到8>5，其实就是“除以5余3”——但这里我们故意写成余8来做合并，最后再还原。

约数个数与完全平方数

本质：一个数的约数成对出现（d和N/d）。只有完全平方数的约数个数是奇数（因为平方根单独出现）。

适用：翻灯问题（A11）：第n秒翻转编号为n倍数的灯泡。编号k的灯泡被翻转次数=k的约数个数。初始亮，翻转奇数次为亮，偶数次为暗。所以亮着的灯编号是完全平方数。1000以内最大平方数是31²=961，共31个。

约数成对：12的约数1↔12、2↔6、3↔4，共6个，两两配对没有落单。
平方数：16的约数1↔16、2↔8，而4=√16只能自己配自己，落单，共5个。
所以约数个数为奇数 ⟺ N是完全平方数（这是翻灯问题的钥匙）。
翻灯题：教材规定“第一秒全部灯泡变亮”，即初始全灭；此后第n秒把编号为n的倍数的灯翻转。编号k的灯总共被翻k的约数个数次，初始灭、翻奇数次为亮。故亮着的编号恰是完全平方数。

典型错误：搞反初始状态。教材明确“第一秒全部灯泡变亮”，即初始全灭，之后每次翻转。所以总翻转次数=约数个数，奇数次=亮=平方数。

二、典例精讲

典例 A1

某种考试已举行的次数恰好是24次，共出了426道题，每次出的题数有25题或16题或20题，那么其中考25题的有多少次？

训练点：用模4分析缩小未知数范围，再枚举验证。

提示：

1. 16和20都是4的倍数，它们出的总题数也被4整除。426除以4余几？25除以4余几？

2. 设出25题x次，那么x×25除以4的余数应该等于426除以4的余数（因为16题和20题的部分不影响模4余数）。x可能是哪些值？

1设出25题x次，16题y次，20题z次。x+y+z=24，25x+16y+20z=426。

依据：两个方程三个未知数，需要缩小范围。

216y和20z都被4整除，426÷4余2，25÷4余1。所以25x≡2(mod 4)，即x≡2(mod 4)。

依据：两边同时mod 4，16y和20z消失。

3x可能为2,6,10,14,18,22。逐一试：x=2时，426−50=376=16×16+20×6（y=16,z=6，共24次），成立。

依据：x=2可行。

4x=6时，426−150=276，剩余18次最多出20×18=360题但需要276题；验证16y+20z=276, y+z=18→16y+20(18−y)=276→360−4y=276→y=21，超过18，不成立。

依据：x=6时16×(24−6)=288>276，矛盾。更大的x更不行。

答：考25题的有2次

典型错法：设三元方程组后不会用同余缩小范围，盲目枚举24种可能。

典例 A2

有些数既能表示成3个连续正整数的和，又能表示成4个连续正整数的和，还能表示成5个连续正整数的和，例如：30满足上述要求。因为30=9+10+11，30=6+7+8+9，30=4+5+6+7+8，问：在1900至2200之间满足上述要求的数有哪些？

训练点：把“连续整数和”翻译成整除条件，再用最小公倍数合并。

提示：

1. 3个连续整数的和 = 中间数×3，一定被3整除。5个连续整数的和 = 中间数×5，一定被5整除。

2. 4个连续整数的和 = (首+末)×4÷2 = 首×4+6。它被2整除，但被4除余几？试算：1+2+3+4=10，10÷4余2。

13个连续整数的和=中间数×3，必被3整除；5个连续整数的和=中间数×5，必被5整除。

依据：对称求和。

24个连续整数a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=4a+6=2(2a+3)，是2的倍数但被4除余2。

依据：4a是4的倍数，6÷4余2。

3条件：被3整除、被5整除、被4除余2。30满足。条件周期=LCM(3,4,5)=60。

依据：3和5互质，加上mod 4=2的条件，周期60。

41900÷60=31余40，30+60×32=1950是第一个。依次加60：1950,2010,2070,2130,2190。

依据：30+60×31=1890<1900，30+60×32=1950。

答：1950、2010、2070、2130、2190，共5个数

典型错法：误以为4个连续整数的和被4整除，实际是被2整除但被4除余2。

典例 A3

（1）从1到3998这3998个正整数中，有多少个数能被4整除？（2）从1到3998这3998个正整数中，有多少个数的数字和能被4整除？

训练点：(1)基础计数；(2)补零成四位数后用排列组合+同余。

提示：

1. (1)每4个数里有一个被4整除。3998÷4=999余2。

2. (2)把0到3999都看成四位数0000~3999。固定后三位bcd，要让a+b+c+d被4整除，a只能是0,1,2,3中的一个——是不是恰好有一个a满足？

1(1)3996=4×999，所以1~3998中被4整除的有(3998−2)÷4=999个。

依据：最大被4整除的是3996。

2(2)把0~3999看成四位数abcd（a=0,1,2,3；b,c,d=0~9）。

依据：补零统一位数。

3固定b,c,d后，a+b+c+d要被4整除。b+c+d除以4余0→a=0；余1→a=3；余2→a=2；余3→a=1。恰好一个a。

依据：a∈{0,1,2,3}模4恰好覆盖全部余数。

4所以0~3999中有10×10×10=1000个数字和被4整除的数。去掉0（数字和0也被4整除），1~3998中有1000−1=999个。

依据：0在范围内要去掉，3999的数字和=3+9+9+9=30不被4整除，不影响。

答：(1)999个；(2)999个

典型错法：(2)忘记去掉0；或不理解为什么a被唯一确定。

典例 B1

一个正整数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13，求所有满足条件的正整数。

训练点：设两个未知数q和r，利用范围枚举。

提示：

1. 设n=8q+r₁（除以8），n=9q₂+r（除以9），其中0≤r≤8。题目说q+r=13。

2. r是除以9的余数，所以0≤r≤8，那么q=13−r≥5。同时q≤13。枚举q=5到13。

1设n÷8商为q（余数r₁，0≤r₁≤7），n÷9余数为r。题意q+r=13；又r是除以9的余数，故0≤r≤8，得5≤q≤13。

依据：先把两个商/余数的范围圈出来。

2关键一步：n=8q+r₁，且n除以9余r=13−q。把n≡r(mod 9)写出来：8q+r₁≡13−q(mod 9)，移项得9q+r₁≡13(mod 9)，即r₁≡13≡4(mod 9)。

依据：为什么想到这一步：题目只给了“商q+余数r=13”，却没说n除以8余几；用n除以9的余数作桥梁，把q、r、r₁放进同一个同余式里。

3r₁在0到7之间，又r₁≡4(mod 9)，故r₁=4，于是n=8q+4。

依据：同余式唯一确定除以8的余数。

4q=5,r=8:n=44；q=6,r=7:n=52；q=7,r=6:n=60；q=8,r=5:n=68；q=9,r=4:n=76；q=10,r=3:n=84；q=11,r=2:n=92；q=12,r=1:n=100；q=13,r=0:n=108。

依据：逐一代入n=8q+4。

答：44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100, 108（共9个）

典型错法：忘记r的范围是0~8，导致q范围错误。

典例 B2

如图1-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）。小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔；最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？

训练点：把跳跃步长翻译成整除条件，再用余数合并。

提示：

1. 每隔2孔跳一步：从1跳到4、7、10…步长是3。如果一圈回不到A（编号1），最后落在B孔，说明总孔数N≡1(mod 3)，即N−1是3的倍数。

2. 每隔4孔跳一步：步长5，N−1是5的倍数。每隔6孔跳一步：步长7，N是7的倍数。

1每隔2孔跳一步=步长3。跳到B孔（回不到A），说明N≡1(mod 3)，即N−1被3整除。

依据：从1出发，落1,4,7,…，最后到B而非1，说明N≡1(mod 3)。

2每隔4孔跳一步=步长5。同样跳到B孔，N−1被5整除。

依据：同理。

3每隔6孔跳一步=步长7。跳回A孔，N被7整除。

依据：落1,8,15,…回到1，说明N被7整除。

4N−1是3和5的公倍数，即15的倍数。N=15k+1，且N被7整除，N<100。试k=6:N=91，91÷7=13，成立。

依据：15×6+1=91=7×13。

答：91个孔

典型错法：把“每隔2孔”理解成步长2而非步长3。

典例 B3

一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？

训练点：余数合并：发现除数+余数=8，统一余数。

提示：

1. 算一算：5+3=？7+1=？9+8=？前两个和都是8！

2. “除以5余3”等于“除以5余8”吗？因为8=5+3，所以一个数除以5余3就是除以5余8（把余数3加上除数5）。同理除以7余1=除以7余8。

15+3=8，7+1=8。统一余数：除以5余3⟺除以5余8；除以7余1⟺除以7余8。

依据：余数加上除数不改变整除关系：n=5q+3=5(q+1)−2=…不对。正确理解：n≡3(mod 5)且5+3=8，n≡8(mod 5)即n≡3(mod 5)，等价。

2所以n除以5、7、9都余8。n−8同时被5、7、9整除。

依据：三个余数统一为8。

3LCM(5,7,9)=315。n=315k+8。最小>10的是k=1:n=323。

依据：k=0时n=8不大于10。

答：323

典型错法：看不出统一余数，硬枚举10,20,30…

典例 C1

70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、…，问：最右边一个数被6除余几？

训练点：递推数列只需求mod 2和mod 3的周期，再合并。

提示：

1. 递推关系：中间项c=3b−a（即3b=a+c）。我们只关心第70项mod 6。

2. 先算mod 3的余数序列：0,1,0,2,0,1,0,2…每4个一循环。再算mod 2：0,1,1,0,1,1,0…每3个一循环。

1递推：c=3b−a。mod 3时，3b≡0，所以c≡−a≡2a(mod 3)。

依据：3b被3整除。

2mod 3序列：0,1,0,2,0,1,0,2…周期4。第70项：70÷4=17余2，对应余1。

依据：第1项0,第2项1,第3项0,第4项2,第5项0…余2对应第2项=1。

3mod 2时，c=3b−a≡b−a(mod 2)。序列：0,1,1,0,1,1,0…周期3。

依据：3≡1(mod 2)。

4第70项：70÷3=23余1，对应余0。

依据：第1项0,第2项1,第3项1,第4项0…余1对应第1项=0。

5合并：n≡1(mod 3)且n≡0(mod 2)，在0~5中找：n=4。

依据：偶数中被3除余1的是4。

答：被6除余4

典型错法：硬算大数或只算mod 3忘记合并mod 2。

典例 C2

定义正整数的k进制：(aₙ₋₁aₙ₋₂…a₀)ₖ=aₙ₋₁·kⁿ⁻¹+…+a₀。（1）若(1x55)₇=(3x13)₅，求x的值；（2）求所有满足在五进制中后两位是0，在六、七进制中为三位数的数之和，答案用十进制表示。

训练点：进制转换与范围枚举。

提示：

1. (1)两边展开成十进制：1×49+x×7+5×7+5 = 3×125+x×25+5+3。

2. (2)六进制三位数范围(100)₆=36到(555)₆=185；七进制三位数(100)₇=49到(666)₇=342。交集49~185。五进制后两位为0即被25整除。

1(1)按k进制展开成十进制：(1x55)₇=1×7³+x×7²+5×7+5=343+49x+35+5=383+49x；(3x13)₅=3×5³+x×5²+1×5+3=375+25x+8=383+25x。

依据：为什么想到这一步：不同进制无法直接相等，统一换成十进制再列方程；注意(1x55)₇是四位，最高位权重是7³=343，不是7²。

2383+49x=383+25x，得24x=0，故x=0。

依据：两边常数都是383，直接消去。

3(2)六进制三位数：(100)₆=36到(555)₆=5×36+5×6+5=215。七进制三位数：49到342。交集49~215。

依据：取交集。

4五进制后两位为0：a=(x00)₅=25x（三位数）或a=(yz00)₅=125y+25z（四位数）。

依据：后两位0即被25整除。

5①三位数：25x∈[49,215]，x=2,3,4→50,75,100。②四位数：125y+25z，y=1，z=0,1,2,3→125,150,175,200。

依据：枚举。

6总和=50+75+100+125+150+175+200=875。

依据：相加。

答：(1)x=0；(2)875

典型错法：(1)展开时漏算7³位；(2)范围交集算错。

典例 C3

若一个正整数等于它的不同的五个正约数的4次方和（约数可以取1和其本身），则称此正整数是“漂亮数”。（1）证明：存在无穷多个“漂亮数”；（2）是否存在“漂亮数”n，使得n恰好等于它的最小的五个不同正约数的4次方和？请说明理由。

训练点：构造法证明无穷多；模5反证法。

提示：

1. (1)先找一个漂亮数：2⁴+4⁴+6⁴+8⁴+12⁴=16+256+1296+4096+20736=26400。如果x是漂亮数，kx也是吗？注意(kd)⁴=k⁴d⁴。

2. (2)先证明漂亮数一定是5的倍数：任何数的4次方mod5要么0要么1。五个4次方和mod5=0…5，要等于0 mod5。

1(1)2⁴+4⁴+6⁴+8⁴+12⁴=26400是漂亮数。若x=Σaᵢ⁴是漂亮数，则k⁴x=Σ(kaᵢ)⁴，且kaᵢ是k⁴x的约数。所以k⁴x也是漂亮数，无穷多。

依据：缩放构造。

2(2)先证漂亮数是5的倍数：若aᵢ中有5的倍数，则和中该项≡0 mod5，其他项4次方≡0或1 mod5，需五个非倍数项和≡0 mod5（即5个1）。若都不是5的倍数，每个aᵢ⁴≡1 mod5，和≡5≡0 mod5。所以x是5的倍数。

依据：费马小定理思想：非5倍数的4次方≡1 mod5。

3假设n是最小五约数d₁<d₂<d₃<d₄<d₅的4次方和。d₁=1。n是5的倍数，所以某个dᵢ=5（i≥2）。

依据：5的倍数约数中最小的是5。

4则n=1⁴+5⁴+dⱼ⁴+dₖ⁴+dₗ⁴。mod5看：1⁴≡1、5⁴≡0，其余三个约数都不是5的倍数（5已是其中最小者，它们更小），每个的4次方≡1。于是n≡1+0+(1+1+1)=4，至多1~4之间某个数。

依据：非5倍数的4次方≡1 mod5；关键是无论怎样，n≡1,2,3,4(mod5)，就是不≡0。

5但前面已证漂亮数n≡0(mod5)，这里却推出n≡1,2,3,4，矛盾！

依据：n不可能同时被5整除又不被5整除。

答：(1)存在无穷多个；(2)不存在

典型错法：不理解为什么4次方mod5只有0和1；反证法逻辑链断裂。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)

被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是______。

答案：53

解析：被3除余2的数2,5,8,11,…其中被5除余3的最小是8。[3,5]=15，8+15k：8,23,38,53。53÷7=7余4，满足。最小为53。

水平测试 A 第2题(填空题)

一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是______。

答案：11

解析：同余则两两之差被该数整除。2001−1000=1001=7×11×13，1000−967=33=3×11。公约数为11（排除1）。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果两个数被3除都余2，那么它们的积被3除，余数是______。

答案：1

解析：2×2=4，4÷3=1余1。同余相乘：2×2≡4≡1(mod 3)。

水平测试 A 第4题(填空题)

一个正整数被7除余2，被6除余5，这个正整数的最小值是______。

答案：23

解析：被7除余2：2,9,16,23,…其中23÷6=3余5，满足。

水平测试 A 第5题(填空题)

71427与19的积被7除，余数是______。

答案：2

解析：71427÷7=10203余6，19÷7=2余5。6×5=30，30÷7=4余2。

水平测试 A 第6题(填空题)

除以6所得商和余数相同的数是______。

答案：0, 7, 14, 21, 28, 35

解析：设商=余数=r（0≤r≤5），则数=6r+r=7r。r=0,1,2,3,4,5对应0,7,14,21,28,35。

水平测试 A 第7题(填空题)

在2022后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最大是______。

答案：2022900

解析：LCM(2,3,5,11)=330。从2022999往下试：2022999÷330=6130余99，所以2022999−99=2022900。

水平测试 A 第8题(填空题)

要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，A、B、C分别是______。

答案：A=0, B=1, C=5

解析：36=4×9。末两位C6被4整除→C=1,3,5,7,9。数字和1+5+6+A+B+C=12+A+B+C被9整除。要商最小即数最小，A=0,B=1。则13+C被9整除→C=5（13+5=18）。

水平测试 A 第9题(填空题)

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是______。

答案：9

解析：被3整除需数字和被3整除。可选组合：0,1,4,7（和12）或1,4,7,9（和21）。排列：1047,1074,1407,1470,1479…第5个是1479，末位9。

水平测试 A 第10题(填空题)

小丽给小芳打电话，已知小芳家电话号码是个能被3整除的五位数。这五位的中间三位都是8，末位不是0，小丽最多拨______次就一定是小芳家的电话号码。

答案：27

解析：号码为a888b。数字和a+24+b被3整除→a+b被3整除。b∈{1..9}（9种），a∈{1..9}。对每个b，a有3种取法（如b=2时a=1,4,7）。共9×3=27种。

水平测试 A 第11题(解答题)

少年宫游乐厅内悬挂着1000个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗。这1000个灯泡按1~1000编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。问：第1000秒时，亮着的灯泡有多少个？

答案：31个

解析：第k号灯泡被翻转次数=k的约数个数。初始全灭，第1秒全亮后，翻转奇数次为亮。约数个数为奇数当且仅当k是完全平方数。31²=961≤1000<32²=1024，共31个平方数。

水平测试 A 第12题(解答题)

在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数都有哪些？

答案：99979, 97999, 98989

解析：五位数数字和最大45，43意味着至少3个9。分两类：(1)四个9一个7：奇位和−偶位和=3×9−(9+7)=11（被11整除），得99979,97999；(2)三个9两个8：3×9−2×8=11，得98989。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)

被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是______。

答案：53

解析：被3除余2的数2,5,8,11,…其中被5除余3的最小是8。[3,5]=15，8+15k：8,23,38,53。53÷7=7余4，满足。最小为53。

水平测试 A 第2题(填空题)

一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是______。

答案：11

解析：同余则两两之差被该数整除。2001−1000=1001=7×11×13，1000−967=33=3×11。公约数为11（排除1）。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果两个数被3除都余2，那么它们的积被3除，余数是______。

答案：1

解析：2×2=4，4÷3=1余1。同余相乘：2×2≡4≡1(mod 3)。

水平测试 A 第4题(填空题)

一个正整数被7除余2，被6除余5，这个正整数的最小值是______。

答案：23

解析：被7除余2：2,9,16,23,…其中23÷6=3余5，满足。

水平测试 A 第5题(填空题)

71427与19的积被7除，余数是______。

答案：2

解析：71427÷7=10203余6，19÷7=2余5。6×5=30，30÷7=4余2。

水平测试 A 第6题(填空题)

除以6所得商和余数相同的数是______。

答案：0, 7, 14, 21, 28, 35

解析：设商=余数=r（0≤r≤5），则数=6r+r=7r。r=0,1,2,3,4,5对应0,7,14,21,28,35。

水平测试 A 第7题(填空题)

在2022后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最大是______。

答案：2022900

解析：LCM(2,3,5,11)=330。从2022999往下试：2022999÷330=6130余99，所以2022999−99=2022900。

水平测试 A 第8题(填空题)

要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，A、B、C分别是______。

答案：A=0, B=1, C=5

解析：36=4×9。末两位C6被4整除→C=1,3,5,7,9。数字和1+5+6+A+B+C=12+A+B+C被9整除。要商最小即数最小，A=0,B=1。则13+C被9整除→C=5（13+5=18）。

水平测试 A 第9题(填空题)

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是______。

答案：9

解析：被3整除需数字和被3整除。可选组合：0,1,4,7（和12）或1,4,7,9（和21）。排列：1047,1074,1407,1470,1479…第5个是1479，末位9。

水平测试 A 第10题(填空题)

答案：27

解析：号码为a888b。数字和a+24+b被3整除→a+b被3整除。b∈{1..9}（9种），a∈{1..9}。对每个b，a有3种取法（如b=2时a=1,4,7）。共9×3=27种。

水平测试 A 第11题(解答题)

答案：31个

水平测试 A 第12题(解答题)

在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数都有哪些？

答案：99979, 97999, 98989

水平测试 B 第1题(填空题)

正整数A与B之差是19，A与B的最大公约数最大可以是______。

答案：1或19

解析：gcd(A,B)=gcd(A−B,B)=gcd(19,B)。19是质数，所以gcd=1或19。当B是19的倍数时gcd=19（如A=38,B=19）。

水平测试 B 第2题(填空题)

a和b是1~9中不同的数码，ab和ba的最大公约数最大可以是______。

答案：12

解析：试算：当a=4,b=8时，48和84，gcd(48,84)=12。

水平测试 B 第3题(填空题)

整数除法，余数比除数小，从1到2022各数都除以9，所有余数的和是______。

答案：8085

解析：每9个数余数和=0+1+2+…+8=36。2022÷9=224余6，完整224组：36×224=8064。剩余2017~2022对应余数1,2,3,4,5,6，和=21。总计8064+21=8085。

水平测试 B 第4题(填空题)

把由1开始的正整数依次写下来，一直写到第201位为止，这个数除以3的余数是______。

答案：1

解析：先数位数：1~9占9位，10~99占90×2=180位，共189位；还需201−189=12位，正好再写100、101、102、103这4个三位数，故这个201位数写到103，共103个数。一个数除以3的余数=它各位数字和除以3的余数=它所写各数自身除以3余数之和。每连续3个整数之和是3的倍数，103=3×34+1，只剩最后的103；103÷3余1，故这个数除以3余1。

水平测试 B 第5题(填空题)

将既能被5整除又能被7整除的正整数自105起从小到大排成一行，共有2000个数，这2000个数的和被11除的余数是______。

答案：5

解析：即35的倍数从105起：105,140,175,…被11除余数周期为6,8,10,1,3,5,7,9,0,2,4（11个一循环），和=55被11整除。2000÷11=181余9，前9个余数和=6+8+10+1+3+5+7+9+0=49，49÷11余5。

水平测试 B 第6题(填空题)

2021个9组成的多位数999……99除以74所得的余数是______。

答案：25

解析：9999÷74=135余9，135×74=9990。即9990被74整除。每3个9后补0可被74整除。2021÷3=673余2，剩99。99÷74=1余25。

水平测试 B 第7题(填空题)

一个整数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个整数是______。

答案：43

解析：63+91+129=283。283−25=258被该整数整除。258=2×3×43。余数和25，除数须>25/3≈8.3，且除数<63。可能43。验证：63÷43余20，91÷43余5，129÷43余0，和=25。

水平测试 B 第8题(填空题)

在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，那么这样的六位数中最小的是______。

答案：568020

解析：被4和5整除→末两位00,20,40,60,80。从568000开始试：568000数字和=19不被3整除；568020数字和=21被3整除，末两位20被4整除。

水平测试 B 第9题(填空题)

一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是2022。这个六位数是______。

答案：720225

解析：设为a2022b。被9整除：a+b+6≡0 mod9→a+b=3或12。被11整除：(a+0+2)−(2+2+b)=a−b−2≡0 mod11→a−b=2或−9。联立：a+b=12,a−b=2→a=7,b=5。

水平测试 B 第10题(填空题)

从1、2、…、2016这2016个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，这样的数最多能选出______个。

答案：78

解析：选出的数须同余且同奇偶：任意两数和被26整除→每个数≡13(mod 26)（奇数倍13），或全为26的倍数。1~2016中13的奇数倍：13,39,65,…,2015共(2015−13)/26+1=78个。

水平测试 B 第11题(解答题)

有15个同学，每个同学编有一个号码，从1到15。编号为1的同学在黑板上写了一个正整数a后，编号为2的同学说：“a能够被2整除。”编号为3的同学说：“a能够被3整除。”依次下去，每一个同学都说这个数能被他的编号数整除。编号为1的同学作了验证，发现只有编号连续的两个同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两个同学，他们的编号是哪两个连续正整数？（2）若编号为1的同学在黑板上写的是一个五位数，这个五位数是多少？

答案：(1)8和9；(2)60060

解析：(1)若不对的是k和k+1，则其他编号都整除a。排除2-7对（因为会导致相邻更多错误），排除10,12,14,15（若它们不对会牵连）。唯一可能是8和9。(2)a是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的倍数，LCM=2²×3×5×7×11×13=60060。

水平测试 B 第12题(解答题)

有分别写着1、2、3、…、13的卡片各2张，任意抽出两张，计算这两张卡片上数的积，这样会得到许多不相等的积，试问：这些积中最多有多少个能被6整除？

答案：21个

解析：积能被6整除需含因数2和3。最大积13×12=26×6，最小积1×6=6。6的倍数从6到26×6共26个，但其中25×6,23×6,21×6,19×6,17×6不能表示为两卡片乘积（因为另一因子需含2或3，卡片最大13），减去5个。26−5=21。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)

被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是______。

答案：53

解析：被3除余2的数2,5,8,11,…其中被5除余3的最小是8。[3,5]=15，8+15k：8,23,38,53。53÷7=7余4，满足。最小为53。

水平测试 A 第2题(填空题)

一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是______。

答案：11

解析：同余则两两之差被该数整除。2001−1000=1001=7×11×13，1000−967=33=3×11。公约数为11（排除1）。

水平测试 A 第3题(填空题)

如果两个数被3除都余2，那么它们的积被3除，余数是______。

答案：1

解析：2×2=4，4÷3=1余1。同余相乘：2×2≡4≡1(mod 3)。

水平测试 A 第4题(填空题)

一个正整数被7除余2，被6除余5，这个正整数的最小值是______。

答案：23

解析：被7除余2：2,9,16,23,…其中23÷6=3余5，满足。

水平测试 A 第5题(填空题)

71427与19的积被7除，余数是______。

答案：2

解析：71427÷7=10203余6，19÷7=2余5。6×5=30，30÷7=4余2。

水平测试 A 第6题(填空题)

除以6所得商和余数相同的数是______。

答案：0, 7, 14, 21, 28, 35

解析：设商=余数=r（0≤r≤5），则数=6r+r=7r。r=0,1,2,3,4,5对应0,7,14,21,28,35。

水平测试 A 第7题(填空题)

在2022后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最大是______。

答案：2022900

解析：LCM(2,3,5,11)=330。从2022999往下试：2022999÷330=6130余99，所以2022999−99=2022900。

水平测试 A 第8题(填空题)

要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，A、B、C分别是______。

答案：A=0, B=1, C=5

解析：36=4×9。末两位C6被4整除→C=1,3,5,7,9。数字和1+5+6+A+B+C=12+A+B+C被9整除。要商最小即数最小，A=0,B=1。则13+C被9整除→C=5（13+5=18）。

水平测试 A 第9题(填空题)

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是______。

答案：9

解析：被3整除需数字和被3整除。可选组合：0,1,4,7（和12）或1,4,7,9（和21）。排列：1047,1074,1407,1470,1479…第5个是1479，末位9。

水平测试 A 第10题(填空题)

答案：27

解析：号码为a888b。数字和a+24+b被3整除→a+b被3整除。b∈{1..9}（9种），a∈{1..9}。对每个b，a有3种取法（如b=2时a=1,4,7）。共9×3=27种。

水平测试 A 第11题(解答题)

答案：31个

水平测试 A 第12题(解答题)

在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数都有哪些？

答案：99979, 97999, 98989

水平测试 C 第1题(填空题)

1¹+2²+3³+4⁴+5⁵+6⁶+7⁷+8⁸+9⁹除以3的余数是______。

答案：1

解析：3,6,9的倍数项≡0 mod3。2²=4≡1，4⁴≡1，8⁸≡1，1¹≡1，5⁵≡2⁵≡2，7⁷≡1⁷≡1。和=1+1+1+1+2+1=7≡1(mod3)。

水平测试 C 第2题(填空题)

a除以5余1，b除以5余4。如果3a>b，那么3a−b除以5余数是______。

答案：4

解析：a≡1, b≡4(mod5)。3a≡3, 3a−b≡3−4=−1≡4(mod5)。

水平测试 C 第3题(填空题)

2024^(2023^2022)除以7的余数是______。

答案：1

解析：2024≡1(mod7)，所以任何次方≡1。

水平测试 C 第4题(填空题)

数A共有9个不同的约数，数B共有6个不同的约数，数C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不相互整除。三个数之积的最小值是______。

答案：17280

解析：约数个数9=(2+1)(2+1)→A=a²b²最小36；约数个数6=(5+1)或(2+1)(1+1)→B最小20(2²×5)；约数个数8→C最小24(2³×3)。互不整除要求取A=36,B=20,C=24，积=17280。

水平测试 C 第5题(填空题)

号码分别为101、126、173、193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。打球盘数最多的运动员打了______盘。

答案：5

解析：号码mod3：101≡2,126≡0,173≡2,193≡1。两两和mod3：(101,126)=2,(101,173)=1,(101,193)=0,(126,173)=2,(126,193)=1,(173,193)=0。126号打2+2+1=5盘最多。

水平测试 C 第6题(填空题)

n=1919…1919（1919个1919），n被9除所得商的个位数是______。

答案：5

解析：n的数字和=1919×(1+9+1+9)=1919×20≡2×2=4(mod9)。所以n≡4(mod9)，n−4被9整除。n−4的个位数是5，商的个位数=5（因为9×5=45，个位5）。

水平测试 C 第7题(填空题)

一个正整数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除余7，最后得到一个商是a；又知这个正整数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍。这个正整数是______。

答案：1993

解析：第一种短除：n=[(8a+7)×8+1]×8+1=512a+457。第二种：n=[(2a×17+15)×17+4]=578a+259。相等：512a+457=578a+259→66a=198→a=3。n=512×3+457=1993。

水平测试 C 第8题(填空题)

有100张的一摞卡片，小明拿着它们从最上面的一张开始按如下的顺序操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第______张。

答案：72

解析：约瑟夫环类：当N=2^a+m时，剩下的是第2m张。100=64+36，2×36=72。

水平测试 C 第9题(填空题)

一个三位数能同时被4、5、7整除，这样的三位数由小到大的顺序排成一列，中间的一个是______。

答案：560

解析：LCM(4,5,7)=140。最小三位数140，最大140×7=980。共7个，中间第4个=140×4=560。

水平测试 C 第10题(填空题)

在2020这个数的前面或后面添写一个数4，所得到的两个五位数均能被4整除。现在请你找出一个三位数添写在2020的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除，这样的三位数有______个。

答案：4

解析：设三位数x。前面加x得x×10000+2020，后面加得2020×10000+x。都被x整除→2020被x整除。2020=2²×5×101，三位约数：101,202,404,505，共4个。

水平测试 C 第11题(解答题)

将正整数N接写在任意一个正整数的右面，例如：将2接写在35的右面得352。如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，请问：小于2022的正整数中有多少个魔术数？

答案：14个

水平测试 C 第12题(解答题)

一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？

答案：4876391520

解析：被10整除→末位0；被4整除→末两位偶数。设为4876abcd20，剩余数字1,3,5,9。被11整除得b+d+1=a+c+11。被7,13,17整除检验，唯一解4876391520。

水平测试 C 第13题(解答题)

目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日期。2016年11月28日记为161128，这个六位数恰好被88整除，这样的日期被看作“吉利日”，那么从2016年11月29日到2016年底还有哪些日期是“吉利日”？

答案：161216（2016年12月16日）

解析：88=8×11。11月只剩29,30两天，161129÷8余1,161130÷8余2都不被8整除。12月设为1612ab。被8整除→12ab被8整除。被11整除：(1+1+a)−(6+2+b)=a−b−6≡0 mod11。试得a=1,b=6：161216。

水平测试 C 第14题(解答题)

已知m、n、k为正整数，m≥n≥k，2^m+2^n−2^k是100的倍数，求m+n−k的最小值。

答案：13

解析：100=4×25。提取2^k：2^k(2^(m−k)+2^(n−k)−1)。需被4和25整除。括号内为奇数，所以k≥2。设a=m−k,b=n−k，需2^a+2^b−1被25整除。试得a=10,b=1时：2^10+2−1=1025=25×41。m+n−k=k+a+b=2+10+1=13。

水平测试 C 第15题(解答题)

求所有的由不同素数组成的三元数组（p，q，r）满足p|(q+r)，q|(r+2p)，r|(p+3q)。

答案：(5,3,2), (2,11,7), (2,3,11)

解析：分三种情况讨论谁最大：(1)p最大→q+r=p，q|3r→q=3，r=2,p=5。(2)q最大→r+2p=q，p=2,r=7,q=11。(3)r最大→p+3q=r，p=2,q=3,r=11。共三组解。

四、方法小结

数论初步核心是整除与同余。先记整除三性质（线性组合、互质传递、互质乘积）和常见整除特征（2/5看末位，4/25看末两位，3/9看数字和，11看奇偶位差）。余数问题用同余加减乘性质化大为小；多个余数条件先看除数与余数的和/差是否相同，统一后用最小公倍数合并。翻灯类问题用约数个数奇偶性（平方数为奇）。遇到证明题用反证法+取模。

五、作业建议

基础必做：

教材P3 水平测试A 第1–6题（填空，余数与整除基础）
教材P3 水平测试A 第7、8题（补数字）

巩固选做：

教材P3 水平测试A 第9、10题（排列组合与整除）
教材P3–4 水平测试A 第11、12题（翻灯、11的倍数）
教材P5 水平测试B 第1–5题（填空）
教材P5 水平测试B 第6–9题（填空）

提高挑战：

教材P5–6 水平测试B 第10、11、12题（综合）
教材P8 水平测试C 第1–6题（填空，含高次幂取余、约数个数）
教材P9–10 水平测试C 第7–15题（短除式、约瑟夫环、魔术数、十全数、素数组）

六、课堂错因定位

症状：看到整除题就硬算大数，不会取余
根因：不熟同余性质，不知道可以先把每个数mod m再运算。
补救：用知识模块“同余运算链”图反复练习：71427×19 mod7，先各自取余再乘。

症状：多个余数条件不会合并，硬枚举
根因：没有观察除数与余数的和/差是否相同。
补救：用典例B3：先算5+3=8,7+1=8，引导学生发现统一余数。

症状：被11整除判断时忘记奇位偶位交替
根因：记错整除特征。
补救：背口诀：被11，“奇偶差”。写一个数如121，奇位1+1=2，偶位2，差0。

症状：翻灯/开关问题搞反亮暗
根因：初始状态没理清。
补救：画小表：1,2,3,4号灯手动翻一遍，验证平方数亮。

症状：进制转换展开时漏位
根因：不理解k进制每一位的权重是k的幂。
补救：先从十进制展开（如123=1×100+2×10+3）过渡到七进制。

症状：证明题无从下手
根因：六年级首次接触数论证明，不习惯反证法和模运算。
补救：典例C3分步引导：先证漂亮数是5的倍数→假设存在→导出矛盾。