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【学生版】第12讲 · 圆与扇形

六年级奥数 · 教材第111–121页（第12讲全讲）

一、知识要点

扇形的基本量与公式

本质：半径r、圆心角n°、弧长L、面积S。L=n/360×2πr=nπr/180；S=n/360×πr²=1/2·Lr。
O r n° L（弧） L = n/180·πr S = n/360·πr² = ½Lr

求阴影面积的七种方法

本质：转化法（拼补）、和差法、重叠法、补形法、拼接法、特殊位置法、代数法。
阴影面积思路：观察结构→选方法 拼补/转化 不规则→规则 和差法 整体−空白 重叠法 重叠部分 补形法 补成特殊形

旋转扫过的面积与路程

本质：线段绕一端旋转θ°，扫过的是扇形；点绕定点旋转θ°走过的路程=θ/360×2π×半径。
旋转中心 扫过扇形 点走过弧长=θ/360×2πr

圆在图形内侧/外侧滚动

本质：圆沿长方形内侧滚一周：扫过面积=长方形−中间空小长方形−四角未扫到的小方块（方块里含四分之一圆）。
中间空当=（长−2r）×（宽−2r） 四角各留一个小方块（边长2r）

二、典例精讲

典例 A1
已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线联结起来得图12-2，求图中阴影部分的总面积（π=3.14）。
正方形边长10，求阴影总面积
典例 A2
图12-4是圆心为O，半径是10厘米的圆，以点C为圆心、CA为半径画一圆弧，求阴影部分的面积。（π=3.14）
圆O半径10，C为圆心画弧，求阴影
典例 B1
如图12-13，一个等腰直角三角形ABC的直角边长度是1米。现在以C点为旋转中心，将三角形ABC按顺时针方向旋转90°。求AB边在旋转时所扫过的面积。（π=3.14）
C B A 等腰直角△绕C顺时针转90°，求AB扫过面积
典例 B2
图12-15中圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π平方厘米，求图中三角形的面积。
圆半径4，阴影14π，反求三角形面积
典例 C1
如图12-22，AD=DB=DC=10厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π=3.14）
AD=DB=DC=10，求阴影面积
典例 C2
已知长方形ABCD的长AB=14cm，宽BC=10cm。(1)如图12-24，一个半径为1cm的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积；(2)如图12-25，E、F分别为AB、CD上的点，且AE=1/7AB，FC:DF=2:5，一个半径为1cm的圆在长方形外侧连续地从点E经过点B、C滚动到点F。求圆滚过的面积。（结果保留π）
长方形14×10，半径1的圆滚一周 分内侧滚、外侧滚两种
典例 C3
如图12-26，一条直线上放着一个长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形Ⅰ，它的对角线长恰好是5厘米。让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置，求点A走过的路程的长。（π=3.14）
Ⅰ(4×3) Ⅱ …Ⅲ 长方形绕B连转三次，求A点走过路程

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
有一块半圆形的铁板，半径为2厘米，这块铁板的周长是______厘米。
水平测试 A 第2题(填空题，配图12-5)
如图12-5，阴影部分是一个正方形，面积是6平方分米。这个圆的面积是______平方分米。
水平测试 A 第3题(填空题，配图12-6)
如图12-6，一块正方形草地的面积是15平方米。在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长与草地边长相等。这两只羊都能吃到草的草地面积是______平方米。
水平测试 A 第4题(填空题，配图12-7)
如图12-7，以正方形的三条边为直径向内作一个半圆和两个四分之一圆，则阴影部分面积是______。
水平测试 A 第5题(填空题，配图12-8)
如图12-8，环形的内圆周长为157厘米，环形的宽是5厘米。环形的面积是______。
水平测试 A 第6题(填空题，配图12-9)
如图12-9，阴影C的面积占阴影A、B、C面积之和的______。
水平测试 A 第7题(填空题，配图12-10)
如图12-10，阴影部分的面积是______平方厘米。
水平测试 A 第8题(填空题)
一个扇形的半径是3厘米，弧长是3.14厘米，这个扇形的面积是______平方厘米。
水平测试 A 第9题(填空题)
两根都是20厘米长的铁丝，分别首尾相接，一个围成圆，一个围成正方形，圆的面积比正方形的面积大______平方厘米。
水平测试 A 第10题(填空题)
以正三角形的三个顶点为圆心，边长一半为半径在正三角形内作弧。若正三角形边长为4厘米，则三条弧长的和为______厘米。
水平测试 A 第11题(解答题，配图12-11)
如图12-11，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
水平测试 A 第12题(解答题，配图12-12)
如图12-12，求外围的周长（单位：分米）。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
有一块半圆形的铁板，半径为2厘米，这块铁板的周长是______厘米。
水平测试 A 第2题(填空题，配图12-5)
如图12-5，阴影部分是一个正方形，面积是6平方分米。这个圆的面积是______平方分米。
水平测试 A 第3题(填空题，配图12-6)
如图12-6，一块正方形草地的面积是15平方米。在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长与草地边长相等。这两只羊都能吃到草的草地面积是______平方米。
水平测试 A 第4题(填空题，配图12-7)
如图12-7，以正方形的三条边为直径向内作一个半圆和两个四分之一圆，则阴影部分面积是______。
水平测试 A 第5题(填空题，配图12-8)
如图12-8，环形的内圆周长为157厘米，环形的宽是5厘米。环形的面积是______。
水平测试 A 第6题(填空题，配图12-9)
如图12-9，阴影C的面积占阴影A、B、C面积之和的______。
水平测试 A 第7题(填空题，配图12-10)
如图12-10，阴影部分的面积是______平方厘米。
水平测试 A 第8题(填空题)
一个扇形的半径是3厘米，弧长是3.14厘米，这个扇形的面积是______平方厘米。
水平测试 A 第9题(填空题)
两根都是20厘米长的铁丝，分别首尾相接，一个围成圆，一个围成正方形，圆的面积比正方形的面积大______平方厘米。
水平测试 A 第10题(填空题)
以正三角形的三个顶点为圆心，边长一半为半径在正三角形内作弧。若正三角形边长为4厘米，则三条弧长的和为______厘米。
水平测试 A 第11题(解答题，配图12-11)
如图12-11，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
水平测试 A 第12题(解答题，配图12-12)
如图12-12，求外围的周长（单位：分米）。
水平测试 B 第1题(填空题)
一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的直径是______分米。
水平测试 B 第2题(填空题)
一个扇形的弧长是18.84分米，圆心角为90°，这个扇形所在圆的周长是______分米。
水平测试 B 第3题(填空题)
扇形所在圆的半径是10.2厘米，圆心角为252°，这个扇形所含弧的长度是这个圆周长的______。
水平测试 B 第4题(填空题)
一个圆半径为7厘米，圆上一段弧长6.28厘米，由这段弧和两条半径围成的扇形面积是______平方厘米。
水平测试 B 第5题(填空题，配图12-16)
如图12-16，圆O的直径为6厘米，阴影部分的面积是______平方厘米。
水平测试 B 第6题(填空题，配图12-17)
如图12-17，一个1/4圆，半径为3厘米。以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，那么阴影部分的面积是______平方厘米。
水平测试 B 第7题(填空题，配图12-18)
如图12-18，圆O的直径AB长20厘米，阴影部分的面积是______平方厘米。
水平测试 B 第8题(填空题，配图12-19)
如图12-19，在1/4圆内以它的一条半径OA为直径画一个半圆，交OD于点M，∠AOD=45°。已知阴影甲的面积是1平方分米，阴影乙的面积是______平方分米。
水平测试 B 第9题(填空题，配图12-20)
AB是圆O的直径，其长为1，它的三等分点分别为C与D。在AB的两侧以AC、AD、CB、DB为直径分别画半圆（如图12-20所示），这四个半圆将原来的圆分成三部分。如果中间那个区域（阴影）部分的面积为kπ，则k=______。
水平测试 B 第10题(填空题)
一条狗被拴在底座为边长4米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是5米，狗活动范围的总面积是______平方米。
水平测试 B 第11题(解答题，配图12-21)
正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到如图12-21所示的阴影部分。求阴影部分的面积和周长。
水平测试 B 第12题(解答题)
草地上有一个长20米、宽10米的关闭着的长方形羊圈，在羊圈外的一角用长30米的绳子拴着一只羊，这只羊能够活动的范围有多大？

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
有一块半圆形的铁板，半径为2厘米，这块铁板的周长是______厘米。
水平测试 A 第2题(填空题，配图12-5)
如图12-5，阴影部分是一个正方形，面积是6平方分米。这个圆的面积是______平方分米。
水平测试 A 第3题(填空题，配图12-6)
如图12-6，一块正方形草地的面积是15平方米。在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长与草地边长相等。这两只羊都能吃到草的草地面积是______平方米。
水平测试 A 第4题(填空题，配图12-7)
如图12-7，以正方形的三条边为直径向内作一个半圆和两个四分之一圆，则阴影部分面积是______。
水平测试 A 第5题(填空题，配图12-8)
如图12-8，环形的内圆周长为157厘米，环形的宽是5厘米。环形的面积是______。
水平测试 A 第6题(填空题，配图12-9)
如图12-9，阴影C的面积占阴影A、B、C面积之和的______。
水平测试 A 第7题(填空题，配图12-10)
如图12-10，阴影部分的面积是______平方厘米。
水平测试 A 第8题(填空题)
一个扇形的半径是3厘米，弧长是3.14厘米，这个扇形的面积是______平方厘米。
水平测试 A 第9题(填空题)
两根都是20厘米长的铁丝，分别首尾相接，一个围成圆，一个围成正方形，圆的面积比正方形的面积大______平方厘米。
水平测试 A 第10题(填空题)
以正三角形的三个顶点为圆心，边长一半为半径在正三角形内作弧。若正三角形边长为4厘米，则三条弧长的和为______厘米。
水平测试 A 第11题(解答题，配图12-11)
如图12-11，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
水平测试 A 第12题(解答题，配图12-12)
如图12-12，求外围的周长（单位：分米）。
水平测试 C 第1题(填空题，配图12-28)
如图12-28，AB是圆O的直径，直角三角形ABC的面积是8平方厘米，圆O的面积是______平方厘米。
水平测试 C 第2题(填空题，配图12-29)
如图12-29，等腰直角三角形ABC，直角边长为10。以直角边AB为直径画半圆交斜边BC于点D，以点C为圆心、AC长为半径画弧交斜边BC于点E，则阴影部分的面积是______。
水平测试 C 第3题(填空题，配图12-30)
如图12-30，一块田径场地，周长400米，直道长100米，弯道是两个长100米的半圆，两条弯道围成的面积与中间长方形面积的比是______。
水平测试 C 第4题(填空题，配图12-31)
如图12-31，已知AC=4（单位：分米），则阴影部分的面积是______。
水平测试 C 第5题(填空题，配图12-32)
如图12-32，OA=OB=2.5，AC=CD=4，BC=3，扇形CAD与圆O之间的面积分别记为S①、S②、S③、S④，则S①+S②+S③−S④=______。
水平测试 C 第6题(填空题，配图12-33)
如图12-33，阴影部分的面积是______，周长是______。（扇形的半径是5厘米）
水平测试 C 第7题(填空题，配图12-34)
如图12-34，阴影部分的面积是______。（已知外圆半径是8分米，内圆半径是6分米）
水平测试 C 第8题(填空题，配图12-35)
如图12-35，以点C、D为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部分的周长为______厘米（精确到0.01）。
水平测试 C 第9题(填空题，配图12-36)
如图12-36，一个直径为4厘米的半圆，让点A不动，把整个半圆按顺时针方向旋转45°，此时点B移至点B′，则图中阴影部分的面积为______。
水平测试 C 第10题(填空题)
地球的赤道长度大约是4万千米，这个数据如果有10米的误差，那么地球的半径的误差是______米。
水平测试 C 第11题(解答题，配图12-37)
如图12-37，若等腰直角三角形ABC的直角边是1分米，B点固定不动按顺时针方向旋转90°。求斜边AC扫过的面积。
水平测试 C 第12题(解答题，配图12-38)
如图12-38，将边长为1的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C顺时针旋转到达位置Ⅱ，再继续这样转动到达Ⅲ，求点A走过的路程的长。
水平测试 C 第13题(解答题，配图12-39/12-40)
如图12-39，边长为1的正三角形ANB旋转在边长为MN=3，NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上。若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来的起始位置，如图12-40，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是多少？（保留π）
水平测试 C 第14题(解答题，配图12-41)
一块蛋糕从上面看是如图12-41所示的正五边形，画虚线的部分是花纹。请问：把中央阴影的部分包围起来的5条虚线的总长是多少？（虚线都是以蛋糕的顶点为中心画的半径为12厘米的圆的一部分）
水平测试 C 第15题(解答题，配图12-42)
如图12-42，把△ABC滚动到△A′B′C′的位置，求△ABC滚动过的面积。（π=3.14）