【教师版】第12讲 · 圆与扇形

六年级奥数 · 教材第111–121页（第12讲全讲）

一、知识要点

扇形的基本量与公式

本质：半径r、圆心角n°、弧长L、面积S。L=n/360×2πr=nπr/180；S=n/360×πr²=1/2·Lr。

适用：已知任意两个量可求其余。半圆是n=180°的扇形；四分之一圆是n=90°。

整圆360°，n°扇形占n/360。
弧长=整圆周长×n/360。
面积=整圆面积×n/360。

典型错误：把弧长公式与面积公式混淆；扇形面积忘记乘n/360。

求阴影面积的七种方法

本质：转化法（拼补）、和差法、重叠法、补形法、拼接法、特殊位置法、代数法。

适用：先观察阴影由哪些规则图形组成：能拼补成规则图形用转化法；是整体减空白用和差法；几块重叠用重叠法；缺一块补成特殊图形用补形法。

先看阴影能否平移/旋转拼成一个规则图形。
不能拼就看它是哪几个规则图形的和或差。
重叠图形用容斥：S阴=S1+S2−S重叠。

典型错误：不加观察直接硬算；或和差时多减/漏减空白。

旋转扫过的面积与路程

本质：线段绕一端旋转θ°，扫过的是扇形；点绕定点旋转θ°走过的路程=θ/360×2π×半径。

适用：典例B1等腰直角三角形绕C旋转90°，AB扫过的面积=大扇形−小扇形−三角形。典例C3长方形绕顶点连续旋转，A点轨迹是三段不同半径的90°弧。

确定旋转中心和半径。
旋转角θ通常是90°或120°。
扫过面积=大扇形−小扇形（若内缩）。

典型错误：旋转中心找错；半径用错边长。

圆在图形内侧/外侧滚动

本质：圆沿长方形内侧滚一周：扫过面积=长方形−中间空小长方形−四角未扫到的小方块（方块里含四分之一圆）。

适用：典例C2：半径1cm圆在14×10长方形内侧滚一周，扫过=14×10−10×6−(2×2−π×1²)=76+π。

先画圆沿边滚的轨迹。
中间会留下一个小长方形。
四角是圆到不了的正方形小块。

典型错误：忘记中间空当和四角小块；内侧外侧公式不同。

二、典例精讲

典例 A1

已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线联结起来得图12-2，求图中阴影部分的总面积（π=3.14）。

训练点：转化法：把分散阴影拼成半个圆环。

提示：

1. 小圆半径=10÷2=5。

2. 大圆半径平方=5²+5²=50（中心到顶点距离平方）。

1小圆r=5，大圆r²=5²+5²=50。

依据：为什么先求半径：阴影在大小两圆之间，必须先知道两圆半径才能用圆环面积。

2阴影=半个圆环=[(50π−25π)]÷2=25π/2。

依据：为什么拼半圆环：四个角的分散阴影通过平移拼在一起，正好是半个圆环。

3=12.5×3.14=39.25平方厘米。

依据：为什么代入π：题目给π=3.14，算出数值。

答：39.25平方厘米

典型错法：不会把分散阴影拼成圆环。

典例 A2

图12-4是圆心为O，半径是10厘米的圆，以点C为圆心、CA为半径画一圆弧，求阴影部分的面积。（π=3.14）

训练点：和差法：半圆−弓形。

提示：

1. △AOC面积=1/2×10×10=50=1/4 AC²，所以AC²=200。

2. 弓形AOBD=扇形CADB(45°?实为90°)−△ACB。

1AC²=200。

依据：为什么先求AC²：以C为圆心的弧半径是AC，扇形面积需要AC²。

2弓形AOBD=1/4π×200−1/2×200=50π−100。

依据：为什么用90°扇形：CA、CB垂直(半径与切线)，扇形圆心角90°，减三角形得弓形。

3阴影=半圆O−弓形=1/2π×100−(50π−100)=100。

依据：为什么相减：阴影=半圆O减去其中的弓形AOBD，π恰好抵消。

答：100平方厘米

典型错法：扇形圆心角判断错误。

典例 B1

如图12-13，一个等腰直角三角形ABC的直角边长度是1米。现在以C点为旋转中心，将三角形ABC按顺时针方向旋转90°。求AB边在旋转时所扫过的面积。（π=3.14）

训练点：旋转扫过面积=大扇形−小扇形−三角形。

提示：

1. A绕C转90°，半径CA=1；C到AB距离CD，CD²=1/2。

2. 扫过面积=1/2π×1²−1/4π×CD²−1/2。

1CD²=1/2（CD是C到AB距离，等于△ABC高平方）。

依据：为什么求CD：AB扫出的最内圈是以CD为半径的扇形，半径要先算出来。

2扫过=1/2π−π/8−1/2=3π/8−1/2。

依据：为什么大半圆减小扇形再减三角形：AB扫过的区域=A点轨迹半圆−CD轨迹小扇形−中间三角形。

3=0.375×3.14−0.5=0.6775平方米。

依据：为什么代入π：题目给π=3.14。

答：0.6775平方米

典型错法：忘记减去中间三角形。

典例 B2

图12-15中圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π平方厘米，求图中三角形的面积。

训练点：反求：由阴影占圆比例求圆心角。

提示：

1. 圆面积=16π，空白扇形=16π−14π=2π=1/8圆。

2. 空白扇形圆心角=45°，三角形是等腰直角三角形。

1空白扇形占圆1−14π/16π=1/8，圆心角=45°。

依据：为什么先求空白：阴影已知，用整圆减阴影得空白扇形，反推圆心角。

2三角形直角边=4，面积=1/2×4×4=8。

依据：为什么是等腰直角：圆心角45°的两条半径与弦构成等腰直角三角形。

答：三角形面积8平方厘米

典型错法：空白圆心角算错。

典例 C1

如图12-22，AD=DB=DC=10厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π=3.14）

训练点：割补法：沿CD剪开交换合拼，半圆减正方形一半。

提示：

1. 半圆面积=10²π/2=157。

2. 空白三角形面积=10²/2=50。

1半圆面积=157。

依据：为什么先算半圆：割补后阴影凑成半圆减三角形，先算半圆。

2空白三角形=50。

依据：为什么是正方形一半：AD=DB=DC=10，空白部分正好是边长10正方形的一半。

3阴影=157−50=107。

依据：为什么相减：沿CD剪开交换两块，阴影凑成半圆减空白三角形。

答：107平方厘米

典型错法：不割补直接硬算两块。

典例 C2

已知长方形ABCD的长AB=14cm，宽BC=10cm。(1)如图12-24，一个半径为1cm的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积；(2)如图12-25，E、F分别为AB、CD上的点，且AE=1/7AB，FC:DF=2:5，一个半径为1cm的圆在长方形外侧连续地从点E经过点B、C滚动到点F。求圆滚过的面积。（结果保留π）

训练点：内侧/外侧滚动扫过面积公式。

提示：

1. 内侧=14×10−10×6−(2×2−π×1²)=76+π。

2. 外侧=2×12+2×10+2×4+1/2π×2²+π×1²=52+3π。

1内侧：140−60−(4−π)=76+π。

依据：为什么减两项：内侧滚，中间留(14-2)×(10-2)空当，四角各留一个半径1的小方块减四分之一圆。

2外侧：EB=12,FC=4。=24+20+8+2π+π=52+3π。

依据：为什么加扇形：外侧滚到转角时扫过四分之一圆，三段矩形加两个转角扇形。

答：内侧76+π平方厘米；外侧52+3π平方厘米

典型错法：内侧外侧公式混淆。

典例 C3

如图12-26，一条直线上放着一个长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形Ⅰ，它的对角线长恰好是5厘米。让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置，求点A走过的路程的长。（π=3.14）

训练点：点绕顶点连续旋转，轨迹是三段不同半径的90°弧。

提示：

1. 三段半径分别是4、5、3，每段都是90°弧。

2. 路程=90/360×2π×(4+5+3)。

1A走过=90/360×2π×4+90/360×2π×5+90/360×2π×3。

依据：为什么三段半径不同：每次旋转中心不同，A到旋转中心的距离依次是宽4、对角线5、长3。

2=1/4×2π×12=6π=18.84厘米。

依据：为什么合并：三段都是90°弧，半径相加后乘1/4圆周。

答：18.84厘米

典型错法：每次半径用错。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)

有一块半圆形的铁板，半径为2厘米，这块铁板的周长是______厘米。

答案：10.28

解析：半圆周长=πr+2r=3.14×2+4=10.28。

水平测试 A 第2题(填空题，配图12-5)

如图12-5，阴影部分是一个正方形，面积是6平方分米。这个圆的面积是______平方分米。

答案：18.84

解析：阴影正方形边长=r，r²=6，圆面积=πr²=3.14×6=18.84。

水平测试 A 第3题(填空题，配图12-6)

如图12-6，一块正方形草地的面积是15平方米。在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长与草地边长相等。这两只羊都能吃到草的草地面积是______平方米。

答案：8.55

解析：两个1/4圆相加减正方形=1/2π×15−15=23.55−15=8.55。

水平测试 A 第4题(填空题，配图12-7)

如图12-7，以正方形的三条边为直径向内作一个半圆和两个四分之一圆，则阴影部分面积是______。

答案：9/2

解析：边长3，阴影拼补=正方形一半=9/2=4.5。

水平测试 A 第5题(填空题，配图12-8)

如图12-8，环形的内圆周长为157厘米，环形的宽是5厘米。环形的面积是______。

答案：863.5平方厘米

解析：内圆r=157÷(2×3.14)=25，外圆R=30，圆环=(900−625)×3.14=863.5。

水平测试 A 第6题(填空题，配图12-9)

如图12-9，阴影C的面积占阴影A、B、C面积之和的______。

答案：57/214

解析：由半圆与三角形和差，化简得57/214。

水平测试 A 第7题(填空题，配图12-10)

如图12-10，阴影部分的面积是______平方厘米。

答案：50

解析：d=10底20，阴影=20×10÷2−10×10÷2=50。

水平测试 A 第8题(填空题)

一个扇形的半径是3厘米，弧长是3.14厘米，这个扇形的面积是______平方厘米。

答案：4.71

解析：S=1/2Lr=1/2×3.14×3=4.71。

水平测试 A 第9题(填空题)

两根都是20厘米长的铁丝，分别首尾相接，一个围成圆，一个围成正方形，圆的面积比正方形的面积大______平方厘米。

答案：6 133/157

解析：圆r=20÷2π，面积=100/π；正方形边长5面积25。差=100/3.14−25=6 133/157。

水平测试 A 第10题(填空题)

以正三角形的三个顶点为圆心，边长一半为半径在正三角形内作弧。若正三角形边长为4厘米，则三条弧长的和为______厘米。

答案：6.28

解析：每条弧60°、r=2，三弧和=3×60/360×2π×2=2π=6.28。

水平测试 A 第11题(解答题，配图12-11)

如图12-11，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

答案：10.26平方厘米

解析：扇形=45/360×π×(6²+6²)=1/8×72π=9π；三角形=1/2×6×6=18。阴影=9π−18=10.26。

水平测试 A 第12题(解答题，配图12-12)

如图12-12，求外围的周长（单位：分米）。

答案：94.2分米

解析：外围周长=一个圆周的3/2=3/2×2×3.14×10=94.2。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)

有一块半圆形的铁板，半径为2厘米，这块铁板的周长是______厘米。

答案：10.28

解析：半圆周长=πr+2r=3.14×2+4=10.28。

水平测试 A 第2题(填空题，配图12-5)

如图12-5，阴影部分是一个正方形，面积是6平方分米。这个圆的面积是______平方分米。

答案：18.84

解析：阴影正方形边长=r，r²=6，圆面积=πr²=3.14×6=18.84。

水平测试 A 第3题(填空题，配图12-6)

答案：8.55

解析：两个1/4圆相加减正方形=1/2π×15−15=23.55−15=8.55。

水平测试 A 第4题(填空题，配图12-7)

如图12-7，以正方形的三条边为直径向内作一个半圆和两个四分之一圆，则阴影部分面积是______。

答案：9/2

解析：边长3，阴影拼补=正方形一半=9/2=4.5。

水平测试 A 第5题(填空题，配图12-8)

如图12-8，环形的内圆周长为157厘米，环形的宽是5厘米。环形的面积是______。

答案：863.5平方厘米

解析：内圆r=157÷(2×3.14)=25，外圆R=30，圆环=(900−625)×3.14=863.5。

水平测试 A 第6题(填空题，配图12-9)

如图12-9，阴影C的面积占阴影A、B、C面积之和的______。

答案：57/214

解析：由半圆与三角形和差，化简得57/214。

水平测试 A 第7题(填空题，配图12-10)

如图12-10，阴影部分的面积是______平方厘米。

答案：50

解析：d=10底20，阴影=20×10÷2−10×10÷2=50。

水平测试 A 第8题(填空题)

一个扇形的半径是3厘米，弧长是3.14厘米，这个扇形的面积是______平方厘米。

答案：4.71

解析：S=1/2Lr=1/2×3.14×3=4.71。

水平测试 A 第9题(填空题)

两根都是20厘米长的铁丝，分别首尾相接，一个围成圆，一个围成正方形，圆的面积比正方形的面积大______平方厘米。

答案：6 133/157

解析：圆r=20÷2π，面积=100/π；正方形边长5面积25。差=100/3.14−25=6 133/157。

水平测试 A 第10题(填空题)

以正三角形的三个顶点为圆心，边长一半为半径在正三角形内作弧。若正三角形边长为4厘米，则三条弧长的和为______厘米。

答案：6.28

解析：每条弧60°、r=2，三弧和=3×60/360×2π×2=2π=6.28。

水平测试 A 第11题(解答题，配图12-11)

如图12-11，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

答案：10.26平方厘米

解析：扇形=45/360×π×(6²+6²)=1/8×72π=9π；三角形=1/2×6×6=18。阴影=9π−18=10.26。

水平测试 A 第12题(解答题，配图12-12)

如图12-12，求外围的周长（单位：分米）。

答案：94.2分米

解析：外围周长=一个圆周的3/2=3/2×2×3.14×10=94.2。

水平测试 B 第1题(填空题)

一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的直径是______分米。

答案：8

解析：πr+2r=20.56，r(3.14+2)=20.56，r=4，直径8。

水平测试 B 第2题(填空题)

一个扇形的弧长是18.84分米，圆心角为90°，这个扇形所在圆的周长是______分米。

答案：75.36

解析：弧长=1/4圆周长，圆周长=18.84×4=75.36。

水平测试 B 第3题(填空题)

扇形所在圆的半径是10.2厘米，圆心角为252°，这个扇形所含弧的长度是这个圆周长的______。

答案：7/10

解析：252/360=7/10。

水平测试 B 第4题(填空题)

一个圆半径为7厘米，圆上一段弧长6.28厘米，由这段弧和两条半径围成的扇形面积是______平方厘米。

答案：21.98

解析：S=1/2Lr=1/2×6.28×7=21.98。

水平测试 B 第5题(填空题，配图12-16)

如图12-16，圆O的直径为6厘米，阴影部分的面积是______平方厘米。

答案：10.26

解析：S阴=S扇形−S正方形=1/4×3.14×6²−18=10.26。

水平测试 B 第6题(填空题，配图12-17)

如图12-17，一个1/4圆，半径为3厘米。以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，那么阴影部分的面积是______平方厘米。

答案：2.565

解析：S阴=大扇形−△AOB=1/4×3.14×9−1/2×3×3=7.065−4.5=2.565。

水平测试 B 第7题(填空题，配图12-18)

如图12-18，圆O的直径AB长20厘米，阴影部分的面积是______平方厘米。

答案：100

解析：S阴=1/2π×10²−(1/4π×10²−1/2×20×10)=100。

水平测试 B 第8题(填空题，配图12-19)

如图12-19，在1/4圆内以它的一条半径OA为直径画一个半圆，交OD于点M，∠AOD=45°。已知阴影甲的面积是1平方分米，阴影乙的面积是______平方分米。

答案：1

解析：S扇形AOD=1/8πr²，S半圆AMO=1/8πr²，两块相等，乙=甲=1。

水平测试 B 第9题(填空题，配图12-20)

AB是圆O的直径，其长为1，它的三等分点分别为C与D。在AB的两侧以AC、AD、CB、DB为直径分别画半圆（如图12-20所示），这四个半圆将原来的圆分成三部分。如果中间那个区域（阴影）部分的面积为kπ，则k=______。

答案：1/12

解析：AC=CD=DB=1/3，S阴影=π(1/3)²−π(1/6)²=1/12π，k=1/12。

水平测试 B 第10题(填空题)

一条狗被拴在底座为边长4米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是5米，狗活动范围的总面积是______平方米。

答案：67.51

解析：一个300°大扇形(r=5)+两个120°小扇形(r=1)：300/360×3.14×25+2×120/360×3.14×1=67.51。

水平测试 B 第11题(解答题，配图12-21)

正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到如图12-21所示的阴影部分。求阴影部分的面积和周长。

答案：面积23.55平方厘米，周长19.7厘米

解析：面积=90/360×3.14×(1²+2²+3²+4²)=23.55；周长=90/360×2×3.14×(1+2+3+4)+4=19.7。

水平测试 B 第12题(解答题)

草地上有一个长20米、宽10米的关闭着的长方形羊圈，在羊圈外的一角用长30米的绳子拴着一只羊，这只羊能够活动的范围有多大？

答案：2512平方米

解析：S=270/360π×30²+90/360π×20²+90/360π×10²=2512。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)

有一块半圆形的铁板，半径为2厘米，这块铁板的周长是______厘米。

答案：10.28

解析：半圆周长=πr+2r=3.14×2+4=10.28。

水平测试 A 第2题(填空题，配图12-5)

如图12-5，阴影部分是一个正方形，面积是6平方分米。这个圆的面积是______平方分米。

答案：18.84

解析：阴影正方形边长=r，r²=6，圆面积=πr²=3.14×6=18.84。

水平测试 A 第3题(填空题，配图12-6)

答案：8.55

解析：两个1/4圆相加减正方形=1/2π×15−15=23.55−15=8.55。

水平测试 A 第4题(填空题，配图12-7)

如图12-7，以正方形的三条边为直径向内作一个半圆和两个四分之一圆，则阴影部分面积是______。

答案：9/2

解析：边长3，阴影拼补=正方形一半=9/2=4.5。

水平测试 A 第5题(填空题，配图12-8)

如图12-8，环形的内圆周长为157厘米，环形的宽是5厘米。环形的面积是______。

答案：863.5平方厘米

解析：内圆r=157÷(2×3.14)=25，外圆R=30，圆环=(900−625)×3.14=863.5。

水平测试 A 第6题(填空题，配图12-9)

如图12-9，阴影C的面积占阴影A、B、C面积之和的______。

答案：57/214

解析：由半圆与三角形和差，化简得57/214。

水平测试 A 第7题(填空题，配图12-10)

如图12-10，阴影部分的面积是______平方厘米。

答案：50

解析：d=10底20，阴影=20×10÷2−10×10÷2=50。

水平测试 A 第8题(填空题)

一个扇形的半径是3厘米，弧长是3.14厘米，这个扇形的面积是______平方厘米。

答案：4.71

解析：S=1/2Lr=1/2×3.14×3=4.71。

水平测试 A 第9题(填空题)

两根都是20厘米长的铁丝，分别首尾相接，一个围成圆，一个围成正方形，圆的面积比正方形的面积大______平方厘米。

答案：6 133/157

解析：圆r=20÷2π，面积=100/π；正方形边长5面积25。差=100/3.14−25=6 133/157。

水平测试 A 第10题(填空题)

以正三角形的三个顶点为圆心，边长一半为半径在正三角形内作弧。若正三角形边长为4厘米，则三条弧长的和为______厘米。

答案：6.28

解析：每条弧60°、r=2，三弧和=3×60/360×2π×2=2π=6.28。

水平测试 A 第11题(解答题，配图12-11)

如图12-11，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

答案：10.26平方厘米

解析：扇形=45/360×π×(6²+6²)=1/8×72π=9π；三角形=1/2×6×6=18。阴影=9π−18=10.26。

水平测试 A 第12题(解答题，配图12-12)

如图12-12，求外围的周长（单位：分米）。

答案：94.2分米

解析：外围周长=一个圆周的3/2=3/2×2×3.14×10=94.2。

水平测试 C 第1题(填空题，配图12-28)

如图12-28，AB是圆O的直径，直角三角形ABC的面积是8平方厘米，圆O的面积是______平方厘米。

答案：25.12

解析：△ABC面积=1/2×AB×OC=8，而AB=2OC，得OC²=8，圆面积=3.14×8=25.12。

水平测试 C 第2题(填空题，配图12-29)

如图12-29，等腰直角三角形ABC，直角边长为10。以直角边AB为直径画半圆交斜边BC于点D，以点C为圆心、AC长为半径画弧交斜边BC于点E，则阴影部分的面积是______。

答案：28.5

解析：S阴=半圆+扇形−△ABC=1/2π×25+1/8π×100−50=25π−50=28.5。

水平测试 C 第3题(填空题，配图12-30)

如图12-30，一块田径场地，周长400米，直道长100米，弯道是两个长100米的半圆，两条弯道围成的面积与中间长方形面积的比是______。

答案：1:2

解析：半圆周长100，圆半径r=100/π，弯道面积=πr²=10000/π；长方形=100×2r=20000/π。比=1:2。

水平测试 C 第4题(填空题，配图12-31)

如图12-31，已知AC=4（单位：分米），则阴影部分的面积是______。

答案：2.28平方分米

解析：45°扇形−三角形=45/360×3.14×16−16÷4=6.28−4=2.28。

水平测试 C 第5题(填空题，配图12-32)

如图12-32，OA=OB=2.5，AC=CD=4，BC=3，扇形CAD与圆O之间的面积分别记为S①、S②、S③、S④，则S①+S②+S③−S④=______。

答案：7.065

解析：=π×2.5²−π×4²×1/4=6.25π−4π=2.25π=7.065。

水平测试 C 第6题(填空题，配图12-33)

如图12-33，阴影部分的面积是______，周长是______。（扇形的半径是5厘米）

答案：面积64.25平方厘米，周长31.4厘米

解析：面积=3.14×25×1/2+25=64.25；周长=2×3.14×5=31.4。

水平测试 C 第7题(填空题，配图12-34)

如图12-34，阴影部分的面积是______。（已知外圆半径是8分米，内圆半径是6分米）

答案：65.94平方分米

解析：270/360×3.14×(64−36)=3/4×3.14×28=65.94。

水平测试 C 第8题(填空题，配图12-35)

如图12-35，以点C、D为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部分的周长为______厘米（精确到0.01）。

答案：3.09

解析：CD=1，△ECD等边，周长=60/180×3.14×1×2+1≈3.09。

水平测试 C 第9题(填空题，配图12-36)

如图12-36，一个直径为4厘米的半圆，让点A不动，把整个半圆按顺时针方向旋转45°，此时点B移至点B′，则图中阴影部分的面积为______。

答案：6.28平方厘米

解析：S=扇形ABB′=1/8π×4²=2π=6.28。

水平测试 C 第10题(填空题)

地球的赤道长度大约是4万千米，这个数据如果有10米的误差，那么地球的半径的误差是______米。

答案：1.59

解析：2π(R+x)=2πR+10，x=10/(2π)≈1.59米。

水平测试 C 第11题(解答题，配图12-37)

如图12-37，若等腰直角三角形ABC的直角边是1分米，B点固定不动按顺时针方向旋转90°。求斜边AC扫过的面积。

答案：0.6775平方分米

解析：=1/2π×1²−π/8−1/2=3π/8−1/2=0.6775。

水平测试 C 第12题(解答题，配图12-38)

如图12-38，将边长为1的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C顺时针旋转到达位置Ⅱ，再继续这样转动到达Ⅲ，求点A走过的路程的长。

答案：4 14/75

解析：两段120°弧，半径1：240/360×2π×1=8π/3=4 14/75。

水平测试 C 第13题(解答题，配图12-39/12-40)

如图12-39，边长为1的正三角形ANB旋转在边长为MN=3，NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上。若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来的起始位置，如图12-40，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是多少？（保留π）

答案：5π

解析：轨迹总长=2π/3×7+2π/12×2=5π。

水平测试 C 第14题(解答题，配图12-41)

一块蛋糕从上面看是如图12-41所示的正五边形，画虚线的部分是花纹。请问：把中央阴影的部分包围起来的5条虚线的总长是多少？（虚线都是以蛋糕的顶点为中心画的半径为12厘米的圆的一部分）

答案：12.56厘米

解析：正五边形内角108°，△ABD等边，∠DBE=12°，5条弧总长=5×12/180×π×12=4π=12.56。

水平测试 C 第15题(解答题，配图12-42)

如图12-42，把△ABC滚动到△A′B′C′的位置，求△ABC滚动过的面积。（π=3.14）

答案：1142平方厘米

解析：分四块：①+④=628，②+③=514，共1142。

四、方法小结

圆与扇形核心是两个公式：弧长L=n/180·πr，面积S=n/360·πr²=1/2Lr。求阴影面积先观察结构：能拼补用转化法，是整体减空白用和差法，几块重叠用重叠法，缺角补成特殊图形用补形法。弓形=扇形−三角形，圆环=π(R²−r²)。点绕定点旋转θ°走过的弧长=θ/360×2πr；圆在图形内侧滚动要扣中间空当和四角小块。

五、作业建议

基础必做：

教材P113–114 水平测试A 第1–6题（半圆周长、正方形与圆、羊吃草、圆环）
教材P114 水平测试A 第7–12题（阴影、扇形面积、铁丝围形、弧长和、解答题）

巩固选做：

教材P116–117 水平测试B 第1–8题（半圆直径、弧长反求、扇形面积、阴影拼补）
教材P117 水平测试B 第9–12题（三等分半圆、狗拴三角、四扇形阴影、羊圈）

提高挑战：

教材P119–120 水平测试C 第1–10题（直径三角形、旋转半圆、田径场、误差）
教材P120–121 水平测试C 第11–15题（旋转扫过、正三角形翻转、正五边形花纹、三角形滚动）

六、课堂错因定位

症状：阴影面积不会拆，硬算
根因：没有先观察阴影是和/差/重叠。
补救：先用和差法写“整体−空白”，再看能否拼补。

症状：扇形圆心角找错
根因：等腰直角三角形顶角45°、正三角形60°记不牢。
补救：复习常见三角形内角度数，标注在图上。

症状：旋转扫过面积漏减中间三角形
根因：只算大扇形不扣空白。
补救：画旋转前后两位置，标出扫过区域边界。

症状：圆滚动忘记中间空当
根因：内侧滚动中间留小长方形。
补救：典例C2按公式分步：大长方形−中间空−四角小块。