【教师版】第13讲 · 有理数的计算技巧
六年级奥数 · 教材第122–128页（第13讲全讲）
一、知识要点
技巧一：反过来想问题
本质：不按部就班硬算，而是凑整、提取公因数、把重复出现的结构看成一个整体（设而不算）。
适用：典例A2：2022×20232023−2023×20222022，把20232023拆成2023×10001，两项结构相同相减为0。测试A2提取公因数(555+445)。
- 观察算式中重复出现的大数结构。
- 把它拆成“相同因数×常数”。
- 提取公因数后相减/相加。
典型错误：硬算20232023乘2022，数太大算错。
技巧二：分拆与合并（裂项相消）
本质：把通项 1/[n(n+k)] 拆成 (1/k)(1/n−1/(n+k))，求和时相邻项一正一负抵消，只剩首尾。
适用：测试A7：1/(1×2)+1/(2×3)+…=1−1/2022。测试B9：分母是3的倍数裂项。典例B2用错位相减处理分子为等差数列的分数和。
- 认准分母是两个连续整数乘积。
- 拆成两项差，注意系数1/k。
- 列出前后项，正负抵消。
典型错误：漏乘系数1/k；或抵消后多留中间项。
技巧三：利用规律
本质：识别等差数列、等比型错位相减、平方差、n! 型、n(n+1)(n+2) 型恒等式，套用规律而非硬算。
适用：典例C1：n×n!=(n+1)!−n!，求和=2022!−1。典例C2：n(n+1)=1/3[n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)]。测试A5用平方差连乘。
- 观察通项结构。
- 匹配恒等式后套用。
- 错位相减时写清 S 与 qS。
典型错误：恒等式系数记错；错位相减项数对错。
二、典例精讲
典例 A1
计算：(1−1/2+1/3−1/4+…+1/49−1/50)÷(1/26+1/27+1/28+…+1/50)。
训练点：反过来想：把被除式正负分组，合并成与除式相同的和。
提示：
1. 1−1/2+1/3−…−1/50 = (1+1/2+…+1/50)−2(1/2+1/4+…+1/50)。
2. = 1/26+1/27+…+1/50，与除式相同。
1被除式=H50−2×(1/2)H25=H50−H25=1/26+…+1/50。依据：为什么想到这一步：交错和里偶数项是负的，把它拆成全部正和减去两倍偶数项，偶数项恰好是前25项的一半。
2与除式相同，商=1。依据：为什么想到这一步：两个完全相同的数相除必然为1，不需要真的通分计算。
答：1
典型错法：直接通分硬算。
典例 A2
计算：2022×20232023−2023×20222022。
训练点：把重复大数拆成 a×10001 结构。
提示：
1. 20232023=2023×10001；20222022=2022×10001。
1原式=2022×2023×10001−2023×2022×10001。依据：为什么想到这一步：20232023是把2023重复写两遍，即2023×10000+2023=2023×10001。
2=0。依据：为什么想到这一步：两项三个因数完全相同，相减为0。
答：0
典型错法：硬算大数乘法。
典例 B1
已知a=(11×66+12×67+13×68+14×69+15×70)/(11×65+12×66+13×67+14×68+15×69)×100，求a的整数部分。
训练点：整体观察：分子比分母每项都大一个相同结构，再用放缩夹逼。
提示：
1. 分子=分母+(11+12+13+14+15)=分母+75。
2. 把分母里的65,66,67,68,69统一换成65或69，得到分母的上下界。
1分子每项=分母对应项+1，故分子=分母+75。依据：为什么想到这一步：66=65+1，67=66+1，…，逐项对比发现分子每一项都比分母对应项多乘了一个1。
2a=(1+75/分母)×100=100+b，其中b=75×100/分母。依据：为什么想到这一步：把分数拆成1加一个小分数，只需估计b在哪两个整数之间。
3分母>75×65（把66~69都换成65），故b<100/65<2。依据：为什么想到这一步：分母越大分数越小，把分母里每个乘数都缩到最小的65，得到分母的下界，从而b的上界。
4分母<75×69（把65~68都换成69），故b>100/69>1。依据：为什么想到这一步：分母越小分数越大，把分母里每个乘数都放到最大的69，得到分母的上界，从而b的下界。
51<b<2，故101<a<102，a的整数部分是101。依据：为什么想到这一步：b被夹在1和2之间，a=100+b就在101和102之间。
答：a的整数部分是101
典型错法：逐项乘开硬算；或粗略估分母≈4500而不严格夹逼。
典例 B2
比较Sn=1/2+2/4+3/8+…+n/2ⁿ与2的大小。
训练点：裂项相消：把每个分数拆成两数之差，中间项全部抵消。
提示：
1. 1/2=2−3/2，2/4=3/2−4/4，3/8=4/4−5/8，……
2. n/2ⁿ=(n+1)/2ⁿ⁻¹−(n+2)/2ⁿ。
11/2=2−3/2，2/4=3/2−4/4，3/8=4/4−5/8，…，n/2ⁿ=(n+1)/2ⁿ⁻¹−(n+2)/2ⁿ。依据：为什么想到这一步：观察到相邻两项分母差一倍、分子差1，尝试把每一项写成前后两数之差，使中间抵消。
2Sn=(2−3/2)+(3/2−4/4)+…+((n+1)/2ⁿ⁻¹−(n+2)/2ⁿ)=2−(n+2)/2ⁿ。依据：为什么想到这一步：中间所有正负项一一抵消，只剩首项2和末项。
3(n+2)/2ⁿ>0，故Sn=2−正数<2。依据：为什么想到这一步：末项是正数，减去一个正数必然小于2。
答：Sn<2
典型错法：错位相减时项数对错；或想不到裂项而硬算。
典例 C1
计算：1×1!+2×2!+3×3!+…+2021×2021!。
训练点：恒等式 n×n!=(n+1)!−n!，裂项相消。
提示：
1. n×n!=(n+1−1)n!=(n+1)!−n!。
1k×k!=(k+1−1)k!=(k+1)!−k!。依据：为什么想到这一步：把k拆成(k+1)−1，利用(k+1)k!=(k+1)!把乘积变成两项之差。
2求和=2!−1!+3!−2!+…+2022!−2021!=2022!−1。依据：为什么想到这一步：每一项的后阶乘与下一项的前阶乘相同，全部抵消，只剩首尾。
答：2022!−1
典型错法：不认识阶乘结构。
典例 C2
计算：1×2+2×3+3×4+…+49×50。
训练点：恒等式 n(n+1)=1/3[n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)]。
提示：
1. n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)=3n(n+1)。
13×n(n+1)=n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)。依据：为什么想到这一步：右边提取n(n+1)后剩下(n+2)−(n−1)=3，正好反推出左边。
23S=1×2×3+2×3×3+…+49×50×3=49×50×51。依据：为什么想到这一步：每一项乘3后写成三连积之差，求和时中间三连积全部抵消。
3S=49×50×51÷3=41650。依据：为什么想到这一步：3S等于末项三连积，除以3即得S。
答：41650
典型错法：套用公式漏1/3。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
计算：[(-2)³×(-1)²⁰²⁴−1−121÷(-(-1/2)²)]÷[(-1)÷(-4/5)×1¼]=______。
答案：304
解析：分子=−8−1+484=475；分母=25/16；475÷25/16=304。
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：211×555+445×789+555×789+211×445=______。
答案：1000000
解析：=211×(555+445)+789×(445+555)=1000×1000=1000000。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：1−2+3−4+…+(-1)²⁰²³×2022=______。
答案：−1011
解析：每两项和=−1，共1011对，=−1011。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：24690/(12346²−12345×12347)=______。
答案：24690
解析：12345×12347=(12346−1)(12346+1)=12346²−1，分母=1，原式=24690。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)=______。
答案：2⁶⁴−1
解析：乘(2−1)后连续平方差，=2⁶⁴−1。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：2+4+6+…+2022=______。
答案：1023132
解析：=2(1+2+…+1011)=1011×1012=1023132。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2021×2022)=______。
答案：2021/2022
解析：裂项=1−1/2022=2021/2022。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1999×20002000−2000×19991999=______。
答案：0
解析：=1999×2000×10001−2000×1999×10001=0。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知a₁=1/(1×2×3)+1/2=2/3，a₂=1/(2×3×4)+1/3=3/8，a₃=1/(3×4×5)+1/4=4/15，a₄=1/(4×5×6)+1/5=5/24，…。按上述规律，a₉₉₉=______。
答案：1000/999999
解析：aₙ=1/[n(n+1)(n+2)]+1/(n+1)=[1+n(n+2)]/[n(n+1)(n+2)]=(n+1)²/[n(n+1)(n+2)]=(n+1)/[n(n+2)]。故a₉₉₉=1000/(999×1001)=1000/999999。
水平测试 A 第10题(填空题)
求1/(1/1339+1/1340+1/1341+…+1/2007)的整数部分。
答案：2
解析：共669项，和介于669/2007=1/3与669/1339之间，倒数介于1339/669≈2.001与2007/669=3之间，整数部分为2。
水平测试 A 第11题(解答题)
求证：1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+1/(4×6)+…+1/[n(n+2)]=3/4−(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。
答案：见证明
解析：裂项1/[n(n+2)]=1/2(1/n−1/(n+2))，求和后正负抵消，剩首尾得3/4−(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：1+1/2+1/2²+1/2³+…+1/2¹⁰⁰。
答案：2−1/2¹⁰⁰
解析：错位相减，S=2−1/2¹⁰⁰。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
计算：[(-2)³×(-1)²⁰²⁴−1−121÷(-(-1/2)²)]÷[(-1)÷(-4/5)×1¼]=______。
答案：304
解析：分子=−8−1+484=475；分母=25/16；475÷25/16=304。
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：211×555+445×789+555×789+211×445=______。
答案：1000000
解析：=211×(555+445)+789×(445+555)=1000×1000=1000000。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：1−2+3−4+…+(-1)²⁰²³×2022=______。
答案：−1011
解析：每两项和=−1，共1011对，=−1011。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：24690/(12346²−12345×12347)=______。
答案：24690
解析：12345×12347=(12346−1)(12346+1)=12346²−1，分母=1，原式=24690。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)=______。
答案：2⁶⁴−1
解析：乘(2−1)后连续平方差，=2⁶⁴−1。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：2+4+6+…+2022=______。
答案：1023132
解析：=2(1+2+…+1011)=1011×1012=1023132。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2021×2022)=______。
答案：2021/2022
解析：裂项=1−1/2022=2021/2022。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1999×20002000−2000×19991999=______。
答案：0
解析：=1999×2000×10001−2000×1999×10001=0。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知a₁=1/(1×2×3)+1/2=2/3，a₂=1/(2×3×4)+1/3=3/8，a₃=1/(3×4×5)+1/4=4/15，a₄=1/(4×5×6)+1/5=5/24，…。按上述规律，a₉₉₉=______。
答案：1000/999999
解析：aₙ=1/[n(n+1)(n+2)]+1/(n+1)=[1+n(n+2)]/[n(n+1)(n+2)]=(n+1)²/[n(n+1)(n+2)]=(n+1)/[n(n+2)]。故a₉₉₉=1000/(999×1001)=1000/999999。
水平测试 A 第10题(填空题)
求1/(1/1339+1/1340+1/1341+…+1/2007)的整数部分。
答案：2
解析：共669项，和介于669/2007=1/3与669/1339之间，倒数介于1339/669≈2.001与2007/669=3之间，整数部分为2。
水平测试 A 第11题(解答题)
求证：1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+1/(4×6)+…+1/[n(n+2)]=3/4−(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。
答案：见证明
解析：裂项1/[n(n+2)]=1/2(1/n−1/(n+2))，求和后正负抵消，剩首尾得3/4−(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：1+1/2+1/2²+1/2³+…+1/2¹⁰⁰。
答案：2−1/2¹⁰⁰
解析：错位相减，S=2−1/2¹⁰⁰。
水平测试 B 第1题(填空题)
计算：−1+3−5+7−9+11−…−2021+2023=______。
答案：1012
解析：相邻两项一组：(−1+3)=2，(−5+7)=2，…，共(2023+1)/2=1012个奇数，配成506对，每对=2，总和=506×2=1012。
水平测试 B 第2题(填空题)
计算：11+12−13−14+15+16−17−18+…+99+100=______。
答案：111
解析：每4个一组，每组=(4k+11)+(4k+12)−(4k+13)−(4k+14)=−4。11到100共90个数=22组余2个，余99+100=199。原式=199−22×4=111。
水平测试 B 第3题(填空题)
计算：1991×2001−1990×2002=______。
答案：11
解析：=1991×2001−1990×(2001+1)=(1991−1990)×2001−1990=2001−1990=11。
水平测试 B 第4题(填空题)
计算：1+4+7+…+244=______。
答案：10045
解析：等差数列，首项1，末项244，公差3，项数=(244−1)/3+1=82。和=(1+244)×82/2=10045。
水平测试 B 第5题(填空题)
计算：1⅓−7/12+9/20−11/30+13/42−15/56=______。
答案：7/8
解析：注意7/12=1/3+1/4，9/20=1/4+1/5，…，15/56=1/7+1/8。原式=4/3−(1/3+1/4)+(1/4+1/5)−…−(1/7+1/8)=4/3−1/3−1/8=7/8。
水平测试 B 第6题(填空题)
计算：3001×2999=______。
答案：8999999
解析：=(3000+1)(3000−1)=3000²−1=8999999。
水平测试 B 第7题(填空题)
设A=1+1/2+…+1/2006，B=1/2+1/3+…+1/2006，求A(B+1/2007)−(A+1/2007)B=______。
答案：1/2007
解析：展开=AB+A/2007−AB−B/2007=(A−B)/2007=1/2007。
水平测试 B 第8题(填空题)
计算：(1−1/2²)(1−1/3²)(1−1/4²)…(1−1/9²)(1−1/10²)=______。
答案：11/20
解析：1−1/n²=(n−1)(n+1)/n²，连乘后分子=(1·3)(2·4)…(9·11)，分母=(2·3·…·10)²，约分=1×2×10×11/(2²×10²)=11/20。
水平测试 B 第9题(填空题)
计算：1/18+1/54+1/108+1/180+1/270+1/378+1/504+1/648+1/810+1/990=______。
答案：10/99
解析：各项分母=3×6,6×9,9×12,…,30×33，即1/[n(n+3)]型。裂项=1/3(1/3−1/33)=10/99。
水平测试 B 第10题(填空题)
计算：(1−1/2+1/3−1/4+…+1/2021−1/2022+1/2023)÷[1/(1+2023)+1/(2+2024)+1/(3+2025)+…+1/(1012+3034)]=______。
答案：2
解析：分子=H2023−H1011=1/1012+…+1/2023。分母=1/2(1/1012+…+1/2023)。分子=2×分母，商=2。
水平测试 B 第11题(解答题)
某男子足球队12名队员身高分别为：182、187、176、179、190、181、188、193、174、175、183、185(厘米)，求平均身高。
答案：182.75厘米
解析：以180为基准，偏差=2,7,−4,−1,10,1,8,13,−6,−5,3,5，和=33。平均=180+33/12=182.75。
水平测试 B 第12题(解答题)
求证：1/1²+1/2²+1/3²+…+1/2023²<2。
答案：见证明
解析：1/n²<1/[n(n−1)]=1/(n−1)−1/n(n≥2)。放缩=1+1/(1×2)+1/(2×3)+…=2−1/2023<2。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
计算：[(-2)³×(-1)²⁰²⁴−1−121÷(-(-1/2)²)]÷[(-1)÷(-4/5)×1¼]=______。
答案：304
解析：分子=−8−1+484=475；分母=25/16；475÷25/16=304。
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：211×555+445×789+555×789+211×445=______。
答案：1000000
解析：=211×(555+445)+789×(445+555)=1000×1000=1000000。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：1−2+3−4+…+(-1)²⁰²³×2022=______。
答案：−1011
解析：每两项和=−1，共1011对，=−1011。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：24690/(12346²−12345×12347)=______。
答案：24690
解析：12345×12347=(12346−1)(12346+1)=12346²−1，分母=1，原式=24690。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)(2³²+1)=______。
答案：2⁶⁴−1
解析：乘(2−1)后连续平方差，=2⁶⁴−1。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：2+4+6+…+2022=______。
答案：1023132
解析：=2(1+2+…+1011)=1011×1012=1023132。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2021×2022)=______。
答案：2021/2022
解析：裂项=1−1/2022=2021/2022。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1999×20002000−2000×19991999=______。
答案：0
解析：=1999×2000×10001−2000×1999×10001=0。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知a₁=1/(1×2×3)+1/2=2/3，a₂=1/(2×3×4)+1/3=3/8，a₃=1/(3×4×5)+1/4=4/15，a₄=1/(4×5×6)+1/5=5/24，…。按上述规律，a₉₉₉=______。
答案：1000/999999
解析：aₙ=1/[n(n+1)(n+2)]+1/(n+1)=[1+n(n+2)]/[n(n+1)(n+2)]=(n+1)²/[n(n+1)(n+2)]=(n+1)/[n(n+2)]。故a₉₉₉=1000/(999×1001)=1000/999999。
水平测试 A 第10题(填空题)
求1/(1/1339+1/1340+1/1341+…+1/2007)的整数部分。
答案：2
解析：共669项，和介于669/2007=1/3与669/1339之间，倒数介于1339/669≈2.001与2007/669=3之间，整数部分为2。
水平测试 A 第11题(解答题)
求证：1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+1/(4×6)+…+1/[n(n+2)]=3/4−(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。
答案：见证明
解析：裂项1/[n(n+2)]=1/2(1/n−1/(n+2))，求和后正负抵消，剩首尾得3/4−(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：1+1/2+1/2²+1/2³+…+1/2¹⁰⁰。
答案：2−1/2¹⁰⁰
解析：错位相减，S=2−1/2¹⁰⁰。
水平测试 C 第1题(填空题)
计算：1/(1×2×3)+1/(2×3×4)+1/(3×4×5)+…+1/(98×99×100)=______。
答案：4949/19800
解析：1/[n(n+1)(n+2)]=1/2[1/(n(n+1))−1/((n+1)(n+2))]，求和=1/2[1/(1×2)−1/(99×100)]=4949/19800。
水平测试 C 第2题(填空题)
计算：1又1/1024+2又1/512+4又1/256+256又1/4+512又1/2=______。
答案：775又775/1024
解析：整数部分=1+2+4+256+512=775。分数部分=1/1024+1/512+1/256+1/4+1/2=775/1024。合计=775又775/1024。
水平测试 C 第3题(填空题)
计算：(0.37+23/45)/(0.89+1/11)=______。
答案：671/747
解析：分子=37/100+23/45=793/900；分母=89/100+1/11=1079/1100。约分：793=13×61，1079=13×83，比值=61×11/(9×83)=671/747。
水平测试 C 第4题(填空题)
计算：(1+0.3+0.28)(0.3+0.28+0.49)−(1+0.3+0.28+0.49)(0.3+0.28)=______。
答案：0.49
解析：设A=0.3+0.28，则=(1+A)(A+0.49)−(1+A+0.49)A=A+0.49+A²+0.49A−A−A²−0.49A=0.49。
水平测试 C 第5题(填空题)
计算：(2²⁰⁰⁰−2¹⁹⁹⁹−2¹⁹⁹⁸+2¹⁹⁹⁷)/2¹⁹⁹⁷=______。
答案：3
解析：提取2¹⁹⁹⁷：原式=2³−2²−2+1=8−4−2+1=3。
水平测试 C 第6题(填空题)
计算：(1−1)/2¹+(2−1)/2²+(3−1)/2³+…+(100−1)/2¹⁰⁰=______。
答案：1−101/2¹⁰⁰
解析：即Σ(k−1)/2ᵏ=Σk/2ᵏ−Σ1/2ᵏ=(2−102/2¹⁰⁰)−(1−1/2¹⁰⁰)=1−101/2¹⁰⁰。
水平测试 C 第7题(填空题)
计算：103×97×10009=______。
答案：99999919
解析：103×97=(100+3)(100−3)=9991；10009=100²+9。原式=(10000−9)(10000+9)=10⁸−81=99999919。
水平测试 C 第8题(填空题)
计算：472634²+472635²−472633×472635−472634×472636=______。
答案：2
解析：设a=472634。原式=a²+(a+1)²−(a−1)(a+1)−a(a+2)=a²+a²+2a+1−a²+1−a²−2a=2。
水平测试 C 第9题(填空题)
计算嵌套分数：从最底层1−113/335开始，向上共1999层“1−1/(上一层)”，求最上层的值。
答案：222/335
解析：底层=222/335；第2层=1−335/222=−113/222；第3层=1+222/113=335/113；第4层回到222/335，周期为3。1999=3×666+1，取第1层=222/335。
水平测试 C 第10题(填空题)
计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=______。
答案：2970
解析：n(n+1)(n+2)=1/4[四连积差]，求和=1/4×9×10×11×12=2970。
水平测试 C 第11题(解答题)
试比较1/8²+1/9²+1/10²+…+1/64²与1/8的大小。
答案：小于1/8
解析：保留首项1/8²，其余放缩：1/9²<1/(8×9)，1/10²<1/(9×10)，…，1/64²<1/(63×64)。和<1/64+(1/8−1/64)=1/8。
水平测试 C 第12题(解答题)
计算：(2²+1)/(2²−1)+(3²+1)/(3²−1)+…+(100²+1)/(100²−1)。
答案：1014849/10100
解析：(n²+1)/(n²−1)=1+2/(n²−1)=1+1/(n−1)−1/(n+1)。共99个1，裂项后=99+1+1/2−1/100−1/101=1014849/10100。
四、方法小结
有理数计算技巧三条主线：反过来想（凑整、提取公因数、整体设元）、分拆合并（裂项相消，1/[n(n+k)]=(1/k)(1/n−1/(n+k))）、利用规律（等差数列、错位相减、平方差、n!和n(n+1)(n+2)恒等式）。解题前先观察算式结构，识别重复项和通项，选对应技巧，避免硬算大数。
五、作业建议
基础必做：- 教材P123 水平测试A 第1–8题（符号运算、提取公因数、分组、平方差、等差、裂项）
- 教材P124 水平测试A 第9–12题（数列规律、估值、解答题）
巩固选做：- 教材P126 水平测试B 第1–8题（分组、提取、等差、约分、平方差）
- 教材P126–127 水平测试B 第9–12题（倍数裂项、整体设元、基准数求平均、放缩证明）
提高挑战：- 教材P128 水平测试C 第1–10题（三连积裂项、等比、平方差连乘、三连积）
- 教材P128 水平测试C 第11–12题（平方倒数放缩、分式裂项）
六、课堂错因定位
症状：大数硬算出错
根因：不会观察整体结构凑整或提取公因数。
补救：先看重复出现的数，尝试拆成a×10001结构。
症状：裂项漏系数
根因：1/[n(n+k)]忘记乘1/k。
补救：板书时先写系数再裂项，抵消后核对首尾。
症状：错位相减项数对错
根因：乘公比后没有对齐。
补救：把Sn和qS写成分行对齐，相同分母上下相减。
症状：不认识阶乘和三连积恒等式
根因：对(n+1)!−n!和n(n+1)(n+2)/4不熟悉。
补救：背熟两个恒等式并各练一题。