【教师版】第14讲 · 相反数与绝对值
六年级奥数 · 教材第129–135页（第14讲全讲）
一、知识要点
相反数与绝对值的概念
本质：-a与a互为相反数，在数轴上关于原点对称；|a|表示数a在数轴上的点到原点的距离，|a|≥0。
适用：典例A1：(2a-1)²+|b+1|=0，两个非负数和为0则各自为0。典例A2：两个绝对值互为相反数则都为0。水平测试A1–A6直接考概念。
- 先判断绝对值内部式子是正、负还是0。
- 正数去绝对值不变号，负数去绝对值添负号，0去掉仍是0。
- 两个非负数（平方、绝对值）之和为0，则每个都为0。
典型错误：认为|a|=a（忘记a可能为负）；或把-a当成一定是负数。
零点分段法
本质：先求使每个绝对值内式子为0的变量值（零点），标在数轴上把数轴分成若干段，再逐段判断正负去绝对值符号。
适用：典例B1：|3x+1|+|2x-1|，零点-1/3和1/2，分三段。典例B2：三个零点-3、-1、1，分四段求最值。水平测试B11化简|x-2|+|x+5|。
- 令每个绝对值内式子=0，求出零点。
- 把零点标在数轴上，按从左到右分段。
- 在每一段内判断每个绝对值内式子的正负，去符号后合并。
典型错误：分界点处等号归属错误；分段后忘记把各段结果写成分段函数形式。
绝对值的几何意义与距离和最值
本质：|x-a|表示数轴上点x到点a的距离。多个|x-aᵢ|之和表示点x到各点aᵢ的距离总和；奇数个点时在中间点取最小，偶数个点时在中间两点之间取最小。
适用：典例C2：6个点成环的距离和最小值=2×(6-1)=10。典例C3：加权距离和|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|在加权中位数x=3取最小8。水平测试C10：|x-1|+…+|x-100|最小值2500。
- 把每个|x-aᵢ|看成x到aᵢ的距离。
- 奇数个点：x取在中间那个点时距离和最小。
- 偶数个点：x取在中间两点之间（含端点）时距离和最小。
- 加权时按权重累计，累计权重首次过半的点即加权中位数。
典型错误：不会把代数表达式翻译成距离；偶数个点时误以为必须取某个点而非区间。
二、典例精讲
典例 A1
已知(2a−1)²+|b+1|=0，求(1/a)²+(1/b)²⁰²³的值。
训练点：非负数和为0模型：平方≥0、绝对值≥0，相加为0则各自为0。
提示：
1. (2a−1)²≥0 且 |b+1|≥0，两个非负数相加等于0。
2. 只有各自都为0时和才为0。
1由(2a−1)²≥0，|b+1|≥0，和为0得(2a−1)²=0且|b+1|=0。依据：非负数和为0模型。
3(1/a)²+(1/b)²⁰²³=2²+(−1)²⁰²³=4−1=3。依据：代入计算，奇次幂为负。
答：3
典型错法：忘记(-1)的奇次幂是-1，算成4+1=5。
典例 A2
若|x−y+3|与|x+y−2007|互为相反数，求(x+2y)/(x−y)的值。
训练点：两个绝对值互为相反数，意味着它们都为0。
提示：
1. |x−y+3|=−|x+y−2007|，移项得两绝对值之和为0。
2. 绝对值非负，故各自为0，得二元一次方程组。
1由题意|x−y+3|=−|x+y−2007|，即两绝对值和为0。依据：相反数定义。
2x−y+3=0且x+y−2007=0。依据：非负数和为0。
3两式相加2x=2004，x=1002；代入得y=1005。依据：解方程组。
4(x+2y)/(x−y)=(1002+2010)/(1002−1005)=3012/(−3)=−1004。依据：代入求值。
答：-1004
典型错法：解方程组时加减消元出错。
典例 A3
已知x<−3，化简：|3+|2−|1+x|||。
训练点：多层绝对值从里往外逐层去符号，每层先判断内部正负。
提示：
1. x<−3时，1+x<0，先去掉最内层|1+x|。
2. 再判断2−|1+x|=2+(1+x)=3+x的正负。
1因x<−3，1+x<0，|1+x|=−(1+x)。依据：负数绝对值是相反数。
2|2−|1+x||=|2−(−1−x)|=|2+(1+x)|=|3+x|。依据：去内层。
3因x<−3，3+x<0，|3+x|=−(3+x)。依据：负数绝对值是相反数。
4原式=|3+(−3−x)|=|−x|=−x。依据：x<−3时−x>0。
答：-x
典型错法：去括号时符号错误；或最后一步|−x|写成x。
典例 B1
化简：|3x+1|+|2x−1|。
训练点：零点分段法：求两个零点，分三段讨论。
提示：
1. 令3x+1=0得x=−1/3；令2x−1=0得x=1/2。
2. 这两个点把数轴分成x<−1/3、−1/3≤x<1/2、x≥1/2三段。
1零点为x=−1/3和x=1/2。依据：为什么想到这一步：令每个绝对值内的式子=0，解出的x就是符号翻转的分界点。
2当x<−1/3时，原式=−(3x+1)−(2x−1)=−5x。依据：为什么想到这一步：在最左段两个括号内都为负，去绝对值都添负号。
3当−1/3≤x<1/2时，原式=(3x+1)−(2x−1)=x+2。依据：为什么想到这一步：中间段3x+1≥0但2x−1<0，一正一负。
4当x≥1/2时，原式=(3x+1)+(2x−1)=5x。依据：为什么想到这一步：最右段两个括号内都为正，直接去符号。
答：分段函数：x<−1/3时−5x；−1/3≤x<1/2时x+2；x≥1/2时5x
典型错法：分界点处重复或遗漏；去括号符号错误。
典例 B2
已知y=|2x+6|+|x−1|−4|x+1|，求y的最大值。
训练点：零点分段后逐段求最大值，再比较各段最大值。
提示：
1. 零点为x=−3、x=−1、x=1，分四段。
2. 每段化简后是一次函数，最值在端点取到。
1零点为−3、−1、1。依据：令2x+6=0, x−1=0, x+1=0。
2x≤−3时y=x−1≤−4，最大值−4。依据：一次函数递减。
3−3≤x≤−1时y=5x+11，范围[−4,6]，最大值6。依据：递增，在x=−1取6。
4−1≤x≤1时y=−3x+3，范围[0,6]，最大值6。依据：递减，在x=−1取6。
5x≥1时y=−x+1≤0，最大值0。依据：递减。
6综上，x=−1时y最大=6。依据：比较各段最大值。
答：6
典型错法：漏了某一段；或不在端点比较最大值。
典例 C1
已知|x|≤1，|y|≤1，求|y+1|+|2y−x−4|的最小值。
训练点：先根据范围判断绝对值内部式子的正负，再去符号求最值。
提示：
1. −1≤x≤1，−1≤y≤1，所以y+1≥0。
2. 2y−x的最大值为2×1−(−1)=3，所以2y−x−4≤−1<0。
22y−x≤2−(−1)=3，故2y−x−4≤−1<0。依据：放缩。
3原式=(y+1)−(2y−x−4)=x−y+5。依据：去绝对值。
4x−y+5≥−1−1+5=3，当x=−1、y=1时取等。依据：x最小、y最大时最小。
答：3
典型错法：不会放缩判断2y−x−4的正负。
典例 C2
若x₁、x₂、x₃、x₄、x₅、x₆是6个不同的正整数，取值于1、2、3、4、5、6，记S=|x₁−x₂|+|x₂−x₃|+|x₃−x₄|+|x₄−x₅|+|x₅−x₆|+|x₆−x₁|，求S的最小值。
训练点：几何意义：在数轴上从x₁出发遍历6个点再回到x₁的环路径，最短=往返全程。
提示：
1. |xᵢ−xᵢ₊₁|是数轴上相邻两点距离，整个式子是从x₁出发遍历6点回到x₁的总路程。
2. 要经过1到6所有点再回来，至少从1走到6再走回1。
1S是数轴上从某点出发遍历1~6六个点再回到起点的闭合路径长度。依据：为什么想到这一步：每个|xᵢ−xᵢ₊₁|就是数轴上相邻两点距离，连起来就是一条闭合折线。
2要经过最小点1和最大点6，去程至少走6−1=5，回程再走5。依据：为什么想到这一步：闭合路径必然从1到6走一趟再走回来，往返路程=2×区间长。
3S≥2×(6−1)=10。依据：为什么想到这一步：这是闭合路径的下界。
4按1→2→3→4→5→6→1排列验证：S=1×5+5=10。依据：为什么想到这一步：构造一条路径恰好取到下界，证明下界可达。
答：10
典型错法：排成直线不回环，忘记最后一段|x₆−x₁|。
典例 C3
求|x−1|+2|x−2|+3|x−3|+4|x−4|的最小值。
训练点：加权中位数：累计权重首次过半的点即最小点。
提示：
1. 权重和=1+2+3+4=10，过半即累计≥5。
2. 从左累计：x=1后累计1，x=2后累计3，x=3后累计6≥5。
1权重和=10，过半点即累计权重首次≥5处。依据：为什么想到这一步：加权距离和的最小值出现在累计权重首次过半的点，像天平找平衡点。
2从左累计：x=1后累计1，x=2后累计3，x=3后累计6≥5。依据：为什么想到这一步：逐个点累加权重，第一次达到总权重一半以上的点就是最优位置。
3代入x=3：|3−1|+2|3−2|+3×0+4|3−4|=2+2+0+4=8。依据：为什么想到这一步：找到最优点后直接代入算各段距离乘权重。
答：8
典型错法：按未加权中位数取x=2.5，忽略了权重。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
−2m的相反数是______。
水平测试 A 第2题(填空题)
−7的绝对值是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
判断正误：若|a|<|b|，则a<b______。
答案：错误
解析：如|1|<|−4|，但1>−4，绝对值大的负数反而小。
水平测试 A 第4题(填空题)
绝对值最小的有理数是______。
答案：0
解析：|0|=0，任何非零数绝对值都大于0。
水平测试 A 第5题(填空题)
绝对值最小的正整数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
数a的相反数的绝对值是______，数a的绝对值的相反数是______。
答案：|a|；−|a|
解析：|−a|=|a|；−|a|。
水平测试 A 第7题(填空题)
绝对值小于3.2的整数有______个，绝对值小于5的数有______个。
答案：7；无数
解析：绝对值小于3.2的整数为−3,−2,−1,0,1,2,3共7个；绝对值小于5的实数有无数个。
水平测试 A 第8题(填空题)
代数式|3x−7|+2的最小值是______，此时x=______。
答案：2；7/3
解析：|3x−7|≥0，当3x−7=0即x=7/3时取最小2。
水平测试 A 第9题(填空题)
若x<0，则||x|−2x|/3=______。
答案：−x
解析：x<0时|x|=−x，|x|−2x=−x−2x=−3x>0，原式=|−3x|/3=−x。
水平测试 A 第10题(填空题)
若|x|=3，|y|=2，且|x−y|=y−x，则x+y=______。
答案：−1或−5
解析：|x−y|=y−x说明x−y≤0即x≤y。x=±3,y=±2，满足x≤y的组合为x=−3,y=−2(和−5)或x=−3,y=2(和−1)。
水平测试 A 第11题(解答题，配教材图14-1)
设有理数a、b、c在数轴上的对应点如图14-1所示（c<b<0<a），化简：|b−a|+|a+c|+|c−b|。
答案：−2c
解析：由图知a>0,b<0,c<0且|c|>|a|>|b|。b−a<0，a+c<0，c−b<0。原式=(a−b)−(a+c)+(b−c)=a−b−a−c+b−c=−2c。
水平测试 A 第12题(解答题)
若abc≠0，则a/|a|+b/|b|+c/|c|的所有可能值是什么？
答案：±3，±1
解析：分四种情况：三正=3；三负=−3；两正一负=1；一正两负=−1。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
−2m的相反数是______。
水平测试 A 第2题(填空题)
−7的绝对值是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
判断正误：若|a|<|b|，则a<b______。
答案：错误
解析：如|1|<|−4|，但1>−4，绝对值大的负数反而小。
水平测试 A 第4题(填空题)
绝对值最小的有理数是______。
答案：0
解析：|0|=0，任何非零数绝对值都大于0。
水平测试 A 第5题(填空题)
绝对值最小的正整数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
数a的相反数的绝对值是______，数a的绝对值的相反数是______。
答案：|a|；−|a|
解析：|−a|=|a|；−|a|。
水平测试 A 第7题(填空题)
绝对值小于3.2的整数有______个，绝对值小于5的数有______个。
答案：7；无数
解析：绝对值小于3.2的整数为−3,−2,−1,0,1,2,3共7个；绝对值小于5的实数有无数个。
水平测试 A 第8题(填空题)
代数式|3x−7|+2的最小值是______，此时x=______。
答案：2；7/3
解析：|3x−7|≥0，当3x−7=0即x=7/3时取最小2。
水平测试 A 第9题(填空题)
若x<0，则||x|−2x|/3=______。
答案：−x
解析：x<0时|x|=−x，|x|−2x=−x−2x=−3x>0，原式=|−3x|/3=−x。
水平测试 A 第10题(填空题)
若|x|=3，|y|=2，且|x−y|=y−x，则x+y=______。
答案：−1或−5
解析：|x−y|=y−x说明x−y≤0即x≤y。x=±3,y=±2，满足x≤y的组合为x=−3,y=−2(和−5)或x=−3,y=2(和−1)。
水平测试 A 第11题(解答题，配教材图14-1)
设有理数a、b、c在数轴上的对应点如图14-1所示（c<b<0<a），化简：|b−a|+|a+c|+|c−b|。
答案：−2c
解析：由图知a>0,b<0,c<0且|c|>|a|>|b|。b−a<0，a+c<0，c−b<0。原式=(a−b)−(a+c)+(b−c)=a−b−a−c+b−c=−2c。
水平测试 A 第12题(解答题)
若abc≠0，则a/|a|+b/|b|+c/|c|的所有可能值是什么？
答案：±3，±1
解析：分四种情况：三正=3；三负=−3；两正一负=1；一正两负=−1。
水平测试 B 第1题(填空题)
若a与b互为相反数，则代数式(7/3)a+(7/3)b−5的值等于______。
水平测试 B 第2题(填空题)
若2a−|a|=3a，则a______0（填“≥”“=”或“≤”）。
答案：≤
解析：移项得−|a|=a，即|a|=−a，故a≤0。
水平测试 B 第3题(填空题，配教材图14-3)
有理数a、b、c在数轴上的位置如图14-3所示（−1<a<0，1<b<c），则式子|a|+|b|+|a+b|+|b−c|=______。
答案：b+c
解析：a<0,b>0,c>b>0且|b|>|a|。|a|=−a,|b|=b,|a+b|=a+b,|b−c|=c−b。原式=−a+b+a+b+c−b=b+c。
水平测试 B 第4题(填空题)
若a<0，ab<0，那么|b−a+1|−|a−b−5|等于______。
答案：−4
解析：a<0且ab<0故b>0。b−a+1>0，a−b−5<0。原式=(b−a+1)+(a−b−5)=−4。
水平测试 B 第5题(填空题)
一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是______。
答案：1
解析：最大的负整数是−1，它的相反数是1。
水平测试 B 第6题(填空题)
已知x与−2y互为相反数，y与3z互为相反数，(1/2)x+y+6z+3的值是______。
答案：3
解析：x=2y，y=−3z即z=−y/3。原式=y+y+6(−y/3)+3=2y−2y+3=3。
水平测试 B 第7题(填空题)
a、b、c中至少有两个互为相反数，可以用一个方程表示为______。
答案：(a+b)(a+c)(b+c)=0
解析：至少一对互为相反数即a+b=0或a+c=0或b+c=0，乘积为0。
水平测试 B 第8题(填空题)
不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C。如果|a−b|+|b−c|=|a−c|，那么B点与A、C的位置关系是______。
答案：B点在A、C之间
解析：折线长=直线长，说明B在A、C之间。
水平测试 B 第9题(填空题)
若x、y满足3|x+y|+|y−1/3|=0，则4x−3y=______。
答案：−7/3
解析：x+y=0且y=1/3，得x=−1/3,y=1/3。4x−3y=−4/3−1=−7/3。
水平测试 B 第10题(填空题)
正数a使得关于x的代数式|x+1|+|x−6|+2|x−a|的最小值是8，那么a的值为______。
答案：13/2
解析：几何意义为x到−1、6、a、a四点距离和。若a≤6，最小在x=a处为7<8矛盾，故a>6。当6≤x≤a时最小，令x=6得7+2(a−6)=8，解得a=13/2。
水平测试 B 第11题(解答题)
化简|x−2|+|x+5|的值。
答案：x≥2时2x+3；x≤−5时−2x−3；−5<x<2时7
解析：零点为x=2和x=−5，分三段：x≥2两式均正；x≤−5两式均负；中间一正一负抵消常数。
水平测试 B 第12题(解答题)
有理数x、y适合关系式：x+|x|+y=10，|y|+x−y=12，求x+y的值。
答案：18/5
解析：分四种符号讨论，只有x>0,y<0可行：2x+y=10, x−2y=12，解得x=32/5,y=−14/5，x+y=18/5。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
−2m的相反数是______。
水平测试 A 第2题(填空题)
−7的绝对值是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
判断正误：若|a|<|b|，则a<b______。
答案：错误
解析：如|1|<|−4|，但1>−4，绝对值大的负数反而小。
水平测试 A 第4题(填空题)
绝对值最小的有理数是______。
答案：0
解析：|0|=0，任何非零数绝对值都大于0。
水平测试 A 第5题(填空题)
绝对值最小的正整数是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
数a的相反数的绝对值是______，数a的绝对值的相反数是______。
答案：|a|；−|a|
解析：|−a|=|a|；−|a|。
水平测试 A 第7题(填空题)
绝对值小于3.2的整数有______个，绝对值小于5的数有______个。
答案：7；无数
解析：绝对值小于3.2的整数为−3,−2,−1,0,1,2,3共7个；绝对值小于5的实数有无数个。
水平测试 A 第8题(填空题)
代数式|3x−7|+2的最小值是______，此时x=______。
答案：2；7/3
解析：|3x−7|≥0，当3x−7=0即x=7/3时取最小2。
水平测试 A 第9题(填空题)
若x<0，则||x|−2x|/3=______。
答案：−x
解析：x<0时|x|=−x，|x|−2x=−x−2x=−3x>0，原式=|−3x|/3=−x。
水平测试 A 第10题(填空题)
若|x|=3，|y|=2，且|x−y|=y−x，则x+y=______。
答案：−1或−5
解析：|x−y|=y−x说明x−y≤0即x≤y。x=±3,y=±2，满足x≤y的组合为x=−3,y=−2(和−5)或x=−3,y=2(和−1)。
水平测试 A 第11题(解答题，配教材图14-1)
设有理数a、b、c在数轴上的对应点如图14-1所示（c<b<0<a），化简：|b−a|+|a+c|+|c−b|。
答案：−2c
解析：由图知a>0,b<0,c<0且|c|>|a|>|b|。b−a<0，a+c<0，c−b<0。原式=(a−b)−(a+c)+(b−c)=a−b−a−c+b−c=−2c。
水平测试 A 第12题(解答题)
若abc≠0，则a/|a|+b/|b|+c/|c|的所有可能值是什么？
答案：±3，±1
解析：分四种情况：三正=3；三负=−3；两正一负=1；一正两负=−1。
水平测试 C 第1题(填空题)
有理数a、b、c、d，满足|abcd|/(abcd)=−1，则|a|/a+|b|/b+|c|/c+|d|/d的最大值为______。
答案：2
解析：条件说明abcd中有奇数个负号（1个或3个）。要使和最大，取1负3正，和=2。
水平测试 C 第2题(填空题)
若(a−2)²+|b−5|=0，则(a⁵−b²)/(ab)=______。
答案：7/10
解析：a=2,b=5。(32−25)/(10)=7/10。
水平测试 C 第3题(填空题)
已知x=−π/3，则|x+1|−|x+2|+|x+3|−|x+4|+…+|x+11|−|x+12|+|x+13|=______。
答案：π/3+5
解析：因−2<−π/3<−1，逐项去绝对值后相邻抵消，结果=−x+5=π/3+5。
水平测试 C 第4题(填空题)
x为______时，式子|(x−2)+(x−4)|=|x−2|+|x−4|成立。
答案：x≥4或x≤2
解析：两式同号时和的绝对值=绝对值的和，即(x−2)(x−4)≥0。
水平测试 C 第5题(填空题)
x为______时，式子|(7x+6)(3x−5)|=(7x+6)(3x−5)成立。
答案：x≥5/3或x≤−6/7
解析：两因式同号，即(7x+6)(3x−5)≥0。
水平测试 C 第6题(填空题)
若a+b<0，则|a+b−1|−|3−a−b|=______。
答案：−2
解析：a+b<0时a+b−1<0，3−a−b>0。原式=−(a+b−1)−(3−a−b)=−2。
水平测试 C 第7题(填空题)
若a、b、c为整数，且|a−b|¹⁹+|c−a|⁹⁹=1，则|c−a|+|a−b|+|b−c|的值为______。
答案：2
解析：两个非负整数次幂和为1，必一个为1一个为0。设|a−b|=1,|c−a|=0，则c=a，|b−c|=1，总和=1+0+1=2。
水平测试 C 第8题(填空题)
适合关系式|3x−4|+|3x+2|=6的整数x的值是______。
答案：0与1
解析：几何意义：3x到4和−2的距离和=6，而4−(−2)=6，故3x在[−2,4]间，x为整数即0,1。
水平测试 C 第9题(填空题)
已知|x|≤1，|y|≤1，|x+y|+|y+1|+|2y−x−4|的最大值、最小值分别是______。
答案：7与3
解析：去绝对值化简后：x+y≥0时原式=2x+5，最大7最小3；x+y<0时类似。综上最大7最小3。
水平测试 C 第10题(填空题)
|x−1|+|x−2|+…+|x−99|+|x−100|的最小值是______。
答案：2500
解析：100个点偶数个，x在[50,51]间取最小。和=(100−1)+(99−2)+…+(51−50)=2×(1+2+…+49)+50=2500。
水平测试 C 第11题(填空题)
对于任意实数x、y不等式|x−1|+|x−3|+|x−5|≥k(2−|y−9|)恒成立，则实数k的最大值是______。
答案：2
解析：左边最小为4（x=3时），右边最大为2k（y=9时）。需4≥2k，k≤2。
水平测试 C 第12题(填空题)
已知a、b、c、d分别是一个四位数的千位、百位、十位、个位数字，且低位上的数字不小于高位上的数字。当|a−b|+|b−c|+|c−d|+|d−a|取最大值时，这个四位数的最大值为______。
答案：1999
解析：因a≤b≤c≤d，原式=(b−a)+(c−b)+(d−c)+(d−a)=2(d−a)。要最大取d=9,a=1，b,c任意，四位数最大1999。
水平测试 C 第13题(解答题)
试求如下表达式的最大值：||…||x₁−x₂|−x₃|−…−x₂₀₁₆|，其中x₁、x₂、…、x₂₀₁₆是1～2016的一个排列。
答案：2016
解析：结果不超过最大数2016，且由奇偶性和连续四数操作可构造取到2016。
水平测试 C 第14题(解答题)
设n个有理数x₁、x₂、…、xₙ满足|xᵢ|<1（i=1,2,…,n），且|x₁|+|x₂|+…+|xₙ|=19+|x₁+x₂+…+xₙ|，求n的最小值。
答案：20
解析：由|和|≥0得Σ|xᵢ|≥19，每个|xᵢ|<1故n≥20。构造n=20时交替取±0.95验证可行。
四、方法小结
相反数关于原点对称；绝对值是数轴上点到原点的距离，|a|≥0，去符号先判断内部正负。两个非负数（平方、绝对值）之和为0则各自为0。多个绝对值式子用零点分段法：先求零点标数轴、分段去符号合并。求距离和最值时用几何意义，奇数个点在中间点、偶数个点在中间区间取最小，加权时找加权中位数。
五、作业建议
基础必做：- 教材P130 水平测试A 第1–8题（相反数、绝对值概念）
- 教材P130 水平测试A 第9–10题（多层绝对值、条件判断）
巩固选做：- 教材P131 水平测试A 第11–12题（数轴化简、符号讨论）
- 教材P132–133 水平测试B 第1–10题（零点分段、条件化简）
- 教材P133 水平测试B 第11–12题（分段化简、符号分类）
提高挑战：- 教材P134–135 水平测试C 第1–10题（符号讨论、距离和最值）
- 教材P135 水平测试C 第11–14题（恒成立、四位数、嵌套绝对值、n最小值）
六、课堂错因定位
症状：去绝对值时不判断正负直接去掉
根因：没有养成先判断内部式子正负的习惯。
补救：板书时先圈出绝对值内部，标出正/负/待定再去符号。
症状：零点分段后分界点等号归属错
根因：不清楚零点处等于0应归哪段。
补救：约定零点归入右边那段（x≥零点），左段写x<零点。
症状：多层绝对值不知从哪层入手
根因：没有掌握从里往外逐层去的策略。
补救：典例A3示范：最内层|1+x|先判断，一层一层往外剥。
症状：求距离和最值时不会用几何意义
根因：把|x−a|只当代数符号，没联想到数轴距离。
补救：画数轴点图，标出各零点，用“走到哪总路程最短”来讲。