【教师版】第15讲 · 一元一次方程
六年级奥数 · 教材第136–142页（第15讲全讲）
一、知识要点
最简方程 ax=b 解的三种情况
本质：a≠0时唯一解x=b/a；a=0且b=0时无穷多解；a=0且b≠0时无解。含字母系数的方程最终都要化成ax=b来讨论。
适用：典例B1展开后x²抵消得(a²−b²)x=(a−b)²，需按a²−b²是否为0讨论。水平测试B1/B3/B10、C10直接考此模型。
- 把方程整理成左边是系数乘x、右边是常数。
- 看x的系数是否为0。
- 系数为0时再看右边常数是否也为0。
典型错误：含字母系数时直接两边除以含字母的式子，不讨论该式是否为0。
同解方程与新定义运算
本质：同解方程：先解出已知方程的解，代入另一个方程求参数。新定义运算：按题目规则从内层开始逐层计算，化为普通一元一次方程。
适用：典例A1：3*(x*5)=2，先算x*5=(x+5)/2再算3*它。典例A3：方程①解出x=3代入②求a。水平测试A6两方程同解求m。
- 同解：先解不含参数的方程。
- 把解代入含参数方程，得到参数的方程。
- 新定义：从内向外，把每一步按规则翻译成普通运算。
典型错误：新定义运算不从内层开始算；同解时不代入就猜参数。
整数解条件与巧解
本质：解必须为整数时，对解的表达式做整除分析；复杂分数方程观察结构，把常数分拆后逐项合并同类项。
适用：典例C1：a=9x/10−142，x须为10的倍数。典例C2：五个分母3,5,7,9,11，每个常数20+3=18+5=…=23，把5拆成5个1后合并。
- 把解用参数表示出来。
- 根据整数、正数等条件做整除或不等式分析。
- 复杂方程先观察结构（分子常数+分母是否相等），再分拆常数。
典型错误：硬算通分；不观察结构就展开。
二、典例精讲
典例 A1
定义一个运算“*”，其规则为a*b=(a+b)/2，试求方程3*(x*5)=2的解。
训练点：新定义运算从内层开始算。
提示：
1. 先算x*5=(x+5)/2，再算3*(它)。
23*(x*5)=(3+(x+5)/2)/2=2。依据：代入外层。
33+(x+5)/2=4，(x+5)/2=1，x+5=2，x=−3。依据：解方程。
答：x=−3
典型错法：运算顺序搞错。
典例 A2
已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p²−q的值。
训练点：把x=1代入得p+5q=97，结合质数的奇偶性讨论。
提示：
1. 97是奇数，p和5q必一奇一偶。
2. 偶质数只有2。
297奇，故p与5q一奇一偶。若p偶则p=2，5q=95，q=19（质数）。依据：偶质数只有2。
3若5q偶则q=2，p=87是合数，舍去。依据：87=3×29。
答：-15
典型错法：忘记检验q=2时p=87是合数。
典例 A3
已知下面两个方程：3(x+2)=5x ①，4x−3(a−x)=6x−7(a−x) ②有相同的解，试求a的值。
训练点：同解方程：先解①，再代入②。
1由①：3x+6=5x，2x=6，x=3。依据：解①。
2代入②：12−3(a−3)=18−7(a−3)。依据：同解定义。
34(a−3)=6，a−3=1.5，a=4.5。依据：移项合并。
答：a=4又1/2
典型错法：去括号时漏乘。
典例 B1
解关于x的方程：(a+x−b)(a−b−x)=(a²−x)(b²+x)−a²b²。
训练点：展开化简后x²抵消，得到(a²−b²)x=(a−b)²，再讨论。
提示：
1. 两边展开后x²会抵消，剩下关于x的一次方程。
1左边=(a−b)²−x²，右边=a²b²+a²x−b²x−x²−a²b²。依据：展开。
2化简得(a²−b²)x=(a−b)²。依据：消去x²和a²b²。
3a≠±b时唯一解x=(a−b)/(a+b)。依据：系数非零。
4a=−b时左边0右边4b²≠0，无解；a=b时两边都为0，无穷多解。依据：讨论。
答：a≠±b时x=(a−b)/(a+b)；a=−b时无解；a=b时无穷多解
典型错法：直接两边除以(a²−b²)不讨论是否为0。
典例 B2
若abc=1，解方程 2ax/(ab+a+1)+2bx/(bc+b+1)+2cx/(ca+c+1)=1。
训练点：利用附加条件abc=1把各项分母统一。
提示：
1. 用abc=1把第一项分子分母同乘bc，使分母出现(bc+b+1)。
1第一项分子分母同乘bc：2ax·bc/(ab·bc+a·bc+bc)=2x/(bc+b+1)。依据：abc=1。
2第三项分子分母同乘b：2cx·b/(ca·b+c·b+b)=2bcx/(1+bc+b)。依据：abc=1。
3三项合并为2x=1，x=1/2。依据：分母相同。
答：x=1/2
典型错法：不会利用abc=1统一分母。
典例 C1
已知关于x的方程(5/2)x−a=(8/5)x+142，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数a的最小值。
训练点：把a用x表示，分析整除性求最小正整数a。
提示：
1. 移项得a=9x/10−142，x必须是10的倍数。
1移项：(5/2−8/5)x=a+142，即9x/10=a+142。依据：通分。
3a>0要求9x/10>142，x>157又7/9。依据：不等式。
4x须为10的倍数，最小取x=160，a=144−142=2。依据：整除。
答：2
典型错法：x不取10的倍数导致a不是整数。
典例 C2
解方程：(x−20)/3+(x−18)/5+(x−16)/7+(x−14)/9+(x−12)/11=5。
训练点：观察到20+3=18+5=16+7=14+9=12+11=23，把5拆成5个1逐项减。
提示：
1. 把右边的5移过来拆成5个1，分别减到每个分数上。
1移项：各项和−5=0，把5拆成5个1。依据：分拆常数。
2(x−20)/3−1=(x−23)/3，同理其余各项。依据：20+3=23。
3(x−23)(1/3+1/5+1/7+1/9+1/11)=0。依据：提取公因式。
答：x=23
典型错法：硬算通分。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
如果代数式2x−7与3−4x的值互为相反数，那么x=______。
答案：−2
解析：2x−7=−(3−4x)，2x−7=−3+4x，−2x=4，x=−2。
水平测试 A 第2题(填空题)
已知方程(2m+3)x^(3n−4)−7=0是关于x的一元一次方程，则m的值为______，n的值为______。
答案：≠−3/2；5/3
解析：一次方程要求x系数≠0且指数=1：2m+3≠0，3n−4=1。
水平测试 A 第3题(填空题)
如果单项式−(1/7)x^(3n+2)y⁴与5x⁸y^(2m−2)是同类项，则n=______，m=______。
答案：2；3
解析：同类项要求相同字母指数相等：3n+2=8，2m−2=4。
水平测试 A 第4题(填空题)
已知以x为未知数的方程3x+k−7=0的解为2，则k=______。
答案：1
解析：代入x=2：6+k−7=0，k=1。
水平测试 A 第5题(填空题)
在公式V=πr²h中，已知V=6，r=2，则h=______。
答案：3/(2π)
解析：h=V/(πr²)=6/(4π)=3/(2π)。
水平测试 A 第6题(填空题)
若方程2x−(7−3x)/5=4−6x与方程2mx−(3x−5)/4=2−(5x−1)/6同解，则m=______。
答案：223/324
解析：先解第一个方程求x，再代入第二个求m。
水平测试 A 第7题(填空题)
a=______时，关于x的方程x/3+a=x/2−(1/6)(x−12)有无数多个解。
答案：2
解析：整理右边=x/2−x/6+2=x/3+2。左边=x/3+a，对比得a=2时0=0恒成立。
水平测试 A 第8题(填空题)
方程−(1/3)[−(1/2)(−1−x)−1/6]−1/12=−1/24的解是x=______。
水平测试 A 第9题(填空题)
某学生在计算25+N时，误将“+”看成“−”，结果得19，则25+N的值应是______。
答案：31
解析：25−N=19，N=6，故25+N=31。
水平测试 A 第10题(解答题)
a为何值时，代数式(3a−5)/4的值比(1−a)/3+1/6的值大1？
答案：33/13
解析：(3a−5)/4=(1−a)/3+1/6+1，通分3(3a−5)=4(1−a)+2+12，13a=33。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
如果代数式2x−7与3−4x的值互为相反数，那么x=______。
答案：−2
解析：2x−7=−(3−4x)，2x−7=−3+4x，−2x=4，x=−2。
水平测试 A 第2题(填空题)
已知方程(2m+3)x^(3n−4)−7=0是关于x的一元一次方程，则m的值为______，n的值为______。
答案：≠−3/2；5/3
解析：一次方程要求x系数≠0且指数=1：2m+3≠0，3n−4=1。
水平测试 A 第3题(填空题)
如果单项式−(1/7)x^(3n+2)y⁴与5x⁸y^(2m−2)是同类项，则n=______，m=______。
答案：2；3
解析：同类项要求相同字母指数相等：3n+2=8，2m−2=4。
水平测试 A 第4题(填空题)
已知以x为未知数的方程3x+k−7=0的解为2，则k=______。
答案：1
解析：代入x=2：6+k−7=0，k=1。
水平测试 A 第5题(填空题)
在公式V=πr²h中，已知V=6，r=2，则h=______。
答案：3/(2π)
解析：h=V/(πr²)=6/(4π)=3/(2π)。
水平测试 A 第6题(填空题)
若方程2x−(7−3x)/5=4−6x与方程2mx−(3x−5)/4=2−(5x−1)/6同解，则m=______。
答案：223/324
解析：先解第一个方程求x，再代入第二个求m。
水平测试 A 第7题(填空题)
a=______时，关于x的方程x/3+a=x/2−(1/6)(x−12)有无数多个解。
答案：2
解析：整理右边=x/2−x/6+2=x/3+2。左边=x/3+a，对比得a=2时0=0恒成立。
水平测试 A 第8题(填空题)
方程−(1/3)[−(1/2)(−1−x)−1/6]−1/12=−1/24的解是x=______。
水平测试 A 第9题(填空题)
某学生在计算25+N时，误将“+”看成“−”，结果得19，则25+N的值应是______。
答案：31
解析：25−N=19，N=6，故25+N=31。
水平测试 A 第10题(解答题)
a为何值时，代数式(3a−5)/4的值比(1−a)/3+1/6的值大1？
答案：33/13
解析：(3a−5)/4=(1−a)/3+1/6+1，通分3(3a−5)=4(1−a)+2+12，13a=33。
水平测试 B 第1题(填空题)
关于x的方程a(x−a)+b(x+b)=0有无穷多个解，则a、b应满足的条件为______。
答案：a+b=0
解析：整理为(a+b)x=a²−b²=(a+b)(a−b)。无穷多解要求a+b=0。
水平测试 B 第2题(填空题)
方程|x−2020|=x−2020的解的个数是______。
答案：无穷多个且x≥2020
解析：|A|=A要求A≥0，即x≥2020，有无穷多解。
水平测试 B 第3题(填空题)
关于x的方程3x−5+a=bx+1有唯一解，那么a、b满足的条件为______。
答案：a为任意数，b≠3
解析：整理(3−b)x=6−a。唯一解要求3−b≠0即b≠3。
水平测试 B 第4题(填空题)
方程|x+1|=|2x|的解为______。
答案：x=1或x=−1/3
解析：x+1=2x或x+1=−2x，解得x=1或x=−1/3。
水平测试 B 第5题(填空题)
关于x的方程(a−1)x=6的解是正整数，则a的所有整数值是______。
答案：2,3,4,7
解析：x=6/(a−1)为正整数，a−1是6的正约数1,2,3,6。
水平测试 B 第6题(填空题)
方程|x−2|+|x−3|=1的实数解的个数有______。
答案：无数多个且2≤x≤3
解析：几何意义：x到2和3距离和=1，而2到3距离恰为1，故x在[2,3]间。
水平测试 B 第7题(填空题)
电冰箱连续两次提价10%后，又提价5%，欲恢复原价，至少应降价x%（x为整数），则x为______。
答案：22
解析：(1.1)²×1.05×(1−x%)=1，1.2708(1−x%)=1，x≈21.3，至少取22。
水平测试 B 第8题(填空题)
若关于x的方程||x−2|−1|=a有三个整数解，则a的值是______。
答案：1
解析：画图讨论：a=1时|x−2|−1=±1，即|x−2|=2或0，x=0,2,4共三个整数解。
水平测试 B 第9题(填空题)
方程(1/2){x−(1/3)[x−(1/4)(x−2/3)]−3/2}=x+3/4的解是______。
水平测试 B 第10题(填空题)
关于x的方程a(2x−1)=3x−2无解，则a=______。
答案：3/2
解析：整理(2a−3)x=a−2。无解要求2a−3=0且a−2≠0，即a=3/2。
水平测试 B 第11题(解答题)
已知方程|x|=1+ax有一负数解且无正数解，求a的最小值。
答案：1
解析：x<0时−x=1+ax，x=−1/(1+a)<0要求a>−1。x>0时x=1+ax要求a<1才有正解，要无正解须a≥1。故a最小为1。
水平测试 B 第12题(解答题)
解关于x的方程：ax+b−(3x+2ab)/3=1/2。
答案：a≠1时x=(3+4ab−6b)/(6(a−1))；a=1且b=3/2时无穷多解；a=1且b≠3/2时无解
解析：整理得(6a−6)x=3+4ab−6b，按系数讨论。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
如果代数式2x−7与3−4x的值互为相反数，那么x=______。
答案：−2
解析：2x−7=−(3−4x)，2x−7=−3+4x，−2x=4，x=−2。
水平测试 A 第2题(填空题)
已知方程(2m+3)x^(3n−4)−7=0是关于x的一元一次方程，则m的值为______，n的值为______。
答案：≠−3/2；5/3
解析：一次方程要求x系数≠0且指数=1：2m+3≠0，3n−4=1。
水平测试 A 第3题(填空题)
如果单项式−(1/7)x^(3n+2)y⁴与5x⁸y^(2m−2)是同类项，则n=______，m=______。
答案：2；3
解析：同类项要求相同字母指数相等：3n+2=8，2m−2=4。
水平测试 A 第4题(填空题)
已知以x为未知数的方程3x+k−7=0的解为2，则k=______。
答案：1
解析：代入x=2：6+k−7=0，k=1。
水平测试 A 第5题(填空题)
在公式V=πr²h中，已知V=6，r=2，则h=______。
答案：3/(2π)
解析：h=V/(πr²)=6/(4π)=3/(2π)。
水平测试 A 第6题(填空题)
若方程2x−(7−3x)/5=4−6x与方程2mx−(3x−5)/4=2−(5x−1)/6同解，则m=______。
答案：223/324
解析：先解第一个方程求x，再代入第二个求m。
水平测试 A 第7题(填空题)
a=______时，关于x的方程x/3+a=x/2−(1/6)(x−12)有无数多个解。
答案：2
解析：整理右边=x/2−x/6+2=x/3+2。左边=x/3+a，对比得a=2时0=0恒成立。
水平测试 A 第8题(填空题)
方程−(1/3)[−(1/2)(−1−x)−1/6]−1/12=−1/24的解是x=______。
水平测试 A 第9题(填空题)
某学生在计算25+N时，误将“+”看成“−”，结果得19，则25+N的值应是______。
答案：31
解析：25−N=19，N=6，故25+N=31。
水平测试 A 第10题(解答题)
a为何值时，代数式(3a−5)/4的值比(1−a)/3+1/6的值大1？
答案：33/13
解析：(3a−5)/4=(1−a)/3+1/6+1，通分3(3a−5)=4(1−a)+2+12，13a=33。
水平测试 C 第1题(填空题)
方程|x−5|+2x=−5的解是______。
答案：x=−10
解析：分类讨论：x≥5时x−5+2x=−5，x=0矛盾；x<5时−x+5+2x=−5，x=−10。
水平测试 C 第2题(填空题)
若|2020x+2021|=2021，则x=______。
答案：0或−2021/1010
解析：2020x+2021=±2021，解得x=0或x=−4042/2020=−2021/1010。
水平测试 C 第3题(填空题)
若方程249x+(a/8)|x|−1=0的根小于零，则a的取值范围是______。
答案：a>1992
解析：x<0时|x|=−x，方程249x−ax/8=1，x=8/(1992−a)<0，要求1992−a<0即a>1992。
水平测试 C 第4题(填空题)
甲、乙两人相距22.5千米，分别以2.5千米/时、5千米/时的速度相向而行。同时，甲所带的小狗以7.5千米/时的速度奔向乙，小狗遇乙后又立即回头奔向甲……直到甲、乙相遇，小狗所走的路程是______千米。
答案：22.5
解析：小狗跑的总时间=甲乙相遇时间=22.5/(2.5+5)=3小时，小狗路程=7.5×3=22.5千米。
水平测试 C 第5题(填空题)
对有理数a、b，规定运算※的意义是：a※b=(a+2b)/2，则方程3※|x|=2的解是______。
答案：±1/2
解析：3※|x|=(3+2|x|)/2=2，3+2|x|=4，|x|=1/2。
水平测试 C 第6题(填空题)
在有理数集合内定义一个运算法则“*”：当a≥b时，a*b=b^a；当a<b时，a*b=ab。根据这个法则，方程3*x=27的解是______。
答案：3或9
解析：若3≥x则x³=27，x=3；若3<x则3x=27，x=9。
水平测试 C 第7题(填空题)
现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的1/2，而9年前弟弟的年龄只是哥哥年龄的1/5，则哥哥现在的年龄是______岁。
答案：24
解析：设哥哥现在x岁，弟弟x/2岁。9年前：x/2−9=(x−9)/5，解得x=24。
水平测试 C 第8题(填空题)
三只猴子分一堆苹果，老大猴子先拿了这一堆苹果的一半少一个，老二猴子拿了余下的一半多一个，小猴子分得了余下的8个苹果，则这堆苹果有______个。
答案：34
解析：逆推：老二拿之前有(8+1)×2=18个；最初有(18−1)×2=34个。
水平测试 C 第9题(填空题)
若关于x的方程k²x−k²=2kx−5k的解是正数，则正数k应满足______。
答案：k>5或0<k<2
解析：(k²−2k)x=k²−5k，x=(k−5)/(k−2)>0。k>0，解得k>5或0<k<2。
水平测试 C 第10题(填空题)
已知x的方程a(3x−2)+b(2x−3)=8x−7有无穷多个解，那么a、b的值应分别为______。
答案：a=2，b=1
解析：整理(3a+2b−8)x=2a+3b−7。无穷多解要求系数和常数都为0，解得a=2,b=1。
水平测试 C 第11题(解答题)
若a、b、c是正数，解方程(x−a−b)/c+(x−b−c)/a+(x−c−a)/b=3。
答案：x=a+b+c
解析：两边乘abc后整理，提取(x−a−b−c)得(a+b+c)(x−a−b−c)=0，故x=a+b+c。
水平测试 C 第12题(解答题)
设n为正整数，[x]表示不超过x的最大整数，解关于x的方程x+2[x]+3[x]+…+n[x]=n²(n+1)²/2。
答案：x=n(n+1)
解析：右边为整数，故x必为整数即[x]=x。左边=(1+2+…+n)x=n(n+1)x/2=n²(n+1)²/2，解得x=n(n+1)。
四、方法小结
一元一次方程最终都化归为ax=b：a≠0唯一解、a=0且b=0无穷多解、a=0且b≠0无解。同解方程先解出一个再代入求参数；新定义运算从内层开始算；含字母系数必须讨论。整数解问题对解的表达式做整除分析；复杂分数方程先观察结构，分拆常数后提取公因式，避免硬算通分。
五、作业建议
基础必做：- 教材P137 水平测试A 第1–8题（相反数方程、同类项、公式变形、繁分数）
- 教材P137 水平测试A 第9–10题（错看符号、列方程）
巩固选做：- 教材P139 水平测试B 第1–8题（ax=b讨论、绝对值方程、提价、整数解）
- 教材P139 水平测试B 第9–12题（繁分数、无解条件、负数解、字母讨论）
提高挑战：- 教材P141 水平测试C 第1–10题（绝对值方程、小狗问题、新定义、年龄、逆推）
- 教材P141–142 水平测试C 第11–12题（正数方程、取整函数）
六、课堂错因定位
症状：含字母系数时直接除过去
根因：不讨论系数是否为0。
补救：强调先整理成ax=b，再按a是否为0分类。
症状：新定义运算顺序错
根因：不从内层括号开始算。
补救：典例A1板书从x*5开始逐层算。
症状：整数解问题不会分析整除
根因：解出x后不看分母约数。
补救：典例C1示范x必须是10的倍数。
症状：复杂分数方程硬算通分
根因：不观察结构。
补救：典例C2示范分拆常数、提取公因式。