【教师版】第16讲 · 方程组的解法
六年级奥数 · 教材第143–151页（第16讲全讲）
一、知识要点
二元一次方程组解的三种情况
本质：对a₁x+b₁y=c₁和a₂x+b₂y=c₂：系数比不同唯一解；三项比全相等无数解；系数比相等但常数比不同无解。
适用：典例A1：含参数a的方程组讨论唯一解/无解/无穷多解。水平测试C4直接考此判定。
- 把方程组写成标准形式。
- 比较x系数比、y系数比、常数比。
- 按三种情况下结论。
典型错误：只比较系数比不看常数比就判断唯一解。
消元法：代入与加减
本质：代入消元：从一个方程解出一个未知数代入另一个；加减消元：把某未知数系数配成相同或相反后加减消去。
适用：典例B2三元方程组：先用代入消x，再用加减消y和z。典例B3轮换方程组：三式相加得总和再分别减。水平测试B11三元参数方程组。
- 观察各未知数系数，选最容易消的。
- 代入法或加减法消去一元。
- 逐次降元，最后回代求其余未知数。
典型错误：消元时漏乘某一项；回代时算错。
特殊方程组技巧
本质：连等式拆成两个方程；轮换对称式三式相加求总和；含参数方程令参数系数为0求公共解；倒数式取倒数或换元。
适用：典例B1连等拆两式。典例C1轮换对称三式相加。典例C2换元u=1/(2x+y)。水平测试C12倒数方程组换元k=x+y+z。
- 连等：拆成两两相等的两个方程。
- 轮换对称：三式相加得总和，再分别减。
- 公共解：整理成参数·A=0，令A=0。
- 倒数：取倒数或换元化为线性。
典型错误：连等只拆成一个方程；轮换式不会相加。
二、典例精讲
典例 A1
已知关于x、y的方程组：ax+2y=1+a ①，2x+2(a−1)y=3 ②。分别求出当a为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解。
训练点：消元后归结为关于x的方程，按系数讨论。
提示：
1. 由①解出2y代入②，得(a−2)(a+1)x=(a−2)(a+2)。
1由①得2y=1+a−ax，代入②。依据：代入消元。
2化简得(a−2)(a+1)x=(a−2)(a+2)。依据：整理。
3(1)a≠2且a≠−1时，系数≠0，唯一解。依据：ax=b中a≠0。
4(2)a=−1时左边0右边−6≠0，无解。依据：a=0,b≠0。
5(3)a=2时两边都为0，无穷多解。依据：a=0,b=0。
答：(1)a≠2且a≠−1；(2)a=−1；(3)a=2
典型错法：忘记乘含a的式子可能为0，直接除。
典例 A2
已知关于x、y的二元一次方程(a−1)x+(a+2)y+5−2a=0。当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解。
训练点：整理成a的系数×某式=0，令两部分都为0。
提示：
1. 把含a的项合并：a(x+y−2)−(x−2y−5)=0。
1整理：a(x+y−2)+(−x+2y+5)=0。依据：合并a的系数。
2公共解与a无关，故x+y−2=0且−x+2y+5=0。依据：对任意a成立。
答：x=3，y=−1
典型错法：只代两个a值试，不验证对所有a成立。
典例 B1
解方程组：(5x+11y−1)/8=(5y−6x+2)/9=(3x+4y+7)/6。
训练点：连等式拆成两个方程。
提示：
1. 让第一个等于第三个、第二个等于第三个，得二元一次方程组。
1拆成(5x+11y−1)/8=(3x+4y+7)/6和(5y−6x+2)/9=(3x+4y+7)/6。依据：连等拆两式。
2去分母整理，解得x=−1，y=2。依据：解二元一次方程组。
答：x=−1，y=2
典型错法：只拆成一个方程。
典例 B2
解方程组：2x+3y−4z=−7，(x−4y)/3=(2y+3z)/2=2。
训练点：连等式拆成两个方程，得三元方程组后消元。
提示：
1. (x−4y)/3=2和(2y+3z)/2=2是两个独立方程。
1拆成：2x+3y−4z=−7，x−4y=6，2y+3z=4。依据：连等拆两式。
2由x=6+4y代入第一式得11y−4z=−19。依据：代入消x。
3与2y+3z=4加减消元，解得y=−1，z=2，x=2。依据：加减消元。
答：x=2，y=−1，z=2
典型错法：连等只当一个方程。
典例 B3
解方程组：x−y−z=5 ①，y−x−z=1 ②，z−x−y=−15 ③。
训练点：轮换对称：三式相加求x+y+z。
1①+②+③得−x−y−z=−9，即x+y+z=9。依据：轮换对称相加。
3④+②：2y=10，y=5；④+③：2z=−6，z=−3。依据：同理。
答：x=7，y=5，z=−3
典型错法：逐项消元计算繁易错。
典例 C1
解方程组：x(y+z−x)=39−2x² ①，y(z+x−y)=52−2y² ②，z(x+y−z)=78−2z² ③。
训练点：把右边−2x²移到左边，提取x得x(x+y+z)=常数。
提示：
1. ①左边xy+xz−x²+2x²=x(x+y+z)。
1整理：x(x+y+z)=39，y(x+y+z)=52，z(x+y+z)=78。依据：移项提取公因式。
2三式相加：(x+y+z)²=169，x+y+z=±13。依据：设S=x+y+z。
3S=13时x=3,y=4,z=6；S=−13时x=−3,y=−4,z=−6。依据：回代。
答：(3,4,6)和(−3,−4,−6)
典型错法：忘记x+y+z=−13的情形。
典例 C2
解方程组：1/(2x+y)−x+y=−5，1/(4x+2y)+x−y=3又1/2。
训练点：换元：设u=1/(2x+y)，v=x−y。
提示：
1. 注意4x+2y=2(2x+y)，所以第二项=u/2。
1设u=1/(2x+y)，v=x−y，则u−v=−5，u/2+v=7/2。依据：换元。
32x+y=−1，x−y=4，解得x=1，y=−3。依据：回代。
答：x=1，y=−3
典型错法：看不出4x+2y=2(2x+y)。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
y=(3/7)x+11/2中，若x=−3½，则y=______。
答案：4
解析：y=(3/7)(−7/2)+11/2=−3/2+11/2=4。
水平测试 A 第2题(填空题)
由11x−9y−6=0，用x表示y，则y=______；用y表示x，得x=______。
答案：(1/9)(11x−6)；(1/11)(9y+6)
解析：移项系数化1。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程组3x+2y=7，4x−y=13的解是______。
答案：x=3，y=−1
解析：由第二式y=4x−13代入第一式。
水平测试 A 第4题(填空题)
设x=3y，y+4z=0（y≠0），则x/z=______。
答案：−12
解析：z=−y/4，x/z=3y/(−y/4)=−12。
水平测试 A 第5题(填空题)
设方程组ax−by=1，(a−3)x−3by=4的解为x=1，y=−1，那么a、b的值分别为______。
答案：a=−2，b=3
解析：代入得a+b=1，(a−3)+3b=4，解得a=−2,b=3。
水平测试 A 第6题(填空题)
方程2x+y=8的正整数解的组数是______。
答案：3组
解析：y=8−2x>0，x=1,2,3对应y=6,4,2，共3组。
水平测试 A 第7题(填空题)
在等式y=x²+mx+n中，当x=2时y=5；x=−3时y=−5；则x=3时y=______。
答案：13
解析：代入得4+2m+n=5，9−3m+n=−5，解得m=3,n=−5。x=3时y=9+9−5=13。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果x+2y=1，2x−3y=2，那么(2x+4y−2)/2+(6x−9y)/3=______。
答案：2
解析：原式=(x+2y−1)+(2x−3y)=0+2=2。
水平测试 A 第9题(填空题)
如果2x^(2a−b−1)−3y^(3a−2b−16)=10是一个二元一次方程，那么a=______，b=______。
答案：−13；−28
解析：指数都为1：2a−b−1=1，3a−2b−16=1，解得a=−13,b=−28。
水平测试 A 第10题(填空题)
某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元。某校六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费1245元。则该校六年级订阅这份月刊的学生共有______人。
答案：57
解析：设订半年x人、全年y人。2.5(6x+12y)=1320，2.5(12x+6y)=1245。两式相加：2.5×18(x+y)=2565，x+y=57。
水平测试 A 第11题(解答题)
解方程组：x/3−(y+1)/6=3，2(y−x/2)=3(y−x/18)。
答案：x=114/17，y=−95/17
解析：化简得2x−y=19和−15x=18y，代入求解。
水平测试 A 第12题(解答题)
解关于x、y的方程组：5x+3y=11a+2b，3x−2y=5b−a。
答案：x=a+b，y=2a−b
解析：加减消元：①×2+②×3得19x=19a+19b，x=a+b，回代y=2a−b。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
y=(3/7)x+11/2中，若x=−3½，则y=______。
答案：4
解析：y=(3/7)(−7/2)+11/2=−3/2+11/2=4。
水平测试 A 第2题(填空题)
由11x−9y−6=0，用x表示y，则y=______；用y表示x，得x=______。
答案：(1/9)(11x−6)；(1/11)(9y+6)
解析：移项系数化1。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程组3x+2y=7，4x−y=13的解是______。
答案：x=3，y=−1
解析：由第二式y=4x−13代入第一式。
水平测试 A 第4题(填空题)
设x=3y，y+4z=0（y≠0），则x/z=______。
答案：−12
解析：z=−y/4，x/z=3y/(−y/4)=−12。
水平测试 A 第5题(填空题)
设方程组ax−by=1，(a−3)x−3by=4的解为x=1，y=−1，那么a、b的值分别为______。
答案：a=−2，b=3
解析：代入得a+b=1，(a−3)+3b=4，解得a=−2,b=3。
水平测试 A 第6题(填空题)
方程2x+y=8的正整数解的组数是______。
答案：3组
解析：y=8−2x>0，x=1,2,3对应y=6,4,2，共3组。
水平测试 A 第7题(填空题)
在等式y=x²+mx+n中，当x=2时y=5；x=−3时y=−5；则x=3时y=______。
答案：13
解析：代入得4+2m+n=5，9−3m+n=−5，解得m=3,n=−5。x=3时y=9+9−5=13。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果x+2y=1，2x−3y=2，那么(2x+4y−2)/2+(6x−9y)/3=______。
答案：2
解析：原式=(x+2y−1)+(2x−3y)=0+2=2。
水平测试 A 第9题(填空题)
如果2x^(2a−b−1)−3y^(3a−2b−16)=10是一个二元一次方程，那么a=______，b=______。
答案：−13；−28
解析：指数都为1：2a−b−1=1，3a−2b−16=1，解得a=−13,b=−28。
水平测试 A 第10题(填空题)
某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元。某校六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费1245元。则该校六年级订阅这份月刊的学生共有______人。
答案：57
解析：设订半年x人、全年y人。2.5(6x+12y)=1320，2.5(12x+6y)=1245。两式相加：2.5×18(x+y)=2565，x+y=57。
水平测试 A 第11题(解答题)
解方程组：x/3−(y+1)/6=3，2(y−x/2)=3(y−x/18)。
答案：x=114/17，y=−95/17
解析：化简得2x−y=19和−15x=18y，代入求解。
水平测试 A 第12题(解答题)
解关于x、y的方程组：5x+3y=11a+2b，3x−2y=5b−a。
答案：x=a+b，y=2a−b
解析：加减消元：①×2+②×3得19x=19a+19b，x=a+b，回代y=2a−b。
水平测试 B 第1题(填空题)
某工程队共有55人，每人每天平均可挖土2.5立方米或运土3立方米。为合理分配劳力，使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土分别是______人。
答案：30，25
解析：设挖土x人、运土y人：x+y=55，2.5x=3y，解得x=30,y=25。
水平测试 B 第2题(填空题)
小明买3块巧克力、10根棒棒糖用了35元，第二天他买了5块巧克力、2根棒棒糖用了29元。那么巧克力一块______元，棒棒糖一根______元。
答案：5；2
解析：3x+10y=35，5x+2y=29，解得x=5,y=2。
水平测试 B 第3题(填空题)
解方程组x+2y=5，y+2r=8，r+2u=11，u+2x=6，x=______，y=______，r=______，u=______。
答案：1；2；3；4
解析：四式相加：3(x+y+r+u)=30，总和10，逐一代入。
水平测试 B 第4题(填空题)
鸡、兔同笼共20个头、60只脚，则兔有______只，鸡有______只。
答案：10；10
解析：设兔x、鸡y：x+y=20，4x+2y=60，解得x=10,y=10。
水平测试 B 第5题(填空题)
有10只猫抓老鼠，每只猫至多抓到2只老鼠，至少抓到1只老鼠。一共抓到15只老鼠，只抓到1只老鼠的猫有______只。
答案：5
解析：设抓1只的x只、抓2只的y只：x+y=10，x+2y=15，解得y=5,x=5。
水平测试 B 第6题(填空题)
若方程组3x+4y=−11，8x+7y=−11的解也是方程组3ax−2by=9，5ax+7by=6的解，则a=______，b=______。
答案：25/31；27/155
解析：先解得x=3,y=−5，代入第二个方程组求a,b。
水平测试 B 第7题(填空题)
如果3x^(9a−4b)+5y=10，6x+7y^(3a+5b)=11是由两个关于x、y的二元一次方程组成的方程组，则a=______，b=______，x=______，y=______。
答案：3/19；2/19；−5/3；3
解析：指数都为1：9a−4b=1，3a+5b=1，解得a=3/19,b=2/19。代入求x,y。
水平测试 B 第8题(填空题)
若x、y的值满足方程组323x+457y=1103，177x+543y=897，则x⁴+4x²y²+5y⁴的值是______。
答案：37
解析：两式相加500x+1000y=2000即x+2y=4；相减146x−86y=206。解得x=2,y=1。代入=16+16+5=37。
水平测试 B 第9题(填空题)
若方程组3x+4y=m−4，x−2y=3m+2½的解满足x+y=0，则m的值为______。
答案：19/12
解析：由x+y=0得y=−x代入，解出m。
水平测试 B 第10题(解答题)
根据下面的方程组，求z−y的值：2001(x−y)+2002(y−z)+2003(z−x)=0，2001²(x−y)+2002²(y−z)+2003²(z−x)=2002。
答案：2002
解析：设a=x−y,b=y−z,c=z−x，则a+b+c=0。代入第二式解得c=2002，即z−y=−b=2002。
水平测试 B 第11题(解答题)
解关于x、y、z的方程组：5x−y+3z=a，5y−z+3x=b，5z−x+3y=c。
答案：x=(2a+b−c)/14，y=(2b+c−a)/14，z=(2c+a−b)/14
解析：用①×2+②−③消去y,z得14x=2a+b−c，同理求其余。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
y=(3/7)x+11/2中，若x=−3½，则y=______。
答案：4
解析：y=(3/7)(−7/2)+11/2=−3/2+11/2=4。
水平测试 A 第2题(填空题)
由11x−9y−6=0，用x表示y，则y=______；用y表示x，得x=______。
答案：(1/9)(11x−6)；(1/11)(9y+6)
解析：移项系数化1。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程组3x+2y=7，4x−y=13的解是______。
答案：x=3，y=−1
解析：由第二式y=4x−13代入第一式。
水平测试 A 第4题(填空题)
设x=3y，y+4z=0（y≠0），则x/z=______。
答案：−12
解析：z=−y/4，x/z=3y/(−y/4)=−12。
水平测试 A 第5题(填空题)
设方程组ax−by=1，(a−3)x−3by=4的解为x=1，y=−1，那么a、b的值分别为______。
答案：a=−2，b=3
解析：代入得a+b=1，(a−3)+3b=4，解得a=−2,b=3。
水平测试 A 第6题(填空题)
方程2x+y=8的正整数解的组数是______。
答案：3组
解析：y=8−2x>0，x=1,2,3对应y=6,4,2，共3组。
水平测试 A 第7题(填空题)
在等式y=x²+mx+n中，当x=2时y=5；x=−3时y=−5；则x=3时y=______。
答案：13
解析：代入得4+2m+n=5，9−3m+n=−5，解得m=3,n=−5。x=3时y=9+9−5=13。
水平测试 A 第8题(填空题)
如果x+2y=1，2x−3y=2，那么(2x+4y−2)/2+(6x−9y)/3=______。
答案：2
解析：原式=(x+2y−1)+(2x−3y)=0+2=2。
水平测试 A 第9题(填空题)
如果2x^(2a−b−1)−3y^(3a−2b−16)=10是一个二元一次方程，那么a=______，b=______。
答案：−13；−28
解析：指数都为1：2a−b−1=1，3a−2b−16=1，解得a=−13,b=−28。
水平测试 A 第10题(填空题)
某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元。某校六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费1245元。则该校六年级订阅这份月刊的学生共有______人。
答案：57
解析：设订半年x人、全年y人。2.5(6x+12y)=1320，2.5(12x+6y)=1245。两式相加：2.5×18(x+y)=2565，x+y=57。
水平测试 A 第11题(解答题)
解方程组：x/3−(y+1)/6=3，2(y−x/2)=3(y−x/18)。
答案：x=114/17，y=−95/17
解析：化简得2x−y=19和−15x=18y，代入求解。
水平测试 A 第12题(解答题)
解关于x、y的方程组：5x+3y=11a+2b，3x−2y=5b−a。
答案：x=a+b，y=2a−b
解析：加减消元：①×2+②×3得19x=19a+19b，x=a+b，回代y=2a−b。
水平测试 C 第1题(填空题)
关于x、y的方程组x+ay=5，y−x=1有正整数解，则正整数a=______。
答案：1或2
解析：由y=x+1代入得(a+1)x=4。a+1是4的正约数：a+1=2或4（a正整数），即a=1或3…验证得a=1或2。
水平测试 C 第2题(填空题)
若关于x、y的方程组ax+2by=3，2x−y=−3和y−3x=4，2ax−by=−4有相同的解，则a=______，b=______。
答案：1；2
解析：先解2x−y=−3和y−3x=4得x=−1,y=1，代入另两式。
水平测试 C 第3题(填空题)
若a+2b−3c=4，5a−6b+7c=8，则9a+2b−5c=______。
答案：24
解析：第一式×4+第二式=9a+2b−5c=16+8=24。
水平测试 C 第4题(填空题)
方程组(a−1)x+y=5，x+y=b。当a______，b______时有唯一解；当a______，b______时无解；当a______，b______时有无穷多组解。
答案：≠2；为一切实数；=2；≠5；=2；=5
解析：两式相减得(a−2)x=5−b。a≠2唯一解；a=2且b≠5无解；a=2且b=5无穷多解。
水平测试 C 第5题(填空题)
如果关于x、y的方程组2x+3y=2k+1，3x−2y=4k+3的解x、y的值之和为6，那么k=______。
答案：5
解析：解出x=(16k+11)/13，y=(−2k−3)/13，和=(14k+8)/13=6，k=5。
水平测试 C 第6题(填空题)
当a______时，方程|ax−2y−3|+|5x+9|=0的解满足x和y同号。
答案：>−5/3
解析：两绝对值和为0故5x+9=0，x=−9/5<0。ax−2y−3=0，y=(ax−3)/2。要y<0：(−9a/5−3)/2<0，解得a>−5/3。
水平测试 C 第7题(填空题)
若[a]表示不大于a的最大整数，x、y满足方程组2[x]−y=−2，3[x−2]+y=16，则[x+y]=______。
答案：14
解析：设m=[x]，[x−2]=m−2。解得m=4,y=10，[x+y]=[x]+y=4+10=14。
水平测试 C 第8题(填空题)
当m______时，方程组mx+y+z=m+1，x+my+z=m+2，x+y+mz=m+3无解。
答案：=1
解析：三式相加(m+2)(x+y+z)=3(m+1)。m=1时左边3(x+y+z)=6，进一步讨论无解。
水平测试 C 第9题(填空题)
甲、乙两人同时求ax−by=7的整数解。甲求出一组解为x=3，y=4，而乙把ax−by=7中的7错看成1，求得一组解为x=1，y=2，则a、b的值为______。
答案：a=5，b=2
解析：甲：3a−4b=7；乙：a−2b=1。联立解得a=5,b=2。
水平测试 C 第10题(填空题)
已知x+y+z=0，2016x+2017y+2018z=0，2016²x+2017²y+2018²z=2017，则x+z=______。
答案：2017
解析：由前两式得y=−2z，x=z。代入第三式解得z=2017/2，x+z=2z=2017。
水平测试 C 第11题(解答题)
解方程组：x+2y=5，y+2z=8，z+2u=11，u+2x=6。
答案：x=1，y=2，z=3，u=4
解析：逐次代入消元：x=5−2y，z=8−y，u=11−2z=11−2(8−y)=2y−5，代入u+2x=6解得y=2。
水平测试 C 第12题(解答题)
解方程组：1/x+1/(y+z)=1/2，1/y+1/(z+x)=1/3，1/z+1/(x+y)=1/4。
答案：x=23/10，y=23/6，z=23/2
解析：通分后设k=x+y+z，得xy+xz=2k等，三式相加得xy+yz+zx=9k/2，解得x:y:z=3:5:15，再求k。
四、方法小结
二元一次方程组解的判定：系数比不同唯一解，三项比全相等无数解，系数比等而常数比不等无解。解法核心是消元：代入消元和加减消元，逐次降为一元。含字母系数必须讨论系数是否为0。特殊技巧：连等拆两式、轮换式三式相加求总和、公共解令参数系数为0、倒数式换元。
五、作业建议
基础必做：- 教材P145 水平测试A 第1–8题（解方程组、用字母表示、正整数解）
- 教材P145 水平测试A 第9–12题（指数为1、订阅问题、参数方程组）
巩固选做：- 教材P148 水平测试B 第1–9题（工程、购物、鸡兔、同解方程组）
- 教材P149 水平测试B 第10–11题（换元、三元参数）
提高挑战：- 教材P150 水平测试C 第1–8题（正整数解、同解、解的讨论、取整）
- 教材P151 水平测试C 第9–12题（看错系数、三元、循环代入、倒数方程组）
六、课堂错因定位
症状：含字母系数时直接乘除
根因：不讨论含字母式子是否为0。
补救：典例A1强调乘除前先讨论系数为0的情况。
症状：三元方程组消元混乱
根因：不观察系数就硬消。
补救：选系数一正一负、绝对值小的未知数先消。
症状：连等式只当一个方程
根因：不知A=B=C拆成两个独立方程。
补救：典例B1板书拆法。
症状：轮换对称不会相加
根因：没发现三式结构对称。
补救：典例B3示范三式相加求总和。