【教师版】第17讲 · 列方程(组)解应用题
六年级奥数 · 教材第152–161页（第17讲全讲）
一、知识要点
基本方法：选元与找等量关系
本质：设几个未知数就找几个等量关系；关键是合适地选择未知元，通过审题分析出问题中包含的等量关系。
适用：典例A2：参赛人数是未参加的3倍→设未参加为x，则参赛为3x，总人数4x；再根据”人数减少6人、未参加增加6人后比例2:1“列第二个方程。测试A1三数和、倍数关系。
- 读题时圈出：谁和谁比、谁是谁的几倍、谁比谁多/少、什么量不变。
- 设元：能直接列方程就直接设；直接设元困难时设中间量为x（间接元）。
- 列方程：把每一句文字”翻译”成代数式，再用等号连接两个相等的量。
- 求解后必须代回原题检验：人数、件数为正整数；时间、路程为正。
典型错误：只列了一个方程却有两个未知数；或求出x后忘了回答题目真正问的量。
参数法（设而不求）
本质：除了应设的未知数外，增设一些辅助未知数（参数）作为桥梁，沟通已知量和未知量；不具体求参数的值，在消元过程中它会自然消去。
适用：典例B2：旅行者走平路和上下山，设全程x、山路长y，y在通分后消去；典例A1设坡长x作为间接元。当问题中出现”来回”“往返”“不同速度走同一段路”时，同一段路的长度就是天然的辅助元。
- 当题目中某段路程、某个中间量在两种情境下反复出现但不要求它时，就设它为参数。
- 用两种方式表达同一个不变量（如平路长度），列出方程。
- 解方程时参数自然消去，不要试图先求参数。
典型错误：设了参数却试图先解出参数值，把简单问题复杂化；或忘记设参数导致等量关系列不出来。
行程问题中的等量关系
本质：路程=速度×时间。相遇：两人路程和=总距离；追及：两人路程差=初始距离；顺水/逆水：v顺=v船+v水，v逆=v船−v水。
适用：典例B1汽车往返接人：汽车走(x+y)的时间=先步行者走到上车点的时间；先坐车者步行到终点的时间=汽车返回接人再到终点的时间。测试A11圆形跑道反向相遇、A12停车场发车回场、C8爸爸追小明。
- 相遇问题：两人同时出发到相遇，所用时间相同，路程相加等于总距离。
- 追及问题：快者比慢者多走的路程=初始距离。
- 往返接人：关键是”两拨人同时到达”，所以他们各自步行+乘车的总时间相等。
典型错误：不会用”时间相等”列方程，而是硬凑路程；忘记单位换算（分钟换成小时）。
多步操作与总量不变
本质：多次倒腾、多次操作的问题，用代数式逐步表达每次操作后的量，抓住”总量不变”列方程。
适用：典例A3两容器倒水：甲给乙一倍后甲剩[x−(48−x)]、乙变2(48−x)；乙再给甲一倍后两边相等。测试A6铁丝用去一半多/少1米（倒推）、B9两位数除个位。
- 设最初量为x，总量为已知数（如48千克），另一容器用总量−x表示。
- 每一次操作后，分别用代数式写出两个容器的新量。
- 根据操作后的某种关系（相等、倍数、差）列方程。
典型错误：倒腾一次后忘记两个容器的量都变了；或”加一倍”理解成”加一个”（应是变成两倍）。
二、典例精讲
典例 A1
某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟。回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用1½小时。问：A、B两地相距多少千米？
训练点：间接元法：不直接设总距离，而设坡长为x，用平路长作为”桥梁”列方程。
提示：
1. 去时：下坡+平路=55分钟；回来：平路+上坡=1.5小时。坡长不变，平路长也不变。
2. 设坡长x千米，去时下坡用x/12小时，那平路用了多少时间？这段平路回来时速度是8，怎么表示平路长？
1设A到B坡长x千米。去时下坡需x/12小时，平路需11/12 − x/12小时（55分钟=11/12时）。依据：总时间减去下坡时间。
2回来时上坡需x/4小时，上坡前平路需3/2 − x/4小时。依据：1.5小时=3/2时。
3平路长不变：9(11/12 − x/12) = 8(3/2 − x/4)。依据：去时平路长=回来时平路长。
4解之得 x=3。平路长=9(11/12−3/12)=9×8/12=6千米。依据：代入求平路。
5共长 6+3=9千米。依据：总距离=平路+坡路。
答：9千米
典型错法：直接设总距离为x导致一个方程解不出；或忘记55分钟要换成11/12小时。
典例 A2
某校初一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍。如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2:1。求参加竞赛的人数与初一年级的总人数。
训练点：比例问题：用一个未知数表示所有量，根据变化后的比例列方程。
提示：
1. 设未参加人数为x，参加人数就是3x，全年级共4x人。
2. 全年级减少6人→新总人数4x−6；未参加增加6人→新未参加人数x+6。新参加人数是多少？
1设未参加竞赛人数为x，则参赛3x，全年级4x人。依据：参赛是未参加的3倍。
2变化后：未参加(x+6)人，参赛=新总人数−新未参加=4x−6−(x+6)=3x−12人。依据：全年级减少6人。
3由比例2:1：(3x−12):(x+6)=2:1，即3x−12=2(x+6)。依据：参加:未参加=2:1。
4解之得x=24。参赛=3×24=72人，总人数=4×24=96人。依据：回代。
答：参加竞赛72人，初一年级总人数96人
典型错法：忘记全年级减少6人后参赛人数也要重算，直接写(3x):(x+6)=2:1。
典例 A3
两个容器内共有48千克水，从甲容器内给乙容器加水一倍，然后乙容器又给甲容器加甲容器剩余水的一倍，则两个容器内的水量相等。问：最初两个容器内各有水多少千克？
训练点：多步操作问题：用代数式逐步表达每次倒腾后的量。
提示：
1. 设最初甲x千克，乙就是48−x千克。
2. 甲给乙一倍：乙变成2(48−x)，甲剩下x−(48−x)。然后乙再给甲一倍：甲变成2[x−(48−x)]，乙剩下多少？
1设最初甲x千克，乙(48−x)千克。依据：总量48千克。
2甲给乙加水一倍后：甲剩[x−(48−x)]，乙有2(48−x)。依据：乙加水一倍即翻倍。
3乙再给甲加甲剩余水的一倍后：甲有2[x−(48−x)]，乙有2(48−x)−[x−(48−x)]。依据：甲翻倍，乙减去给出的量。
4两边相等：2[x−(48−x)] = 2(48−x)−[x−(48−x)]。依据：此时两容器水量相等。
答：最初甲容器30千克，乙容器18千克
典型错法：“加水一倍”当成”加1千克”；或第二次倒水时忘记甲已经变了。
典例 A4
一工人在工期内要制造出一定数量的同样零件。若他每天多做10个，则提前4½天完成；若他每天少做5个，则要误期3天。问：他要做多少个零件？工期是多少天？
训练点：列二元方程组：设零件总数x、工期y天，每天做x/y个。
提示：
1. 设要做x个零件，工期y天，则每天做x/y个。
2. 每天多做10个→每天(x/y+10)个，工期变成(y−4.5)天，总零件数不变。
1设零件总数x个，工期y天，每天做x/y个。依据：两个未知量。
2由题意列方程组：(x/y+10)(y−4½)=x，(x/y−5)(y+3)=x。依据：总零件数=每天做的×天数。
3展开整理：10y − (4½)(x/y)=45，−5y + 3(x/y)=15。依据：消去x后令t=x/y。
4②×2+①得x/y=50，即x=50y；代入②得y=27，x=1350。依据：加减消元。
答：1350个零件，工期27天
典型错法：只设一个x列不出方程；或展开时漏掉括号里的项。
典例 B1
某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米。团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那一部分人。已知人步行时速8千米，汽车时速40千米。问：要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？
训练点：行程综合：两拨人同时到达，利用”两段时间分别相等”列二元方程组。
提示：
1. 设先坐车者下车点距甲x千米，下车点距后步行者上车点y千米（见图17-1）。
2. 汽车从甲开到下车点再回到上车点走了(x+y)，这段时间=后步行者从甲走到上车点(x−y)的时间。
1设下车点距甲x千米，下车点距上车点y千米。依据：两个关键距离。
2方程①：汽车走(x+y)千米的时间=先步行者走到上车点(x−y)的时间：(x−y)/8=(x+y)/40。依据：两拨人同时出发，汽车回到上车点时步行者刚好走到。
3方程②：先坐车者步行(100−x)的时间=汽车返回接人再到终点的时间：(100−x)/8 = y/40 + (y+100−x)/40。依据：两拨人同时到达。
4联立解得x=75，y=50。依据：解二元一次方程组。
5总时间=x/40+(100−x)/8=75/40+25/8=5小时。下午4点倒推5小时=中午11点。依据：先坐车者总时间。
答：必须在中午11点出发
典型错法：列不出两个方程；或总时间算成只算一段。
典例 B2
旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米。问：旅行者一共行多少千米？
训练点：参数法：设全程x、山路y，y在通分后消去，不求y。
提示：
1. 设全程x千米，山路长y千米。上山、下山走的是同一段y。
2. 总时间=上山y/3+下山y/6+平路来回(x−2y)/4 = 5小时。把y通分后会怎样？
2上山y/3小时，下山y/6小时，平路来回(x−2y)/4小时，总时间8−3=5小时。依据：下午3时到晚上8时共5小时。
3列方程：y/3+y/6+(x−2y)/4=5。依据：时间相加。
4通分：(4y+2y+3x−6y)/12=5，y项消去，得3x/12=5，x=20。依据：y自动消去。
答：20千米
典型错法：试图先求y；或把平路来回当成x−y（应是x−2y，因为去回各有一段山路y）。
典例 C1
甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将只有其中1人解出的题叫难题，3人都解出的题叫容易题。试问：难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？
训练点：设三个未知数，用方程组合并消元，不求每个值只求差。
提示：
1. 设难题x道（只有1人解出），容易题y道（3人都解出），中等题z道（恰有2人解出）。
2. 总题数：x+y+z=100。三人解题总人次：x+3y+2z=60×3=180。
1设难题x道，容易题y道，中等题z道。依据：三类题。
2总题数：x+y+z=100 ①；总人次：x+3y+2z=180 ②。依据：每人60题，三人共180人次。
3①×2−②：2x+2y+2z−(x+3y+2z)=200−180，即x−y=20。依据：消去z。
答：难题多，难题比容易题多20道
典型错法：列不出总人次方程；或试图解出x、y、z各自的值。
典例 C2
游泳者在河中逆流而上，水壶于桥A下遗失被水冲走。继续向前游了20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回，在桥A下游距桥A 2千米的桥B下追到水壶。求该河水流的速度。
训练点：相对运动：以水流为参考系，水壶静止，人逆流游20分钟再顺流回追也需20分钟；40分钟水壶漂了2千米。
提示：
1. 以水为参考系：水壶不动，人离开水壶游了20分钟，回追也只需20分钟。
2. 所以从水壶遗失到被追上共40分钟=2/3小时，这段时间水壶随水漂了2千米。
1以水流为参考系，水壶静止。人逆流游20分钟后发现，返回追水壶同样需要20分钟。依据：相对水速不变，往返时间相等。
2水壶从遗失到被追上共漂流40分钟=2/3小时，漂了2千米。依据：桥A到桥B相距2千米。
3水流速度=2÷(2/3)=3千米/时。依据：路程÷时间。
答：每小时3千米
典型错法：列出含人速a的长方程算错；想不到换参考系简化。教材原解用合分比消去a，结果相同。
典例 C3
组装甲、乙、丙3种产品，需用A、B、C 3种零件。每件产品甲需用A、B各2个；每件产品乙需用B、C各1个；每件产品丙需用2个A和1个C。用库存的A、B、C 3种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品、r件丙产品，则剩下2个A和1个B，C恰好用完。说明：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能把库存的A、B、C 3种零件都恰好用完。
训练点：用矛盾法证明不可能：假设恰好用完，推出3z=3r+1，左边是3的倍数右边不是。
提示：
1. 先写出库存各零件数：A=2p+2r+2，B=2p+q+1，C=q+r。
2. 假设改生产x件甲、y件乙、z件丙恰好用完，列三个方程，看能不能同时满足。
1库存：A种(2p+2r+2)个，B种(2p+q+1)个，C种(q+r)个。依据：由p件甲、q件乙、r件丙的用料加剩余。
2假设生产x甲、y乙、z丙恰好用完：2x+2z=2p+2r+2 ①；2x+y=2p+q+1 ②；y+z=q+r ③。依据：三种零件分别用完。
4左边3z是3的倍数，右边3r+1除以3余1，矛盾。依据：奇偶/整除矛盾。
答：不能恰好用完（推出3z=3r+1矛盾）
典型错法：列不出三个方程；或推出矛盾后不会解释。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
三个数的和是22，甲数是丙数的2倍，乙数的10倍比甲、丙两数和的4倍还多10，则这三个数分别是______。
答案：甲10、乙7、丙5
解析：设丙为x，则甲2x，乙=22−3x。10(22−3x)=4(2x+x)+10，220−30x=12x+10，42x=210，x=5。甲=10，乙=7。
水平测试 A 第2题(填空题)
两个车间1月份共生产摩托车300辆，2月份第一车间增产12%，第二车间增产8%，结果两个车间2月份共生产330辆，1月份两车间各生产______辆。
答案：150，150
解析：设1月第一车间x辆，第二车间(300−x)辆。1.12x+1.08(300−x)=330，0.04x=6，x=150。
水平测试 A 第3题(填空题)
甲、乙两人今年年龄之和为60岁。当甲的年龄是乙现在的年龄的1/3时，乙恰是甲现在的年龄，则甲、乙两人今年分别为______岁。
答案：24，36
解析：设甲今年x岁，乙(60−x)岁。年龄差不变：乙现在(60−x)，甲那时是(60−x)/3，乙那时是x。时间差相同：x−(60−x)/3=(60−x)−x。解得x=24，乙36。
水平测试 A 第4题(填空题)
甲、乙两种浓度不同的药水，甲种药水含水与药之比为5:3；乙种药水含水与药的比为7:3。那么这两种药水里分别取______，才能配成含水6千克、含药3千克的混合药水。
答案：甲种4千克，乙种5千克
解析：设甲取x千克，乙取y千克。甲含水5x/8、药3x/8；乙含水7y/10、药3y/10。水：5x/8+7y/10=6；药：3x/8+3y/10=3。解得x=4，y=5。
水平测试 A 第5题(填空题)
配制10%的硫酸溶液1000千克，已用60%的硫酸85千克，还需要98%的硫酸______千克，水______千克。
答案：50，865
解析：设还需98%硫酸x千克。纯硫酸：0.6×85+0.98x=0.1×1000，51+0.98x=100，x=50。水=1000−85−50=865千克。
水平测试 A 第6题(填空题)
有一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去的比剩下的一半多1米，最后剩下7.25米，则原来铁丝长是______米。
答案：31
解析：倒推：第二次用前有(7.25+1)×2=16.5米；第一次用前(原长)有(16.5−1)×2=31米。
水平测试 A 第7题(填空题)
某商店将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写了”大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价应是______元。
答案：2250
解析：设原价x元。提价40%后1.4x，八折后1.4x×0.8=1.12x。1.12x−x=270，0.12x=270，x=2250。
水平测试 A 第8题(填空题)
某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间是10点50分时，准确时间应该是______。
答案：11点零9分
解析：手表走57分钟对应准确时间60分钟。手表从4:30到10:50走了6小时20分=380分钟。准确时间=380×60/57=400分钟=6小时40分。4:30+6:40=11:10？答案册为11点零9分。【提示】设共慢x分钟，(380+x)/(60)=380/57，x=20。准确时间=10:50+20分≈11:10。以答案册11点零9分为准。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，此时甲桶中的水是乙桶中的3倍；若将乙桶中的水倒1千克到甲桶中，此时甲桶中的水比乙桶多8倍，则原来甲、乙两桶中各有水______千克。
答案：17，3
解析：设甲x、乙y。x−2=3(y+2)；x+1=9(y−1)（多8倍即9倍）。解得x=17，y=3。
水平测试 A 第10题(填空题)
40只脚的蜈蚣和3个头的龙在同一个笼子里，共有26个头和298只脚。如果每只40只脚的蜈蚣只有一个头，则每条3个头的龙有______只脚。
答案：14
解析：设蜈蚣n只，龙m条。n+3m=26，40n+mx=298。n=26−3m，40(26−3m)+mx=298，mx=12−120m？整理：1040−120m+mx=298，(120−x)m=742=2×7×53。由3m<26得m≤7，m=7，x=14。
水平测试 A 第11题(解答题)
甲、乙两人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑每15秒钟和甲相遇一次。问：乙跑完一圈需要多少时间？
答案：24秒
解析：设乙一圈需x秒，一圈长s。甲速s/40，乙速s/x。反向相遇：(s/40+s/x)×15=s，15/40+15/x=1，15/x=5/8，x=24。
水平测试 A 第12题(解答题)
某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟有一辆出租汽车开出。在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场。以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场，回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆。问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间停车场就没有出租汽车了？
答案：108分钟
解析：设从第一辆开出至最后一辆回场前为x分钟。这段时间开出(x/4+1)辆，回场((x−2)/6+1)辆。10+(回场)−(开出)=0：(x/4+1)−((x−2)/6+1)=9，x=104分钟时剩1辆，再过4分钟开出，共108分钟。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
三个数的和是22，甲数是丙数的2倍，乙数的10倍比甲、丙两数和的4倍还多10，则这三个数分别是______。
答案：甲10、乙7、丙5
解析：设丙为x，则甲2x，乙=22−3x。10(22−3x)=4(2x+x)+10，220−30x=12x+10，42x=210，x=5。甲=10，乙=7。
水平测试 A 第2题(填空题)
两个车间1月份共生产摩托车300辆，2月份第一车间增产12%，第二车间增产8%，结果两个车间2月份共生产330辆，1月份两车间各生产______辆。
答案：150，150
解析：设1月第一车间x辆，第二车间(300−x)辆。1.12x+1.08(300−x)=330，0.04x=6，x=150。
水平测试 A 第3题(填空题)
甲、乙两人今年年龄之和为60岁。当甲的年龄是乙现在的年龄的1/3时，乙恰是甲现在的年龄，则甲、乙两人今年分别为______岁。
答案：24，36
解析：设甲今年x岁，乙(60−x)岁。年龄差不变：乙现在(60−x)，甲那时是(60−x)/3，乙那时是x。时间差相同：x−(60−x)/3=(60−x)−x。解得x=24，乙36。
水平测试 A 第4题(填空题)
甲、乙两种浓度不同的药水，甲种药水含水与药之比为5:3；乙种药水含水与药的比为7:3。那么这两种药水里分别取______，才能配成含水6千克、含药3千克的混合药水。
答案：甲种4千克，乙种5千克
解析：设甲取x千克，乙取y千克。甲含水5x/8、药3x/8；乙含水7y/10、药3y/10。水：5x/8+7y/10=6；药：3x/8+3y/10=3。解得x=4，y=5。
水平测试 A 第5题(填空题)
配制10%的硫酸溶液1000千克，已用60%的硫酸85千克，还需要98%的硫酸______千克，水______千克。
答案：50，865
解析：设还需98%硫酸x千克。纯硫酸：0.6×85+0.98x=0.1×1000，51+0.98x=100，x=50。水=1000−85−50=865千克。
水平测试 A 第6题(填空题)
有一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去的比剩下的一半多1米，最后剩下7.25米，则原来铁丝长是______米。
答案：31
解析：倒推：第二次用前有(7.25+1)×2=16.5米；第一次用前(原长)有(16.5−1)×2=31米。
水平测试 A 第7题(填空题)
某商店将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写了”大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价应是______元。
答案：2250
解析：设原价x元。提价40%后1.4x，八折后1.4x×0.8=1.12x。1.12x−x=270，0.12x=270，x=2250。
水平测试 A 第8题(填空题)
某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间是10点50分时，准确时间应该是______。
答案：11点零9分
解析：手表走57分钟对应准确时间60分钟。手表从4:30到10:50走了6小时20分=380分钟。准确时间=380×60/57=400分钟=6小时40分。4:30+6:40=11:10？答案册为11点零9分。【提示】设共慢x分钟，(380+x)/(60)=380/57，x=20。准确时间=10:50+20分≈11:10。以答案册11点零9分为准。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，此时甲桶中的水是乙桶中的3倍；若将乙桶中的水倒1千克到甲桶中，此时甲桶中的水比乙桶多8倍，则原来甲、乙两桶中各有水______千克。
答案：17，3
解析：设甲x、乙y。x−2=3(y+2)；x+1=9(y−1)（多8倍即9倍）。解得x=17，y=3。
水平测试 A 第10题(填空题)
40只脚的蜈蚣和3个头的龙在同一个笼子里，共有26个头和298只脚。如果每只40只脚的蜈蚣只有一个头，则每条3个头的龙有______只脚。
答案：14
解析：设蜈蚣n只，龙m条。n+3m=26，40n+mx=298。n=26−3m，40(26−3m)+mx=298，mx=12−120m？整理：1040−120m+mx=298，(120−x)m=742=2×7×53。由3m<26得m≤7，m=7，x=14。
水平测试 A 第11题(解答题)
甲、乙两人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑每15秒钟和甲相遇一次。问：乙跑完一圈需要多少时间？
答案：24秒
解析：设乙一圈需x秒，一圈长s。甲速s/40，乙速s/x。反向相遇：(s/40+s/x)×15=s，15/40+15/x=1，15/x=5/8，x=24。
水平测试 A 第12题(解答题)
某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟有一辆出租汽车开出。在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场。以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场，回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆。问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间停车场就没有出租汽车了？
答案：108分钟
解析：设从第一辆开出至最后一辆回场前为x分钟。这段时间开出(x/4+1)辆，回场((x−2)/6+1)辆。10+(回场)−(开出)=0：(x/4+1)−((x−2)/6+1)=9，x=104分钟时剩1辆，再过4分钟开出，共108分钟。
水平测试 B 第1题(填空题)
四个数中每三个数相加得到的和分别是31、30、29、27，那么原来的四个数中最大的一个数是______。
答案：12
解析：四数和=(31+30+29+27)÷3=39。最大数=39−27=12（最小的三数和对应最大的那个数）。
水平测试 B 第2题(填空题)
一条轮船从A港到B港顺水航行需6小时，从B港到A港逆水航行需8小时。若在静水条件下，从A港到B港需______小时。
答案：6又6/7
解析：设距离s，船速v，水速a。s=6(v+a)=8(v−a)，得v=7a。静水时间=s/v=6(7a+a)/(7a)=48/7=6又6/7小时。
水平测试 B 第3题(填空题)
如果n个人m天可以做p个零件(假定每人工效一样)，那么m个人做n个零件需______天。
答案：n²/p
解析：每人每天做p/(nm)个。m个人每天做mp/(nm)=p/n个。做n个需n÷(p/n)=n²/p天。
水平测试 B 第4题(填空题)
已知苹果1000克、雪梨500克、蜜桃2000克的总价为32元，又知苹果2000克、雪梨1000克、蜜桃1000克的总价为28元。今要买苹果2000克、雪梨1000克、蜜桃2500克，应付钱______元。
答案：46
解析：设苹果a、雪梨b、蜜桃c（每500克价）。2a+b+4c=32；4a+2b+2c=28。目标4a+2b+5c。①×2−②得6c=36，c=6。目标=②+3c=28+18=46元。
水平测试 B 第5题(填空题)
四个数之和为100。如果第一个数加上4，第二个数减去4，第三个数乘以4，第四个数除以4，所得的和、差、积、商全相等，那么这四个数依次为______。
答案：12、20、4、64
解析：设相等结果为k。四数为k−4、k+4、k/4、4k。和：k−4+k+4+k/4+4k=100，25k/4=100，k=16。四数12、20、4、64。
水平测试 B 第6题(填空题)
一个两位数加上2以后，其和的各数字之和只有原数字的各位数字之和的一半，这个两位数是______。
答案：68或59
解析：加2后数字和反而减半，说明发生进位。设原数数字和S，进位一次数字和减少9−2=7（加2进位）。新数字和=S−7=S/2，S=14。两位数数字和14且加2进位：68（70数字和7）、59（61数字和7）。
水平测试 B 第7题(填空题)
有一种货物，甲把原价压低10元卖掉，从售价中取10%作为手续费；乙把原价压低20元卖掉，从售价中取20%作为手续费。若两人得到的手续费一样多，那么原价是______元。
答案：30
解析：设原价x。甲手续费0.1(x−10)，乙手续费0.2(x−20)。0.1(x−10)=0.2(x−20)，x−10=2x−40，x=30。
水平测试 B 第8题(填空题)
小华同学经常去海边散步，一条船迎面驶来，从他身旁开过用了3秒钟；过一会儿，该船追上小华从他身旁开过用了4½秒钟。若小华步行的速度为每小时3.6千米，则这条船长______米。
答案：18
解析：小华速3.6km/h=1m/s。设船长L，船速v m/s。迎面：L=(v+1)×3；追及：L=(v−1)×4.5。3(v+1)=4.5(v−1)，v=5，L=18米。
水平测试 B 第9题(填空题)
有一个两位数，如果用它去除以个位数字，得商为9余数为6；如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则得商为5余数为3。这个两位数是______。
答案：78
解析：设两位数10a+b。10a+b=9b+6，即10a−8b=6；10a+b=5(a+b)+3，即5a−4b=3。解得a=7，b=8，数为78。
水平测试 B 第10题(填空题)
甲对乙说：”当我像你现在这么大时，你那时的年龄是我现在年龄的一半；当你像我现在这么大时，我们俩的年龄和是63岁。”甲、乙两人今年各______岁。
答案：28、21
解析：设甲x、乙y，年龄差d=x−y。第一个时间点乙y−d=y−(x−y)=2y−x，是甲现在x的一半：2y−x=x/2，4y=3x。第二个时间点乙x，甲x+d=2x−y，和：x+(2x−y)=63，3x−y=63。解得x=28，y=21。
水平测试 B 第11题(解答题)
某项工程，如果由甲、乙两队承包，2⅖天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3¾天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2⁶⁄₇天完成，需付160000元。现工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？
答案：乙队承包费用最少
解析：效率：1/x+1/y=5/12，1/y+1/z=4/15，1/x+1/z=7/20。三式相加÷2得1/x+1/y+1/z=31/60，解得x=4天，y=6天，z=10天。费用：u+v=180000÷(12/5)=75000/天，v+w=150000÷(15/4)=40000/天，u+w=160000÷(20/7)=56000/天。解得u=45500，v=29500，w=10500。甲4天182000元，乙6天177000元，丙10天超一周。乙最少。
水平测试 B 第12题(解答题)
假设五家共用一井取水，甲用绳2根不够，差乙家绳子1根；乙用绳3根不够，差丙家绳子1根；丙用绳子4根不够，差丁家绳子1根；丁用绳子5根不够，差戊家绳子1根；戊用绳6根不够，差甲家绳子1根。如果各得所差的绳子1根，都恰能到达井深。问：井深、各家的绳长各是多少？(井深为小于1000的整数)
答案：井深721，各家绳长265、191、148、129、76
解析：设五家绳长A、B、C、D、E，井深k。2A+B=k，3B+C=k，4C+D=k，5D+E=k，6E+A=k。依次迭代B=k−2A，C=k−3B=6A−2k，D=k−4C=9k−24A，E=k−5D=120A−44k。代入6E+A=k：721A=265k，A=265，k=721。B=191，C=148，D=129，E=76。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
三个数的和是22，甲数是丙数的2倍，乙数的10倍比甲、丙两数和的4倍还多10，则这三个数分别是______。
答案：甲10、乙7、丙5
解析：设丙为x，则甲2x，乙=22−3x。10(22−3x)=4(2x+x)+10，220−30x=12x+10，42x=210，x=5。甲=10，乙=7。
水平测试 A 第2题(填空题)
两个车间1月份共生产摩托车300辆，2月份第一车间增产12%，第二车间增产8%，结果两个车间2月份共生产330辆，1月份两车间各生产______辆。
答案：150，150
解析：设1月第一车间x辆，第二车间(300−x)辆。1.12x+1.08(300−x)=330，0.04x=6，x=150。
水平测试 A 第3题(填空题)
甲、乙两人今年年龄之和为60岁。当甲的年龄是乙现在的年龄的1/3时，乙恰是甲现在的年龄，则甲、乙两人今年分别为______岁。
答案：24，36
解析：设甲今年x岁，乙(60−x)岁。年龄差不变：乙现在(60−x)，甲那时是(60−x)/3，乙那时是x。时间差相同：x−(60−x)/3=(60−x)−x。解得x=24，乙36。
水平测试 A 第4题(填空题)
甲、乙两种浓度不同的药水，甲种药水含水与药之比为5:3；乙种药水含水与药的比为7:3。那么这两种药水里分别取______，才能配成含水6千克、含药3千克的混合药水。
答案：甲种4千克，乙种5千克
解析：设甲取x千克，乙取y千克。甲含水5x/8、药3x/8；乙含水7y/10、药3y/10。水：5x/8+7y/10=6；药：3x/8+3y/10=3。解得x=4，y=5。
水平测试 A 第5题(填空题)
配制10%的硫酸溶液1000千克，已用60%的硫酸85千克，还需要98%的硫酸______千克，水______千克。
答案：50，865
解析：设还需98%硫酸x千克。纯硫酸：0.6×85+0.98x=0.1×1000，51+0.98x=100，x=50。水=1000−85−50=865千克。
水平测试 A 第6题(填空题)
有一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去的比剩下的一半多1米，最后剩下7.25米，则原来铁丝长是______米。
答案：31
解析：倒推：第二次用前有(7.25+1)×2=16.5米；第一次用前(原长)有(16.5−1)×2=31米。
水平测试 A 第7题(填空题)
某商店将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写了”大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价应是______元。
答案：2250
解析：设原价x元。提价40%后1.4x，八折后1.4x×0.8=1.12x。1.12x−x=270，0.12x=270，x=2250。
水平测试 A 第8题(填空题)
某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间是10点50分时，准确时间应该是______。
答案：11点零9分
解析：手表走57分钟对应准确时间60分钟。手表从4:30到10:50走了6小时20分=380分钟。准确时间=380×60/57=400分钟=6小时40分。4:30+6:40=11:10？答案册为11点零9分。【提示】设共慢x分钟，(380+x)/(60)=380/57，x=20。准确时间=10:50+20分≈11:10。以答案册11点零9分为准。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，此时甲桶中的水是乙桶中的3倍；若将乙桶中的水倒1千克到甲桶中，此时甲桶中的水比乙桶多8倍，则原来甲、乙两桶中各有水______千克。
答案：17，3
解析：设甲x、乙y。x−2=3(y+2)；x+1=9(y−1)（多8倍即9倍）。解得x=17，y=3。
水平测试 A 第10题(填空题)
40只脚的蜈蚣和3个头的龙在同一个笼子里，共有26个头和298只脚。如果每只40只脚的蜈蚣只有一个头，则每条3个头的龙有______只脚。
答案：14
解析：设蜈蚣n只，龙m条。n+3m=26，40n+mx=298。n=26−3m，40(26−3m)+mx=298，mx=12−120m？整理：1040−120m+mx=298，(120−x)m=742=2×7×53。由3m<26得m≤7，m=7，x=14。
水平测试 A 第11题(解答题)
甲、乙两人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑每15秒钟和甲相遇一次。问：乙跑完一圈需要多少时间？
答案：24秒
解析：设乙一圈需x秒，一圈长s。甲速s/40，乙速s/x。反向相遇：(s/40+s/x)×15=s，15/40+15/x=1，15/x=5/8，x=24。
水平测试 A 第12题(解答题)
某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟有一辆出租汽车开出。在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场。以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场，回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆。问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间停车场就没有出租汽车了？
答案：108分钟
解析：设从第一辆开出至最后一辆回场前为x分钟。这段时间开出(x/4+1)辆，回场((x−2)/6+1)辆。10+(回场)−(开出)=0：(x/4+1)−((x−2)/6+1)=9，x=104分钟时剩1辆，再过4分钟开出，共108分钟。
水平测试 C 第1题(填空题)
初三学生王欣对足球进行研究，他发现足球是用黑白两色皮黏合而成，黑块皮为正五边形，白块皮为正六边形，且数出黑皮有12块，那么白皮有______块。
答案：20
解析：每块黑皮5条边，共12×5=60条边与白皮缝合。每块白皮3条边与黑皮缝合（另3条与白皮缝合），所以白皮=60÷3=20块。
水平测试 C 第2题(填空题，配教材幻方图)
如左表，a、b、c、d、e、f均为有理数，表中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a+b+c+d+e+f=______。
答案：21
解析：三阶幻方已知4、−1、3在位置(1,1)(1,2)(2,2)。由主对角线4+3+f=副对角线a+3+d，第一行4+(−1)+a=第二列(−1)+3+e。解得幻和=15，a=12，e=13，f=−1，b=5，c=−2，d=−3。和=21。
水平测试 C 第3题(填空题)
2016年中国足球超级联赛前23轮比赛，广州恒大队胜15场，平5场，负3场，积50分；江苏苏宁队胜13场，平5场，负5场，积44分；上海上港队胜10场，平8场，负5场，积38分。则每队胜1场，平1场，负1场各得______分。
答案：3，1，0
解析：设胜x、平y、负z分。15x+5y+3z=50；13x+5y+5z=44；10x+8y+5z=38。解得x=3，y=1，z=0。
水平测试 C 第4题(填空题)
在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是______。
答案：28
解析：设三人a、b、c。三式乘2：a+b+2c=94，a+c+2b=122，b+c+2a=120。相加得4(a+b+c)=336，a+b+c=84。代回：c=94−84=10，b=122−84=38，a=120−84=36。最大38、最小10，差28。
水平测试 C 第5题(填空题)
有一个六位数abcde6，若把个位数字6移至第一位的前面变成6abcde，则此新六位数是原数的4倍，则此六位数是______。
答案：153846
解析：设前五位数x。原数10x+6，新数600000+x。4(10x+6)=600000+x，40x+24=600000+x，39x=599976，x=15384。原数153846。
水平测试 C 第6题(填空题)
甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上。已知甲车上某乘客测得乙车在窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______秒。
答案：7.5
解析：相对速度相同。乙车长200米用10秒，相对速度=200/10=20m/s。甲车长150米，时间=150/20=7.5秒。
水平测试 C 第7题(填空题)
江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等。如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完。如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机______台。
答案：6
解析：设已有水量a，每分钟涌b，每台每分钟抽c。a+40b=2×40c=80c；a+16b=4×16c=64c。相减24b=16c，b=2c/3，a=160c/3。10分钟：a+10b≤10nc，160c/3+20c/3=60c≤10nc，n≥6。
水平测试 C 第8题(填空题)
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时的时间是______。
答案：8点32分
解析：爸爸从4千米处回家再回追到8千米处，共走4+8=12千米；小明同期走8−4=4千米，故爸爸速是小明3倍。设小明速v千米/分，则爸爸速3v。第一次追上在4千米处：小明走4/v分，爸爸走4/(3v)分，差8分，4/v−4/(3v)=8，解得v=1/3。小明走全程8千米需8÷(1/3)=24分，8:08+24分=8:32。
水平测试 C 第9题(填空题)
甲、乙两个同学从A地到B地。甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发，走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车。以后不断交替行进，两个恰好同时到达B地，甲走全程的平均速度是______千米/时。
答案：45/7
解析：设甲步行x千米、骑车y千米；乙骑车x千米、步行y千米（车在AB间传递）。时间相等：x/3+y/15=x/15+y/5，两边×15：5x+y=x+3y，4x=2y，y=2x。全程x+y=3x，时间x/3+2x/15=7x/15。平均速度=3x÷(7x/15)=45/7。
水平测试 C 第10题(填空题)
公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过一辆公共汽车，而每隔4又2/7分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于______分钟。
答案：5
解析：设车速v，人速u，两车距离vx。背后追及：vx=(v−u)×6；迎面：vx=(v+u)×30/7。两式：6(v−u)=30(v+u)/7，42v−42u=30v+30u，12v=72u，v=6u。x=6(v−u)/v=6×5/6=5分钟。
水平测试 C 第11题(解答题)
某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A种水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元。问：C水果的销售额为多少元？
答案：150元
解析：设甲x套、乙y套、丙z套。A销售额：2(2x+3y+2z)=116，2x+3y+2z=58。总金额：2(2x+3y+2z)+1.2(4x+8y+6z)+10(y+z)=441.2，代入A项得116+4.8x+9.6y+7.2z+10y+10z=441.2，整理22x+64y+53z=1103。②−①×11：y+z=15。C销售额=10(y+z)=150元。
水平测试 C 第12题(解答题)
有4位小朋友的体重都是整数千克，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别为99、113、125、130、144，其中有两人没有一起称过，那么这两人中体重较重的人重多少千克？
答案：66千克
解析：设四人体重a≥b≥c≥d。六个两两和中称了5个，缺一个。最小c+d=99，最大a+b=144。由(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)=243。已知113、125、130中应含a+c和b+d。试配：若缺b+c，则c+d=99，b+d=113，a+d=125，a+c=130，a+b=144。解得a=78，b=66，c=52，d=47。较重者b=66千克。
四、方法小结
列方程(组)解应用题的关键是合理选择未知元并根据题意建立等量关系。四步走：审题圈关键词→设元（直接元或间接元）→找等量关系列方程(组)→求解并代回原题检验。n个未知数找n个等量关系；等量关系来自”总量不变”“差不变”“倍数比较”“同一时间”。当某段路程/中间量反复出现但不要求时，用参数法（设而不求）增设辅助元搭桥，最后消去。行程问题抓住”时间相等”和”路程和/差”；多步操作题用代数式逐步表达每次操作后的量。
五、作业建议
基础必做：- 教材P154 水平测试A 第1–8题（填空：三数、车间、年龄、浓度、铁丝、调价、手表）
- 教材P155 水平测试A 第9、10题（两桶水、蜈蚣龙）
巩固选做：- 教材P155 水平测试A 第11、12题（跑道相遇、停车场发车）
- 教材P157 水平测试B 第1–10题（填空：四数和、顺水、零件、水果、数字和、年龄）
- 教材P158 水平测试B 第11、12题（工程承包、五家井绳）
提高挑战：- 教材P159–160 水平测试C 第1–10题（足球皮、幻方、积分、年龄、六位数、超车、管涌、追及、交替、公交）
- 教材P161 水平测试C 第11、12题（水果搭配、四人合称体重）
六、课堂错因定位
症状：看到应用题直接套算式，不列方程
根因：习惯算术法，不会把未知数当成已知量参与运算。
补救：回到知识模块四步走，先用线段图把关系画出来，再设元翻译。
症状：行程题时间单位不统一
根因：55分钟、1.5小时混在一起直接列式。
补救：列式前先把所有时间换成小时（或分钟），圈出单位。
症状：多步倒水题只算一个容器
根因：每次操作后两个容器的量都变了，漏写另一个。
补救：用表格分两列写每次操作后甲、乙各多少，再列方程。
症状：参数法设了参数却硬求它
根因：不理解参数只是桥梁，以为必须求出每个未知数。
补救：看典例B2：y在通分后自动消去，提醒学生”设而不求”。
症状：求出解不代回原题检验
根因：忘记应用题答案要符合实际（人数为正整数）。
补救：解完先问：这个数是人/天/千米吗？合理吗？